Вариант гамма-процесса

Три выборочных пути дисперсионных гамма-процессов (соответственно красный, зеленый, черный)

В теории случайных процессов , являющейся частью математической теории вероятностей , дисперсионный гамма-процесс (VG) , также известный как движение Лапласа , представляет собой процесс Леви, определяемый случайным изменением времени. Этот процесс имеет конечные моменты, которые отличают его от многих процессов Леви. В процессе VG отсутствует диффузионная составляющая, и, следовательно, это чисто скачковый процесс . Приращения независимы и подчиняются распределению дисперсии-гамма , которое является обобщением распределения Лапласа .

Существует несколько представлений процесса VG, которые связывают его с другими процессами. Это можно, например, записать как броуновское движение со сносом, подверженным случайному изменению времени, которое следует за гамма-процессом (эквивалентно в литературе встречается обозначение ):${\ displaystyle W (t)}$${\ displaystyle \ theta t}$ ${\ displaystyle \ Gamma (t; 1, \ nu)}$${\ Displaystyle \ Гамма (т; \ гамма = 1 / \ ню, \ лямбда = 1 / \ ню)}$

${\ Displaystyle X ^ {VG} (t; \ sigma, \ nu, \ theta) \;: = \; \ theta \, \ Gamma (t; 1, \ nu) + \ sigma \, W (\ Gamma ( t; 1, \ nu)) \ quad.}$

Альтернативный способ задания этого является то , что дисперсия гамма - процесс представляет собой броуновское движение подчинено гамма subordinator .

Поскольку процесс VG имеет конечную вариацию, его можно записать как разность двух независимых гамма-процессов: ^[1]

${\ displaystyle X ^ {VG} (t; \ sigma, \ nu, \ theta) \;: = \; \ Gamma (t; \ mu _ {p}, \ mu _ {p} ^ {2} \, \ nu) - \ Gamma (t; \ mu _ {q}, \ mu _ {q} ^ {2} \, \ nu)}$

куда

${\ displaystyle \ mu _ {p}: = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ theta ^ {2} + {\ frac {2 \ sigma ^ {2}} {\ nu}}} } + {\ frac {\ theta} {2}} \ quad \ quad {\ text {and}} \ quad \ quad \ mu _ {q}: = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt { \ theta ^ {2} + {\ frac {2 \ sigma ^ {2}} {\ nu}}}} - {\ frac {\ theta} {2}} \ quad.}$

В качестве альтернативы это можно аппроксимировать составным пуассоновским процессом, который приводит к представлению с явно заданными (независимыми) скачками и их местоположениями. Эта последняя характеристика дает понимание структуры траектории образца с местоположением и размерами скачков. ^[2]

О ранней истории процесса дисперсионной гаммы см. Seneta (2000). ^[3]

Моменты [ править ]

Среднее значение дисперсионного гамма-процесса не зависит от и определяется выражением${\ displaystyle \ sigma}$${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle E[X(t)]=\theta t}$

Дисперсия дается как

${\displaystyle Var[X(t)]=(\theta ^{2}\nu +\sigma ^{2})t}$

Третий центральный момент - это

${\displaystyle E[(X(t)-E[X(t)])^{3}]=(2\theta ^{3}\nu ^{2}+3\sigma ^{2}\theta \nu )t}$

4-й центральный момент

${\displaystyle E[(X(t)-E[X(t)])^{4}]=(3\sigma ^{4}\nu +12\sigma ^{2}\theta ^{2}\nu ^{2}+6\theta ^{4}\nu ^{3})t+(3\sigma ^{4}+6\sigma ^{2}\theta ^{2}\nu +3\theta ^{4}\nu ^{2})t^{2}}$

Стоимость опционов [ править ]

Процесс VG может быть выгодным для использования при ценообразовании, поскольку он позволяет более широко моделировать асимметрию и эксцесс, чем броуновское движение . Таким образом, модель дисперсионной гаммы позволяет последовательно оценивать опционы с разными страйками и сроками погашения, используя единый набор параметров. Мадан и Сенета представляют симметричную версию дисперсионного гамма-процесса. ^[4] Мадан, Карр и Чанг ^[1] расширяют модель, чтобы учесть асимметричную форму, и представляют формулу для определения цены европейских опционов в рамках процесса дисперсионной гаммы.

Хирса и Мадан показывают, как оценивать американские опционы с учетом дисперсионной гаммы. ^[5] Фьорани представляет численные решения для европейских и американских вариантов барьеров в процессе дисперсионной гаммы. ^[6] Он также предоставляет компьютерный программный код для определения цены и барьерных опций в Европе и Америке в рамках процесса дисперсионной гаммы.

Lemmens et al. ^[7] строят границы для арифметических азиатских вариантов для нескольких моделей Леви, включая модель гамма-дисперсии.

Приложения к моделированию кредитного риска [ править ]

Процесс дисперсионной гаммы успешно применялся при моделировании кредитного риска в структурных моделях. Чистый скачкообразный характер процесса и возможность контролировать асимметрию и эксцесс распределения позволяют модели правильно оценивать риск дефолта ценных бумаг с коротким сроком погашения, что, как правило, невозможно со структурными моделями, в которых следуют базовые активы. броуновское движение. Фьорани, Лучано и Семераро ^[8] моделируют свопы кредитного дефолта с использованием вариационной гаммы. В обширном эмпирическом тесте они показывают превосходящие показатели ценообразования при вариационной гамме по сравнению с альтернативными моделями, представленными в литературе.

Моделирование [ править ]

Методы Монте-Карло для дисперсионного гамма-процесса описаны Fu (2000). ^[9] Алгоритмы представлены Korn et al. (2010). ^[10]

Моделирование VG как броуновского движения с измененной гаммой во времени [ править ]

• Вход: параметры VG и приращения времени , где${\displaystyle \theta ,\sigma ,\nu }$${\displaystyle \Delta t_{1},\dots \Delta t_{N}}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\Delta t_{i}=T.}$
• Инициализация: установите X (0) = 0.
• Цикл: для i = от 1 до N :

1. Сгенерируйте независимую гамму и нормальные переменные, независимо от прошлых случайных переменных.${\displaystyle \Delta \,G_{i}\,\sim \Gamma (\Delta t_{i}/\nu ,\nu )}$${\displaystyle Z_{i}\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$
2. Возвращаться ${\displaystyle X(t_{i})=X(t_{i-1})+\theta \Delta G_{i}+\sigma {\sqrt {\Delta G_{i}}}Z_{i}.}$

Моделирование VG как разницы гамм [ править ]

Этот подход ^{[9] [10]} основан на различии гамма-представления , где определены, как указано выше.${\displaystyle X^{VG}(t;\sigma ,\nu ,\theta )\;=\;\Gamma (t;\mu _{p},\mu _{p}^{2}\,\nu )-\Gamma (t;\mu _{q},\mu _{q}^{2}\,\nu )}$${\displaystyle \mu _{p},\mu _{q},\nu }$

• Вход: параметры VG ] и временные интервалы , где${\displaystyle \theta ,\sigma ,\nu ,\mu _{p},\mu _{q}}$${\displaystyle \Delta t_{1},\dots \Delta t_{N}}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\Delta t_{i}=T.}$
• Инициализация: установите X (0) = 0.
• Цикл: для i = от 1 до N :

1. Создавайте независимые гамма-вариации независимо от прошлых случайных вариаций.${\displaystyle \gamma _{i}^{-}\,\sim \,\Gamma (\Delta t_{i}/\nu ,\nu \mu _{q}),\quad \gamma _{i}^{+}\,\sim \,\Gamma (\Delta t_{i}/\nu ,\nu \mu _{p}),}$
2. Возвращаться ${\displaystyle X(t_{i})=X(t_{i-1})+\Gamma _{i}^{+}(t)-\Gamma _{i}^{-}(t).}$

Моделирование траектории VG по разнице дискретизации гамма-моста [ править ]

Продолжение следует ...

Гамма дисперсии как распределение 2-EPT [ править ]

При ограничении, которое является целым числом, распределение дисперсионной гаммы может быть представлено как функция плотности вероятности 2-EPT . Исходя из этого предположения, можно вывести цены ванильных опционов в закрытой форме и связанных с ними греков . Полное описание см. ^[11]${\displaystyle {\frac {1}{\nu }}}$

Ссылки [ править ]