Гомологическая алгебра

Диаграмма, использованная в лемме о змее , основном результате в гомологической алгебре.

Гомологическая алгебра - это раздел математики , изучающий гомологии в общем алгебраическом контексте. Это относительно молодая дисциплина, истоки которой восходят к исследованиям в области комбинаторной топологии (предшествующей алгебраической топологии ) и абстрактной алгебры (теории модулей и сизигий ) в конце XIX века, в основном Анри Пуанкаре и Давидом Гильбертом .

Развитие гомологической алгебры было тесно связано с возникновением теории категорий . По большому счету, гомологическая алгебра - это изучение гомологических функторов и сложных алгебраических структур, которые они влекут за собой. Одно весьма полезное и повсеместное понятие в математике - это концепция цепных комплексов , которые можно изучать как через их гомологии, так и через когомологии . Гомологическая алгебра предоставляет средства для информации экстракта , содержащиеся в этих комплексах и представить его в виде гомологических инвариантов из колец , модулей, топологических пространств и других «материальных» математических объектов. Мощный инструмент для этого предоставляетсяспектральные последовательности .

С самого начала гомологическая алгебра играла огромную роль в алгебраической топологии. Его влияние постепенно расширялось и в настоящее время включает коммутативную алгебру , алгебраическую геометрию , алгебраическую теорию чисел , теорию представлений , математическую физику , операторные алгебры , комплексный анализ и теорию уравнений в частных производных . К -теории является независимой дисциплиной , которая опирается на методы гомологической алгебры, как это делает некоммутативную геометрию из Конн .

История гомологической алгебры [ править ]

Гомологическая алгебра начала изучаться в своей самой базовой форме в 1800-х годах как ветвь топологии, но только в 1940-х годах она стала самостоятельным предметом с изучением таких объектов, как ext-функтор и tor-функтор , среди которых другие. ^[1]

Цепные комплексы и гомологии [ править ]

Понятие цепного комплекса является центральным в гомологической алгебре. Абстрактный Цепной комплекс представляет собой последовательность из абелевых групп и гомоморфизмов групп , с тем свойством , что композиция любых двух последовательных отображений равна нулю:${\ displaystyle (C _ {\ bullet}, d _ {\ bullet})}$

${\displaystyle C_{\bullet }:\cdots \longrightarrow C_{n+1}{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}C_{n}{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}C_{n-1}{\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}\cdots ,\quad d_{n}\circ d_{n+1}=0.}$

Элементы C _п называются п - цепь и гомоморфизмы d _п называются граничные карты или дифференциалы . Группы цепей С _п может быть наделен дополнительной структурой; например, они могут быть векторными пространствами или модули над фиксированным кольцом R . Дифференциалы должны сохранять дополнительную структуру, если она существует; например, они должны быть линейными отображениями или гомоморфизмами R -модулей. Для удобства записи ограничимся абелевыми группами (вернее,категория Ab абелевых групп); из знаменитой теоремы Барри Митчелла следует, что результаты будут обобщены на любую абелеву категорию . Каждый цепной комплекс определяет еще две последовательности абелевых групп, тем циклов Z _п  = Кер д _н и границы В _п  = Im д _{п + 1} , где Кер  д и Im  d обозначают ядро и образ из г . Поскольку композиция двух последовательных граничных карт равна нулю, эти группы вкладываются друг в друга как

${\displaystyle B_{n}\subseteq Z_{n}\subseteq C_{n}.}$

Подгруппы абелевых групп автоматически нормальны ; Таким образом , мы можем определить п - й группы гомологии Н _п ( С ) в качестве фактора группы из п -циклов по п -boundaries,

${\displaystyle H_{n}(C)=Z_{n}/B_{n}=\operatorname {Ker} \,d_{n}/\operatorname {Im} \,d_{n+1}.}$

Цепной комплекс называется ациклической или точной последовательностью, если все его группы гомологий равны нулю.

Цепные комплексы в изобилии возникают в алгебре и алгебраической топологии . Например, если Х представляет собой топологическое пространство то сингулярные цепи C _п ( Х ) являются формальными линейными комбинациями из непрерывных отображений из стандартного п - симплекса в X ; если K - симплициальный комплекс, то симплициальные цепи C _n ( K ) являются формальными линейными комбинациями n -симплексов K ; если =  Р / Р является представлением абелевой группы А с помощью образующих и соотношений , где Р является свободной абелевой группой , порожденная образующими и R является подгруппой отношений, затем позволяя С ₁ ( ) =  Р , С ₀ ( A ) =  F и C _n ( A ) = 0 для всех остальных n определяет последовательность абелевых групп. Во всех этих случаях существуют естественные дифференциалы d _n, делающие С _п в цепной комплекс, чьи гомологии отражает структуру топологического пространства X , симплициального комплекса K , или абелевой группы A . В случае топологических пространств мы приходим к понятию особых гомологий , которое играет фундаментальную роль при исследовании свойств таких пространств, например, многообразий .

На философском уровне гомологическая алгебра учит нас, что определенные цепные комплексы, связанные с алгебраическими или геометрическими объектами (топологическими пространствами, симплициальными комплексами, R- модулями), содержат много ценной алгебраической информации о них, причем гомология является лишь наиболее доступной частью. . На техническом уровне гомологическая алгебра предоставляет инструменты для управления комплексами и извлечения этой информации. Вот две общие иллюстрации.

• Два объекта X и Y соединены между собой картой f . Гомологическая алгебра изучает связь, индуцированную отображением f , между цепными комплексами, ассоциированными с X и Y, и их гомологиями. Это обобщено на случай нескольких объектов и соединяющих их карт. Выражаясь языком теории категорий , гомологическая алгебра изучает функториальные свойства различных конструкций цепных комплексов и гомологий этих комплексов.
• Объект X допускает множественные описания (например, как топологическое пространство и как симплициальный комплекс), или комплекс строится с использованием некоторого «представления» X , которое предполагает неканонический выбор. Важно знать эффект изменения в описании X на цепных комплексов , связанных с X . Обычно комплекс и его гомологии функториальны по отношению к представлению; и гомологии (хотя и не сам комплекс) фактически не зависит от представления выбранного таким образом , она является инвариантом из X .${\displaystyle C_{\bullet }(X)}$${\displaystyle H_{\bullet }(C)}$

Стандартные инструменты [ править ]

Точные последовательности [ править ]

В контексте теории групп последовательность

${\displaystyle G_{0}\;{\xrightarrow {f_{1}}}\;G_{1}\;{\xrightarrow {f_{2}}}\;G_{2}\;{\xrightarrow {f_{3}}}\;\cdots \;{\xrightarrow {f_{n}}}\;G_{n}}$

из групп и гомоморфизмов групп называется точным , если образ каждого гомоморфизма равен ядру из следующего:

${\displaystyle \mathrm {im} (f_{k})=\mathrm {ker} (f_{k+1}).\!}$

Отметим, что последовательность групп и гомоморфизмов может быть конечной или бесконечной.

Аналогичное определение может быть сделано для некоторых других алгебраических структур . Например, можно иметь точную последовательность векторных пространств и линейных отображений или модулей и гомоморфизмов модулей . В более общем смысле понятие точной последовательности имеет смысл в любой категории с ядрами и коядрами .

Короткая точная последовательность [ править ]

Самый распространенный тип точной последовательности - это короткая точная последовательность . Это точная последовательность вида

${\displaystyle A\;{\overset {f}{\hookrightarrow }}\;B\;{\overset {g}{\twoheadrightarrow }}\;C}$

где - мономорфизм, а g - эпиморфизм . В этом случае является подобъектом из B , и соответствующий фактор является изоморфной к C :

${\displaystyle C\cong B/f(A).}$

(где f (A) = im ( f )).

Короткую точную последовательность абелевых групп также можно записать как точную последовательность из пяти членов:

${\displaystyle 0\;{\xrightarrow {}}\;A\;{\xrightarrow {f}}\;B\;{\xrightarrow {g}}\;C\;{\xrightarrow {}}\;0}$

где 0 представляет нулевой объект , такой как тривиальная группа или нульмерное векторное пространство. Размещение нулей вынуждает ƒ быть мономорфизмом, а g - эпиморфизмом (см. Ниже).

Длинная точная последовательность [ править ]

Длинная точная последовательность - это точная последовательность, индексированная натуральными числами .

Лемма пяти [ править ]

Рассмотрим следующую коммутативную диаграмму в любой абелевой категории (такой как категория абелевых групп или категория векторных пространств над данным полем ) или в категории групп .

Пять лемма утверждает , что, если строки являются точными , м и р являются изоморфизмами , л является эпиморфизмом , и д является мономорфизмом , то п также является изоморфизм.

Лемма о змее [ править ]

В абелевой категории (такой как категория абелевых групп или категория векторных пространств над данным полем ) рассмотрим коммутативную диаграмму :

где строки - это точные последовательности, а 0 - нулевой объект . Тогда существует точная последовательность , связывающие ядра и коядра о в , б , и с :

${\displaystyle \ker a\to \ker b\to \ker c{\overset {d}{\to }}\operatorname {coker} a\to \operatorname {coker} b\to \operatorname {coker} c}$

Более того, если морфизм f является мономорфизмом , то таким же является морфизм ker  a → ker  b , а если g ' - эпиморфизм , то таким же является coker  b → coker  c .

Абелевы категории [ править ]

В математике , абелева категория является категорией , в которой морфизмы могут быть добавлены и объекты , и в котором ядрах и коядра существуют и имеют желаемые свойства. Движущий пример прототипа абелевой категории является категорией абелевых групп , Ab . Теория возникла в предварительную попытке объединить несколько теорий когомологий на Гротендике . Абелевы категории - очень стабильные категории, например, они регулярны и удовлетворяют лемме о змее.. Класс абелевых категорий замкнут относительно нескольких категориальных конструкций, например, категория цепных комплексов абелевой категории или категория функторов из малой категории в абелеву категорию также являются абелевыми. Эти свойства устойчивости делают их неизбежными в гомологической алгебре и за ее пределами; теория имеет основные приложения в алгебраической геометрии , когомологиях и чистой теории категорий . Абелевы категории названы в честь Нильса Хенрика Абеля .

Более конкретно, категория абелева, если

• у него нулевой объект ,
• в нем есть все бинарные продукты и бинарные копродукции ,
• у него есть все ядра и коядра .
• все мономорфизмы и эпиморфизмы являются нормальными .

Функтор Ext [ править ]

Пусть R быть кольцо , и пусть Mod _R будет категория из модулей над R . Пусть Б быть в Mod _R и множество Т ( B ) = Хом _R ( A, B ), при фиксированном А в Mod _R . Это левый точный функтор и , следовательно , имеет право производные функторы R ^п Т . Функтор Ext определяется формулой

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}T)(B).}$

Это можно вычислить, взяв любое инъективное разрешение.

${\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow I^{0}\rightarrow I^{1}\rightarrow \cdots ,}$

и вычисления

${\displaystyle 0\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{0})\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{1})\rightarrow \cdots .}$

Тогда ( R ⁿ T ) ( B ) - гомологии этого комплекса. Отметим, что Hom _R ( A, B ) исключен из комплекса.

Альтернативное определение дается с использованием функтора G ( A ) = Hom _R ( A, B ). Для фиксированного модуля B это контравариантный точный левый функтор , и, следовательно, у нас также есть правые производные функторы R ⁿ G , и мы можем определить

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}G)(A).}$

Это можно вычислить, выбрав любое проективное разрешение.

${\displaystyle \dots \rightarrow P^{1}\rightarrow P^{0}\rightarrow A\rightarrow 0,}$

и продолжая дважды, вычисляя

${\displaystyle 0\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(P^{0},B)\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(P^{1},B)\rightarrow \cdots .}$

Тогда ( R ⁿ G ) ( A ) - гомологии этого комплекса. Снова отметим, что Hom _R ( A, B ) исключен.

Эти две конструкции дают изоморфные результаты, и поэтому обе могут использоваться для вычисления функтора Ext.

Функтор Tor [ править ]

Пусть R представляет собой кольцо , и обозначим через R - Mod категория из левых R - модулей и Mod - R категория правых R - модулей (если R является коммутативной , эти две категории совпадают). Закрепите модуль B в R - Mod . При А в Mod - R , установить Т ( ) = A ⊗ _R B . Тогда Tявляется точным справа функтором из Mod - R в категорию абелевых групп Ab (в случае, когда R коммутативно, это точный справа функтор из Mod - R в Mod - R ), а его левые производные функторы L _n T определены . Мы установили

${\displaystyle \mathrm {Tor} _{n}^{R}(A,B)=(L_{n}T)(A)}$

т.е. возьмем проективную резольвенту

${\displaystyle \cdots \rightarrow P_{2}\rightarrow P_{1}\rightarrow P_{0}\rightarrow A\rightarrow 0}$

затем удалите член A и тензор проективного разрешения с B, чтобы получить комплексный

${\displaystyle \cdots \rightarrow P_{2}\otimes _{R}B\rightarrow P_{1}\otimes _{R}B\rightarrow P_{0}\otimes _{R}B\rightarrow 0}$

(обратите внимание, что A ⊗ _R B не появляется, а последняя стрелка - это просто нулевое отображение) и возьмем гомологии этого комплекса.

Спектральная последовательность [ править ]

Зафиксируем абелеву категорию , например категорию модулей над кольцом. Спектральная последовательность является выбором неотрицательного целого р ₀ и набор из трех последовательностей:

1. Для всех целых чисел r ≥ r ₀ объект E _r , называемый листом (как на листе бумаги ), или иногда страницей или термином ,
2. Эндоморфизмы d _r  : E _r → E _r, удовлетворяющие d _r o d _r = 0, называемые граничными отображениями или дифференциалами ,
3. Изоморфизмы E _{r + 1} с H ( E _r ), гомологии E _r относительно d _r .

Двукратная спектральная последовательность содержит огромное количество данных, которые необходимо отслеживать, но существует общий метод визуализации, который делает структуру спектральной последовательности более ясной. У нас есть три индекса: r , p и q . Для каждого r представьте, что у нас есть лист миллиметровой бумаги. На этом листе мы возьмем p за горизонтальное направление, а q за вертикальное направление. В каждой точке решетки есть объект .${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$

Очень часто n = p + q является еще одним естественным индексом в спектральной последовательности. n проходит по диагонали, с северо-запада на юго-восток, через каждый лист. В гомологическом случае дифференциалы имеют бистепень (- r ,  r  - 1), поэтому они уменьшают n на единицу. В когомологическом случае n увеличивается на единицу. Когда r равно нулю, дифференциал перемещает объекты на одну позицию вниз или вверх. Это похоже на дифференциал на цепном комплексе. Когда r равно единице, дифференциал перемещает объекты на одно деление влево или вправо. Когда гравно двум, дифференциал перемещает объекты точно так же, как ход коня в шахматах . Для более высоких r дифференциал действует как обобщенный ход коня.

Производный функтор [ править ]

Пусть дан ковариантный оставил точный функтор F  : A → B между двумя абелевых категорий A и B . Если 0 → A → B → C → 0 - короткая точная последовательность в A , то применение F дает точную последовательность 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C), и можно было бы спросить, как продолжить эту последовательность вправо, чтобы сформировать длинную точную последовательность. Строго говоря, этот вопрос некорректно поставлен, поскольку всегда существует множество различных способов продолжить заданную точную последовательность вправо. Но оказывается, что (если это «хорошо» достаточно) есть один канонический способ сделать так, данное право производного функтора F . Для каждого i ≥1 существует функтор R ⁱ F : A → B , и указанная выше последовательность продолжается следующим образом: 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) →R ¹ F ( A ) → R ¹ F ( B ) → R ¹ F ( C ) → R ² F ( A ) → R ² F ( B ) → .... Отсюда мы видим, что F является точным функтором тогда и только тогда, когда R ¹ F = 0; так что в некотором смысле правые производные функторы F измеряют, "насколько далеко" F от точности.

Функциональность [ править ]

Непрерывное отображение топологических пространств порождает гомоморфизм между их п - й групп гомологии для всех п . Этот основной факт алгебраической топологии находит естественное объяснение через определенные свойства цепных комплексов. Поскольку очень часто изучать несколько топологических пространств одновременно, в гомологической алгебре одно приводит к одновременному рассмотрению нескольких цепных комплексов.

Морфизм между двумя цепными комплексами, представляет собой семейство гомоморфизмов абелевых групп , коммутирующие с дифференциалами, в том смысле , что для все п . Морфизм цепных комплексов индуцирует морфизм их групп гомологий, состоящий из гомоморфизмов для всех n . Морфизм F называется квазиизоморфизмом, если он индуцирует изоморфизм на n- й гомологии для всех n .${\displaystyle F:C_{\bullet }\to D_{\bullet },}$${\displaystyle F_{n}:C_{n}\to D_{n}}$${\displaystyle F_{n-1}\circ d_{n}^{C}=d_{n}^{D}\circ F_{n}}$${\displaystyle H_{\bullet }(F)}$${\displaystyle H_{n}(F):H_{n}(C)\to H_{n}(D)}$

Многие конструкции цепных комплексов, возникающие в алгебре и геометрии, в том числе сингулярные гомологии , обладают следующим свойством функториальности : если два объекта X и Y соединены отображением f , то ассоциированные цепные комплексы связаны морфизмом и, более того, композицией объектов отображает f :  X  →  Y и g :  Y  →  Z индуцирует морфизм , совпадающий с композицией. Отсюда следует, что группы гомологий${\displaystyle F=C(f):C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(Y),}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle C(g\circ f):C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(Z)}$${\displaystyle C(g)\circ C(f).}$${\displaystyle H_{\bullet }(C)}$ также являются функториальными, так что морфизмы между алгебраическими или топологическими объектами порождают совместимые отображения между их гомологиями.

Следующее определение вытекает из типичной ситуации в алгебре и топологии. Тройка, состоящая из трех цепных комплексов и двух морфизмов между ними, называется точной тройкой или короткой точной последовательностью комплексов и записывается как${\displaystyle L_{\bullet },M_{\bullet },N_{\bullet }}$${\displaystyle f:L_{\bullet }\to M_{\bullet },g:M_{\bullet }\to N_{\bullet },}$

${\displaystyle 0\longrightarrow L_{\bullet }{\overset {f}{\longrightarrow }}M_{\bullet }{\overset {g}{\longrightarrow }}N_{\bullet }\longrightarrow 0,}$

если для любого n последовательность

${\displaystyle 0\longrightarrow L_{n}{\overset {f_{n}}{\longrightarrow }}M_{n}{\overset {g_{n}}{\longrightarrow }}N_{n}\longrightarrow 0}$

- короткая точная последовательность абелевых групп. По определению это означает, что f _n - инъекция , g _n - сюръекция и Im f _n  = Ker g _n . Одна из самых основных теорем гомологической алгебры, иногда известная как лемма о зигзаге , утверждает, что в этом случае существует длинная точная последовательность в гомологиях

${\displaystyle \cdots \longrightarrow H_{n}(L){\overset {H_{n}(f)}{\longrightarrow }}H_{n}(M){\overset {H_{n}(g)}{\longrightarrow }}H_{n}(N){\overset {\delta _{n}}{\longrightarrow }}H_{n-1}(L){\overset {H_{n-1}(f)}{\longrightarrow }}H_{n-1}(M)\longrightarrow \cdots ,}$

где группы гомологий L , M и N циклически следуют друг за другом, а δ _n - некоторые гомоморфизмы, определяемые f и g , называемые соединяющими гомоморфизмами . Топологические проявления этой теоремы включают последовательность Майера – Виеториса и длинную точную последовательность для относительной гомологии .

Основополагающие аспекты [ править ]

Теории когомологий были определены для многих различных объектов, таких как топологические пространства , пучки , группы , кольца , алгебры Ли и C * -алгебры . Изучение современной алгебраической геометрии было бы почти немыслимо без когомологий пучков .

Центральное место в гомологической алгебре занимает понятие точной последовательности ; их можно использовать для выполнения реальных расчетов. Классическим инструментом гомологической алгебры является производный функтор ; самые простые примеры - это функторы Ext и Tor .

Имея в виду разнообразный набор приложений, было естественно попытаться поставить всю тему на единую основу. Было несколько попыток, прежде чем тема успокоилась. Примерную историю можно изложить следующим образом:

• Картан - Эйленберг : В своей книге 1956 года «Гомологическая алгебра» эти авторы использовали проективные и инъективные резольвенты модулей .
• «Тохоку»: Подход в знаменитой работе по Гротендик , который появился во второй серии из Тохоку математического журнала в 1957 году, с помощью абелевой категории концепции (включая снопы абелевых групп).
• Производная категория из Гротендик и Вердия . Производные категории восходят к тезису Вердье 1967 года. Они являются примерами триангулированных категорий, используемых в ряде современных теорий.

Они переходят от вычислимости к общности.

Вычислительная кувалда по преимуществу представляет собой спектральную последовательность ; они необходимы в подходах Картана-Эйленберга и Тохоку, где они необходимы, например, для вычисления производных функторов композиции двух функторов. Спектральные последовательности менее важны в подходе производных категорий, но все же играют роль, когда необходимы конкретные вычисления.

Были попытки создания «некоммутативных» теорий, расширяющих первые когомологии как торсоры (что важно в когомологиях Галуа ).

См. Также [ править ]

В Викицитаторе есть цитаты, связанные с: Гомологической алгеброй

• Абстрактная чепуха , термин для гомологической алгебры и теории категорий
• Дериватор
• Гомотопическая алгебра
• Список тем по гомологической алгебре

Ссылки [ править ]

• Анри Картан , Самуэль Эйленберг , Гомологическая алгебра . С приложением Дэвида А. Буксбаума. Перепечатка оригинала 1956 года. Достопримечательности Принстона в математике. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1999. xvi + 390 стр. ISBN 0-691-04991-2 
• Гротендик, Александр (1957). «Sur quelques points d'algèbre homologique, I» . Математический журнал Тохоку . 9 (2): 119–221. DOI : 10.2748 / TMJ / 1178244839 .
• Сондерс Мак Лейн , Гомология . Перепечатка издания 1975 года. Классика по математике. Springer-Verlag, Berlin, 1995. x + 422 pp. ISBN 3-540-58662-8 
• Питер Хилтон ; Штаммбах У. Курс гомологической алгебры . Второе издание. Тексты для выпускников по математике, 4. Springer-Verlag, New York, 1997. xii + 364 pp. ISBN 0-387-94823-6 
• Гельфанд, Сергей I .; Юрий Манин , Методы гомологической алгебры . Перевод с русского издания 1988 г. Второе издание. Монографии Спрингера по математике. Springer-Verlag, Berlin, 2003. xx + 372 с. ISBN 3-540-43583-2 
• Гельфанд, Сергей I .; Юрий Манин, Гомологическая алгебра . Перевод авторов с русского оригинала 1989 г. Перепечатка оригинального английского издания из серии Encyclopaedia of Mathematical Sciences ( Algebra , V, Encyclopaedia Math. Sci., 38, Springer, Berlin, 1994). Springer-Verlag, Berlin, 1999. iv + 222 стр. ISBN 3-540-65378-3 
• Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования в области высшей математики. 38 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55987-4. Руководство по ремонту  1269324 . OCLC  36131259 .