В теории вероятностей , уравнение Вальда , тождество Вальда [1] или леммы Вальда [2] является важной личностью , что упрощает вычисление ожидаемого значения суммы случайного числа случайных величин. В своей простейшей форме он связывает математическое ожидание суммы случайно многих конечных средних, независимых и одинаково распределенных случайных величин с ожидаемым количеством членов в сумме и общим математическим ожиданием случайных величин при условии, что количество членов в сумма не зависит от слагаемых.
Уравнение названо в честь математика Абрахама Вальда . Тождество для второго момента дается уравнением Блэквелла – Гиршика . [3]
Базовая версия
Пусть ( X n ) n ∈ℕ - последовательность действительных, независимых и одинаково распределенных случайных величин, а N - неотрицательная целочисленная случайная величина, не зависящая от последовательности ( X n ) n ∈ℕ . Предположим, что N и X n имеют конечные ожидания. потом
Пример
Бросьте шестигранный кубик . Возьмите число на кубике (назовите его N ) и бросьте это число шестигранных кубиков, чтобы получить числа X 1 ,. . . , X N , и сложите их значения. По уравнению Вальда в среднем получается значение
Общая версия
Пусть ( X n ) n ∈ℕ - бесконечная последовательность действительных случайных величин, а N - неотрицательная целочисленная случайная величина.
Предположить, что:
- 1 . ( X n ) n ∈ℕ - все интегрируемые (конечные средние) случайные величины,
- 2 . E [ X n 1 { N ≥ n } ] = E [ X n ] P ( N ≥ n ) для любого натурального числа n , и
- 3 . бесконечный ряд удовлетворяет
Тогда случайные суммы
интегрируемы и
Если, кроме того,
- 4 . ( X n ) n ∈ℕ имеют одинаковое математическое ожидание, и
- 5 . N имеет конечное ожидание,
тогда
Замечание: Обычно название уравнение Вальда относится к этому последнему равенству.
Обсуждение предположений
Ясно, что предположение ( 1 ) необходимо для формулировки предположения ( 2 ) и уравнения Вальда. Предположение ( 2 ) контролирует степень допустимой зависимости между последовательностью ( X n ) n ∈ℕ и числом N членов; см. контрпример ниже о необходимости . Отметим, что предположение ( 2 ) выполняется, когда N - момент остановки для последовательности ( X n ) n ∈ℕ . [ необходима цитата ] Предположение ( 3 ) носит более технический характер, подразумевая абсолютную сходимость и, следовательно, позволяя произвольно переставлять бесконечный ряд в доказательстве.
Если предположение ( 5 ) выполнено, то предположение ( 3 ) можно усилить до более простого условия
- 6 . существует вещественная постоянная C такая, что E [| X n | 1 { N ≥ n } ] ≤ C P ( N ≥ n ) для всех натуральных чисел n .
Действительно, используя предположение ( 6 ),
а последняя серия равна математическому ожиданию N [ Доказательство ] , которое по предположению ( 5 ) конечно . Следовательно, из ( 5 ) и ( 6 ) следует предположение ( 3 ).
Предположим в дополнение к ( 1 ) и ( 5 ), что
- 7 . N не зависит от последовательности ( X n ) n ∈ℕ и
- 8 . существует константа C такая, что E [| X n |] ≤ C для всех натуральных чисел n .
Тогда выполнены все предположения ( 1 ), ( 2 ), ( 5 ) и ( 6 ), а значит, и ( 3 ). В частности, условия ( 4 ) и ( 8 ) выполняются, если
- 9 . случайные величины ( X n ) n ∈ℕ имеют одинаковое распределение.
Обратите внимание, что случайные величины последовательности ( X n ) n ∈ℕ не обязательно должны быть независимыми.
Интересно допустить некоторую зависимость между случайным числом членов N и последовательностью ( X n ) n ∈ℕ . Стандартный вариант - предположить ( 1 ), ( 5 ), ( 8 ) и существование фильтрации ( F n ) n ∈ℕ 0 такой, что
- 10 . N - время остановки по отношению к фильтрации, а
- 11 . X n и F n –1 независимы для любого n ∈ ℕ .
Тогда из ( 10 ) следует, что событие { N ≥ n } = { N ≤ n - 1} c принадлежит F n –1 , следовательно, согласно ( 11 ) не зависит от X n . Отсюда следует ( 2 ), а вместе с ( 8 ) - ( 6 ).
Для удобства (см. Доказательство ниже с использованием теоремы о необязательной остановке) и для указания связи между последовательностью ( X n ) n ∈ℕ и фильтрацией ( F n ) n ∈ℕ 0 часто накладывается следующее дополнительное предположение:
- 12 . последовательность ( Х п ) п ∈ℕ будет адаптирован к фильтрации ( F п ) п ∈ℕ , то есть X п является F п -измеримым для любого п ∈ ℕ .
Отметим, что из ( 11 ) и ( 12 ) вместе следует, что случайные величины ( X n ) n ∈ℕ независимы.
Заявление
Заявка относится к актуарной науке, если общая сумма претензии рассматривается по сложному процессу Пуассона.
в течение определенного периода времени, скажем, одного года, возникающих в результате случайного числа N индивидуальных страховых случаев, размеры которых описываются случайными величинами ( X n ) n ∈ℕ . При указанных выше предположениях уравнение Вальда можно использовать для расчета ожидаемой общей суммы претензии, когда доступна информация о среднем количестве претензий в год и среднем размере претензии. При более сильных предположениях и с более подробной информацией о базовых распределениях, рекурсии Panjer в можно использовать для расчета распределения S N .
Примеры
Пример с зависимыми терминами
Пусть N - интегрируемая ℕ 0 -значная случайная величина, которая не зависит от интегрируемой вещественной случайной величины Z с E [ Z ] = 0 . Определим X n = (–1) n Z для всех n ∈ ℕ . Тогда предположения ( 1 ), ( 5 ), ( 7 ) и ( 8 ) с C : = E [| Z |] , следовательно, также ( 2 ) и ( 6 ), и уравнение Вальда применимо. Если распределение Z несимметрично, то ( 9 ) не выполняется. Заметим, что, когда Z почти наверняка не равно нулевой случайной величине, тогда ( 11 ) и ( 12 ) не могут выполняться одновременно ни для какой фильтрации ( F n ) n ∈ℕ , потому что Z не может быть независимым от самого себя как E [ Z 2 ] = (E [ Z ]) 2 = 0 невозможно.
Пример, где количество терминов зависит от последовательности
Пусть ( X n ) n ∈ℕ - последовательность независимых, симметричных и {–1, +1 } -значных случайных величин. Для каждого п ∈ ℕ пусть F п быть σ-алгебра , порожденная X 1 ,. . . , X n и определим N = n, когда X n - первая случайная величина, принимающая значение +1 . Обратите внимание, что P ( N = n ) = 1/2 n , следовательно, E [ N ] <∞ по критерию отношения . Предположения ( 1 ), ( 5 ) и ( 9 ), следовательно, ( 4 ) и ( 8 ) с C = 1 , ( 10 ), ( 11 ) и ( 12 ) выполнены, следовательно, также ( 2 ) и ( 6 ) и применяется уравнение Вальда. Однако ( 7 ) не выполняется, поскольку N определяется в терминах последовательности ( X n ) n ∈ℕ . Интуитивно можно было ожидать, что E [ S N ]> 0 в этом примере, потому что суммирование останавливается сразу после единицы, тем самым, очевидно, создавая положительное смещение. Однако уравнение Вальда показывает, что эта интуиция вводит в заблуждение.
Контрпримеры
Контрпример, иллюстрирующий необходимость предположения ( 2 )
Рассмотрим последовательность ( Х п ) п ∈ℕ из н.о.р. случайных величин, принимая каждый из двух значений 0 и 1 с вероятностью ½ ( на самом деле, только Х 1 необходимо в дальнейшем). Определите N = 1 - X 1 . Тогда S N тождественно равно нулю, следовательно, E [ S N ] = 0 , но E [ X 1 ] = ½ и E [ N ] = ½, и поэтому уравнение Вальда не выполняется. Действительно, предположения ( 1 ), ( 3 ), ( 4 ) и ( 5 ) выполнены, однако уравнение в предположении ( 2 ) выполняется для всех n ∈ ℕ, кроме n = 1 .
Контрпример, иллюстрирующий необходимость предположения ( 3 )
Очень похоже на второй пример выше, пусть ( X n ) n ∈ℕ будет последовательностью независимых симметричных случайных величин, где X n принимает каждое из значений 2 n и –2 n с вероятностью 1/2. Пусть N - первое n ∈ ℕ такое, что X n = 2 n . Тогда, как и выше, N имеет конечное математическое ожидание, следовательно, предположение ( 5 ) выполнено. Поскольку E [ X n ] = 0 для всех n ∈ ℕ , выполнены предположения ( 1 ) и ( 4 ). Однако, поскольку S N = 1 почти наверняка, уравнение Вальда не может выполняться.
Поскольку N - момент остановки по отношению к фильтрации, порожденной ( X n ) n ∈ℕ , выполняется предположение ( 2 ), см. Выше. Следовательно, только предположение ( 3 ) может быть неверным, и действительно, поскольку
и, следовательно, P ( N ≥ n ) = 1/2 n –1 для любого n ∈ ℕ , следует, что
Доказательство с использованием теоремы о необязательной остановке
Предположим ( 1 ), ( 5 ), ( 8 ), ( 10 ), ( 11 ) и ( 12 ). Используя предположение ( 1 ), определим последовательность случайных величин
Из предположения ( 11 ) следует, что условное ожидание X n для данного F n –1 почти наверное равно E [ X n ] для любого n ∈ ℕ , следовательно, ( M n ) n ∈ ℕ 0 является мартингалом относительно фильтрации ( F n ) n ∈ℕ 0 по предположению ( 12 ). Предположения ( 5 ), ( 8 ) и ( 10 ) гарантируют, что мы можем применить теорему о необязательной остановке , следовательно, M N = S N - T N интегрируемо и
( 13 )
В силу предположения ( 8 )
и в силу предположения ( 5 ) эта верхняя оценка интегрируема. Следовательно, мы можем добавить математическое ожидание T N к обеим частям уравнения ( 13 ) и получить по линейности
Замечание: обратите внимание, что это доказательство не охватывает приведенный выше пример с зависимыми членами .
Общее доказательство
В этом доказательстве используются только теоремы Лебега о монотонной и мажорируемой сходимости . Мы доказываем приведенное выше утверждение в три этапа.
Шаг 1. Интегрируемость случайной суммы S N
Сначала покажем, что случайная сумма S N интегрируема. Определите частичные суммы
( 14 )
Поскольку N принимает свои значения в ℕ 0 и поскольку S 0 = 0 , отсюда следует, что
Из теоремы Лебега о монотонной сходимости следует, что
По неравенству треугольника
Используя эту оценку сверху и изменив порядок суммирования (что разрешено, поскольку все члены неотрицательны), получаем
( 15 )
где второе неравенство следует из теоремы о монотонной сходимости. По предположению ( 3 ) бесконечная последовательность в правой части ( 15 ) сходится, следовательно, S N интегрируема.
Шаг 2: Интегрируемость случайной суммы T N
Теперь покажем, что случайная сумма T N интегрируема. Определите частичные суммы
( 16 )
реальных чисел. Поскольку N принимает свои значения в ℕ 0 и поскольку T 0 = 0 , отсюда следует, что
Как и на шаге 1, из теоремы о монотонной сходимости Лебега следует, что
По неравенству треугольника
Используя эту оценку сверху и изменив порядок суммирования (что разрешено, поскольку все члены неотрицательны), получаем
( 17 )
По предположению ( 2 ),
Подставляя это в ( 17 ), получаем
которая конечна по предположению ( 3 ), поэтому T N интегрируем.
Шаг 3: Подтверждение личности
Чтобы доказать уравнение Вальда, мы, по сути, снова проходим те же шаги без абсолютного значения, используя интегрируемость случайных сумм S N и T N , чтобы показать, что они имеют такое же математическое ожидание.
Используя теорему о доминирующей сходимости с доминирующей случайной величиной | S N | и определение частичной суммы S i, данное в ( 14 ), следует, что
Благодаря абсолютной сходимости, доказанной в ( 15 ) выше с использованием предположения ( 3 ), мы можем переставить суммирование и получить, что
где мы использовали предположение ( 1 ) и теорему о доминирующей сходимости с доминирующей случайной величиной | X n | для второго равенства. В силу предположения ( 2 ) и σ-аддитивности вероятностной меры
Подставляя этот результат в предыдущее уравнение, перестраивая суммирование (что разрешено из-за абсолютной сходимости, см. ( 15 ) выше), используя линейность математического ожидания и определение частичной суммы T i ожиданий, данное в ( 16 ),
Используя снова доминирующую сходимость с доминирующей случайной величиной | T N | ,
Если предположения ( 4 ) и ( 5 ) выполнены, то по линейности математического ожидания
Это завершает доказательство.
Дальнейшие обобщения
- Уравнение Вальда можно перенести на R d -значные случайные величины ( X n ) n ∈ℕ , применив одномерную версию к каждому компоненту.
- Если ( X n ) n ∈ℕ - интегрируемые по Бохнеру случайные величины, принимающие значения в банаховом пространстве , то приведенное выше общее доказательство можно скорректировать соответствующим образом.
Смотрите также
- Неравенство лордена
- Мартингейл Вальда
- Формула Спитцера
Заметки
- ^ Янссен, Жак; Манка, Раймондо (2006). «Теория обновления». Прикладные полумарковские процессы . Springer. стр. 45 -104. DOI : 10.1007 / 0-387-29548-8_2 . ISBN 0-387-29547-X.
- ^ Thomas Bruss, F .; Робертсон, Дж. Б. (1991). « „ Вальда Лемма“для сумм порядковых статистики н.о.р. случайных величин». Достижения в прикладной теории вероятностей . 23 (3): 612–623. DOI : 10.2307 / 1427625 . JSTOR 1427625 .
- ^ Blackwell, D .; Гиршик, Массачусетс (1946). «О функциях последовательностей независимых векторов случайности с приложениями к проблеме« случайного блуждания »в k измерениях» . Аня. Математика. Статист . 17 : 310–317. DOI : 10.1214 / АОМ / 1177730943 .
Рекомендации
- Вальд, Авраам (сентябрь 1944 г.). «О накопленных суммах случайных величин» . Летопись математической статистики . 15 (3): 283–296. DOI : 10.1214 / АОМ / 1177731235 . JSTOR 2236250 . Руководство по ремонту 0010927 . Zbl 0063.08122 .
- Уолд, Абрахам (1945). «Некоторые обобщения теории кумулятивных сумм случайных величин» . Летопись математической статистики . 16 (3): 287–293. DOI : 10.1214 / АОМ / 1177731092 . JSTOR 2235707 . Руководство по ремонту 0013852 . Zbl 0063.08129 .
- Blackwell, D .; Гиршик, Массачусетс (1946). «О функциях последовательностей независимых векторов случайности с приложениями к проблеме« случайного блуждания »в k измерениях» . Аня. Математика. Статист . 17 : 310–317. DOI : 10.1214 / АОМ / 1177730943 .
- Чан, Хок Пэн; Фух, Ченг-Дер; Ху, Инчи (2006). «Проблема многорукого бандита с отношениями приоритета». Временные ряды и связанные темы . Конспект лекций Института математической статистики - Серия монографий. 52 . С. 223–235. arXiv : math / 0702819 . DOI : 10.1214 / 074921706000001067 . ISBN 978-0-940600-68-3.
Внешние ссылки
- «Идентичность Уолда» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]