Составной процесс Пуассона

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Составной пуассоновский процесс»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( сентябрь 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Процесс соединения Пуассона является непрерывным временем (случайным образом ) случайный процесс с прыжками. Скачки прибывают случайным образом в соответствии с процессом Пуассона, и размер скачков также является случайным с заданным распределением вероятностей. Составной пуассоновский процесс, параметризованный распределением скорости и размера скачка G , представляет собой процесс, задаваемый формулой${\ displaystyle \ lambda> 0}$${\ Displaystyle \ {\, Y (т): т \ geq 0 \, \}}$

${\ Displaystyle Y (т) = \ сумма _ {я = 1} ^ {N (т)} D_ {я}}$

где, - подсчет пуассоновского процесса со скоростью , и являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами с функцией распределения G , которые также не зависят от${\ Displaystyle \ {\, N (т): т \ geq 0 \, \}}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle \ {\, D_ {я}: я \ geq 1 \, \}}$${\ Displaystyle \ {\, N (т): т \ geq 0 \, \}. \,}$

Когда являются неотрицательными целочисленными случайными величинами, то этот составной пуассоновский процесс известен как заикающийся пуассоновский процесс, который имеет особенность, заключающуюся в том, что два или более события происходят за очень короткое время.${\ displaystyle D_ {i}}$

Свойства составного процесса Пуассона [ править ]

Ожидаемое значение составного пуассоновского процесса может быть вычислено с использованием результата , известный как уравнение Вальда , как:

${\displaystyle \operatorname {E} (Y(t))=\operatorname {E} (D_{1}+\cdots +D_{N(t)})=\operatorname {E} (N(t))\operatorname {E} (D_{1})=\operatorname {E} (N(t))\operatorname {E} (D)=\lambda t\operatorname {E} (D).}$

Используя аналогичный закон общей дисперсии , дисперсию можно рассчитать как:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {var} (Y(t))&=\operatorname {E} (\operatorname {var} (Y(t)\mid N(t)))+\operatorname {var} (\operatorname {E} (Y(t)\mid N(t)))\\[5pt]&=\operatorname {E} (N(t)\operatorname {var} (D))+\operatorname {var} (N(t)\operatorname {E} (D))\\[5pt]&=\operatorname {var} (D)\operatorname {E} (N(t))+\operatorname {E} (D)^{2}\operatorname {var} (N(t))\\[5pt]&=\operatorname {var} (D)\lambda t+\operatorname {E} (D)^{2}\lambda t\\[5pt]&=\lambda t(\operatorname {var} (D)+\operatorname {E} (D)^{2})\\[5pt]&=\lambda t\operatorname {E} (D^{2}).\end{aligned}}}$

Наконец, используя закон полной вероятности , функция , производящая момент, может быть задана следующим образом:

${\displaystyle \Pr(Y(t)=i)=\sum _{n}\Pr(Y(t)=i\mid N(t)=n)\Pr(N(t)=n)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (e^{sY})&=\sum _{i}e^{si}\Pr(Y(t)=i)\\[5pt]&=\sum _{i}e^{si}\sum _{n}\Pr(Y(t)=i\mid N(t)=n)\Pr(N(t)=n)\\[5pt]&=\sum _{n}\Pr(N(t)=n)\sum _{i}e^{si}\Pr(Y(t)=i\mid N(t)=n)\\[5pt]&=\sum _{n}\Pr(N(t)=n)\sum _{i}e^{si}\Pr(D_{1}+D_{2}+\cdots +D_{n}=i)\\[5pt]&=\sum _{n}\Pr(N(t)=n)M_{D}(s)^{n}\\[5pt]&=\sum _{n}\Pr(N(t)=n)e^{n\ln(M_{D}(s))}\\[5pt]&=M_{N(t)}(\ln(M_{D}(s)))\\[5pt]&=e^{\lambda t\left(M_{D}(s)-1\right)}.\end{aligned}}}$

Возведение в степень меры [ править ]

Пусть N , Y и D такие же , как указано выше. Пусть μ - вероятностная мера, согласно которой D распределяется, т. Е.

${\displaystyle \mu (A)=\Pr(D\in A).\,}$

Пусть δ ₀ - тривиальное распределение вероятностей, при котором вся масса равна нулю. Тогда распределение вероятностей по Y ( т ) является мерой

${\displaystyle \exp(\lambda t(\mu -\delta _{0}))\,}$

где экспоненциальный ехр ( ν ) конечной меры v , на борелевских подмножеств в вещественной прямой определяется

${\displaystyle \exp(\nu )=\sum _{n=0}^{\infty }{\nu ^{*n} \over n!}}$

и

${\displaystyle \nu ^{*n}=\underbrace {\nu *\cdots *\nu } _{n{\text{ factors}}}}$

является сверткой мер, и ряд сходится слабо .

См. Также [ править ]

• Пуассоновский процесс
• распределение Пуассона
• Составное распределение Пуассона
• Неоднородный пуассоновский процесс.
• Дробный процесс Пуассона
• Формула Кэмпбелла для моментной производящей функции составного пуассоновского процесса