Лемма о змее

Змея леммы является инструментом , используемым в математике , в частности , гомологической алгебры , чтобы построить длинные точные последовательности . Лемма о змее верна в каждой абелевой категории и является важным инструментом в гомологической алгебре и ее приложениях, например, в алгебраической топологии . Построенные с его помощью гомоморфизмы обычно называются связывающими гомоморфизмами .

Заявление [ править ]

В абелевой категории (такой как категория абелевых групп или категория векторных пространств над данным полем ) рассмотрим коммутативную диаграмму :

где строки - это точные последовательности, а 0 - нулевой объект .

Тогда существует точная последовательность , связывающие ядра и коядра о в , б , и с :

${\displaystyle \ker a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker c~{\overset {d}{\longrightarrow }}~\operatorname {coker} a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} c}$

где d - гомоморфизм, известный как соединительный гомоморфизм .

Более того, если морфизм f является мономорфизмом , то он является морфизмом , а если g ' - эпиморфизмом , то таковым является .${\displaystyle \operatorname {ker} a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {ker} b}$${\displaystyle \operatorname {coker} b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} c}$

Коядра здесь: ${\displaystyle \operatorname {coker} a=A'/\operatorname {im} a,\operatorname {coker} b=B'/\operatorname {im} b,\operatorname {coker} c=C'/\operatorname {im} c.}$

Расшифровка названия [ править ]

Чтобы увидеть, откуда лемма о змее получила свое название, разверните приведенную выше диаграмму следующим образом:

а затем обратите внимание, что точная последовательность, которая является заключением леммы, может быть нарисована на этой расширенной диаграмме в перевернутой S-образной форме скользящей змеи .

Построение карт [ править ]

Отображения между ядрами и отображения между коядрами естественным образом индуцируются заданными (горизонтальными) отображениями из-за коммутативности диаграммы. Точность двух индуцированных последовательностей напрямую следует из точности строк исходной диаграммы. Важное утверждение леммы состоит в том, что существует связывающий гомоморфизм d, завершающий точную последовательность.

В случае абелевых групп или модулей над некоторым кольцом отображение d можно построить следующим образом:

Выберите элемент x в ker  c и рассмотрите его как элемент C ; так г есть сюръективны , существует у в B с г ( у ) = х . Из-за коммутативности диаграммы имеем g ' ( b ( y )) = c ( g ( y )) = c ( x ) = 0 (так как x находится в ядре c ), и, следовательно, b ( y ) находится в ядрег ' . Поскольку нижняя строка точна, мы находим элемент z в A ' с f  ' ( z ) = b ( y ). z единственно в силу инъективности f  '. Затем мы определяем d ( x ) = z + im ( a ). Теперь нужно проверить, что d корректно определено (т. Е. D ( x ) зависит только от x, а не от выбора y), что это гомоморфизм, и что полученная длинная последовательность действительно точна. Обычно точность проверяется поиском диаграмм (см. Доказательство леммы 9.1 в ^[1] ).

После этого теорема доказана для абелевых групп или модулей над кольцом. В общем случае аргумент можно перефразировать в терминах свойств стрелок и отмены вместо элементов. В качестве альтернативы можно использовать теорему вложения Митчелла .

Естественность [ править ]

В приложениях часто требуется показать, что длинные точные последовательности «естественны» (в смысле естественных преобразований ). Это следует из естественности последовательности, порождаемой леммой о змейке.

Если

- коммутативная диаграмма с точными строками, то лемму о змейке можно применить дважды, к «передней» и «задней», давая две длинные точные последовательности; они связаны коммутативной диаграммой вида

Пример [ править ]

Позвольте быть полем, быть -векторным пространством. является -модулем, будучи -линейным преобразованием, поэтому мы можем тензорно и более .${\displaystyle k}$${\displaystyle V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle V}$${\displaystyle k[t]}$${\displaystyle t:V\to V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k[t]}$

${\displaystyle V\otimes _{k[t]}k=V\otimes _{k[t]}(k[t]/(t))=V/tV=coker(t)}$.

Учитывая короткую точную последовательность -векторных пространств , мы можем индуцировать точную последовательность с помощью правой точности тензорного произведения. Но последовательность в целом не точна. Отсюда возникает естественный вопрос. Почему эта последовательность не точна?${\displaystyle k}$${\displaystyle 0\to M\to N\to P\to 0}$${\displaystyle M\otimes _{k[t]}k\to N\otimes _{k[t]}k\to P\otimes _{k[t]}k\to 0}$${\displaystyle 0\to M\otimes _{k[t]}k\to N\otimes _{k[t]}k\to P\otimes _{k[t]}k\to 0}$

Согласно диаграмме выше, мы можем вызвать точную последовательность , применяя лемму о змейке. Таким образом, мы видим, что лемма о змейке отражает неспособность тензорного произведения быть точным.${\displaystyle ker(t_{M})\to ker(t_{N})\to ker(t_{P})\to M\otimes _{k[t]}k\to N\otimes _{k[t]}k\to P\otimes _{k[t]}k\to 0}$

В популярной культуре [ править ]

Доказательству леммы о змее преподает персонаж Джилл Клейбург в самом начале фильма 1980 года «Моя очередь» . ^[2]

См. Также [ править ]

• Зигзагообразная лемма

Ссылки [ править ]

• Серж Ланг : Алгебра . 3-е издание, Springer 2002, ISBN 978-0-387-95385-4 , стр. 157–159 ( онлайн-копия , стр. 157, в Google Книгах ) 
• MF Atiyah ; И. Г. Макдональд : Введение в коммутативную алгебру . Oxford 1969, Addison-Wesley Publishing Company, Inc. ISBN 0-201-00361-9 . 
• П. Хилтон; У. Стамбах: Курс гомологической алгебры. 2. Auflage, Springer Verlag, Тексты для выпускников по математике , 1997, ISBN 0-387-94823-6 , стр. 99 ( онлайн-копия , стр. 99, в Google Книгах ) 

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Змеиная лемма» . MathWorld .
• Лемма о змее в PlanetMath
• Доказательство леммы о Змеи в фильме «Моя очередь»