Абелева категория

В математике , абелева категория является категорией , в которой морфизмы и объекты могут быть добавлены и в котором ядрах и коядра существуют и имеют желаемые свойства. Движущий Прототипом пример абелевой категории является категорией абелевых групп , Ab . Теория возникла в попытке объединить несколько теорий когомологий от Гротендика и независимо друг от друга в нескольких ранних работах Дэвид Бухсбаума . Абелевы категории - очень стабильные категории; например онирегулярны, и они удовлетворяют лемме о змее . Класс абелевых категорий замкнут относительно нескольких категориальных конструкций, например, категория цепных комплексов абелевой категории или категории функторов из малой категории в абелевую категорию абелева , а также. Эти свойства устойчивости делают их неизбежными в гомологической алгебре и за ее пределами; теория имеет основные приложения в алгебраической геометрии , когомологиях и чистой теории категорий . Абелевы категории названы в честь Нильса Хенрика Абеля .

Определения [ править ]

Категория абелева, если она предаддитивна и

• у него нулевой объект ,
• у него есть все двоичные бипродукты ,
• у него есть все ядра и коядра , и
• все мономорфизмы и эпиморфизмы являются нормальными .

Это определение эквивалентно ^[1] следующему «частичному» определению:

• Категория является предаддитивна , если он обогащен над моноидальными категориями Ab из абелевых групп . Это означает, что все hom-множества являются абелевыми группами и композиция морфизмов билинейна .
• Предаддитивная категория является аддитивной, если каждое конечное множество объектов имеет бипроизведение . Это означает, что мы можем формировать конечные прямые суммы и прямые произведения . В ^[2] Def. 1.2.6 требуется, чтобы аддитивная категория имела нулевой объект (пустой бипродукт).
• Аддитивная категория называется преабелевой, если каждый морфизм имеет и ядро, и коядро .
• Наконец, preabelian категория абелевая , если каждый мономорфизм и каждый эпиморфизм является нормальным . Это означает, что каждый мономорфизм является ядром некоторого морфизма, а каждый эпиморфизм является коядром некоторого морфизма.

Обратите внимание, что расширенная структура на hom-множествах является следствием первых трех аксиом первого определения. Это подчеркивает фундаментальную значимость категории абелевых групп в теории и ее канонический характер.

Понятие точной последовательности естественно возникает в этом случае, и оказывается, что точные функторы , то есть функторы, сохраняющие точные последовательности в различных смыслах, являются соответствующими функторами между абелевыми категориями. Это понятие точности было аксиоматизировано в теории точных категорий , образуя очень частный случай регулярных категорий .

Примеры [ править ]

• Как упоминалось выше, категория всех абелевых групп является абелевой категорией. Категория всех конечно порожденных абелевых групп также является абелевой категорией, как и категория всех конечных абелевых групп.
• Если R - кольцо , то категория всех левых (или правых) модулей над R является абелевой категорией. Фактически, можно показать, что любая малая абелева категория эквивалентна полной подкатегории такой категории модулей ( теорема вложения Митчелла ).
• Если R - нётерово слева кольцо , то категория конечно порожденных левых модулей над R абелева. В частности, категория конечно порожденных модулей над нётеровым коммутативным кольцом абелева; таким образом абелевы категории проявляются в коммутативной алгебре .
• В особых случаях в двух предыдущих примерах: категория векторных пространств над фиксированным полем к абелева, как категория конечномерных мерных векторных пространств над к .
• Если X - топологическое пространство , то категория всех (вещественных или комплексных) векторных расслоений на X обычно не является абелевой категорией, поскольку могут быть мономорфизмы, которые не являются ядрами.
• Если X - топологическое пространство , то категория всех пучков абелевых групп на X является абелевой категорией. В более общем смысле, категория пучков абелевых групп на сайте Гротендика является абелевой категорией. Таким образом, абелевы категории проявляются в алгебраической топологии и алгебраической геометрии .
• Если C - малая категория, а A - абелева категория, то категория всех функторов из C в A образует абелеву категорию. Если C мала и предаддитивна , то категория всех аддитивных функторов из C в A также образует абелеву категорию. Последнее является обобщением примера R -модуля, поскольку кольцо можно понимать как предаддитивную категорию с одним объектом.

Аксиомы Гротендика [ править ]

В своей статье в Тохоку Гротендик перечислил четыре дополнительных аксиомы (и их двойственные), которым может удовлетворять абелева категория A. Эти аксиомы широко используются по сей день. Это следующие:

• AB3) Для каждой индексируемой семьи ( _я ) объектов А , то копроизведение * _я существую в A (т.е. является cocomplete ).
• AB4) A удовлетворяет AB3), и копроизведение семейства мономорфизмов является мономорфизмом.
• AB5) удовлетворяет AB3), и отфильтрованные копределы из точных последовательностей являются точными.

и их двойники

• AB3 *) Для каждой индексируемой семьи ( _я ) объектов А , то произведение P _я существую в A (т.е. является полным ).
• AB4 *) A удовлетворяет AB3 *), и произведение семейства эпиморфизмов является эпиморфизмом.
• AB5 *) A удовлетворяет AB3 *), и отфильтрованные пределы точных последовательностей точны.

Также были даны аксиомы AB1) и AB2). Именно они делают аддитивную категорию абелевой. Конкретно:

• AB1) Каждый морфизм имеет ядро ​​и коядро.
• AB2) Для любого морфизма f канонический морфизм coim f на im f является изоморфизмом .

Гротендик также дал аксиомы AB6) и AB6 *).

• AB6) A удовлетворяет AB3), и для семейства фильтрованных категорий и отображений мы имеем , где lim обозначает фильтрованный копредел.${\ displaystyle I_ {j}, j \ in J}$${\ displaystyle A_ {j}: I_ {j} \ to A}$${\ displaystyle \ prod _ {j \ in J} \ lim _ {I_ {j}} A_ {j} = \ lim _ {I_ {j}, \ forall j \ in J} \ prod _ {j \ in J } A_ {j}}$
• AB6 *) A удовлетворяет AB3 *), и для семейства кофильтрованных категорий и отображений имеем , где lim обозначает кофильтрованный предел.${\ displaystyle I_ {j}, j \ in J}$${\ displaystyle A_ {j}: I_ {j} \ to A}$${\ displaystyle \ sum _ {j \ in J} \ lim _ {I_ {j}} A_ {j} = \ lim _ {I_ {j}, \ forall j \ in J} \ sum _ {j \ in J } A_ {j}}$

Элементарные свойства [ править ]

Принимая во внимание любая пара , B объектов в абелевой категории, существует специальный нулевой морфизм из A в B . Его можно определить как нулевой элемент гом-множества Hom ( A , B ), поскольку это абелева группа. В качестве альтернативы его можно определить как уникальную композицию A → 0 → B , где 0 - нулевой объект абелевой категории.

В абелевой категории любой морфизм f может быть записан как композиция эпиморфизма, за которым следует мономорфизм. Этот эпиморфизм называется кообразом из F , в то время как -мономорфизм называется изображение из F .

Подобъектов и фактор - объекты будут хорошо себя в абелевых категориях. Например, набор подобъектов любого данного объекта A является ограниченной решеткой .

Каждая абелева категория A является модулем над моноидальной категорией конечно порожденных абелевых групп; то есть, мы можем сформировать тензорное произведение конечно порожденной абелевой группы G и любой объект A из A . Абелева категория также является комодулем ; Хом ( G , ) можно интерпретировать как объект A . Если является полным , то можно удалить требование , чтобы G конечно порождена; в большинстве случаев мы можем сформировать в A финитарно обогащенные пределы .

Понятия, связанные с данным [ править ]

Абелевы категории являются наиболее общим параметром гомологической алгебры . Все конструкции, используемые в этом поле, являются релевантными, такие как точные последовательности и особенно короткие точные последовательности и производные функторы . Важные теоремы, применимые во всех абелевых категориях, включают лемму о пяти (и короткую лемму о пяти как частный случай), а также лемму о змее (и лемму о девяти как частный случай).

Полупростые абелевы категории [ править ]

Абелева категория называется полупростым , если есть совокупность объектов называются простые объекты (то есть только дочерние объекты любых являются нулевым объектом и сам) таким образом, что объект может быть разложен в виде прямой суммы (обозначая копроизведение из абелева категория)${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle \ {X_ {i} \} _ {я \ in I} \ in {\ text {Ob}} (\ mathbf {A})}$${\ displaystyle X_ {i}}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle X \ in {\ text {Ob}} (\ mathbf {A})}$

${\ Displaystyle X \ cong \ bigoplus _ {я \ in I} X_ {я}}$

Это техническое условие довольно сильное и исключает многие природные примеры абелевых категорий, встречающиеся в природе. Например, большинство категорий модулей над кольцом не являются полупростыми; на самом деле, это так, если и только если является полупростым кольцом .${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$

Примеры [ править ]

Некоторые абелевы категории, встречающиеся в природе, полупросты, например

• Категория векторных пространств над фиксированным полем${\ displaystyle {\ text {Vect}} (к)}$${\ displaystyle k}$
• По теореме Машке категория представлений конечной группы над полем , характеристика которого не делится, является полупростой абелевой категорией.${\ displaystyle {\ text {Rep}} _ {k} (G)}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle | G |}$
• Категория когерентных пучков на нётеровой схеме полупроста тогда и только тогда, когда является конечным несвязным объединением неприводимых точек. Это эквивалентно конечному копроизведению категорий векторных пространств над различными полями. Показать, что это верно в прямом направлении, эквивалентно показу, что все группы исчезают, что означает, что когомологическая размерность равна 0. Это происходит только тогда, когда пучки небоскребов в точке имеют касательное пространство Зарисского, равное нулю, что изоморфно использованию локальной алгебры для таких схема. ^[3]${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{Ext}}^{1}}$${\displaystyle k_{x}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle {\text{Ext}}^{1}(k_{x},k_{x})}$

Не примеры [ править ]

Действительно, существуют некоторые естественные контрпримеры абелевых категорий, которые не являются полупростыми, например, определенные категории представлений . Например, категория представлений группы Ли имеет представление${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$

${\displaystyle a\mapsto {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}}$

который имеет только одно субпредставление измерения . Фактически, это верно для любой унипотентной группы ^{[4] стр. 112} .${\displaystyle 1}$

Подкатегории абелевых категорий [ править ]

Существует множество типов (полных, аддитивных) подкатегорий абелевых категорий, которые встречаются в природе, а также некоторые противоречивые термины.

Пусть A - абелева категория, C - полная аддитивная подкатегория, а I - функтор включения.

• C является точной подкатегорией, если она сама является точной категорией и включение I является точным функтором . Это происходит тогда и только тогда , когда С замкнуто относительно откатов эпиморфизмов и pushouts мономорфизмов. Точные последовательности в C , таким образом , точные последовательности в А , для которого все объекты лежат в C .
• C является абелевой подкатегорией, если она сама является абелевой категорией и включение I является точным функтором . Это происходит тогда и только тогда, когда C замкнут по отношению к ядрам и коядрам. Обратите внимание, что есть примеры полных подкатегорий абелевой категории, которые сами являются абелевыми, но у которых функтор включения не точен, поэтому они не являются абелевыми подкатегориями (см. Ниже).
• C является толстой подкатегорией, если она замкнута относительно взятия прямых слагаемых и удовлетворяет свойству 2-из-3 на коротких точных последовательностях; то есть, если это короткая точная последовательность в A такая, что два из них лежат в C , то третье тоже. Другими словами, C замкнута относительно ядер эпиморфизмов, коядров мономорфизмов и расширений. Обратите внимание, что П. Габриэль использовал термин толстая подкатегория для описания того, что мы здесь называем подкатегорией Серра .${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$${\displaystyle M',M,M''}$
• C является топологизирующей подкатегорией, если она замкнута относительно подкатегорий .
• C представляет собой подкатегорию Серра , если для всех коротких точных последовательностей в А мы имеем М в С , если и только если оба находятся в C . Другими словами, C замкнут относительно расширений и подфакторов . Эти подкатегории являются в точности ядрами точных функторов из A в другую абелеву категорию.${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$${\displaystyle M',M''}$
• C является локализующей подкатегорией, если это подкатегория Серра такая, что фактор-функтор допускает правый сопряженный элемент .${\displaystyle Q\colon \mathbf {A} \to \mathbf {A} /\mathbf {C} }$
• Есть два конкурирующих понятия широкой подкатегории. Одна версия состоит в том, что C содержит каждый объект A (с точностью до изоморфизма); для полной подкатегории это явно не интересно. (Это также называется подкатегорией lluf .) Другая версия состоит в том, что C замкнута относительно расширений.

Вот явный пример полной аддитивной подкатегории абелевой категории, которая сама является абелевой, но функтор включения не точен. Пусть k - поле, алгебра верхнетреугольных матриц над k и категория конечномерных -модулей. Тогда каждая категория является абелевой, и у нас есть функтор включения, идентифицирующий простые проективные, простые инъективные и неразложимые проективно-инъективные модули. Существенный образ I - это полная аддитивная подкатегория, но I неточная.${\displaystyle T_{n}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbf {A} _{n}}$${\displaystyle T_{n}}$${\displaystyle \mathbf {A} _{n}}$${\displaystyle I\colon \mathbf {A} _{2}\to \mathbf {A} _{3}}$

История [ править ]

Абелевы категории были введены Бухсбаумом (1955) (под названием «точная категория») и Гротендиком (1957) с целью объединения различных теорий когомологий. В то время существовала теория когомологий пучков и теория когомологий групп . Эти двое были определены по-разному, но имели схожие свойства. Фактически, большая часть теории категорий была разработана как язык для изучения этих сходств. Гротендик объединил две теории: обе возникают как производные функторы на абелевых категориях; абелева категория пучков абелевых групп на топологическом пространстве и абелева категория G -модулей для данной группыG .

См. Также [ править ]

• Триангулированная категория

Ссылки [ править ]

• Бухсбаум, Дэвид А. (1955), «Точные категории и двойственность», Труды Американского математического общества , 80 (1): 1–34, DOI : 10.1090 / S0002-9947-1955-0074407-6 , ISSN  0002-9947 , JSTOR  1993003 , Руководство по ремонту  0074407
• Фрейд, Питер (1964), Абелевские категории , Нью-Йорк: Харпер и Роу
• Гротендик, Александр (1957), "Sur Quelques точки d'algèbre гомологической" , Тохоку математический журнал , вторая серия, 9 : 119-221, DOI : 10,2748 / TMJ / 1178244839 , ISSN  0040-8735 , MR  0102537
• Митчелл, Барри (1965), Теория категорий , Бостон, Массачусетс: Academic Press
• Попеску, Николае (1973), Абелевы категории с приложениями к кольцам и модулям , Бостон, Массачусетс: Academic Press