Винеровский процесс

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Февраль 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Единственная реализация одномерного винеровского процесса

Единичная реализация трехмерного винеровского процесса

В математике , то процесс Wiener является вещественная непрерывным временем стохастический процесс , названный в честь американского математика Норберта Винера для своих исследований на математических свойствах одномерного броуновского движения. ^[1] Его также часто называют броуновским движением из-за его исторической связи с физическим процессом с таким же названием, который первоначально наблюдал шотландский ботаник Роберт Браун . Это один из наиболее известных процессов Леви ( случайные процессы càdlàg со стационарными независимыми приращениями ), который часто встречается в чистом иприкладная математика , экономика , количественные финансы , эволюционная биология и физика .

Винеровский процесс играет важную роль как в чистой, так и в прикладной математике. В чистой математике винеровский процесс привел к изучению мартингалов непрерывного времени . Это ключевой процесс, с помощью которого можно описать более сложные случайные процессы. Таким образом, он играет жизненно важную роль в стохастическом исчислении , диффузионных процессах и даже в теории потенциала . Это движущий процесс эволюции Шрамма – Лёвнера . В прикладной математике винеровский процесс используется для представления интеграла гауссовского процесса белого шума и поэтому полезен в качестве модели шума в электронике (см.Броуновский шум ), инструментальные ошибки в теории фильтрации и возмущения в теории управления .

Винеровский процесс находит применение во всех математических науках. В физике он используется для изучения броуновского движения , диффузии мельчайших частиц, взвешенных в жидкости, и других типов диффузии с помощью уравнений Фоккера – Планка и Ланжевена . Оно также является основой для строгого пути интегральной формулировке в квантовой механике (по формуле Фейнмана-Каца , является решением уравнения Шредингера может быть представлено в терминах процесса Wiener) и исследование вечной инфляции в физической космологии . Это также заметно в математической теории финансов., в частности, модель ценообразования опционов Блэка – Шоулза .

Характеристики винеровского процесса [ править ]

Винеровский процесс характеризуется следующими свойствами: ^[2]${\ displaystyle W_ {t}}$

1. ${\ displaystyle W_ {0} = 0}$
2. ${\ displaystyle W}$имеет независимые приращения : для каждого будущего приращения не зависят от прошлых значений ,${\ displaystyle t> 0,}$${\ displaystyle W_ {t + u} -W_ {t},}$ ${\ displaystyle u \ geq 0,}$${\ displaystyle W_ {s}}$${\ displaystyle s \ leq t.}$
3. ${\ displaystyle W}$имеет гауссовские приращения: нормально распределен со средним значением и дисперсией ,${\ displaystyle W_ {t + u} -W_ {t}}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle W_ {t + u} -W_ {t} \ sim {\ mathcal {N}} (0, u).}$
4. ${\ displaystyle W}$имеет непрерывные пути: непрерывно в .${\ displaystyle W_ {t}}$${\ displaystyle t}$

То, что процесс имеет независимые приращения, означает, что если 0 ≤ s ₁ < t ₁ ≤ s ₂ < t _2, то W _{t 1}  -  W _{s 1} и W _{t 2}  -  W _{s 2} являются независимыми случайными величинами, и аналогичное условие выполняется для n приращения.

Альтернативной характеристикой винеровского процесса является так называемая характеристика Леви, согласно которой винеровский процесс является почти наверняка непрерывным мартингалом с W ₀ = 0 и квадратичной вариацией [ W _t , W _t ] = t (что означает, что W _t ²  -  t тоже мартингал).

Третья характеристика заключается в том, что винеровский процесс имеет спектральное представление в виде синусоидального ряда, коэффициенты которого являются независимыми случайными величинами N (0, 1). Это представление может быть получено с помощью теоремы Карунена – Лоэва .

Другой характеристикой винеровского процесса является определенный интеграл (от нуля до времени t ) от нулевого среднего, единичной дисперсии, дельта-коррелированного («белого») гауссовского процесса . ^{[ необходима цитата ]}

Винеровский процесс может быть построен как предел масштабирования в виде случайной ходьбы или других дискретных стохастических процессов со стационарными независимыми приращениями. Это известно как теорема Донскера . Подобно случайному блужданию, винеровский процесс является повторяющимся в одном или двух измерениях (что означает, что он почти наверняка бесконечно часто возвращается в любую фиксированную окрестность начала координат), тогда как он не повторяется в трех измерениях и выше. ^[3] В отличие от случайного блуждания, оно не зависит от масштаба , что означает, что

${\displaystyle \alpha ^{-1}W_{\alpha ^{2}t}}$

является винеровским процессом для любой ненулевой постоянной α. Мера Винер является вероятностным законом на пространстве непрерывных функций г , с г (0) = 0, индуцированное процессом Винер. Интеграл на основе Винера можно назвать интегралом Wiener .

Винеровский процесс как предел случайного блуждания [ править ]

Пусть будет iid случайных величин со средним 0 и дисперсией 1. Для каждого n определите случайный процесс с непрерывным временем.${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\ldots }$

${\displaystyle W_{n}(t)={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum \limits _{1\leq k\leq \lfloor nt\rfloor }\xi _{k},\qquad t\in [0,1].}$

Это случайная ступенчатая функция. Приращения независимы, потому что независимы. Для большого п , близко к по центральной предельной теореме. Теорема Донскера в утверждает , что , как , приближается к процессу Винер, который объясняет вездесущность броуновского движения. ^[4]${\displaystyle W_{n}}$${\displaystyle \xi _{k}}$${\displaystyle W_{n}(t)-W_{n}(s)}$${\displaystyle N(0,t-s)}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle W_{n}}$

Свойства одномерного винеровского процесса [ править ]

Основные свойства [ править ]

Безусловная функция плотности вероятности , которая следует нормальному распределению со средним значением = 0 и дисперсией = t , в фиксированный момент времени t :

${\displaystyle f_{W_{t}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t}}}e^{-x^{2}/(2t)}.}$

Ожидание равно нулю:

${\displaystyle E[W_{t}]=0.}$

Дисперсии , используя вычислительную формулу, является т :

${\displaystyle \operatorname {Var} (W_{t})=t.}$

Эти результаты непосредственно следуют из определения, что приращения имеют нормальное распределение с центром в нуле. Таким образом

${\displaystyle W_{t}=W_{t}-W_{0}\sim N(0,t).}$

Ковариация и корреляция [ править ]

Ковариации и корреляции (где ):${\displaystyle s\leq t}$

${\displaystyle \operatorname {cov} (W_{s},W_{t})=s,}$

${\displaystyle \operatorname {corr} (W_{s},W_{t})={\frac {\operatorname {cov} (W_{s},W_{t})}{\sigma _{W_{s}}\sigma _{W_{t}}}}={\frac {s}{\sqrt {st}}}={\sqrt {\frac {s}{t}}}.}$

Эти результаты следуют из определения, что неперекрывающиеся приращения являются независимыми, при этом используется только то свойство, что они некоррелированы. Предположим, что .${\displaystyle t_{1}\leq t_{2}}$

${\displaystyle \operatorname {cov} (W_{t_{1}},W_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[(W_{t_{1}}-\operatorname {E} [W_{t_{1}}])\cdot (W_{t_{2}}-\operatorname {E} [W_{t_{2}}])\right]=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot W_{t_{2}}\right].}$

Подстановка

${\displaystyle W_{t_{2}}=(W_{t_{2}}-W_{t_{1}})+W_{t_{1}}}$

мы приходим к:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [W_{t_{1}}\cdot W_{t_{2}}]&=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot ((W_{t_{2}}-W_{t_{1}})+W_{t_{1}})\right]\\&=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot (W_{t_{2}}-W_{t_{1}})\right]+\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}^{2}\right].\end{aligned}}}$

Поскольку и независимы,${\displaystyle W_{t_{1}}=W_{t_{1}}-W_{t_{0}}}$${\displaystyle W_{t_{2}}-W_{t_{1}}}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot (W_{t_{2}}-W_{t_{1}})\right]=\operatorname {E} [W_{t_{1}}]\cdot \operatorname {E} [W_{t_{2}}-W_{t_{1}}]=0.}$

Таким образом

${\displaystyle \operatorname {cov} (W_{t_{1}},W_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}^{2}\right]=t_{1}.}$

Следствие, полезное для моделирования, состоит в том, что мы можем записать для t ₁ < t ₂ :

${\displaystyle W_{t_{2}}=W_{t_{1}}+{\sqrt {t_{2}-t_{1}}}\cdot Z}$

где Z - независимая стандартная нормальная переменная.

Представительство Винера [ править ]

Винер (1923) также дал представление броуновского пути в терминах случайного ряда Фурье . Если - независимые гауссовские переменные с нулевым средним и единицей дисперсии, то${\displaystyle \xi _{n}}$

${\displaystyle W_{t}=\xi _{0}t+{\sqrt {2}}\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}{\frac {\sin \pi nt}{\pi n}}}$

и

${\displaystyle W_{t}={\sqrt {2}}\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}{\frac {\sin \left(\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\pi t\right)}{\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\pi }}}$

представляют собой броуновское движение на . Масштабный процесс${\displaystyle [0,1]}$

${\displaystyle {\sqrt {c}}\,W\left({\frac {t}{c}}\right)}$

является броуновским движением на (ср. теорему Карунена – Лоэва ).${\displaystyle [0,c]}$

Максимальный бег [ править ]

Совместное распределение бегового максимума

${\displaystyle M_{t}=\max _{0\leq s\leq t}W_{s}}$

и W _t равно

${\displaystyle f_{M_{t},W_{t}}(m,w)={\frac {2(2m-w)}{t{\sqrt {2\pi t}}}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}{2t}}},\qquad m\geq 0,w\leq m.}$

Чтобы получить безусловное распределение , проинтегрируем по −∞ < w ≤ m  :${\displaystyle f_{M_{t}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{M_{t}}(m)&=\int _{-\infty }^{m}f_{M_{t},W_{t}}(m,w)\,dw=\int _{-\infty }^{m}{\frac {2(2m-w)}{t{\sqrt {2\pi t}}}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}{2t}}}\,dw\\[5pt]&={\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{-{\frac {m^{2}}{2t}}},\qquad m\geq 0,\end{aligned}}}$

функция плотности вероятности полунормального распределения . Ожидание ^[5] равно

${\displaystyle \operatorname {E} [M_{t}]=\int _{0}^{\infty }mf_{M_{t}}(m)\,dm=\int _{0}^{\infty }m{\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{-{\frac {m^{2}}{2t}}}\,dm={\sqrt {\frac {2t}{\pi }}}}$

Если в какой-то момент винеровский процесс имеет известное значение , можно вычислить условное распределение вероятностей максимума в интервале (см. Распределение вероятностей крайних точек винеровского случайного процесса ). Кумулятивная функция распределения вероятности максимального значения, кондиционер с известным значением , является:${\displaystyle t}$${\displaystyle W_{t}}$${\displaystyle [0,t]}$${\displaystyle W_{t}}$

${\displaystyle \,F_{M_{W_{t}}}(m)=\Pr \left(M_{W_{t}}=\max _{0\leq s\leq t}W(s)\leq m\mid W(t)=W_{t}\right)=\ 1-\ e^{-2{\frac {m(m-W_{t})}{t}}}\ \,,\,\ \ m>\max(0,W_{t})}$

Самоподобие [ править ]

Демонстрация броуновского масштабирования, показывающая уменьшение c . Обратите внимание, что средние характеристики функции не меняются при увеличении масштаба, и обратите внимание, что масштаб по горизонтали увеличивается квадратично быстрее, чем по вертикали.${\displaystyle V_{t}=(1/{\sqrt {c}})W_{ct}}$

Броуновское масштабирование [ править ]

Для любого c > 0 это другой винеровский процесс.${\displaystyle V_{t}=(1/{\sqrt {c}})W_{ct}}$

Обратное время [ править ]

Процесс для 0 ≤ t ≤ 1 распределяется как W _t для 0 ≤ t ≤ 1.${\displaystyle V_{t}=W_{1}-W_{1-t}}$

Инверсия времени [ править ]

Это еще один винеровский процесс.${\displaystyle V_{t}=tW_{1/t}}$

Класс броуновских мартингалов [ править ]

Если многочлен p ( x , t ) удовлетворяет PDE

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)p(x,t)=0}$

тогда стохастический процесс

${\displaystyle M_{t}=p(W_{t},t)}$

это мартингал .

Пример: мартингал, который показывает , что квадратичная вариация из W на [0, т ] равна т . Из этого следует , что ожидаемое время первого выхода из W из (- с , гр ) равно с ² .${\displaystyle W_{t}^{2}-t}$

В более общем смысле, для каждого полинома p ( x , t ) следующий случайный процесс является мартингалом:

${\displaystyle M_{t}=p(W_{t},t)-\int _{0}^{t}a(W_{s},s)\,\mathrm {d} s,}$

где a - многочлен

${\displaystyle a(x,t)=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)p(x,t).}$

Пример: процесс${\displaystyle p(x,t)=(x^{2}-t)^{2},}$ ${\displaystyle a(x,t)=4x^{2};}$

${\displaystyle (W_{t}^{2}-t)^{2}-4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s}$

является мартингалом, который показывает, что квадратичная вариация мартингала на [0, t ] равна${\displaystyle W_{t}^{2}-t}$

${\displaystyle 4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s.}$

О функциях p ( xa , t ), более общих, чем полиномы, см. Локальные мартингалы .

Некоторые свойства примеров путей [ править ]

Множество всех функций w с этими свойствами имеет полную винеровскую меру. То есть путь (примерная функция) винеровского процесса почти наверняка обладает всеми этими свойствами.

Качественные свойства [ править ]

• Для любого ε> 0 функция w принимает как (строго) положительные, так и (строго) отрицательные значения на (0, ε).
• Функция w непрерывна всюду, но нигде не дифференцируема (как функция Вейерштрасса ).
• Точки локального максимума функции w - плотное счетное множество; максимальные значения попарно различны; каждый локальный максимум резок в следующем смысле: если w имеет локальный максимум в t, то

${\displaystyle \lim _{s\to t}{\frac {|w(s)-w(t)|}{|s-t|}}\to \infty .}$

То же самое и для локальных минимумов.

• Функция w не имеет точек локального роста, то есть никакое t > 0 не удовлетворяет следующему для некоторого ε из (0, t ): во-первых, w ( s ) ≤ w ( t ) для всех s в ( t - ε, t ), а во-вторых, w ( s ) ≥ w ( t ) для всех s в ( t , t + ε). (Локальное увеличение - более слабое условие, чем возрастание w на ( t - ε, t + ε).) То же самое верно и для локального убывания.
• Функция w имеет неограниченную вариацию на каждом интервале.
• Квадратичная вариация от ш на [0, T] обозначает трет.
• Нули функции w - это нигде не плотное совершенное множество меры Лебега 0 и размерности Хаусдорфа 1/2 (следовательно, несчетной).

Количественные свойства [ править ]

Закон повторного логарифма [ править ]

${\displaystyle \limsup _{t\to +\infty }{\frac {|w(t)|}{\sqrt {2t\log \log t}}}=1,\quad {\text{almost surely}}.}$

Модуль непрерывности [ править ]

Локальный модуль непрерывности:

${\displaystyle \limsup _{\varepsilon \to 0+}{\frac {|w(\varepsilon )|}{\sqrt {2\varepsilon \log \log(1/\varepsilon )}}}=1,\qquad {\text{almost surely}}.}$

Глобальный модуль непрерывности (Леви):

${\displaystyle \limsup _{\varepsilon \to 0+}\sup _{0\leq s<t\leq 1,t-s\leq \varepsilon }{\frac {|w(s)-w(t)|}{\sqrt {2\varepsilon \log(1/\varepsilon )}}}=1,\qquad {\text{almost surely}}.}$

Местное время [ править ]

Образ меры Лебега на [0, t ] при отображении w ( мера прямого распространения ) имеет плотность L _t (·). Таким образом,

${\displaystyle \int _{0}^{t}f(w(s))\,\mathrm {d} s=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)L_{t}(x)\,\mathrm {d} x}$

для широкого класса функций f (а именно: всех непрерывных функций; всех локально интегрируемых функций; всех неотрицательных измеримых функций). Плотность L _t (точнее, может и будет выбрана) непрерывной. Число л _т ( х ) называется локальное время при х из ш на [0, т ]. Оно строго положительно для всех x интервала ( a , b ), где a и b - наименьшее и наибольшее значение w на [0, t ] соответственно. (Заx вне этого интервала местное время, очевидно, обращается в нуль.) Рассматриваемое как функция двух переменных x и t , местное время по-прежнему непрерывно. Местное время, рассматриваемое как функция от t (в то время как x фиксировано), является сингулярной функцией, соответствующей неатомической мере на множестве нулей w .

Эти свойства непрерывности довольно нетривиальны. Учтите, что местное время также может быть определено (как плотность прямой меры) для гладкой функции. Однако тогда плотность будет разрывной, если данная функция не монотонна. Другими словами, существует конфликт между хорошим поведением функции и хорошим поведением ее местного времени. В этом смысле непрерывность местного времени винеровского процесса является еще одним проявлением негладкости траектории.

Скорость информации [ править ]

Скорость передачи информации винеровского процесса по отношению к квадрату ошибочного расстояния, то есть его квадратичной функции искажения , определяется выражением ^[6]

${\displaystyle R(D)={\frac {2}{\pi ^{2}\ln 2D}}\approx 0.29D^{-1}.}$

Следовательно, невозможно кодировать с использованием двоичного кода менее чем бит и восстанавливать его с ожидаемой среднеквадратичной ошибкой менее чем . С другой стороны, для любого существует достаточно большой двоичный код, состоящий не более чем из отдельных элементов, так что ожидаемая среднеквадратичная ошибка при восстановлении из этого кода составляет не больше .${\displaystyle \{w_{t}\}_{t\in [0,T]}}$${\displaystyle TR(D)}$ ${\displaystyle D}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle T}$${\displaystyle 2^{TR(D)}}$${\displaystyle \{w_{t}\}_{t\in [0,T]}}$${\displaystyle D-\varepsilon }$

Во многих случаях невозможно закодировать винеровский процесс без предварительной выборки . Когда винеровский процесс выбирается через определенные промежутки времени перед применением двоичного кода для представления этих выборок, оптимальный компромисс между кодовой скоростью и ожидаемой среднеквадратической ошибкой (при оценке винеровского процесса в непрерывном времени) следует параметрическому представлению ^[7]${\displaystyle T_{s}}$ ${\displaystyle R(T_{s},D)}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle R(T_{s},D_{\theta })={\frac {T_{s}}{2}}\int _{0}^{1}\log _{2}^{+}\left[{\frac {S(\varphi )-{\frac {1}{6}}}{\theta }}\right]d\varphi ,}$

${\displaystyle D_{\theta }={\frac {T_{s}}{6}}+T_{s}\int _{0}^{1}\min\{S(\varphi )-{\frac {1}{6}},\theta \}d\varphi ,}$

где и . В частности, среднеквадратичная ошибка связана только с операцией выборки (без кодирования).${\displaystyle S(\varphi )=(2\sin(\pi \varphi /2))^{-2}}$${\displaystyle \log ^{+}[x]=\max\{0,\log(x)\}}$${\displaystyle T_{s}/6}$

Связанные процессы [ править ]

Стохастический процесс, определяемый

${\displaystyle X_{t}=\mu t+\sigma W_{t}}$

называется винеровским процессом со сносом μ и бесконечно малой дисперсией σ ² . Эти процессы исчерпывают непрерывные процессы Леви .

Два случайных процесса на временном интервале [0, 1] появляются, грубо говоря, при условии, что винеровский процесс обращается в нуль на обоих концах [0,1]. Без дальнейшего кондиционирования процесс принимает как положительные, так и отрицательные значения на [0, 1] и называется броуновским мостом . При условии, что он также остается положительным на (0, 1), процесс называется броуновским переходом . ^[8] В обоих случаях строгий подход включает в себя ограничивающую процедуру, поскольку формула P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) / P ( B ) неприменима, когда P ( B ) = 0.

Геометрическое броуновское движение можно записать

${\displaystyle e^{\mu t-{\frac {\sigma ^{2}t}{2}}+\sigma W_{t}}.}$

Это стохастический процесс, который используется для моделирования процессов, которые никогда не могут принимать отрицательные значения, например, стоимость акций.

Стохастический процесс

${\displaystyle X_{t}=e^{-t}W_{e^{2t}}}$

распределяются как процесс Орнштейна-Уленбек с параметрами , , и .${\displaystyle \theta =1}$${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \sigma ^{2}=2}$

Время удара одну точку х > 0 процессом Wiener является случайной величиной с распределением Леви . Семейство этих случайных величин (индексированных всеми положительными числами x ) является непрерывной слева модификацией процесса Леви . Непрерывная справа модификация этого процесса задается время первого выхода из отрезков [0, х ].

Местное время L = ( L ^х _т ) _{х ∈ R , T ≥ 0} из броуновского движения описывает время , что процесс проводит в точке х . Формально

${\displaystyle L^{x}(t)=\int _{0}^{t}\delta (x-B_{t})\,ds}$

где δ - дельта-функция Дирака . Поведение местного времени описывается теоремами Рэя – Найта .

Броуновские мартингалы [ править ]

Пусть A - событие, связанное с винеровским процессом (более формально: множество, измеримое относительно винеровской меры в пространстве функций), и X _t условная вероятность A для данного винеровского процесса на временном интервале [0 , t ] (более формально: мера Винера множества траекторий, конкатенация которых с данной частичной траекторией на [0, t ] принадлежит A ). Тогда процесс X _tявляется непрерывным мартингалом. Его мартингальное свойство непосредственно следует из определений, но его непрерывность - очень особый факт - частный случай общей теоремы, утверждающей, что все броуновские мартингалы непрерывны. Броуновский мартингал по определению является мартингалом, адаптированным к броуновской фильтрации; а броуновская фильтрация - это, по определению, фильтрация, порожденная винеровским процессом.

Интегрированное броуновское движение [ править ]

Интеграл по времени винеровского процесса

${\displaystyle W^{(-1)}(t):=\int _{0}^{t}W(s)\,ds}$

называется интегрированным броуновским движением или интегрированным винеровским процессом . Она возникает во многих приложениях и может быть показано, что распределение N (0, т ³ /3), ^[9] вычисляется с использованием того факта , что ковариация процесса Винера . ^[10]${\displaystyle t\wedge s=\min(t,s)}$

В общем случае процесса, определяемого формулой

${\displaystyle V_{f}(t)=\int _{0}^{t}f'(s)W(s)\,ds=\int _{0}^{t}(f(t)-f(s))\,dW_{s}}$

Тогда, для ,${\displaystyle a>0}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (V_{f}(t))=\int _{0}^{t}(f(t)-f(s))^{2}\,ds}$

${\displaystyle \operatorname {cov} (V_{f}(t+a),V_{f}(t))=\int _{0}^{t}(f(t+a)-f(s))(f(t)-f(s))\,ds}$

Фактически, это всегда нормальная случайная величина с нулевым средним. Это позволяет моделировать данное , взяв${\displaystyle V_{f}(t)}$${\displaystyle V_{f}(t+a)}$${\displaystyle V_{f}(t)}$

${\displaystyle V_{f}(t+a)=A\cdot V_{f}(t)+B\cdot Z}$

где Z - стандартная нормальная переменная и

${\displaystyle A={\frac {\operatorname {cov} (V_{f}(t+a),V_{f}(t))}{\operatorname {Var} (V_{f}(t))}}}$

${\displaystyle B^{2}=\operatorname {Var} (V_{f}(t+a))-A^{2}\operatorname {Var} (V_{f}(t))}$

Случай соответствует . Все эти результаты можно рассматривать как прямые следствия изометрии Ито . П шрифт Times-интегрированный процесс Винера является нулевым средним обычной переменной с дисперсией . Это дается формулой Коши для повторного интегрирования .${\displaystyle V_{f}(t)=W^{(-1)}(t)}$${\displaystyle f(t)=t}$${\displaystyle {\frac {t}{2n+1}}\left({\frac {t^{n}}{n!}}\right)^{2}}$

Изменение времени [ править ]

Каждый непрерывный мартингейл (начиная с начала координат) - это винеровский процесс, измененный во времени.

Пример: 2 W _t = V (4 t ), где V - другой винеровский процесс (отличный от W, но распределенный как W ).

Пример. где и V - другой винеровский процесс.${\displaystyle W_{t}^{2}-t=V_{A(t)}}$${\displaystyle A(t)=4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s}$

В общем, если М представляет собой непрерывную мартингальный тогда , когда ( т ) является квадратичной вариацией из М на [0, т ], а V представляет собой процесс Винер.${\displaystyle M_{t}-M_{0}=V_{A(t)}}$

Следствие. (См. Также теоремы Дуба о сходимости мартингалов. ) Пусть M _t - непрерывный мартингал и

${\displaystyle M_{\infty }^{-}=\liminf _{t\to \infty }M_{t},}$

${\displaystyle M_{\infty }^{+}=\limsup _{t\to \infty }M_{t}.}$

Тогда возможны только два следующих случая:

${\displaystyle -\infty <M_{\infty }^{-}=M_{\infty }^{+}<+\infty ,}$

${\displaystyle -\infty =M_{\infty }^{-}<M_{\infty }^{+}=+\infty ;}$

другие случаи (например, и т. д.) имеют вероятность 0.${\displaystyle M_{\infty }^{-}=M_{\infty }^{+}=+\infty ,}$   ${\displaystyle M_{\infty }^{-}<M_{\infty }^{+}<+\infty }$

В частности, неотрицательный непрерывный мартингал почти наверняка имеет конечный предел (при t → ∞).

Все сказанное (в этом подразделе) для мартингалов справедливо и для местных мартингалов .

Изменение меры [ править ]

Широкий класс непрерывных семимартингалов (особенно диффузионных процессов ) связан с винеровским процессом через комбинацию изменения времени и изменения меры .

Используя этот факт, указанные выше качественные свойства винеровского процесса можно обобщить на широкий класс непрерывных семимартингалов. ^{[11] [12]}

Комплексный винеровский процесс [ править ]

Комплекснозначный винеровский процесс может быть определен как комплексный случайный процесс вида, где и являются независимыми винеровскими процессами (действительными). ^[13]${\displaystyle Z_{t}=X_{t}+iY_{t}}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle Y_{t}}$

Самоподобие [ править ]

Броуновское масштабирование, обращение времени, обращение времени: то же, что и в случае с действительными значениями.

Инвариантность вращения: для каждого комплексного числа, такого что процесс является другим комплексным винеровским процессом.${\displaystyle c}$${\displaystyle |c|=1}$${\displaystyle c\cdot Z_{t}}$

Изменение времени [ править ]

Если - целая функция, то процесс представляет собой комплекснозначный винеровский процесс с изменением времени.${\displaystyle f}$${\displaystyle f(Z_{t})-f(0)}$

Пример: где${\displaystyle Z_{t}^{2}=(X_{t}^{2}-Y_{t}^{2})+2X_{t}Y_{t}i=U_{A(t)}}$

${\displaystyle A(t)=4\int _{0}^{t}|Z_{s}|^{2}\,\mathrm {d} s}$

и является еще одним комплексным винеровским процессом.${\displaystyle U}$

В отличие от случая с действительными значениями, комплексный мартингал, как правило, не является комплексным винеровским процессом с измененным временем. Например, мартингейла нет (здесь и стоят независимые винеровские процессы, как и раньше).${\displaystyle 2X_{t}+iY_{t}}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle Y_{t}}$

См. Также [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Кляйнерт, Хаген (2004). Интегралы по траекториям в квантовой механике, статистике, физике полимеров и финансовых рынках (4-е изд.). Сингапур: World Scientific. ISBN 981-238-107-4.(также доступно онлайн: PDF-файлы )
• Старк, Генри; Вудс, Джон (2002). Вероятность и случайные процессы с приложениями к обработке сигналов (3-е изд.). Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN 0-13-020071-9.
• Ревуз, Даниил; Йор, Марк (1994). Непрерывные мартингалы и броуновское движение (Второе изд.). Springer-Verlag.

Внешние ссылки [ править ]

• Статья для школьника
• Броуновское движение, «разнообразное и волнообразное»
• Обсуждает историю, ботанику и физику оригинальных наблюдений Брауна с видео.
• «Предсказание Эйнштейна, наконец, было засвидетельствовано столетием позже»  : тест по наблюдению скорости броуновского движения
• «Интерактивное веб-приложение: случайные процессы, используемые в количественных финансах» .