В математике , особенно в теории категорий , предабелева категория — это аддитивная категория , имеющая все ядра и коядра .
Заметим, что нулевой морфизм в п. 3 может быть идентифицирован как единичный элемент хом-множества Hom ( A , B ), которое является абелевой группой по п. 1; или как уникальный морфизм A → 0 → B , где 0 — нулевой объект , существование которого гарантировано пунктом 2.
Исходным примером аддитивной категории является категория Ab абелевых групп .Ab является предаддитивным, потому что это замкнутая моноидальная категория , побочное произведение в Ab является конечной прямой суммой , ядро является включением обычного ядра из теории групп, а коядро является фактором отображения на обычное коядро из теории групп .
Это даст вам представление о том, о чем следует думать; дополнительные примеры см. в разделе абелева категория (каждая абелева категория является предабелевой).
Каждая предабелева категория, конечно, является аддитивной категорией , и многие основные свойства этих категорий описаны в этой теме. Эта статья посвящена свойствам, которые сохраняются именно благодаря существованию ядер и коядер.
Хотя ядра и коядра являются особыми видами эквалайзеров и соэквалайзеров , предабелева категория на самом деле имеет все эквалайзеры и соэквалайзеры. Мы просто строим эквалайзер двух морфизмов f и g как ядро их разности g − f ; точно так же их соуравнитель является ядром их различия. (Альтернативный термин «разностное ядро» для бинарных уравнителей происходит из этого факта.) Поскольку предабелевы категории имеют все конечные произведения и сопутствующие произведения (двойные произведения) и все бинарные уравнители и соуравнители (как только что описано), то по общей теореме теория категорий, они имеют все конечные пределы и копределы . То есть предабелевы категории конечно полны .