Фильтрация (теория вероятностей)

В теории случайных процессов , подразделе теории вероятностей , фильтрации представляют собой полностью упорядоченные наборы подмножеств, которые используются для моделирования информации, доступной в данной точке, и поэтому играют важную роль в формализации случайных процессов.

Определение [ править ]

Пусть быть вероятностное пространство , и пусть быть множество индексов с общим порядка (часто , или подмножество ).${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, P)}$${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle \ leq}$${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$

Для каждого LET быть суб- σ - алгебра из . потом${\ displaystyle i \ in I}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {я}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {F}: = ({\ mathcal {F}} _ {я}) _ {я \ in I}}$

называется фильтрацией, если для всех . Таким образом, фильтрации - это неубывающие семейства σ -алгебр. ^[1] Если это фильтрация, то называется фильтрованным вероятностным пространством .${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}\subseteq {\mathcal {F}}_{\ell }}$${\displaystyle k\leq \ell }$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {F} ,P)}$

Пример [ править ]

Позвольте быть случайным процессом на вероятностном пространстве . потом ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}:=\sigma (X_{k}\mid k\leq n)}$

является σ -алгеброй и фильтрацией. Здесь обозначает σ -алгебру, порожденную случайными величинами .${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \sigma (X_{k}\mid k\leq n)}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$

${\displaystyle \mathbb {F} }$действительно является фильтрацией, поскольку по определению все являются σ -алгебрами и${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$

${\displaystyle \sigma (X_{k}\mid k\leq n)\subseteq \sigma (X_{k}\mid k\leq n+1).}$

Типы фильтрации [ править ]

Сплошная правосторонняя фильтрация [ править ]

Если - фильтрация, то соответствующая непрерывная справа фильтрация определяется как ^[2]${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}}$

${\displaystyle \mathbb {F} ^{+}:=({\mathcal {F}}_{i}^{+})_{i\in I},}$

с

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}^{+}:=\bigcap _{i<z}{\mathcal {F}}_{z}.}$

Сама фильтрация называется непрерывной справа, если . ^[3]${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {F} ^{+}=\mathbb {F} }$

Полная фильтрация [ править ]

Позволять

${\displaystyle {\mathcal {N}}_{P}:=\{A\subseteq \Omega \mid A\subseteq B{\text{ for some }}B{\text{ with }}P(B)=0\}}$

быть набором всех наборов, которые содержатся в наборе - null .${\displaystyle P}$

Фильтрация называется полной фильтрацией , если каждая из них содержит . Это эквивалентно тому, чтобы быть полным пространством меры для каждого${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {N}}_{P}}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}_{i},P)}$${\displaystyle i\in I.}$

Расширенная фильтрация [ править ]

Фильтрация называется расширенной фильтрацией, если она является полной и непрерывной справа. Для каждой фильтрации существует наименьшее уточнение расширенной фильтрации .${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle {\tilde {\mathbb {F} }}}$${\displaystyle \mathbb {F} }$

Если фильтрация является расширенной фильтрацией, говорят, что она удовлетворяет обычным гипотезам или обычным условиям . ^[3]

См. Также [ править ]

• Естественная фильтрация
• Фильтрация (математика)
• Фильтр (математика)

Ссылки [ править ]