В математике , абелева категория является категорией , в которой морфизмы и объекты могут быть добавлены и в котором ядрах и коядра существуют и имеют желаемые свойства. Движущий Прототипом пример абелевой категории является категорией абелевых групп , Ab . Теория возникла в попытке объединить несколько теорий когомологий от Гротендика и независимо друг от друга в нескольких ранних работах Дэвид Бухсбаума . Абелевы категории - очень стабильные категории; например онирегулярны, и они удовлетворяют лемме о змее . Класс абелевых категорий замкнут относительно нескольких категориальных конструкций, например, категория цепных комплексов абелевой категории или категории функторов из малой категории в абелевую категорию абелева , а также. Эти свойства устойчивости делают их неизбежными в гомологической алгебре и за ее пределами; теория имеет основные приложения в алгебраической геометрии , когомологиях и чистой теории категорий . Абелевы категории названы в честь Нильса Хенрика Абеля .
Определения
Категория абелева, если она предаддитивна и
- у него нулевой объект ,
- у него есть все двоичные бипродукты ,
- у него есть все ядра и коядра , и
- все мономорфизмы и эпиморфизмы являются нормальными .
Это определение эквивалентно [1] следующему «частичному» определению:
- Категория является предаддитивна , если он обогащен над моноидальными категориями Ab из абелевых групп . Это означает, что все hom-множества являются абелевыми группами и композиция морфизмов билинейна .
- Предаддитивная категория является аддитивной, если каждое конечное множество объектов имеет бипроизведение . Это означает, что мы можем формировать конечные прямые суммы и прямые произведения . В [2] Def. 1.2.6 требуется, чтобы аддитивная категория имела нулевой объект (пустой бипродукт).
- Аддитивная категория называется преабелевой, если каждый морфизм имеет и ядро, и коядро .
- Наконец, preabelian категория абелевая , если каждый мономорфизм и каждый эпиморфизм является нормальным . Это означает, что каждый мономорфизм является ядром некоторого морфизма, а каждый эпиморфизм является коядром некоторого морфизма.
Обратите внимание, что расширенная структура на hom-множествах является следствием первых трех аксиом первого определения. Это подчеркивает фундаментальную значимость категории абелевых групп в теории и ее канонический характер.
Понятие точной последовательности естественно возникает в этом случае, и оказывается, что точные функторы , т.е. функторы, сохраняющие точные последовательности в различных смыслах, являются соответствующими функторами между абелевыми категориями. Это понятие точности было аксиоматизировано в теории точных категорий , образуя очень частный случай регулярных категорий .
Примеры
- Как упоминалось выше, категория всех абелевых групп является абелевой категорией. Категория всех конечно порожденных абелевых групп также является абелевой категорией, как и категория всех конечных абелевых групп.
- Если R - кольцо , то категория всех левых (или правых) модулей над R является абелевой категорией. Фактически, можно показать, что любая малая абелева категория эквивалентна полной подкатегории такой категории модулей ( теорема вложения Митчелла ).
- Если R - нётерово слева кольцо , то категория конечно порожденных левых модулей над R абелева. В частности, категория конечно порожденных модулей над нётеровым коммутативным кольцом абелева; таким образом абелевы категории проявляются в коммутативной алгебре .
- В особых случаях в двух предыдущих примерах: категория векторных пространств над фиксированным полем к абелева, как категория конечномерных мерных векторных пространств над к .
- Если X - топологическое пространство , то категория всех (вещественных или комплексных) векторных расслоений на X обычно не является абелевой категорией, поскольку могут быть мономорфизмы, не являющиеся ядрами.
- Если X - топологическое пространство , то категория всех пучков абелевых групп на X является абелевой категорией. В более общем смысле, категория пучков абелевых групп на сайте Гротендика является абелевой категорией. Таким образом, абелевы категории проявляются в алгебраической топологии и алгебраической геометрии .
- Если C - малая категория, а A - абелева категория, то категория всех функторов из C в A образует абелеву категорию. Если C мала и предаддитивна , то категория всех аддитивных функторов из C в A также образует абелеву категорию. Последнее является обобщением примера R -модуля, поскольку кольцо можно понимать как предаддитивную категорию с одним объектом.
Аксиомы Гротендика
В своей статье в Тохоку Гротендик перечислил четыре дополнительных аксиомы (и их двойственные), которым может удовлетворять абелева категория A. Эти аксиомы широко используются и по сей день. Это следующие:
- AB3) Для каждой индексируемой семьи ( я ) объектов А , то копроизведение * я существую в A (т.е. является cocomplete ).
- AB4) A удовлетворяет AB3), и копроизведение семейства мономорфизмов является мономорфизмом.
- AB5) удовлетворяет AB3), и отфильтрованные копределы из точных последовательностей являются точными.
и их двойники
- AB3 *) Для каждой индексируемой семьи ( я ) объектов А , то произведение P я существую в A (т.е. является полным ).
- AB4 *) A удовлетворяет AB3 *), и произведение семейства эпиморфизмов является эпиморфизмом.
- AB5 *) A удовлетворяет AB3 *), и отфильтрованные пределы точных последовательностей точны.
Также были даны аксиомы AB1) и AB2). Именно они делают аддитивную категорию абелевой. Конкретно:
- AB1) Каждый морфизм имеет ядро и коядро.
- AB2) Для любого морфизма f канонический морфизм coim f на im f является изоморфизмом .
Гротендик также дал аксиомы AB6) и AB6 *).
- AB6) A удовлетворяет AB3), и учитывая семейство фильтрованных категорий и карты , у нас есть , где lim обозначает отфильтрованный копредел.
- AB6 *) A удовлетворяет AB3 *), и для данного семейства кофильтрованных категорий и карты , у нас есть , где lim обозначает кофильтрованный предел.
Элементарные свойства
Принимая во внимание любая пара , B объектов в абелевой категории, существует специальный нулевой морфизм из A в B . Его можно определить как нулевой элемент гом-множества Hom ( A , B ), поскольку это абелева группа. В качестве альтернативы его можно определить как уникальную композицию A → 0 → B , где 0 - нулевой объект абелевой категории.
В абелевой категории каждый морфизм f может быть записан как композиция эпиморфизма, за которым следует мономорфизм. Этот эпиморфизм называется кообразом из F , в то время как -мономорфизм называется изображение из F .
Подобъектов и фактор - объекты будут хорошо себя в абелевых категориях. Например, набор подобъектов любого данного объекта A является ограниченной решеткой .
Каждая абелева категория A является модулем над моноидальной категорией конечно порожденных абелевых групп; то есть, мы можем сформировать тензорное произведение конечно порожденной абелевой группы G и любой объект A из A . Абелева категория также является комодулем ; Хом ( G , ) можно интерпретировать как объект A . Если является полным , то можно удалить требование , чтобы G конечно порождена; в наиболее общем, мы можем сформировать финитные обогащенные пределы в A .
Связанные понятия
Абелевы категории являются наиболее общим параметром гомологической алгебры . Все конструкции, используемые в этой области, являются релевантными, такие как точные последовательности и особенно короткие точные последовательности и производные функторы . Важные теоремы, применимые во всех абелевых категориях, включают лемму о пяти (и короткую лемму о пяти как частный случай), а также лемму о змее (и лемму о девяти как частный случай).
Полупростые абелевы категории
Абелева категория называется полупростым, если есть набор объектовназываемые простыми объектами (то есть единственными подобъектами любого нулевой объект и сам) так, что объект может быть разложен как прямая сумма (обозначающая копроизведение абелевой категории)
Это техническое условие довольно сильное и исключает многие природные примеры абелевых категорий, встречающиеся в природе. Например, большинство категорий модулей над кольцомне полупростые; на самом деле это так тогда и только тогда, когда- полупростое кольцо .
Примеры
Некоторые абелевы категории, встречающиеся в природе, полупросты, например
- Категория векторных пространств над фиксированным полем
- По теореме Машке категория представлений конечной группы над полем чья характеристика не разделяет - полупростая абелева категория.
- Категория когерентных пучков на нётеровой схеме полупроста тогда и только тогда, когдаявляется конечным непересекающимся объединением неприводимых точек. Это эквивалентно конечному копроизведению категорий векторных пространств над различными полями. Показать, что это правда в прямом направлении, эквивалентно отображению всехгруппы исчезают, что означает, что когомологическая размерность равна 0. Это происходит только тогда, когда небоскреб в какой-то момент имеет Зариское касательное пространство равно нуль, изоморфныеиспользуя локальную алгебру для такой схемы. [3]
Не примеры
Действительно, существуют некоторые естественные контрпримеры абелевых категорий, которые не являются полупростыми, например, определенные категории представлений . Например, категория представлений группы Ли имеет представление
который имеет только одно подпредставление измерения . Фактически, это верно для любой унипотентной группы [4] стр. 112 .
Подкатегории абелевых категорий
Существует множество типов (полных, аддитивных) подкатегорий абелевых категорий, которые встречаются в природе, а также некоторые противоречивые термины.
Пусть A - абелева категория, C - полная аддитивная подкатегория, а I - функтор включения.
- C является точной подкатегорией, если она сама является точной категорией и включение I является точным функтором . Это происходит тогда и только тогда, когда C замкнута относительно откатов эпиморфизмов и выталкиваний мономорфизмов. Точные последовательности в C , таким образом , точные последовательности в А , для которого все объекты лежат в C .
- C является абелевой подкатегорией, если она сама является абелевой категорией и включение I является точным функтором . Это происходит тогда и только тогда, когда C замкнут по отношению к ядрам и коядрам. Обратите внимание, что есть примеры полных подкатегорий абелевой категории, которые сами являются абелевыми, но у которых функтор включения не точен, поэтому они не являются абелевыми подкатегориями (см. Ниже).
- C является толстой подкатегорией, если она замкнута относительно взятия прямых слагаемых и удовлетворяет свойству 2-из-3 на коротких точных последовательностях; то есть, есликороткая точная последовательность в A такая, что два излежат в C , то и третье. Другими словами, C замкнута относительно ядер эпиморфизмов, коядров мономорфизмов и расширений. Обратите внимание, что П. Габриэль использовал термин « толстая подкатегория» для описания того, что мы здесь называем подкатегорией Серра .
- C является топологизирующей подкатегорией, если она замкнута относительно подкатегорий .
- C является подкатегорией Серра, если для всех коротких точных последовательностейв A мы имеем M в C тогда и только тогда, когда обав C . Другими словами, C замкнут относительно расширений и подфакторов . Эти подкатегории являются в точности ядрами точных функторов из A в другую абелеву категорию.
- C является локализующей подкатегорией, если это подкатегория Серра такая, что фактор-функтордопускает правый сопряженный .
- Есть два конкурирующих понятия широкой подкатегории. Одна версия состоит в том, что C содержит каждый объект A (с точностью до изоморфизма); для полной подкатегории это явно не интересно. (Это также называется подкатегорией lluf .) Другая версия состоит в том, что C замкнута относительно расширений.
Вот явный пример полной аддитивной подкатегории абелевой категории, которая сама является абелевой, но функтор включения не точен. Пусть k - поле, алгебра верхнетреугольных матрицы над k , и категория конечномерных -модули. Тогда каждый является абелевой категорией, и у нас есть функтор включения выявление простых проективных, простых инъективных и неразложимых проективно-инъективных модулей. Существенный образ I - это полная аддитивная подкатегория, но I неточная.
История
Абелевы категории были введены Бухсбаумом (1955) (под названием «точная категория») и Гротендиком (1957) с целью объединения различных теорий когомологий. В то время существовала теория когомологий пучков и теория когомологий групп . Эти двое были определены по-разному, но имели схожие свойства. Фактически, большая часть теории категорий была разработана как язык для изучения этих сходств. Гротендик объединил две теории: обе возникают как производные функторы на абелевых категориях; абелева категория пучков абелевых групп на топологическом пространстве, а абелева категория G -модулями для данной группы G .
Смотрите также
- Триангулированная категория
Рекомендации
- ^ Питер Freyd, Абелевы Категории
- ^ Справочник категориальной алгебры, т. 2, Ф. Борсё
- ^ "Алгебраическая геометрия - Касательное пространство в точке и Первая Ext группа" . Обмен математическими стеками . Проверено 23 августа 2020 .
- ^ Хамфрис, Джеймс Э. (2004). Линейные алгебраические группы . Springer. ISBN 0-387-90108-6. OCLC 77625833 .
- Бухсбаум, Дэвид А. (1955), «Точные категории и двойственность», Труды Американского математического общества , 80 (1): 1–34, DOI : 10.1090 / S0002-9947-1955-0074407-6 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1993003 , Руководство по ремонту 0074407
- Фрейд, Питер (1964), Абелевские категории , Нью-Йорк: Харпер и Роу
- Гротендик, Александр (1957), "Sur Quelques точки d'algèbre гомологической" , Тохоку математический журнал , вторая серия, 9 : 119-221, DOI : 10,2748 / TMJ / 1178244839 , ISSN 0040-8735 , MR 0102537
- Митчелл, Барри (1965), Теория категорий , Бостон, Массачусетс: Academic Press
- Попеску, Николае (1973), Абелевы категории с приложениями к кольцам и модулям , Бостон, Массачусетс: Academic Press