Ренормализационная группа

В теоретической физике термин ренормализационная группа ( РГ ) относится к формальному аппарату, который позволяет систематически исследовать изменения физической системы, рассматриваемые в различных масштабах . В физике элементарных частиц он отражает изменения в основных законах силы (кодифицированных в квантовой теории поля ), поскольку шкала энергии, в которой происходят физические процессы, изменяется, шкалы энергии / импульса и разрешающего расстояния эффективно сопряжены в соответствии с принципом неопределенности .

Изменение масштаба называется преобразованием масштаба . Ренормализационная группа тесно связана с масштабной инвариантностью и конформной инвариантностью , симметриями, в которых система кажется одинаковой на всех масштабах (так называемое самоподобие ). ^[а]

При изменении масштаба создается впечатление, что вы меняете увеличительную силу условного микроскопа, наблюдающего за системой. В так называемых перенормируемых теориях система в одном масштабе обычно рассматривается как состоящая из самоподобных копий самой себя, если рассматривать ее в меньшем масштабе, с различными параметрами, описывающими компоненты системы. Компоненты или фундаментальные переменные могут относиться к атомам, элементарным частицам, атомным спинам и т.д. Параметры теории обычно описывают взаимодействия компонентов. Это могут быть регулируемые муфты, которые измеряют силу различных сил или сами параметры массы. Сами компоненты могут казаться составленными из большего количества одинаковых компонентов по мере того, как человек идет на более короткие расстояния.

Например, в квантовой электродинамике (КЭД) электрон, по-видимому, состоит из электронов, позитронов (антиэлектронов) и фотонов, если рассматривать его с более высоким разрешением на очень коротких расстояниях. Электрон на таких коротких расстояниях имеет немного другой электрический заряд, чем одетый электрон, видимый на больших расстояниях, и это изменение или бегство в значении электрического заряда определяется уравнением ренормгруппы.

История [ править ]

Идея масштабных преобразований и масштабной инвариантности в физике устарела: аргументы масштабирования были обычным явлением для пифагорейской школы , Евклида и вплоть до Галилея . ^[1] Они стали популярными еще раз в конце 19 - го века, пожалуй, первым примером является идея повышенной вязкости с Осборном Рейнольдсом , как способ объяснить турбулентность.

Ренормализационная группа изначально была разработана в физике элементарных частиц, но в настоящее время ее приложения распространяются на физику твердого тела , механику жидкости , физическую космологию и даже нанотехнологии . В начале статьи ^[2] по Штюкельбергу и Андре Петерману в 1953 году предвосхищает идею в квантовой теории поля . Штюкельберг и Петерманн открыли эту область концептуально. Они отметили, что перенормировка демонстрирует группу преобразований, которые переносят величины из голых членов во встречные члены. Они ввели функцию h ( e ) вквантовая электродинамика (КЭД) , которая теперь называется бета-функцией (см. ниже).

Начало [ править ]

Мюррей Гелл-Манн и Фрэнсис Э. Лоу ограничили идею масштабными преобразованиями в КЭД в 1954 году ^[3], которые являются наиболее физически значимыми, и сосредоточили внимание на асимптотических формах фотонного пропагатора при высоких энергиях. Они определили изменение электромагнитной связи в КЭД, оценив простоту масштабной структуры этой теории. Таким образом, они обнаружили, что параметр связи g ( μ ) на шкале энергии μ эффективно задается (одномерным трансляционным) групповым уравнением

${\ Displaystyle г (\ му) = G ^ {- 1} \ left (\ left ({\ frac {\ mu} {M}} \ right) ^ {d} G (g (M)) \ right)}$

или , что эквивалентно, для некоторой функции G (неопределенные- в настоящее время называется Вегнер «с функцией масштабирования) и константа д , с точки зрения сочетания г (М) в эталонной шкале М .${\ Displaystyle G \ влево (г (\ му) \ вправо) = г (г (М)) \ влево ({\ му} / {M} \ вправо) ^ {d}}$

Гелл-Манн и Лоу поняли в этих результатах, что эффективный масштаб может быть произвольно взят за μ и может варьироваться для определения теории в любом другом масштабе:

${\ Displaystyle г (\ каппа) = G ^ {- 1} \ влево (\ влево ({\ гидроразрыва {\ каппа} {\ му}} \ вправо) ^ {d} G (г (\ му)) \ вправо ) = G ^ {- 1} \ left (\ left ({\ frac {\ kappa} {M}} \ right) ^ {d} G (g (M)) \ right)}$

Суть RG - это групповое свойство: при изменении масштаба μ теория представляет собой самоподобную копию самой себя, и к любому масштабу можно получить доступ аналогичным образом из любого другого масштаба посредством группового действия, формальной транзитивной сопряженности связей ^{[ 4]} в математическом смысле ( уравнение Шредера ).

На основе этого (конечного) группового уравнения и его свойства масштабирования Гелл-Манн и Лоу могли затем сосредоточиться на бесконечно малых преобразованиях и изобрели вычислительный метод, основанный на математической функции потока ψ ( g ) = G d / (∂ G / ∂ g ) введенного ими параметра связи g . Как и функция h ( e ) Штюкельберга и Петермана, их функция определяет дифференциальное изменение связи g ( μ ) по отношению к небольшому изменению шкалы энергии μ через дифференциальное уравнение,уравнение ренормгруппы :

${\ displaystyle \ displaystyle {\ frac {\ partial g} {\ partial \ ln \ mu}} = \ psi (g) = \ beta (g)}$

Также указано современное название, бета-функция , введенная К. Калланом и К. Симанзиком в 1970 году. ^[5] Поскольку это простая функция от g , интегрирование ее пертурбативной оценки по g позволяет специфицировать траекторию перенормировки. связи, то есть ее изменение с энергией, эффективно является функцией G в этом пертурбативном приближении. Предсказание ренормализационной группы (см. Работы Штюкельберга – Петермана и Гелл-Манна – Лоу) было подтверждено 40 лет спустя в экспериментах на ускорителе LEP : измеренная «константа» тонкой структуры КЭД ^[6] составила около¹ / ₁₂₇ при энергиях около 200 ГэВ, в отличие от стандартного значения физики низких энергий ¹ / ₁₃₇  . ^[b]

Более глубокое понимание [ править ]

Ренормализационная группа возникает в результате перенормировки квантовых переменных поля, которая обычно решает проблему бесконечностей в квантовой теории поля. ^[c] Эта проблема систематического обращения с бесконечностями квантовой теории поля для получения конечных физических величин была решена для QED Ричардом Фейнманом , Джулианом Швингером и Шинитиро Томонага , получившими Нобелевскую премию 1965 года за эти вклады. Они эффективно разработали теорию перенормировки массы и заряда, в которой бесконечность в импульсной шкале отсекается сверхбольшим регулятором Λ. ^[d]

Зависимость физических величин, таких как электрический заряд или масса электрона, от масштаба Λ скрыта, эффективно заменена на более дальние масштабы, на которых измеряются физические величины, и, в результате, все наблюдаемые величины оказываются равными конечно, даже для бесконечного Λ. Гелл-Манн и Лоу, таким образом, осознали в этих результатах, что бесконечно малое изменение g обеспечивается приведенным выше уравнением РГ при заданном ψ ( g ), самоподобие выражается тем фактом, что ψ ( g ) явно зависит только от от параметра (ов) теории, а не от масштаба μ . Следовательно, указанное выше уравнение ренормгруппы может быть решено относительно ( G и, следовательно,) g (μ ).

Более глубокое понимание физического смысла и обобщения процесса перенормировки, которое выходит за рамки группы расширения традиционных перенормируемых теорий, рассматривает методы, в которых одновременно появляются самые разные масштабы длин. Она пришла из физики конденсированных сред : в статье Лео Каданова в 1966 году была предложена ренормализационная группа «блочного спина». ^[8] «Идея блокировки» - это способ определить компоненты теории на больших расстояниях как совокупность компонентов на более коротких расстояниях.

Этот подход охватил концептуальную точку и получил полную вычислительную основу в обширных важных вкладах Кеннета Уилсона . Сила идей Вильсона была продемонстрирована конструктивным итеративным перенормировочным решением давней проблемы, проблемы Кондо , в 1975 году ^[9], а также предшествующими основополагающими разработками его нового метода в теории фазовых переходов второго рода. и критические явления в 1971 г. ^{[10] [11] [12]} Он был удостоен Нобелевской премии за этот решающий вклад в 1982 г. ^[13]

Переформулировка [ править ]

Между тем, РГ в физике элементарных частиц была переформулирована в более практических терминах Калланом и Симанзиком в 1970 году. ^{[5] [14]} Вышеупомянутая бета-функция, которая описывает "изменение взаимосвязи" параметра с масштабом, также оказалась равной величине к «канонической следовой аномалии», которая представляет собой квантово-механическое нарушение масштабной (дилатационной) симметрии в теории поля. ^[e] Число применений RG в физике элементарных частиц резко возросло в 1970-х годах с созданием Стандартной модели .

В 1973 году ^{[15] [16]} было обнаружено, что теория взаимодействующих цветных кварков, называемая квантовой хромодинамикой , имеет отрицательную бета-функцию. Это означает, что начальное высокоэнергетическое значение муфты в конечном итоге приведет к особому значению μ, при котором муфта разорвется (расходится). Эта особая величина представляет собой масштаб сильных взаимодействий , μ = Λ КХД, и происходит примерно при 200 МэВ. И наоборот, связь становится слабой при очень высоких энергиях ( асимптотическая свобода ), и кварки становятся наблюдаемыми как точечные частицы в глубоко неупругом рассеянии., как и ожидалось шкалой Фейнмана-Бьоркена. Таким образом, КХД была создана как квантовая теория поля, управляющая сильными взаимодействиями частиц.

Импульсная пространственная РГ также стала высокоразвитым инструментом в физике твердого тела, но этому препятствовало широкое использование теории возмущений, что помешало этой теории добиться успеха в сильно коррелированных системах. ^[f]

Конформная симметрия [ править ]

Конформная симметрия связана с обращением в нуль бета-функции. Это может произойти естественным образом, если константа связи притягивается путем бега к фиксированной точке, в которой β ( g ) = 0. В КХД фиксированная точка возникает на коротких расстояниях, где g → 0, и называется ( тривиальным ) фиксированным ультрафиолетом. точка . Для тяжелых кварков, таких как топ-кварк , связь с масс-дающим бозоном Хиггса стремится к фиксированной ненулевой (нетривиальной) инфракрасной фиксированной точке , впервые предсказанной Пендлтоном и Россом (1981), ^[17] и CT Хилл . ^[18] Взаимодействие Юкавы с верхним кварком находится немного ниже инфракрасной фиксированной точки Стандартной модели, что указывает на возможность появления дополнительных новых физических свойств, таких как последовательные тяжелые бозоны Хиггса.

В теории струн конформная инвариантность мирового листа струны является фундаментальной симметрией: β = 0 - требование. Здесь β является функцией геометрии пространства-времени, в котором движется струна. Это определяет размерность пространства-времени теории струн и обеспечивает выполнение уравнений общей теории относительности Эйнштейна для геометрии. РГ имеет фундаментальное значение для теории струн и теорий великого объединения .

Это также современная ключевая идея, лежащая в основе критических явлений в физике конденсированного состояния. ^[19] Действительно, РГ стала одним из важнейших инструментов современной физики. ^[20] Он часто используется в сочетании с методом Монте-Карло . ^[21]

Блокировать вращение [ править ]

Этот раздел с педагогической точки зрения вводит картину художественной гимнастики, которая может быть наиболее простой для понимания: блочная танцевальная гимнастика, изобретенная Лео П. Кадановым в 1966 году. ^[8]

Рассмотрим двумерное твердое тело, набор атомов в виде идеального квадратного массива, как показано на рисунке.

Предположим , что атомы взаимодействуют между собой только с их ближайших соседей, и что система при данной температуре T . Сила их взаимодействия количественно с помощью определенного сочетания J . Физика системы будет описываться определенной формулой, скажем, гамильтонианом H (T, J) .

Теперь приступайте к разделению твердого тела на блоки размером 2 × 2 квадрата; мы пытаемся описать систему в терминах переменных блока , т. е. переменных, которые описывают среднее поведение блока. Далее предположим, что по некоторому удачному совпадению физика блочных переменных описывается формулой того же типа , но с разными значениями для T и J  : H (T ', J') . (В общем, это не совсем так, но часто это хорошее первое приближение.)

Возможно, первоначальную задачу было слишком сложно решить, так как атомов было слишком много. Теперь в перенормированной задаче их всего четверть. Но зачем останавливаться сейчас? Другая итерация того же типа приводит к H (T ", J") и только одной шестнадцатой части атомов. Мы увеличиваем масштаб наблюдения с каждым шагом RG.

Конечно, лучше всего повторять итерацию до тех пор, пока не останется только один очень большой блок. Поскольку количество атомов в любом реальном образце материала очень велико, это более или менее эквивалентно обнаружению дальнодействующего поведения преобразования RG, которое потребовало (T, J) → (T ', J') и (T ' , J ') → (T ", J") . Часто при многократном повторении это преобразование RG приводит к определенному количеству фиксированных точек .

Чтобы быть более конкретным, рассмотрим магнитную систему (например, модель Изинга ), в которой J- связь обозначает тенденцию параллельности спинов соседей . Конфигурация системы является результатом компромисса между упорядочивающим членом J и разупорядочивающим эффектом температуры.

Для многих моделей этого типа есть три фиксированные точки:

1. T = 0 и J → ∞. Это означает, что при наибольшем размере температура становится несущественной, т. Е. Исчезает фактор разупорядочения. Таким образом, в больших масштабах система выглядит упорядоченной. Мы находимся в ферромагнитной фазе.
2. T → ∞ и J → 0. Как раз наоборот; здесь преобладает температура, и система неупорядочена на больших масштабах.
3. Между ними нетривиальная точка, T = T _c и J = J _c . В этом случае изменение масштаба не меняет физику, потому что система находится во фрактальном состоянии. Она соответствует фазовому переходу Кюри и также называется критической точкой .

Итак, если нам дан определенный материал с заданными значениями T и J , все, что нам нужно сделать, чтобы выяснить крупномасштабное поведение системы, - это перебрать пару, пока мы не найдем соответствующую фиксированную точку.

Элементарная теория [ править ]

В более технических терминах, давайте предположим , что мы имеем теорию , описанную в некоторой функции из переменных состояния и определенным набором констант связи . Эта функция может быть статистической суммой , действием , гамильтонианом и т. Д. Она должна содержать полное описание физики системы.${\ displaystyle Z}$ ${\ displaystyle \ {s_ {i} \}}$${\ displaystyle \ {J_ {k} \}}$

Теперь рассмотрим некое блокирующее преобразование переменных состояния , количество которых должно быть меньше количества . А теперь попробуем переписать функцию только в терминах . Если это достигается определенным изменением параметров , то теория называется перенормируемой .${\ displaystyle \ {s_ {i} \} \ to \ {{\ tilde {s}} _ {i} \}}$${\displaystyle {\tilde {s}}_{i}}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle {\tilde {s}}_{i}}$${\displaystyle \{J_{k}\}\to \{{\tilde {J}}_{k}\}}$

По какой-то причине большинство фундаментальных теорий физики, таких как квантовая электродинамика , квантовая хромодинамика и электрослабое взаимодействие, но не гравитация, можно точно перенормировать. Кроме того, большинство теорий в физике конденсированного состояния можно приблизительно перенормировать - от сверхпроводимости до турбулентности жидкости.

Изменение параметров осуществляется определенной бета-функцией:, которая, как говорят, индуцирует поток ренормгруппы (или поток РГ ) в -пространстве. Значения под потоком называют ходовыми муфтами .${\displaystyle \{{\tilde {J}}_{k}\}=\beta (\{J_{k}\})}$${\displaystyle J}$${\displaystyle J}$

Как было сказано в предыдущем разделе, наиболее важной информацией в потоке RG являются его фиксированные точки . Возможные макроскопические состояния системы в крупном масштабе задаются этим набором неподвижных точек. Если эти неподвижные точки соответствуют теории свободного поля, считается, что теория демонстрирует квантовую тривиальность , обладая тем, что называется полюсом Ландау , как в квантовой электродинамике. Для взаимодействия φ ⁴ Майкл Айзенман доказал, что эта теория действительно тривиальна для размерности пространства-времени D ≥ 5. ^[22] Для D = 4 тривиальность еще не доказана строго (ожидает недавнего представления в архив), но расчеты на решетке убедительно доказали это. Этот факт важен, поскольку квантовую тривиальность можно использовать для ограничения или даже предсказания таких параметров, как масса бозона Хиггса, в асимптотических сценариях безопасности . При исследовании решеточных теорий Хиггса появляются многочисленные неподвижные точки , но природа связанных с ними квантовых теорий поля остается открытым вопросом. ^[23]

Поскольку преобразования RG в таких системах выполняются с потерями (т. Е. Количество переменных уменьшается - см. В качестве примера в другом контексте сжатие данных с потерями ), для данного преобразования RG не требуется обратного. Таким образом, в таких системах с потерями ренормализационная группа фактически является полугруппой , поскольку отсутствие потерь подразумевает, что не существует уникального обратного для каждого элемента.

Соответствующие и нерелевантные операторы и классы универсальности [ править ]

Рассмотрим некоторую наблюдаемую A физической системы, претерпевающую преобразование РГ. Величина наблюдаемого по мере того, как масштаб длины системы изменяется от малого к большому, определяет важность наблюдаемого (-ых) для закона масштабирования:

Если его величина ...	тогда наблюдаемое ...
всегда увеличивается	соответствующий
всегда уменьшается	не имеющий отношения
Другой	маргинальный

Соответствующие наблюдаемым необходимо описать макроскопическое поведение системы; нерелевантные наблюдаемые не нужны. Предельные наблюдаемые могут или не должны приниматься во внимание. Замечательный общий факт заключается в том, что большинство наблюдаемых не имеют отношения к делу , т. Е. В макроскопической физике в большинстве систем доминируют лишь некоторые наблюдаемые .

Например, в микроскопической физике для описания системы, состоящей из одного моля атомов углерода-12, нам потребуется порядка 10 ²³ ( число Авогадро ) переменных, тогда как для описания ее как макроскопической системы (12 граммов углерода-12 ) нам нужно всего несколько.

До подхода Вильсона с РГ существовал поразительный эмпирический факт, который нужно было объяснить: совпадение критических показателей (т. Е. Показателей зависимости нескольких величин от пониженной температуры вблизи фазового перехода второго рода ) в очень разных явлениях, таких как магнитные системы , сверхтекучий переход ( лямбда-переход ), физика сплавов и т. д. Таким образом, в общем, термодинамические характеристики системы вблизи фазового перехода зависят только от небольшого числа переменных , таких как размерность и симметрия, но нечувствительны к деталям лежащих в основе микроскопические свойства системы.

Это совпадение критических показателей для якобы совершенно разных физических систем, называемое универсальностью , легко объясняется с помощью ренормализационной группы, демонстрируя, что различия в явлениях между отдельными мелкомасштабными компонентами определяются нерелевантными наблюдаемыми , в то время как релевантные наблюдаемые разделяются в общий. Следовательно, многие макроскопические явления могут быть сгруппированы в небольшой набор классов универсальности , определяемых общими наборами соответствующих наблюдаемых. ^[грамм]

Momentum space [ править ]

На практике ренормализационные группы бывают двух основных «разновидностей». Объясненная выше картина Каданова относится в основном к так называемой РГ реального пространства .

С другой стороны, Momentum-space RG имеет более долгую историю, несмотря на свою относительную тонкость. Его можно использовать для систем, в которых степени свободы могут быть выражены в терминах мод Фурье данного поля. Преобразование RG происходит путем интегрирования определенного набора мод с большим импульсом (с большим волновым числом). Поскольку большие волновые числа связаны с масштабами малой длины, РГ в импульсном пространстве приводит к по существу аналогичному крупнозернистому эффекту, как и в РГ в реальном пространстве.

РГ в импульсном пространстве обычно выполняется по разложению возмущений . Справедливость такого расширения основывается на фактической физике системы, близкой к физике системы со свободным полем . В этом случае можно вычислить наблюдаемые, суммируя главные члены разложения. Этот подход оказался успешным для многих теорий, включая большую часть физики элементарных частиц, но не работает для систем, физика которых очень далека от любой свободной системы, т. Е. Систем с сильными корреляциями.

В качестве примера физического смысла РГ в физике частиц рассмотрим обзор перенормировки заряда в квантовой электродинамике (КЭД). Предположим, у нас есть точечный положительный заряд определенного истинного (или голого) величина. Электромагнитное поле вокруг него имеет определенную энергию и, таким образом, может создавать некоторые виртуальные электронно-позитронные пары (например). Хотя виртуальные частицы аннигилируют очень быстро, в течение их короткой жизни электрон будет притягиваться зарядом, а позитрон будет отталкиваться. Поскольку это происходит равномерно повсюду вблизи точечного заряда, где его электрическое поле достаточно сильное, эти пары эффективно создают экран вокруг заряда, если смотреть издалека. Измеренная сила заряда будет зависеть от того, насколько близко наш измерительный зонд может приблизиться к точечному заряду, минуя большую часть экрана виртуальных частиц, чем ближе он становится. Отсюда зависимость некоторой константы связи (в данном случае электрического заряда) от масштаба расстояния .

Масштабы импульса и длины связаны обратно пропорционально соотношению де Бройля : чем выше масштаб энергии или импульса, который мы можем достичь, тем ниже масштаб длины мы можем исследовать и разрешить. Поэтому практикующие РГ с импульсным пространством иногда декларируют необходимость интегрировать высокие импульсы или высокую энергию из своих теорий.

Точные уравнения ренормгруппы [ править ]

Точная ренормгруппа уравнение ( Ерге ) является тот , который принимает нерелевантные муфты во внимание. Есть несколько составов.

Wilson Ерге является самым простым концептуально, но практически невозможно реализовать. Фурье преобразовывается в импульсное пространство после того, как Вик вращается в евклидово пространство . Настаивайте на жестком ограничении импульса , p ² ≤ Λ ^2, чтобы единственными степенями свободы были те, у которых импульс меньше Λ . Статсумма является

${\displaystyle Z=\int _{p^{2}\leq \Lambda ^{2}}{\mathcal {D}}\phi \exp \left[-S_{\Lambda }[\phi ]\right].}$

Для любого положительного Λ ', меньшего, чем Λ , определим S _Λ' (функционал над полевыми конфигурациями φ , преобразование Фурье которого имеет импульсный носитель в пределах p ² ≤ Λ ' ² ) как

${\displaystyle \exp \left(-S_{\Lambda '}[\phi ]\right)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{\Lambda '\leq p\leq \Lambda }{\mathcal {D}}\phi \exp \left[-S_{\Lambda }[\phi ]\right].}$

Очевидно,

${\displaystyle Z=\int _{p^{2}\leq {\Lambda '}^{2}}{\mathcal {D}}\phi \exp \left[-S_{\Lambda '}[\phi ]\right].}$

На самом деле это преобразование транзитивное . Если вы вычислите S _{Λ ′} из S _Λ, а затем вычислите S _{Λ ″} из S _{Λ ′} , это даст вам то же действие Вильсона, что и вычисление S _{Λ ″} непосредственно из S _Λ .

Полчински Ерге предполагает плавный УФ - регулятор среза . По сути, идея является улучшением по сравнению с Wilson ERGE. Вместо резкого отсечки импульса используется плавное отсечение. По существу, мы сильно подавляем вклады от импульсов больше Λ . Однако гладкость обрезания позволяет вывести функционально- дифференциальное уравнение в масштабе обрезания Λ . Как и в подходе Вильсона, у нас есть свой функционал действия для каждой шкалы энергии отсечки Λ . Предполагается, что каждое из этих действий описывает одну и ту же модель, а это означает, что их функционалы разбиения должны точно совпадать.

Другими словами (для действительного скалярного поля; обобщения на другие поля очевидны),

${\displaystyle Z_{\Lambda }[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left(-S_{\Lambda }[\phi ]+J\cdot \phi \right)=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot R_{\Lambda }\cdot \phi -S_{{\text{int}}\,\Lambda }[\phi ]+J\cdot \phi \right)}$

и Z _Λ действительно не зависит от Λ ! Здесь мы использовали сокращенные обозначения де Витта . Мы также разделили затравочное действие S _Λ на квадратичную кинетическую часть и взаимодействующую часть S _{int Λ} . Этот раскол определенно не чистый. «Взаимодействующая» часть также может содержать квадратичные кинетические члены. На самом деле, если есть какая-либо перенормировка волновой функции , она наверняка будет. Это можно несколько уменьшить, введя масштабирование полей. R _Λ является функцией импульса p, а второй член в экспоненте равен

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\tilde {\phi }}^{*}(p)R_{\Lambda }(p){\tilde {\phi }}(p)}$

при расширении.

Когда , R _Λ ( р ) / р ² является по существу 1. Когда , R _Λ ( р ) / р ² становится очень очень огромный и стремится к бесконечности. R _Λ ( p ) / p ² всегда больше или равно 1 и является гладким. В основном это не влияет на флуктуации с импульсами, меньшими, чем обрезание Λ, но сильно подавляет вклады от флуктуаций с импульсами, большими, чем обрезание. Это, очевидно, огромное улучшение по сравнению с Уилсоном.${\displaystyle p\ll \Lambda }$${\displaystyle p\gg \Lambda }$

Условие, что

${\displaystyle {\frac {d}{d\Lambda }}Z_{\Lambda }=0}$

может быть удовлетворен (но не только)

${\displaystyle {\frac {d}{d\Lambda }}S_{{\text{int}}\,\Lambda }={\frac {1}{2}}{\frac {\delta S_{{\text{int}}\,\Lambda }}{\delta \phi }}\cdot \left({\frac {d}{d\Lambda }}R_{\Lambda }^{-1}\right)\cdot {\frac {\delta S_{{\text{int}}\,\Lambda }}{\delta \phi }}-{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[{\frac {\delta ^{2}S_{{\text{int}}\,\Lambda }}{\delta \phi \,\delta \phi }}\cdot R_{\Lambda }^{-1}\right].}$

Жак Дистлер без доказательств утверждал, что этот ERGE непертурбативно неверен . ^[24]

Эффективный средний Ерге действия включает в себя плавный регулятор ИК отсечки. Идея состоит в том, чтобы учесть все флуктуации вплоть до ИК шкалы k . Эффективное среднее действие будет точным для флуктуации с импульсами больше , чем к . При уменьшении параметра k эффективное среднее действие приближается к эффективному действию, которое включает в себя все квантовые и классические флуктуации. Напротив, для больших k эффективное среднее действие близко к «голому действию». Таким образом, эффективное среднее действие интерполируется между «голым действием» и эффективным действием .

Для реального скалярного поля добавляется ИК-обрезание

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\tilde {\phi }}^{*}(p)R_{k}(p){\tilde {\phi }}(p)}$

на действия S , где R _K является функцией как к и р такие , что для , R _к (р) очень маленький и приближается к 0 и , . R _k одновременно гладкий и неотрицательный. Его большое значение для малых импульсов приводит к подавлению их вклада в статистическую сумму, что фактически то же самое, что пренебрежение крупномасштабными флуктуациями.${\displaystyle p\gg k}$${\displaystyle p\ll k}$${\displaystyle R_{k}(p)\gtrsim k^{2}}$

Можно использовать сжатые обозначения ДеВитта

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\phi \cdot R_{k}\cdot \phi }$

для этого IR регулятора.

Так,

${\displaystyle \exp \left(W_{k}[J]\right)=Z_{k}[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left(-S[\phi ]-{\frac {1}{2}}\phi \cdot R_{k}\cdot \phi +J\cdot \phi \right)}$

где J - поле источника . Преобразование Лежандра W _k обычно дает эффективное действие . Однако действие, с которого мы начали, на самом деле S [φ] +1/2 φ⋅R _k ⋅φ, поэтому, чтобы получить эффективное среднее действие, мы вычитаем 1/2 φ⋅R _k ⋅φ. Другими словами,

${\displaystyle \phi [J;k]={\frac {\delta W_{k}}{\delta J}}[J]}$

можно инвертировать, чтобы получить J _k [φ], и мы определим эффективное среднее действие Γ _k как

${\displaystyle \Gamma _{k}[\phi ]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(-W\left[J_{k}[\phi ]\right]+J_{k}[\phi ]\cdot \phi \right)-{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot R_{k}\cdot \phi .}$

Следовательно,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dk}}\Gamma _{k}[\phi ]&=-{\frac {d}{dk}}W_{k}[J_{k}[\phi ]]-{\frac {\delta W_{k}}{\delta J}}\cdot {\frac {d}{dk}}J_{k}[\phi ]+{\frac {d}{dk}}J_{k}[\phi ]\cdot \phi -{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\cdot \phi \\&=-{\frac {d}{dk}}W_{k}[J_{k}[\phi ]]-{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\cdot \phi \\&={\tfrac {1}{2}}\left\langle \phi \cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\cdot \phi \right\rangle _{J_{k}[\phi ];k}-{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\cdot \phi \\&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\left({\frac {\delta J_{k}}{\delta \phi }}\right)^{-1}\cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\right]\\&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\left({\frac {\delta ^{2}\Gamma _{k}}{\delta \phi \delta \phi }}+R_{k}\right)^{-1}\cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\right]\end{aligned}}}$

таким образом

${\displaystyle {\frac {d}{dk}}\Gamma _{k}[\phi ]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\left({\frac {\delta ^{2}\Gamma _{k}}{\delta \phi \delta \phi }}+R_{k}\right)^{-1}\cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\right]}$

это ERGE, которое также известно как уравнение Веттериха . Как показал Моррис ^[25], эффективное действие Γ _k на самом деле просто связано с эффективным действием S _int Полчинского через соотношение преобразования Лежандра.

Поскольку существует бесконечно много вариантов R _k , существует также бесконечно много различных интерполирующих ERGE. Обобщение на другие поля, такие как спинорные поля, несложно.

Хотя ERGE Полчинского и ERGE эффективного среднего действия выглядят одинаково, они основаны на очень разных философиях. В ERGE с эффективным средним действием чистое действие остается неизменным (и шкала отсечки УФ-излучения - если она есть - также остается неизменной), но вклады IR в эффективное действие подавляются, тогда как в ERGE Полчинского QFT фиксируется. раз и навсегда, за исключением «голого действия», варьируется на разных энергетических шкалах, чтобы воспроизвести заранее заданную модель. Версия Полчинского, безусловно, намного ближе по духу к идее Вильсона. Обратите внимание, что в одном используются «простые действия», в то время как в другом используются эффективные (средние) действия.

Ренормализационная группа улучшение эффективного потенциала [ править ]

Ренормализационная группа также может использоваться для вычисления эффективных потенциалов на порядках выше, чем 1-петлевой. Такой подход особенно интересен для вычисления поправок к механизму Коулмана-Вайнберга ^[26] . Для этого необходимо записать уравнение ренормгруппы через эффективный потенциал. К корпусу модели:${\displaystyle \phi ^{4}}$

${\displaystyle {\Bigr (}\mu {\frac {\partial }{\partial \mu }}+\beta _{\lambda }{\frac {\partial }{\partial \lambda }}+\phi \gamma _{\phi }{\frac {\partial }{\partial \phi }}{\Bigr )}V_{eff}=0}$.

Чтобы определить эффективный потенциал, полезно записать как${\displaystyle V_{eff}}$

${\displaystyle V_{eff}={\frac {1}{4}}\phi ^{4}S_{eff}{\big (}\lambda ,L(\phi ){\big )},}$

где - степенной ряд в ,${\displaystyle S_{eff}}$${\displaystyle L(\phi )=\log {\Bigr (}{\frac {\phi ^{2}}{\mu ^{2}}}{\Bigr )}}$

${\displaystyle S_{eff}=A+BL+CL^{2}+DL^{3}+...}$

Используя приведенный выше анзац, можно решить уравнение ренормгруппы пертурбативно и найти эффективный потенциал до желаемого порядка. Педагогическое объяснение этой техники приводится в ссылке. ^[27]

См. Также [ править ]

Замечания [ править ]

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

Исторические ссылки [ править ]

• Фишер, Майкл (1974). «Ренормализационная группа в теории критического поведения». Ред. Мод. Phys . 46 (4): 597. Bibcode : 1974RvMP ... 46..597F . DOI : 10.1103 / RevModPhys.46.597 .

Педагогические и исторические обзоры [ править ]

• Уайт, SR (1992). «Формулировка матрицы плотности для квантовых ренормализационных групп». Phys. Rev. Lett . 69 (19): 2863–2866. Bibcode : 1992PhRvL..69.2863W . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.69.2863 . PMID  10046608 . Самый успешный вариационный метод RG.
• Голденфельд, Н. (1993). Лекции о фазовых переходах и ренормализационной группе . Эддисон-Уэсли.
• Ширков, Дмитрий В. (1999). «Эволюция ренормгруппы Боголюбова». arXiv : hep-th / 9909024 . Bibcode : 1999hep.th .... 9024S . Cite journal requires |journal= (help) Введение в математику и исторический обзор с акцентом на теорию групп и ее применение в физике высоких энергий.
• Деламот, Б. (февраль 2004 г.). «Намек на перенормировку» . Американский журнал физики . 72 (2): 170–184. arXiv : hep-th / 0212049 . Bibcode : 2004AmJPh..72..170D . DOI : 10.1119 / 1.1624112 . S2CID  2506712 .Легкое введение в ренормализацию и ренормализационную группу. Для неподписчиков см. Delamotte , Bertrand (2004). «Намек на перенормировку». Американский журнал физики . 72 (2): 170–184. arXiv : hep-th / 0212049 . Bibcode : 2004AmJPh..72..170D . DOI : 10.1119 / 1.1624112 . S2CID 2506712 . 
• Марис, HJ; Каданов, Л.П. (июнь 1978 г.). «Обучение ренормализационной группе» . Американский журнал физики . 46 (6): 652–657. Bibcode : 1978AmJPh..46..652M . DOI : 10.1119 / 1.11224 . S2CID  123119591 . Легкое введение в ренормализационную группу, применяемую в физике конденсированного состояния.
• Хуанг, К. (2013). «Критическая история перенормировки». Международный журнал современной физики А . 28 (29): 1330050. arXiv : 1310.5533 . Bibcode : 2013IJMPA..2830050H . DOI : 10.1142 / S0217751X13300500 .
• Ширков, Д.В. (31 августа 2001 г.). «Пятьдесят лет ренормгруппе» . ЦЕРН Курьер . Проверено 12 ноября 2008 года .
• Bagnuls, C .; Бервилье, К. (2001). «Точные уравнения ренормгруппы: вводный обзор». Отчеты по физике . 348 (1–2): 91–157. arXiv : hep-th / 0002034 . Bibcode : 2001PhR ... 348 ... 91B . DOI : 10.1016 / S0370-1573 (00) 00137-X . S2CID  18274894 .

Книги [ править ]

• Т.Д. Ли ; Физика элементарных частиц и введение в теорию поля , академические издательства Харвуда, 1981, ISBN 3-7186-0033-1 . Содержит краткое, простое и четкое изложение структуры группы, в открытии которой он также принимал участие, как признается в статье Гелл-Манна и Лоу. 
• Л. Ц. Аджемян, Н.В. Антонов и А.Н. Васильев; Теоретико-полевая ренормализационная группа в полностью развитой турбулентности ; Гордон и Брич, 1999. ISBN 90-5699-145-0 . 
• Васильев АН; Теоретико-полевая ренормализационная группа в теории критического поведения и стохастической динамике ; Chapman & Hall / CRC, 2004. ISBN 9780415310024 (Автономное рассмотрение приложений ренормгруппы с полными вычислениями); 
• Зинн-Джастин, Жан (2002). Квантовая теория поля и критические явления , Oxford, Clarendon Press (2002), ISBN 0-19-850923-5 (исключительно солидный и подробный трактат по обеим темам); 
• Зинн-Джастин, Жан : Ренормализация и ренормализационная группа: от открытия УФ-расходимостей до концепции эффективных теорий поля , в: de Witt-Morette C., Zuber J.-B. (eds), Proceedings of the NATO ASI on Quantum Field Theory: Perspective and Prospective , 15–26 июня 1998 г., Les Houches, France, Kluwer Academic Publishers, NATO ASI Series C 530, 375-388 (1999) [ISBN]. Полный текст доступен в PostScript .
• Kleinert, H. и Schulte Frohlinde, V; Критические свойства φ ⁴ -теорий , World Scientific (Сингапур, 2001) ; Мягкая обложка ISBN 981-02-4658-7 . Полный текст доступен в формате PDF .