Соэквалайзер

В теории категорий , коуравнитель (или coequaliser ) является обобщением фактора с помощью отношения эквивалентности к объектам в произвольной категории . Это категорическая конструкция двойной к эквалайзеру .

Определение [ править ]

Коуравнитель является копредел диаграммы , состоящей из двух объектов X и Y и два параллельных морфизмов F , г  : Х → Y .

Более явно, коувалайзер может быть определен как объект Q вместе с морфизмом q  : Y → Q таким, что q ∘ f = q ∘ g . Более того, пара ( Q , q ) должна быть универсальной в том смысле, что для любой другой такой пары ( Q ′, q ′) существует единственный морфизм u  : Q → Q ′ такой, что u ∘ q = q ′. Эту информацию можно получить с помощью следующихкоммутативная диаграмма :

Как и все универсальные конструкции , коувалайзер, если он существует, уникален с точностью до единственного изоморфизма (вот почему, злоупотребляя языком, иногда говорят о «коувалайзере» двух параллельных стрелок).

Можно показать, что коэквалайзер q является эпиморфизмом в любой категории.

Примеры [ править ]

• В категории множеств , в коуравнитель двух функций ф , г  : X → Y является фактор из Y наименьшим отношением эквивалентности такой , что для любого , у нас есть . ^[1] В частности, если R - отношение эквивалентности на множестве Y , а r ₁ , r ₂ - естественные проекции ( R ⊂ Y × Y ) → Y, то коэквалайзер r ₁${\ displaystyle \ sim}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ Displaystyle е (х) \ сим г (х)}$и г ₂ есть фактор множество Y / R . (См. Также: фактор по отношению эквивалентности .)
• Коэквалайзер в категории групп очень похож. При этом , если ф , г  : X → Y являются гомоморфизмами групп , их коуравнителем является частным от Y по нормальному замыканию множества

${\ Displaystyle S = \ {е (х) г (х) ^ {- 1} \ середина х \ в X \}}$

• Для абелевых групп коэквалайзер особенно прост. Это просто фактор-группа Y / im ( f - g ). (Это коядро морфизма f - g ; см. Следующий раздел).
• В категории топологических пространств круговой объект можно рассматривать как уравнитель двух отображений включения из стандартного 0-симплекса в стандартный 1-симплекс.${\ Displaystyle S ^ {1}}$
• Коэквалайзеры могут быть большими: есть ровно два функтора из категории 1, имеющей один объект и одну стрелку идентичности, до категории 2 с двумя объектами и одной стрелкой неидентичности, проходящей между ними. Коуравнитель этих двух функторов является Моноид из натуральных чисел по сложению, рассматриваются как категории в один объект. В частности, это показывает , что в то время как каждый coequalizing стрелка эпос , это не обязательно сюръективно .

Свойства [ править ]

• Каждый коэквалайзер - это эпиморфизм.
• В топосе каждый эпиморфизм является уравнителем своей ядерной пары.

Особые случаи [ править ]

В категориях с нулевыми морфизмами можно определить коядро морфизма f как коэквалайзер морфизма f и параллельного морфизма нуля.

В предаддитивных категориях имеет смысл складывать и вычитать морфизмы ( гом-множества фактически образуют абелевы группы ). В таких категориях можно определить коэквалайзер двух морфизмов f и g как коядро их разности:

coeq ( f , g ) = coker ( g - f ).

Более сильным понятием является понятие абсолютного коувалайзера , это коувалайзер, который сохраняется при всех функторах. Формально, абсолютный коувалайзер пары параллельных стрелок f , g  : X → Y в категории C является коувалайзером, как определено выше, но с дополнительным свойством, которое дает любой функтор F : C → D , F ( Q ) вместе с F ( q ) является соуравнителем F ( f ) и F ( g ) в категории D. Сплит-коэффициенты являются примерами абсолютных коэффициентов.

См. Также [ править ]

• Копродукт
• Выталкивание

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Сондерс Мак-Лейн : Категории для рабочего математика , второе издание, 1998 г.
• Соэквалайзеры - стр.65
• Абсолютные коэквалайзеры - стр.149

Внешние ссылки [ править ]

• Интерактивная веб-страница, которая генерирует примеры соэквалайзеров в категории конечных множеств. Автор Джоселин Пейн .