Обычная категория

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Сентябрь 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В теории категорий , регулярная категория является категорией с конечными пределами и коуравнителем пары морфизмов называемых парами ядра , удовлетворяющие определенные ТОЧНОСТЬЮ условиями. Таким образом, обычные категории возвращают многие свойства абелевых категорий , такие как существование изображений , не требуя аддитивности. В то же время регулярные категории обеспечивают основу для изучения фрагмента логики первого порядка , известного как регулярная логика.

Определение [ править ]

Категория C называется регулярной, если она удовлетворяет следующим трем свойствам: ^[1]

• C является конечно полным .
• Если f  :  X  →  Y - морфизм в C и

является откат , то коуравнитель из р ₀ , р ₁ существует. Пара ( р ₀ ,  р ₁ ) называется ядро пары из F . Пара ядер уникальна с точностью до единственного изоморфизма .

• Если f  :  X  →  Y - морфизм в C и

- обратный образ, и если f - регулярный эпиморфизм , то g - также регулярный эпиморфизм. Регулярный эпиморфизм эпиморфно , который появляется как коуравнитель некоторой пары морфизмов.

Примеры [ править ]

Примеры обычных категорий включают:

• Набор , категория наборов и функции между наборами
• В общем, каждый элементарный топос
• Grp , категория групп и гомоморфизмов групп
• Категория колец и гомоморфизмы колец
• В более общем смысле, категория моделей любого разнообразия
• Каждая ограниченная встречно-полурешетка с морфизмами, заданными отношением порядка
• Каждая абелева категория

Следующие категории не являются регулярными:

• Вверх , категория топологических пространств и непрерывных функций
• Кот , категория малых категорий и функторов

Эпи-моно факторизация [ править ]

В регулярной категории регулярные эпиморфизмы и мономорфизмы образуют систему факторизации . Каждый морфизм f: X → Y может быть факторизован в регулярный эпиморфизм e: X → E, за которым следует мономорфизм m: E → Y , так что f = me . Факторизация уникальна в том смысле, что если e ': X → E' - другой регулярный эпиморфизм и m ': E' → Y - другой мономорфизм такой, что f = m'e ' , то существует изоморфизм h: E → E ' такой, что he = e' и m'h = m . Мономорфизм mназывается изображение из F .

Точные последовательности и регулярные функторы [ править ]

В обычной категории диаграмма формы называется точной последовательностью, если она одновременно является соуравнивателем и парой ядра. Терминология является обобщением точных последовательностей в гомологической алгебре : в абелевой категории диаграмма ${\ displaystyle R \ rightrightarrows X \ to Y}$

${\displaystyle R\;{\overset {r}{\underset {s}{\rightrightarrows }}}\;X\xrightarrow {f} Y}$

является точным в этом смысле тогда и только тогда, когда является короткой точной последовательностью в обычном смысле.${\displaystyle 0\to R{\xrightarrow {(r,s)}}X\oplus X{\xrightarrow {(f,-f)}}Y\to 0}$

Функтор между регулярными категориями называется регулярным , если он сохраняет конечные пределы и коэквалайзеры ядерных пар. Функтор является регулярным тогда и только тогда, когда он сохраняет конечные пределы и точные последовательности. По этой причине регулярные функторы иногда называют точными . Функторы, сохраняющие конечные пределы, часто называют точными слева .

Обычная логика и обычные категории [ править ]

Регулярная логика - это фрагмент логики первого порядка, который может выражать утверждения в форме

${\displaystyle \forall x(\phi (x)\to \psi (x))}$,

где и являются регулярными формулами, то есть формулами, составленными из элементарных формул , константы истинности, двоичных совпадений (конъюнкция) и экзистенциальной количественной оценки . Такие формулы могут быть интерпретированы в обычной категории, и интерпретация является моделью секвенции , если интерпретация факторов через интерпретацию . ^[2] Это дает для каждой теории (набора секвенций) T и для каждой регулярной категории C категорию Mod ( T , C) моделей T в C${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \forall x(\phi (x)\to \psi (x))}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \psi }$. Эта конструкция дает функтор Mod ( T , -): RegCat → Cat из категории RegCat из небольших регулярных категорий и регулярных функторов малых категорий. Важным результатом является то, что для каждой теории T существует регулярная категория R (T) , такая, что для каждой регулярной категории C существует эквивалентность

${\displaystyle \mathbf {Mod} (T,C)\cong \mathbf {RegCat} (R(T),C)}$,

который является естественным в C . Здесь R (T) называется классифицирующей категорией регулярной теории T. С точностью до эквивалентности любая малая регулярная категория возникает таким образом как классифицирующая категория некоторой регулярной теории. ^[2]

Точные (эффективные) категории [ править ]

Теория отношений эквивалентности - регулярная теория. Отношение эквивалентности на объекте регулярной категории - это мономорфизм в, который удовлетворяет интерпретациям условий рефлексивности, симметрии и транзитивности. ${\displaystyle X}$${\displaystyle X\times X}$

Каждая пара ядер определяет отношение эквивалентности . И наоборот, отношение эквивалентности считается эффективным, если оно возникает как пара ядер. ^[3] Отношение эквивалентности эффективно тогда и только тогда, когда оно имеет коэквалайзер и является его ядерной парой.${\displaystyle p_{0},p_{1}:R\rightarrow X}$${\displaystyle R\rightarrow X\times X}$

Регулярная категория называется точной , или точной в смысле Барра , или эффективной регулярной , если каждое отношение эквивалентности эффективно. ^[4] (Обратите внимание, что термин «точная категория» также используется по-другому, для точных категорий в смысле Квиллена .)

Примеры точных категорий [ править ]

• В этом смысле категория множеств точна, как и любой (элементарный) топос . Каждое отношение эквивалентности имеет коэквалайзер, который находится путем взятия классов эквивалентности .
• Каждая абелева категория точна.
• Каждая категория, монадическая над категорией множеств, точна.
• Категория каменных пространств регулярна, но не точна.

См. Также [ править ]

• Аллегория (теория категорий)
• Topos
• Точное завершение

Ссылки [ править ]

• Майкл Барр , Пьер А. Грийе, Донован Х. ван Осдол. Точные категории и категории пучков , Спрингер, конспект лекций по математике 236. 1971.
• Фрэнсис Борсо, Справочник по категориальной алгебре 2 , Cambridge University Press, (1994).
• Стивен Лэк, Заметка о точном пополнении регулярной категории и ее бесконечных обобщениях ». Теория и приложения категорий, Том 5, № 3, (1999).
• Яап ван Остен (1995), Базовая теория категорий , Серия лекций БРИКС LS-95-1, (1995).
• Педиккио, Мария Кристина; Толен, Уолтер, ред. (2004). Категориальные основания. Специальные разделы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. 97 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-83414-7. Zbl  1034.18001 .