Масштабная инвариантность

Процесс Wiener масштабно-инвариантный.

В физике , математике и статистике , масштабная инвариантность является особенностью объектов или законов , которые не изменяются , если масштабы длины, энергии или других переменных, умножаются на общий множитель, и , таким образом , представляют собой универсальный.

Технический термин для этого преобразования - дилатация (также известная как дилатация ), и дилатация также может быть частью большей конформной симметрии .

В математике масштабная инвариантность обычно относится к инвариантности отдельных функций или кривых . Тесно связанное понятие - самоподобие , когда функция или кривая инвариантны относительно дискретного подмножества растяжений. Также возможно для распределения вероятностей по случайным процессам для отображения такого масштабной инвариантности или самоподобия.
В классической теории поля масштабная инвариантность обычно применяется к инвариантности всей теории относительно растяжений. Такие теории обычно описывают классические физические процессы без характерного масштаба длины.
В квантовой теории поля масштабная инвариантность интерпретируется с точки зрения физики элементарных частиц . В масштабно-инвариантной теории сила взаимодействия частиц не зависит от энергии вовлеченных частиц.
В статистической механике масштабная инвариантность - это особенность фазовых переходов . Ключевое наблюдение состоит в том, что вблизи фазового перехода или критической точки флуктуации происходят на всех масштабах длины, и, следовательно, следует искать явно масштабно-инвариантную теорию для описания явлений. Такие теории являются масштабно-инвариантными статистическими теориями поля и формально очень похожи на масштабно-инвариантные квантовые теории поля.
Универсальность - это наблюдение, что самые разные микроскопические системы могут демонстрировать одинаковое поведение при фазовом переходе. Таким образом, фазовые переходы во многих различных системах могут быть описаны с помощью одной и той же теории масштабной инвариантности.
В общем, безразмерные величины не зависят от масштаба. Аналогичное понятие в статистике - это стандартизированные моменты , которые являются масштабно-инвариантной статистикой переменной, в то время как нестандартизированные моменты - нет.

Масштабно-инвариантные кривые и самоподобие [ править ]

В математике можно рассматривать свойства масштабирования функции или кривой $f (x)$ при изменении масштабирования переменной $x$ . То есть, нас интересует форма $f (λx)$ для некоторого масштабного коэффициента $λ$ , который можно принять за изменение масштаба или размера. Требование инвариантности $f (x)$ относительно всех перекалибровок обычно принимается равным

{\ Displaystyle е (\ лямбда х) = \ лямбда ^ {\ дельта} е (х)}

при некотором выборе показателя $Δ$ и всех растяжениях $λ$ . Это эквивалентно тому, что $f$ - однородная функция степени $Δ$ .

Примерами масштабно-инвариантных функций являются одночлены , для которых $Δ =$ $n$ , в которой очевидно ${\ Displaystyle е (х) = х ^ {п}}$

{\ displaystyle f (\ lambda x) = (\ lambda x) ^ {n} = \ lambda ^ {n} f (x) ~.}

Примером масштабно-инвариантной кривой является логарифмическая спираль , вид кривой, которая часто встречается в природе. В полярных координатах $(r, θ)$ спираль можно записать как

{\ displaystyle \ theta = {\ frac {1} {b}} \ ln (r / a) ~.}

С учетом поворотов кривой она инвариантна относительно всех перекалибровок $λ$ ; то есть $θ (λr)$ идентично повернутой версии $θ (r)$ .

Проективная геометрия [ править ]

Идея масштабной инвариантности монома обобщается в более высоких измерениях на идею однородного многочлена и, в более общем смысле, на однородную функцию . Однородные функции являются естественными обитателями проективного пространства , а однородные многочлены изучаются как проективные многообразия в проективной геометрии . Проективная геометрия - особенно богатая область математики; в самых абстрактных формах, геометрии схем , он связан с различными темами теории струн .

Фракталы [ править ]

Коха кривой является самоподобным .

Иногда говорят, что фракталы масштабно-инвариантны, хотя, точнее, следует сказать, что они самоподобны . Фрактал равен самому себе, как правило, только для дискретного набора значений $λ$ , и даже в этом случае, возможно, придется применить сдвиг и поворот, чтобы сопоставить фрактал с самим собой.

Так, например, кривая Коха масштабируется с $∆ = 1$ , но масштабирование выполняется только для значений $λ = 1/3 n$ для целого числа $n$ . Кроме того, кривая Коха масштабируется не только в начале координат, но, в определенном смысле, «повсюду»: ее миниатюрные копии можно найти по всей кривой.

Некоторые фракталы могут иметь одновременно несколько масштабных коэффициентов; такое масштабирование изучается с помощью мультифрактального анализа .

Периодические внешние и внутренние лучи - инвариантные кривые.

Масштабная инвариантность в случайных процессах [ править ]

Если $P (f)$ - средняя ожидаемая мощность на частоте $f$ , то шум масштабируется как

{\ Displaystyle P (f) = \ lambda ^ {- \ Delta} P (\ lambda f)}

с $Δ$ = 0 для белого шума , $Δ$ = −1 для розового шума и $Δ$ = −2 для броуновского шума (и, в более общем смысле, броуновского движения ).

Точнее, масштабирование в стохастических системах связано с вероятностью выбора конкретной конфигурации из множества всех возможных случайных конфигураций. Здесь требуется больше контекста. Вероятность и энтропия определенно связаны с выбором конкретной конфигурации, но не очевидно, как масштабная инвариантность связана с этим. Эта вероятность определяется распределением вероятностей .

Примеры масштабно-инвариантных распределений являются распределение Парето и Zipfian распределение .

Масштабно-инвариантные распределения Твиди [ править ]

Распределения Твиди - это частный случай моделей экспоненциальной дисперсии , класса статистических моделей, используемых для описания распределений ошибок для обобщенной линейной модели и характеризующихся замыканием при аддитивной и воспроизводящей свертке, а также при масштабном преобразовании.^[1] Они включают ряд общих распределений: нормальное распределение , распределение Пуассона и гамма-распределение , а также более необычные распределения, такие как составное гамма-распределение Пуассона, положительные стабильные распределения и чрезвычайно устойчивые распределения. Вследствие присущей им масштабной инвариантности Твидислучайные величины Y демонстрируют вариацию var ( Y ) для обозначения степенного закона E ( Y ):

{\ displaystyle {\ text {var}} \, (Y) = a [{\ text {E}} \, (Y)] ^ {p}}

,

где a и p - положительные постоянные. Эта разница в средней степенному закону , как известно в физической литературе как масштабирование флуктуации , ^[2] и в экологии литературе как закона Тейлора . ^[3]

Случайные последовательности, управляемые распределением Твиди и оцениваемые методом расширения интервалов, демонстрируют двояковую связь между дисперсией к среднему степенному закону и степенным законом автокорреляции . Теорема Винера-Хинчина также подразумевает, что для любой последовательности, которая демонстрирует отклонение от среднего степенного закона в этих условиях, также будет проявляться 1 / f- шум . ^[4]

Теорема Твиди о сходимости дает гипотетическое объяснение широкого проявления масштабирования флуктуаций и шума 1 / f . ^[5] По сути, требуется, чтобы любая модель экспоненциальной дисперсии, которая асимптотически демонстрирует отклонение от среднего степенного закона, должна выражать функцию дисперсии, которая входит в область притяжения модели Твиди. Почти все функции распределения с конечными кумулянтными производящими функциями квалифицируются как модели экспоненциальной дисперсии, и большинство моделей экспоненциальной дисперсии демонстрируют функции дисперсии этой формы. Следовательно, многие распределения вероятностей имеют функции дисперсии, которые выражают это асимптотическое поведение., и распределения Твиди становятся центром конвергенции для широкого диапазона типов данных. ^[4]

Подобно тому, как центральная предельная теорема требует, чтобы определенные виды случайных величин имели в качестве фокуса сходимости гауссовское распределение и выражали белый шум , теорема Твиди требует, чтобы определенные негауссовские случайные величины выражали 1 / f- шум и масштабирование флуктуаций. ^[4]

Космология [ править ]

В физической космологии спектр мощности пространственного распределения космического микроволнового фона близок к масштабно-инвариантной функции. Хотя в математике это означает , что спектр является степенным, в космологии термин «масштабно-инвариантный» указует на то, что амплитуда, $Р (к)$ , из примордиальных колебаний в зависимости от волнового числа , $к$ , примерно постоянен, т.е. плоский спектр. Этот образец согласуется с предположением о космической инфляции .

Масштабная инвариантность в классической теории поля [ править ]

Классическая теория поля обычно описывается полем или набором полей φ , которые зависят от координат x . Допустимые конфигурации поля затем определяются путем решения дифференциальных уравнений для φ , и эти уравнения известны как уравнения поля .

Чтобы теория была масштабно-инвариантной, ее уравнения поля должны быть инвариантными при изменении масштаба координат в сочетании с некоторым заданным масштабированием полей,

{\ displaystyle x \ rightarrow \ lambda x ~,}

{\ displaystyle \ varphi \ rightarrow \ lambda ^ {- \ Delta} \ varphi ~.}

Параметр Δ известен как масштабная размерность поля, и его значение зависит от рассматриваемой теории. Масштабная инвариантность обычно сохраняется при условии, что в теории не фигурирует фиксированный масштаб длины. И наоборот, наличие фиксированного масштаба длины указывает на то, что теория не является масштабно-инвариантной.

Следствием масштабной инвариантности является то, что при решении масштабно-инвариантного уравнения поля мы можем автоматически находить другие решения, соответствующим образом изменяя масштаб как координат, так и полей. С технической точки зрения, для данного решения φ ( x ) всегда есть другие решения вида

{\ displaystyle \ lambda ^ {\ Delta} \ varphi (\ lambda x)}

.

Масштабная инвариантность конфигураций полей [ править ]

Чтобы конкретная конфигурация поля, φ ( x ), была масштабно-инвариантной, мы требуем, чтобы

{\ displaystyle \ varphi (x) = \ lambda ^ {- \ Delta} \ varphi (\ lambda x)}

где Δ - снова масштабная размерность поля.

Отметим, что это условие довольно ограничительное. В общем случае решения даже масштабно-инвариантных уравнений поля не будут масштабно-инвариантными, и в таких случаях говорят, что симметрия спонтанно нарушается .

Классический электромагнетизм [ править ]

Примером масштабно-инвариантной классической теории поля является электромагнетизм без зарядов и токов. Поля - это электрическое и магнитное поля, E ( x , t ) и B ( x , t ), а их уравнения поля - это уравнения Максвелла .

Без зарядов и токов эти уравнения поля принимают форму волновых уравнений

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {E} = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {E}} {\ partial t ^ {2}}}}

\nabla ^{2}\mathbf {B} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}

где c - скорость света.

Эти уравнения поля инвариантны относительно преобразования

x\rightarrow \lambda x,

t\rightarrow \lambda t.

Более того, учитывая решения уравнений Максвелла, E ( x , t ) и B ( x , t ), верно, что E (λ x , λ t ) и B (λ x , λ t ) также являются решениями.

Безмассовая скалярная теория поля [ править ]

Другой пример масштабно-инвариантной классической теории поля - безмассовое скалярное поле (обратите внимание, что название скаляр не связано с масштабной инвариантностью). Скалярное поле $φ (x, t)$ является функцией набора пространственных переменных x и временной переменной $t$ .

Рассмотрим сначала линейную теорию. Как и приведенные выше уравнения электромагнитного поля, уравнение движения для этой теории также является волновым уравнением,

{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\varphi =0,

и инвариантен относительно преобразования

x\rightarrow \lambda x,

t\rightarrow \lambda t.

Название безмассовый относится к отсутствию члена в уравнении поля. Такой член часто называют "массовым", и он нарушил бы инвариантность относительно вышеуказанного преобразования. В релятивистских теориях поля масштаб массы $m$ физически эквивалентен фиксированному масштабу длины через $\propto m^{2}\varphi$

L={\frac {\hbar }{mc}},

и поэтому неудивительно, что теория массивного скалярного поля не масштабно-инвариантна.

φ ⁴ теория [ править ]

Уравнения поля в примерах выше, все линейные в области, которая привела к тому , что размер масштабирования , $Δ$ , не был столь важен. Тем не менее, один , как правило , требует, чтобы скалярное поле действия является безразмерным, и это фиксирует масштабирование измерений в $ф$ . Особенно,

\Delta ={\frac {D-2}{2}},

где $D$ - совокупное количество пространственных и временных измерений.

Учитывая эту масштабную размерность для $φ$ , существуют некоторые нелинейные модификации безмассовой скалярной теории поля, которые также масштабно-инвариантны. Одним из примеров является безмассовая теория φ 4 для $D$ = 4. Уравнение поля:

{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\varphi +g\varphi ^{3}=0.

(Обратите внимание, что название $φ$ ⁴ происходит от формы лагранжиана , который содержит четвертую степень $φ$ .)

Когда $D$ = 4 (например, три пространственных измерения и одно измерение времени), размерность масштабирования скалярного поля равна $Δ$ = 1. Тогда уравнение поля инвариантно относительно преобразования

x\rightarrow \lambda x,

t\rightarrow \lambda t,

\varphi (x)\rightarrow \lambda ^{-1}\varphi (x).

Ключевым моментом является то, что параметр $g$ должен быть безразмерным, в противном случае в теорию вводится фиксированный масштаб длины: для теории $φ$ ⁴ это имеет место только в случае $D$ = 4. Отметим, что при этих преобразованиях аргумент функции $φ$ не меняется.

Масштабная инвариантность в квантовой теории поля [ править ]

Масштабная зависимость квантовой теории поля (QFT) характеризуется тем, как ее параметры связи зависят от масштаба энергии данного физического процесса. Эта энергетическая зависимость описывается ренормализационной группой и закодирована в бета-функциях теории.

Для того чтобы КТП была масштабно-инвариантной, ее параметры связи должны быть независимыми от масштаба энергии, на что указывает исчезновение бета-функций теории. Такие теории также известны как неподвижные точки соответствующего потока ренормгруппы. ^[6]

Квантовая электродинамика [ править ]

Простым примером масштабно-инвариантной КТП является квантованное электромагнитное поле без заряженных частиц. Эта теория фактически не имеет параметров связи (поскольку фотоны безмассовые и невзаимодействующие) и поэтому масштабно-инвариантна, как и классическая теория.

Однако в природе электромагнитное поле связано с заряженными частицами, такими как электроны . КТП, описывающая взаимодействия фотонов и заряженных частиц, является квантовой электродинамикой (КЭД), и эта теория не является масштабно-инвариантной. Мы можем видеть это по бета-функции QED . Это говорит нам о том, что электрический заряд (который является параметром связи в теории) увеличивается с увеличением энергии. Таким образом, в то время как квантованное электромагнитное поле без заряженных частиц является масштабно-инвариантной, что и требовалось доказать это не масштабно-инвариантными.

Безмассовая скалярная теория поля [ править ]

Свободная безмассовая квантованная скалярная теория поля не имеет параметров связи. Поэтому, как и классический вариант, он масштабно инвариантен. На языке ренормгруппы эта теория известна как гауссовская неподвижная точка .

Однако даже несмотря на то, что классическая безмассовая теория φ ⁴ масштабно-инвариантна в D = 4, квантованная версия не масштабно-инвариантна. Мы можем видеть это из бета-функции для параметра связи g .

Даже несмотря на то, что квантованный безмассовый φ ⁴ не является масштабно-инвариантным, действительно существуют масштабно-инвариантные квантованные скалярные теории поля, кроме гауссовой фиксированной точки. Одним из примеров является фиксированная точка Вильсона-Фишера , приведенная ниже.

Конформная теория поля [ править ]

Масштабно-инвариантные КТП почти всегда инвариантны относительно полной конформной симметрии , и изучение таких КТП является конформной теорией поля (КТП). Операторы в ПФТЕ имеют четко определенный размер масштабирования , аналогичные размерности масштабирования , Д , классическое поле обсуждалось выше. Однако масштабные размерности операторов в CFT обычно отличаются от размерностей полей в соответствующей классической теории. Дополнительные вклады, появляющиеся в CFT, известны как аномальные масштабные размеры .

Масштабные и конформные аномалии [ править ]

Приведенный выше пример теории φ ⁴ демонстрирует, что параметры связи квантовой теории поля могут зависеть от масштаба, даже если соответствующая классическая теория поля является масштабно-инвариантной (или конформно-инвариантной). В этом случае классическая масштабная (или конформная) инвариантность называется аномальной . Классическая масштабно-инвариантная теория поля, в которой масштабная инвариантность нарушается квантовыми эффектами, обеспечивает объяснение почти экспоненциального расширения ранней Вселенной, называемого космической инфляцией , если эту теорию можно изучать с помощью теории возмущений . ^[7]

Фазовые переходы [ править ]

В статистической механике , когда система претерпевает фазовый переход , ее флуктуации описываются масштабно-инвариантной статистической теорией поля . Для системы, находящейся в равновесии (т.е. не зависящей от времени) в $D-$ пространственных измерениях, соответствующая статистическая теория поля формально подобна $D-$ мерной CFT. Масштабные размерности в таких задачах обычно называют критическими показателями , и в принципе можно вычислить эти показатели в соответствующем CFT.

Модель Изинга [ править ]

Примером, объединяющим многие идеи в этой статье, является фазовый переход модели Изинга , простой модели ферромагнитных веществ. Это модель статистической механики, которая также имеет описание в терминах конформной теории поля. Система состоит из массива узлов решетки, которые образуют $D$ -мерную периодическую решетку. С каждым узлом решетки связан магнитный момент или спин , и этот спин может принимать значение +1 или -1. (Эти состояния также называются вверх и вниз соответственно.)

Ключевым моментом является то, что модель Изинга имеет спин-спиновое взаимодействие, что делает энергетически выгодным выравнивание двух соседних спинов. С другой стороны, тепловые флуктуации обычно вносят случайность в выравнивание спинов. При достижении некоторой критической температуры, $Т с$ , спонтанная намагниченность называется произойти. Это означает, что ниже $T c$ спин-спиновое взаимодействие начнет преобладать, и будет некоторое общее выравнивание спинов в одном из двух направлений.

Примером физических величин, которые нужно вычислить при этой критической температуре, является корреляция между спинами, разделенными расстоянием $r$ . Это имеет общее поведение:

G(r)\propto {\frac {1}{r^{D-2+\eta }}},

для некоторого конкретного значения , которое является примером критического показателя. $\eta$

Описание ЦФТ [ править ]

Флуктуации при температуре $T c$ масштабно-инвариантны, поэтому ожидается, что модель Изинга при этом фазовом переходе будет описываться масштабно-инвариантной статистической теорией поля. Фактически, эта теория является фиксированной точкой Вильсона-Фишера , конкретной масштабно-инвариантной скалярной теорией поля .

В этом контексте $G (r)$ понимается как корреляционная функция скалярных полей,

\langle \phi (0)\phi (r)\rangle \propto {\frac {1}{r^{D-2+\eta }}}.

Теперь мы можем объединить ряд уже рассмотренных идей.

Из сказанного выше видно, что критический показатель $η$ для этого фазового перехода также является аномальной размерностью . Это потому, что классическая размерность скалярного поля

\Delta ={\frac {D-2}{2}}

изменен, чтобы стать

\Delta ={\frac {D-2+\eta }{2}},

где $D$ - число измерений решетки модели Изинга.

Таким образом, эта аномальная размерность в конформной теории поля совпадает с конкретным критическим показателем фазового перехода модели Изинга.

Обратите внимание, что для размерности $D 4- ε$ , $η$ можно приблизительно вычислить с помощью эпсилон-разложения , и можно найти, что

\eta ={\frac {\epsilon ^{2}}{54}}+O(\epsilon ^{3})

.

В физически интересном случае трех пространственных измерений $ε$ = 1, и поэтому это разложение не является строго надежным. Однако полуколичественный прогноз состоит в том, что $η$ численно мала в трех измерениях.

С другой стороны, в двумерном случае модель Изинга точно разрешима. В частности, это эквивалентно одной из минимальных моделей , семейству хорошо изученных CFT, и можно точно вычислить $η$ (и другие критические показатели),

\eta _{_{D=2}}={\frac {1}{4}}

.

Эволюция Шрамма – Лёвнера [ править ]

Аномальные размерности в некоторых двумерных CFT могут быть связаны с типичными фрактальными размерностями случайных блужданий, где случайные блуждания определяются посредством эволюции Шрамма – Лёвнера (SLE). Как мы видели выше, КТП описывают физику фазовых переходов, и поэтому можно связать критические показатели определенных фазовых переходов с этими фрактальными размерностями. Примеры включают двумерную критическую модель Изинга и более общую двумерную критическую модель Поттса . Относительно других 2 d CFTs к SLE является активной областью исследований.

Универсальность [ править ]

Явление, известное как универсальность , наблюдается во многих физических системах. Он выражает идею о том, что различная микроскопическая физика может вызывать одно и то же масштабное поведение при фазовом переходе. Канонический пример универсальности включает следующие две системы:

Модель Изинга фазового перехода, описанного выше.
Переход жидкость - пар в классических жидкостях.

Хотя микроскопическая физика этих двух систем совершенно различна, их критические показатели оказываются одинаковыми. Более того, эти показатели можно вычислить, используя ту же статистическую теорию поля. Ключевое наблюдение состоит в том, что при фазовом переходе или критической точке флуктуации происходят на всех масштабах длины, и поэтому для описания этого явления следует искать масштабно-инвариантную статистическую теорию поля. В некотором смысле универсальность - это наблюдение, что таких масштабно-инвариантных теорий относительно мало.

Набор различных микроскопических теорий, описываемых одной и той же масштабно-инвариантной теорией, известен как класс универсальности . Другими примерами систем, принадлежащих к классу универсальности, являются:

Лавины в кучах песка. Вероятность схода лавины пропорциональна размеру лавины, причем лавины наблюдаются во всех масштабах.
Частота сбоев сети в Интернете в зависимости от размера и продолжительности.
Частота цитирования журнальных статей, учитываемая в сети всех цитирований среди всех статей, как функция количества цитирований в данной статье. ^{[ необходима цитата ]}
Образование и распространение трещин и разрывов в материалах от стали до камня и бумаги. Вариации направления разрыва или шероховатость изломанной поверхности пропорциональны шкале размеров по степенному закону.
Электрический пробой из диэлектриков , которые напоминают трещины и слезы.
Перколяции жидкостей через неупорядоченные среды, такие как нефть через трещиноватые горные породы, или воду через фильтровальную бумагу, например, в хроматографии . Масштабирование по степенному закону связывает скорость потока с распределением трещин.
Диффузии из молекул в растворе , и явление ограниченной диффузии агрегации .
Распределение пород разных размеров в смеси заполнителей, которая встряхивается (под действием силы тяжести на породы).

Ключевое наблюдение заключается в том, что для всех этих различных систем поведение напоминает фазовый переход , и что для их описания можно применить язык статистической механики и масштабно-инвариантной статистической теории поля .

Другие примеры масштабной инвариантности [ править ]

Механика ньютоновской жидкости без приложенных сил [ править ]

При определенных обстоятельствах механика жидкости является масштабно-инвариантной классической теорией поля. Поля скорость потока текучей среды, плотность текучей среды, и давление текучей среды, . Эти поля должны удовлетворять как уравнению Навье-Стокса и уравнение непрерывности . Для ньютоновской жидкости они принимают соответствующие формы $\mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)$ $\rho (\mathbf {x} ,t)$ $P(\mathbf {x} ,t)$

\rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\rho \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =-\nabla P+\mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {u} +{\frac {1}{3}}\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\right)

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)=0

где - динамическая вязкость . $\mu$

Чтобы вывести масштабную инвариантность этих уравнений, мы задаем уравнение состояния , связывающее давление жидкости с ее плотностью. Уравнение состояния зависит от типа жидкости и условий, которым она подвергается. Например, мы рассматриваем изотермический идеальный газ , для которого выполняется

P=c_{s}^{2}\rho ,

где - скорость звука в жидкости. При данном уравнении состояния Навье – Стокса и уравнение неразрывности инвариантны относительно преобразований $c_{s}$

x\rightarrow \lambda x,

t\rightarrow \lambda ^{2}t,

\rho \rightarrow \lambda ^{-1}\rho ,

\mathbf {u} \rightarrow \mathbf {u} .

Учитывая решения и , мы автоматически получаем это, а также решения. $\mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)$ $\rho (\mathbf {x} ,t)$ $\lambda \mathbf {u} (\lambda \mathbf {x} ,\lambda ^{2}t)$ $\lambda \rho (\lambda \mathbf {x} ,\lambda ^{2}t)$

Компьютерное зрение [ править ]

В компьютерном зрении и биологическом зрении масштабные преобразования возникают из-за отображения перспективного изображения и из-за объектов, имеющих разные физические размеры в мире. В этих областях масштабная инвариантность относится к локальным дескрипторам изображения или визуальным представлениям данных изображения, которые остаются неизменными при изменении локального масштаба в области изображения. ^[8] Обнаружение локальных максимумов по шкалам нормализованных производных откликов обеспечивает общую основу для получения масштабной инвариантности из данных изображения. ^[9]^[10] Примеры применений включают в себя обнаружение блобо , обнаружение угла , обнаружение гребня и распознавание объекта с помощьюмасштабно-инвариантное преобразование признаков .

См. Также [ править ]

Обратный квадратный потенциал
Лоран Ноттале , изобретатель масштабной относительности
Сила закона
Безмасштабная сеть

Ссылки [ править ]

Перейти ↑ Jørgensen, B. (1997). Теория моделей дисперсии . Лондон: Чепмен и Холл. ISBN 978-0412997112.
^ Eisler, Z .; Бартос, I .; Кертес, Дж. (2008). «Масштабирование колебаний в сложных системах: закон Тейлора и за его пределами». Adv Phys . 57 (1): 89–142. arXiv : 0708.2053 . Bibcode : 2008AdPhy..57 ... 89E . DOI : 10.1080 / 00018730801893043 .
^ Кендал, WS; Йоргенсен, Б. (2011). «Степенный закон Тейлора и масштабирование флуктуаций, объясняемые сходимостью, подобной центральному пределу». Phys. Rev. E . 83 (6): 066115. Bibcode : 2011PhRvE..83f6115K . DOI : 10.1103 / PhysRevE.83.066115 . PMID 21797449 .
^ а б в Кендал, WS; Йоргенсен, Б. (2011). «Сходимость Твиди: математическая основа для степенного закона Тейлора, шума 1 / f и мультифрактальности» (PDF) . Phys. Rev. E . 84 (6): 066120. Bibcode : 2011PhRvE..84f6120K . DOI : 10.1103 / PhysRevE.84.066120 . PMID 22304168 .
^ Jørgensen, B .; Мартинес-младший; Цао М. (1994). «Асимптотика дисперсионной функции». Сканд Джей Статист . 21 (3): 223–243. JSTOR 4616314 .
^ J. Zinn-Justin (2010) Статья в Scholarpedia "Критические явления: теоретико-полевой подход" .
^ Salvio, Strumia (2014-03-17). «Агравитация» . JHEP . 2014 (6) : 080. arXiv : 1403.4226 . Bibcode : 2014JHEP ... 06..080S . DOI : 10.1007 / JHEP06 (2014) 080 .
^ Линдеберг, Т. (2013) Инвариантность зрительных операций на уровне рецептивных полей, PLoS ONE 8 (7): e66990.
^ Линдеберг, Тони (1998). «Обнаружение признаков с автоматическим выбором шкалы» . Международный журнал компьютерного зрения . 30 (2): 79–116. DOI : 10,1023 / A: 1008045108935 .
^ Т. Линдеберг (2014) «Выбор масштаба», Компьютерное зрение: Справочное руководство, (К. Икеучи, редактор), Springer, страницы 701-713.

Дальнейшее чтение [ править ]

Зинн-Джастин, Жан (2002). Квантовая теория поля и критические явления . Издательство Оксфордского университета. Обширное обсуждение масштабной инвариантности в квантовых и статистических теориях поля, приложения к критическим явлениям, эпсилон-разложения и связанные темы
DiFrancesco, P .; Mathieu, P .; Сенешаль Д. (1997). Конформная теория поля . Springer-Verlag.
Муссардо, Г. (2010). Статистическая теория поля. Введение в точно решаемые модели статистической физики . Издательство Оксфордского университета.

[Jørgensen1997-1] Перейти ↑ Jørgensen, B. (1997). Теория моделей дисперсии . Лондон: Чепмен и Холл. ISBN 978-0412997112.

[Eisler2008-2] Eisler, Z .; Бартос, I .; Кертес, Дж. (2008). «Масштабирование колебаний в сложных системах: закон Тейлора и за его пределами». Adv Phys . 57 (1): 89–142. arXiv : 0708.2053 . Bibcode : 2008AdPhy..57 ... 89E . DOI : 10.1080 / 00018730801893043 .

[Kendal2011a-3] Кендал, WS; Йоргенсен, Б. (2011). «Степенный закон Тейлора и масштабирование флуктуаций, объясняемые сходимостью, подобной центральному пределу». Phys. Rev. E . 83 (6): 066115. Bibcode : 2011PhRvE..83f6115K . DOI : 10.1103 / PhysRevE.83.066115 . PMID 21797449 .

[Kendal2011-4] а б в Кендал, WS; Йоргенсен, Б. (2011). «Сходимость Твиди: математическая основа для степенного закона Тейлора, шума 1 / f и мультифрактальности» (PDF) . Phys. Rev. E . 84 (6): 066120. Bibcode : 2011PhRvE..84f6120K . DOI : 10.1103 / PhysRevE.84.066120 . PMID 22304168 .

[Jørgensen1994-5] Jørgensen, B .; Мартинес-младший; Цао М. (1994). «Асимптотика дисперсионной функции». Сканд Джей Статист . 21 (3): 223–243. JSTOR 4616314 .

[6] J. Zinn-Justin (2010) Статья в Scholarpedia "Критические явления: теоретико-полевой подход" .

[7] Salvio, Strumia (2014-03-17). «Агравитация» . JHEP . 2014 (6) : 080. arXiv : 1403.4226 . Bibcode : 2014JHEP ... 06..080S . DOI : 10.1007 / JHEP06 (2014) 080 .

[Lin13PONE-8] Линдеберг, Т. (2013) Инвариантность зрительных операций на уровне рецептивных полей, PLoS ONE 8 (7): e66990.

[Lindeberg1998-9] Линдеберг, Тони (1998). «Обнаружение признаков с автоматическим выбором шкалы» . Международный журнал компьютерного зрения . 30 (2): 79–116. DOI : 10,1023 / A: 1008045108935 .

[Lin14CompVis-10] Т. Линдеберг (2014) «Выбор масштаба», Компьютерное зрение: Справочное руководство, (К. Икеучи, редактор), Springer, страницы 701-713.

Масштабная инвариантность

Масштабно-инвариантные кривые и самоподобие [ править ]

Проективная геометрия [ править ]

Фракталы [ править ]

Масштабная инвариантность в случайных процессах [ править ]

Масштабно-инвариантные распределения Твиди [ править ]

Космология [ править ]

Масштабная инвариантность в классической теории поля [ править ]

Масштабная инвариантность конфигураций полей [ править ]

Классический электромагнетизм [ править ]

Безмассовая скалярная теория поля [ править ]

φ 4 теория [ править ]

Масштабная инвариантность в квантовой теории поля [ править ]

Квантовая электродинамика [ править ]

Безмассовая скалярная теория поля [ править ]

Конформная теория поля [ править ]

Масштабные и конформные аномалии [ править ]

Фазовые переходы [ править ]

Модель Изинга [ править ]

Описание ЦФТ [ править ]

Эволюция Шрамма – Лёвнера [ править ]

Универсальность [ править ]

Другие примеры масштабной инвариантности [ править ]

Механика ньютоновской жидкости без приложенных сил [ править ]

Компьютерное зрение [ править ]

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

φ ⁴ теория [ править ]