В теории вероятностей , процесс Левите , названный в честь французского математика Пола Леви , является случайным процессом с независимыми, стационарными приращениями: он представляет собой движение точки, последовательные перемещения являются случайными , в котором смещение в интервалах времени попарно непересекающихся независимо, а смещения в разные временные интервалы одинаковой длины имеют идентичные распределения вероятностей. Таким образом, процесс Леви можно рассматривать как непрерывный аналог случайного блуждания .
Наиболее известными примерами процессов Леви являются винеровский процесс , часто называемый процессом броуновского движения , и процесс Пуассона . Другие важные примеры включают процесс гамма, процесс Паскаля и процесс Мейкснера. За исключением броуновского движения со сносом, все остальные собственные (то есть недетерминированные) процессы Леви имеют разрывные траектории. Все процессы Леви являются аддитивными . [1]
Математическое определение
Стохастический процесс называется процессом Леви, если он удовлетворяет следующим свойствам:
- почти наверняка ;
- Независимость приращений : Для любых, взаимно независимы ;
- Стационарные приращения: для любых, равен по распределению
- Непрерывность в вероятности: для любого а также он считает, что
Если является процессом Леви, то можно построить версию такой, что это почти наверняка непрерывно справа с левыми пределами .
Характеристики
Независимые приращения
Стохастический процесс с непрерывным временем присваивает случайную величину X t каждой точке t ≥ 0 во времени. Фактически это случайная функция от t . В приращения такого процесса являются различия Х S - X т между его значениями в разное время т < з . Назвать приращения процесса независимыми означает, что приращения X s - X t и X u - X v являются независимыми случайными величинами всякий раз, когда два временных интервала не перекрываются, и, в более общем смысле, любое конечное число приращений, назначенных для попарного неперекрытия временные интервалы взаимно (а не попарно ) независимы.
Стационарные приращения
Назвать приращения стационарным означает, что распределение вероятностей любого приращения X t - X s зависит только от длины t - s временного интервала; приращения на одинаково длительные интервалы времени распределяются одинаково.
Если является винеровским процессом , распределение вероятностей X t - X s является нормальным с ожидаемым значением 0 и дисперсией t - s .
Если - процесс Пуассона , распределение вероятностей X t - X s - это распределение Пуассона с ожидаемым значением λ ( t - s ), где λ> 0 - «интенсивность» или «скорость» процесса.
Бесконечная делимость
Распределение процесса Леви обладает свойством бесконечной делимости : дано любое целое число п , то закон процесса Леви в момент времени T может быть представлен как закон п независимых случайных величин, которые являются в точности приращения процесса Леви с течением времени интервалы длины t / n, которые независимы и одинаково распределены согласно предположениям 2 и 3. И наоборот, для каждого бесконечно делимого распределения вероятностей, существует процесс Леви так что закон дан кем-то .
Моменты
В любом процессе Lévy с конечными моментами , то п - й момент, - полиномиальная функция от t ; эти функции удовлетворяют биномиальному тождеству :
Представление Леви – Хинчина
Распределение процесса Леви характеризуется его характеристической функцией , которая задается формулой Леви – Хинчина (общей для всех безгранично делимых распределений ): [2]
Если является процессом Леви, то его характеристическая функция дан кем-то
где , , а также является σ -конечной мера называется Lévy мера из, удовлетворяющий свойству
В приведенном выше описании - индикаторная функция . Поскольку характеристические функции однозначно определяют лежащие в их основе распределения вероятностей, каждый процесс Леви однозначно определяется «тройкой Леви – Хинчина».. Члены этого триплета предполагают, что процесс Леви можно рассматривать как имеющий три независимых компонента: линейный дрейф, броуновское движение и процесс скачка Леви , как описано ниже. Это сразу дает, что единственный (недетерминированный) непрерывный процесс Леви - это броуновское движение со сносом; аналогично каждый процесс Леви является семимартингалом . [3]
Разложение Леви – Ито
Поскольку характеристические функции независимых случайных величин умножаются, теорема Леви – Хинчина предполагает, что каждый процесс Леви является суммой броуновского движения со сносом и другой независимой случайной величины. Разложение Леви – Ито описывает последнее как (стохастическую) сумму независимых пуассоновских случайных величин.
Позволять - то есть ограничение к , перенормированная на вероятностную меру; аналогично пусть(но не изменяйте масштаб). потом
Первый является характеристической функцией составного пуассоновского процесса с интенсивностью и дочернее распределение . Последний представляет собой компенсированный обобщенный пуассоновский процесс (CGPP): процесс со счетным числом скачкообразных разрывов на каждом интервале as , но такой, что эти разрывы имеют величину меньше, чем. Если, то CGPP - это чистый процесс перехода . [4] [5]
Обобщение
Случайное поле Леви - это многомерное обобщение процесса Леви. [6] [7] Еще более общими являются разложимые процессы. [8]
Смотрите также
- Независимые и одинаково распределенные случайные величины
- Винеровский процесс
- Пуассоновский процесс
- Гамма-процесс
- Марковский процесс
- Леви рейс
Рекомендации
- ^ Сато, Кен-Ито (1999). Процессы Леви и безгранично делимые распределения . Издательство Кембриджского университета. С. 31–68. ISBN 9780521553025.
- ^ Золотарев, Владимир М. Одномерные устойчивые распределения. Vol. 65. Американское математическое общество, 1986.
- ^ Проттер П.Е. Стохастическое интегрирование и дифференциальные уравнения. Спрингер, 2005.
- ^ Киприану, Андреас Э. (2014), «Разложение Леви – Ито и структура путей», Флуктуации процессов Леви с приложениями , Universitext, Springer Berlin Heidelberg, стр. 35–69, DOI : 10.1007 / 978-3-642-37632 -0_2 , ISBN 9783642376313
- ^ Лоулер, Грегори (2014). «Стохастическое исчисление: введение в приложения» (PDF) . Департамент математики (Чикагский университет) . Архивировано из оригинального (PDF) 29 марта 2018 года . Проверено 3 октября 2018 года .
- ^ Wolpert, Robert L .; Икштадт, Катя (1998), "Моделирование случайных полей Леви", Практическая непараметрическая и полупараметрическая байесовская статистика , Лекционные заметки по статистике, Спрингер, Нью-Йорк, DOI : 10.1007 / 978-1-4612-1732-9_12 , ISBN 978-1-4612-1732-9
- ^ Вольперт, Роберт Л. (2016). "Случайные поля Леви" (PDF) . Департамент статистических наук (Университет Дьюка) .
- ^ Фельдман, Джейкоб (1971). «Разложимые процессы и непрерывные произведения вероятностных пространств». Журнал функционального анализа . 8 (1): 1–51. DOI : 10.1016 / 0022-1236 (71) 90017-6 . ISSN 0022-1236 .
- Эпплбаум, Дэвид (декабрь 2004 г.). «Процессы Леви - от вероятности к финансам и квантовым группам» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 51 (11): 1336–1347. ISSN 1088-9477 .
- Конт, Рама; Танков, Петр (2003). Финансовое моделирование с помощью скачкообразных процессов . CRC Press. ISBN 978-1584884132..
- Сато, Кен-Ити (2011). Процессы Леви и безгранично делимые распределения . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521553025..
- Киприану, Андреас Э. (2014). Колебания процессов Леви с приложениями. Вводные лекции. Издание второе . Springer. ISBN 978-3642376313..