Фильтрация (математика)

В математике , фильтрация является индексированным семейством из подобъектов данной алгебраической структуры , с индексом работает над каким - то упорядоченным множеством индексов , при условии , что${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle (S_ {я}) _ {я \ в I}}$ ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle I}$

если в , то .${\ displaystyle i \ leq j}$${\ displaystyle I}$${\ Displaystyle S_ {я} \ подмножество S_ {j}}$

Если индекс является временным параметром некоторого случайного процесса, то фильтрацию можно интерпретировать как представление всей имеющейся исторической, но не будущей информации о стохастическом процессе, при этом алгебраическая структура со временем усложняется. Следовательно, процесс, адаптированный к фильтрации , также называют непредвиденным , то есть таким, который не может заглянуть в будущее . ^[1]${\ displaystyle i}$${\ displaystyle S_ {i}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Иногда, как в фильтрованной алгебре , вместо этого требуется, чтобы подалгебры были подалгебрами относительно некоторых операций (скажем, сложения векторов), но не относительно других операций (скажем, умножения), которым удовлетворяют , где набор индексов равен что натуральные числа ; это по аналогии с градуированной алгеброй .${\ displaystyle S_ {i}}$${\ Displaystyle S_ {я} \ cdot S_ {j} \ подмножество S_ {я + j}}$

Иногда фильтрации должны удовлетворять дополнительное требование , что объединение из быть целым , или (в более общем случае, когда понятие единения не имеет смысла) , что канонический гомоморфизм из прямого предела из к является изоморфизмом . Предполагается ли это требование или нет, обычно зависит от автора текста и часто прямо указывается. Данная статья не предъявляет этого требования.${\ displaystyle S_ {i}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S_ {i}}$${\ displaystyle S}$

Существует также понятие нисходящей фильтрации , которое требуется выполнять вместо (а иногда и вместо ). Опять же, это зависит от контекста, как именно следует понимать слово «фильтрация». Нисходящие фильтрации не следует путать с двойным понятием кофильтрации (которые состоят из частных объектов, а не подобъектов ).${\displaystyle S_{i}\supseteq S_{j}}$${\displaystyle S_{i}\subseteq S_{j}}$${\displaystyle \bigcap _{i\in I}S_{i}=0}$${\displaystyle \bigcup _{i\in I}S_{i}=S}$

Фильтрации широко используется в абстрактной алгебре , гомологическая алгебра (где они связаны между собой в важном способе спектральных последовательностей ), так и в теории меры и теории вероятностей для вложенных последовательностей а-алгебры . В функциональном анализе и численном анализе обычно используется другая терминология, например шкала пространств или вложенные пространства .

Примеры [ править ]

Алгебра [ править ]

Группы [ править ]

В алгебре фильтрации являются обычно индексируются , на множестве натуральных чисел. Фильтрации группы , тогда вложенная последовательность из нормальных подгрупп в (то есть, для любых мы имеем ). Обратите внимание, что такое использование слова «фильтрация» соответствует нашей «нисходящей фильтрации».${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle G}$${\displaystyle G_{n}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle n}$${\displaystyle G_{n+1}\subset G_{n}}$

Учитывая группу и фильтрацию , существует естественный способ определить топологию на , которая называется связанной с фильтрацией. Основой для этой топологии является набор всех трансляций ^{[ требуется пояснение ]} подгрупп, появляющихся в фильтрации, то есть подмножество определяется как открытое, если оно является объединением множеств вида , где и - натуральное число .${\displaystyle G}$${\displaystyle G_{n}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle aG_{n}}$${\displaystyle a\in G}$${\displaystyle n}$

Топология, связанная с фильтрацией на группе, превращается в топологическую группу .${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

Топология, связанная с фильтрацией на группе , хаусдорфова тогда и только тогда, когда .${\displaystyle G_{n}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \bigcap G_{n}=\{1\}}$

Если на группе определены две фильтрации и , то тождественное отображение из в , где первой копии задана -топология, а второй -топологии, является непрерывным тогда и только тогда, когда для любого существует такое, что , то есть , тогда и только тогда, когда тождественное отображение непрерывно в 1. В частности, две фильтрации определяют одну и ту же топологию тогда и только тогда, когда для любой подгруппы, появляющейся в одной, есть меньшая или равная подгруппа, появляющаяся в другой.${\displaystyle G_{n}}$${\displaystyle G'_{n}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G_{n}}$${\displaystyle G'_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle G_{m}\subset G'_{n}}$

Кольца и модули: нисходящие фильтрации [ править ]

Учитывая , кольцо и -модуль , а нисходящая фильтрацию по убывающей последовательности подмодулей . Следовательно, это частный случай понятия групп с дополнительным условием, что подгруппы являются подмодулями. Соответствующая топология определяется как для групп.${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M_{n}}$

Важный частный случай известен как -адическая топология (или -адическая и т. Д.). Позвольте быть коммутативным кольцом и идеалом .${\displaystyle I}$${\displaystyle J}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$

Для данного -модуля последовательность подмодулей образует фильтрацию . Тогда -адическая топология на - это топология, связанная с этой фильтрацией. Если это просто само кольцо , мы определили -адическую топологию на .${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle I^{n}M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle I}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$

Когда задана -адическая топология, становится топологическим кольцом . Если -модулю придается -адическая топология, он становится топологическим -модулем относительно топологии, указанной на .${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle I}$ R {\displaystyle R} ${\displaystyle R}$

Кольца и модули: восходящие фильтрации [ править ]

Учитывая , кольцо и -модуль , в восходящей фильтрации из возрастающая последовательность подмодулей . В частности, если - поле, то восходящая фильтрация -векторного пространства представляет собой возрастающую последовательность векторных подпространств . Флаги - один из важных классов таких фильтров.${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M_{n}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

Наборы [ править ]

Максимальная фильтрация множества эквивалентна упорядочиванию ( перестановке ) множества. Например, фильтрация соответствует порядку . С точки зрения поля с одним элементом упорядочение на множестве соответствует максимальному флагу (фильтрации на векторном пространстве), считая набор векторным пространством над полем с одним элементом.${\displaystyle \{0\}\subset \{0,1\}\subset \{0,1,2\}}$${\displaystyle (0,1,2)}$

Теория меры [ править ]

В теории меры , в частности , в мартингальной теории и теории случайных процессов , фильтрация является возрастающей последовательностью из -алгебр на измеримом пространстве . То есть, дано измеримое пространство , фильтрация представляет собой последовательность -алгебр с , где каждый представляет собой неотрицательное действительное число, σ {\displaystyle \sigma } ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\geq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}\subseteq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle t_{1}\leq t_{2}\implies {\mathcal {F}}_{t_{1}}\subseteq {\mathcal {F}}_{t_{2}}.}$

Точный диапазон «времен» обычно зависит от контекста: набор значений может быть дискретным или непрерывным, ограниченным или неограниченным. Например,${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle t\in \{0,1,\dots ,N\},\mathbb {N} _{0},[0,T]{\mbox{ or }}[0,+\infty ).}$

Точно так же фильтрованное вероятностное пространство (также известное как стохастический базис ) - это вероятностное пространство, снабженное фильтрацией своей -алгебры . Отфильтрованное вероятностное пространство называется удовлетворять обычные условия , если он является полным (т.е. содержит все - нулевые множества ) и непрерывны справа (то есть во все времена ). ^{[2] [3] [4]}${\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0},\mathbb {P} \right)}$${\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}={\mathcal {F}}_{t+}:=\bigcap _{s>t}{\mathcal {F}}_{s}}$${\displaystyle t}$

Также полезно (в случае неограниченного набора индексов) определить как -алгебру, порожденную бесконечным объединением 's, которая содержится в :${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }=\sigma \left(\bigcup _{t\geq 0}{\mathcal {F}}_{t}\right)\subseteq {\mathcal {F}}.}$

Σ - алгебра определяет набор событий , которые могут быть измерены, что в вероятностном контексте эквивалентно событий , которые могут быть дискриминационными, или «вопросы , которые можно ответить на время ». Поэтому фильтрация часто используется для представления изменения в наборе событий, которые можно измерить, посредством получения или потери информации . Типичный пример - математические финансы , где фильтрация представляет информацию, доступную до каждого раза включительно , и становится все более и более точной (набор измеряемых событий остается неизменным или увеличивается) по мере того, как появляется больше информации об эволюции акций. цена становится доступной.${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$

Отношение к временам остановки: сигма-алгебры времени остановки [ править ]

Позвольте быть фильтрованным вероятностным пространством. Случайная величина - это время остановки по отношению к фильтрации , если для всех . Останавливая время -алгебра теперь определяется как${\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0},\mathbb {P} \right)}$${\displaystyle \tau :\Omega \rightarrow [0,\infty ]}$ ${\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0}}$${\displaystyle \{\tau \leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}}$${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }:=\left\{A\in {\mathcal {F}}:A\cap \{\tau \leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t},\ \forall t\geq 0\right\}}$.

Нетрудно показать, что это действительно -алгебра . Набор кодирует информацию до случайного времени в том смысле , что, если отфильтрованный вероятностное пространство интерпретируется как случайный эксперимент, максимальная информация , которую можно найти об этом из произвольно часто повторять эксперимент , пока случайное время не . ^[5] В частности, если лежащее в основе вероятностное пространство конечно (т.е. конечно), минимальные множества (относительно включения множеств) задаются объединением всех множеств минимальных множеств , лежащих в . ^[5]${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}$ σ {\displaystyle \sigma } ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}$${\displaystyle t\geq 0}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$${\displaystyle \{\tau =t\}}$

Можно показать, что это измеримо. Однако простые примеры ^[5] показывают, что в общем случае . Если и будут останавливать время на , и почти наверняка , то${\displaystyle \tau }$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}$${\displaystyle \sigma (\tau )\neq {\mathcal {F}}_{\tau }}$${\displaystyle \tau _{1}}$${\displaystyle \tau _{2}}$${\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0},\mathbb {P} \right)}$${\displaystyle \tau _{1}\leq \tau _{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau _{1}}\subseteq {\mathcal {F}}_{\tau _{2}}.}$

См. Также [ править ]

• Естественная фильтрация
• Фильтрация (теория вероятностей)
• Фильтр (математика)

Ссылки [ править ]

• Эксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями . Берлин: Springer. ISBN 978-3-540-04758-2.