Гамма-процесс

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) ‹Приведенный ниже шаблон ( необходим эксперт ) рассматривается для удаления. См. Шаблоны для обсуждения, чтобы помочь достичь консенсуса. › Эта статья требует внимания специалиста-математика . Добавьте причину или параметр обсуждения в этот шаблон, чтобы объяснить проблему со статьей. WikiProject Mathematics может помочь нанять эксперта. ( Ноябрь 2008 г. ) Эта статья предоставляет недостаточный контекст для тех, кто не знаком с предметом . Пожалуйста, помогите улучшить статью , предоставив читателю больше контекста . ( Март 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Гамма - процесс является случайным процессом с независимыми гамма - распределенных с шагом. Часто обозначается как , это процесс Леви с увеличением скачка с положительной мерой интенсивности . Таким образом, скачки, размер которых находится в интервале, происходят как процесс Пуассона с интенсивностью . Параметр управляет скоростью появления скачков, а параметр масштабирования обратно пропорционально контролирует размер скачка. Предполагается, что процесс начинается со значения 0 при t = 0.${\ Displaystyle \ Гамма (т; \ гамма, \ лямбда)}$ ${\ Displaystyle \ ню (х) = \ гамма х ^ {- 1} \ ехр (- \ лямбда х),}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle [х, х + dx)}$${\ displaystyle \ nu (x) dx.}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ lambda}$

Гамма-процесс иногда также параметризуется в терминах среднего ( ) и дисперсии ( ) увеличения за единицу времени, что эквивалентно и .${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle v}$${\displaystyle \gamma =\mu ^{2}/v}$${\displaystyle \lambda =\mu /v}$

Свойства [ править ]

Поскольку мы используем функцию Gamma в этих свойствах, мы можем записать процесс на время , как для устранения неоднозначности.${\displaystyle t}$${\displaystyle X_{t}\equiv \Gamma (t;\gamma ,\lambda )}$

Некоторые основные свойства гамма-процесса: ^{[ необходима цитата ]}

Маржинальное распределение [ править ]

Маргинальное распределение гамма - процесса в момент времени представляет собой гамма - распределение со средним и дисперсией${\displaystyle t}$${\displaystyle \gamma t/\lambda }$${\displaystyle \gamma t/\lambda ^{2}.}$

То есть его плотность определяется выражением${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f(x;t,\gamma ,\lambda )={\frac {\lambda ^{\gamma t}}{\Gamma (\gamma t)}}x^{\gamma t\,-\,1}e^{-\lambda x}.}$$

Масштабирование [ править ]

Умножение гамма-процесса на скалярную константу снова является гамма-процессом с другой средней скоростью увеличения.${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha \Gamma (t;\gamma ,\lambda )\simeq \Gamma (t;\gamma ,\lambda /\alpha )}$

Добавление независимых процессов [ править ]

Сумма двух независимых гамма-процессов снова является гамма-процессом.

${\displaystyle \Gamma (t;\gamma _{1},\lambda )+\Gamma (t;\gamma _{2},\lambda )\simeq \Gamma (t;\gamma _{1}+\gamma _{2},\lambda )}$

Моменты [ править ]

${\displaystyle \mathbb {E} (X_{t}^{n})=\lambda ^{-n}\Gamma (\gamma t+n)/\Gamma (\gamma t),\ \quad n\geq 0,}$ где - гамма-функция .${\displaystyle \Gamma (z)}$

Функция создания моментов [ править ]

${\displaystyle \mathbb {E} {\Big (}\exp(\theta X_{t}){\Big )}=(1-\theta /\lambda )^{-\gamma t},\ \quad \theta <\lambda }$

Корреляция [ править ]

${\displaystyle \operatorname {Corr} (X_{s},X_{t})={\sqrt {s/t}},\ s<t}$, для любого гамма-процесса ${\displaystyle X(t).}$

Гамма-процесс используется в качестве распределения для случайного изменения во времени дисперсионного гамма-процесса .

Ссылки [ править ]

• Процессы Леви и стохастическое исчисление Дэвида Эпплбаума, CUP 2004, ISBN  0-521-83263-2 .