Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Для использования в других целях, см Топос (значения) .

В математике , а топос ( UK : / T ɒ р а ɒ сек / , США : / т oʊ р oʊ ы , т oʊ р ɒ с / ; множественными топосами / т oʊ р ɔɪ / или / т ɒ р ɔɪ / , или toposes ) - категориячто ведет себя как категорию пучков из множеств на топологическом пространстве (или в более общем смысле : на сайте ). Topoi во многом похожи на категорию множеств и обладают понятием локализации; они являются прямым обобщением точечной топологии . [1] Гротендик топосов находит применение в алгебраической геометрии ; в логике используются более общие элементарные топои .

Grothendieck topoi (топои в геометрии) [ править ]

С момента введения пучков в математику в 1940-х годах основной темой стало изучение пространства путем изучения пучков на пространстве. Эту идею изложил Александр Гротендик , введя понятие «топос». Основная полезность этого понятия заключается в большом количестве ситуаций в математике, где топологическая эвристика очень эффективна, но честного топологического пространства не хватает; иногда можно найти топос, формализующий эвристику. Важный примером этой программной идеи является Этальным топосом о виде схемы. Другой иллюстрацией способности Гротендика воплощать «сущность» различных математических ситуаций является их использование в качестве мостов для соединения теорий, которые, хотя и написаны, возможно, на очень разных языках, имеют общее математическое содержание. [2] [3]

Эквивалентные определения [ править ]

Топос Гротендика - это категория C, которая удовлетворяет любому из следующих трех свойств. (А теорема о Жан Жиро утверждает , что свойства ниже эквивалентны.)

  • Существует малая категория D и включение C ↪ Presh ( D ), допускающее левый сопряженный, сохраняющий конечный предел .
  • C - категория пучков на сайте Гротендика .
  • C удовлетворяет аксиомам Жиро, приведенным ниже.

Здесь Presh ( D ) обозначает категорию контравариантных функторов из D в категорию множеств; такой контравариантный функтор часто называют предпучком .

Аксиомы Жиро [ править ]

Аксиомы Жиро для категории C :

  • C имеет небольшой набор генераторов и допускает все малые копределы . Более того, продукты из волокна распределяются по побочным продуктам . То есть, учитывая набор I , отображение I -индексированного копроизведения в A и морфизм A ' → A , откат является I -индексированным копроизведением откатов:
.
  • Суммы в C не пересекаются. Другими словами, волокно произведение X и Y над их суммой является исходный объект в C .
  • Все отношения эквивалентности в C являются эффективными .

Последняя аксиома требует наибольшего пояснения. Если X - объект C , то «отношение эквивалентности» R на X - это отображение R → X × X в C такое, что для любого объекта Y в C индуцированное отображение Hom ( Y , R ) → Hom ( Y , X ) × Hom ( Y , X ) задает обычное отношение эквивалентности на множестве Hom ( Y , X ). Поскольку C имеет копределы, мы можем сформировать коуравнительдвух отображений R → X ; называем это X / R . Отношение эквивалентности «эффективно», если каноническое отображение

является изоморфизмом.

Примеры [ править ]

Теорема Жиро уже дает «пучки на узлах» в качестве полного списка примеров. Обратите внимание, однако, что неэквивалентные сайты часто приводят к эквивалентным topoi. Как указано во введении, пучки на обычных топологических пространствах служат мотивом для многих основных определений и результатов теории топосов.

Категория множеств является важным частным случаем: он играет роль точки в теории топоса. В самом деле, множество можно представить себе как пучок на точке.

Более экзотические примеры и смысл теории топосов берут начало в алгебраической геометрии. Для схемы и даже стека можно связать Этальный топос, А. fppf топоса, А Нисневич топос ... Еще один важным примером топоса является из кристаллического сайта .

Контрпримеры [ править ]

Теория Топоса в некотором смысле является обобщением классической точечной топологии. Поэтому следует ожидать появления старых и новых примеров патологического поведения. Например, есть пример Пьера Делиня нетривиального топоса, у которого нет точек (см. Определение точек топоса ниже).

Геометрические морфизмы [ править ]

Если X и Y топологические, геометрический морфизм u  :  X → Y - это пара сопряженных функторов ( u ∗ , u ∗ ) (где u ∗  : Y → X сопряжена слева к u ∗  : X → Y ) таких, что u ∗ сохраняет конечные пределы. Отметим, что u ∗ автоматически сохраняет копределы в силу правого сопряженного элемента.

По теореме Фрейда о сопряженном функторе задать геометрический морфизм X → Y - значит дать функтор u ∗ :  Y → X, который сохраняет конечные пределы и все малые копределы. Таким образом, геометрические морфизмы топоев можно рассматривать как аналоги карт локалей .

Если X и Y - топологические пространства, а u - непрерывное отображение между ними, то операции возврата и продвижения на пучках приводят к геометрическому морфизму между ассоциированными топоями.

Очки топоев [ править ]

Точка топоса X определена как геометрический морфизм из топоса множеств в X .

Если X - обычное пространство, а x - точка X , то функтор, который переводит пучок F на его стержень F x, имеет правый сопряженный элемент (функтор "пучок небоскребов"), поэтому обычная точка X также определяет топос -теоретический пункт. Они могут быть построены как вытягиванию-прямым образом вдоль непрерывного отображения х :  1 → X .

Точнее, это глобальные точки. Сами по себе они неадекватны для отображения пространственного аспекта топоса, потому что нетривиальный топос может его не иметь. Обобщенные точки являются геометрическим морфизмом из топоса Y (далее этапа определения ) к X . Их достаточно, чтобы отобразить космический аспект. Например, если X является классифицирующим топосом S [ T ] для геометрической теории T , то универсальное свойство говорит, что его точки являются моделями T (на любой стадии определения Y ).

Основные геометрические морфизмы [ править ]

Геометрический морфизм ( u ∗ , u ∗ ) существенен, если u ∗ имеет дополнительный левый сопряженный u ! , или, что то же самое (по теореме о присоединенном функторе), если u ∗ сохраняет не только конечные, но и все малые пределы.

Кольчатые топои [ править ]

Основная статья: Кольчатые топосы

A кольчатых топос является пара (X, R) , где Х представляет собой топос и R представляет собой коммутативное кольцо объект в X . Большинство построек окольцованных пространств проходят через окольцованные топои. Категория R -модульных объектов в X является абелевой категорией с достаточным количеством инъекций. Более полезной абелевой категорией является подкатегория квазикогерентных R -модулей: это R -модули, допускающие представление.

Другой важный класс окольцованных топосов, помимо окольцованных пространств, - это этальные топои стеков Делиня – Мамфорда .

Гомотопическая теория топоев [ править ]

Майкл Артин и Барри Мазур связали с сайтом, лежащим в основе топоса, про-симплициальное множество (с точностью до гомотопии ). [4] (Лучше рассматривать это в Ho (про-SS); см. Эдвардс) Используя эту обратную систему симплициальных множеств, иногда можно связать с гомотопическим инвариантом в классической топологии обратную систему инвариантов в теории топосов. Изучение про-симплициального множества, связанного с этальными топосами схемы, называется этальной теорией гомотопии . [5] В хороших случаях (если схема нётерова и геометрически одноразветвленная), это про-симплициальное множество проконечно .

Элементарные топои (топои в логике) [ править ]

Введение [ править ]

Традиционной аксиоматической основой математики является теория множеств , в которой все математические объекты в конечном итоге представлены множествами (включая функции , которые отображаются между множествами). Более поздние работы в области теории категорий позволяют обобщить эту основу с помощью топоев; каждый топос полностью определяет свою математическую основу. Категория множеств образует знакомый топос, и работа в этом топосе эквивалентна использованию традиционной теоретико-множественной математики. Но вместо этого можно было выбрать работу со многими альтернативными топоями. Стандартная формулировка аксиомы выбора имеет смысл в любых топосах, и есть топосы, в которых она неверна. Конструктивистам будет интересно поработать в топосе беззакон исключенной середины . Если важна симметрия относительно определенной группы G , можно использовать топос, состоящий из всех G -множеств .

Также возможно закодировать алгебраическую теорию , такую ​​как теория групп, как топос, в форме классифицирующего топоса . Индивидуальные модели теории, то есть группы в нашем примере, затем соответствуют функторам из кодирующего topos в категорию множеств, которые уважают структуру topos.

Формальное определение [ править ]

При использовании для фундаментальной работы топос будет определен аксиоматически; Тогда теория множеств рассматривается как частный случай теории топосов. Основываясь на теории категорий, существует несколько эквивалентных определений топоса. Следующее имеет преимущество быть кратким:

Топос - это категория, которая имеет следующие два свойства:

  • Существуют все ограничения, принятые для категорий с конечным индексом.
  • У каждого объекта есть объект силы. В теории множеств это играет роль набора мощности .

Формально силовой объект объекта - это пара с , которая классифицирует отношения в следующем смысле. Прежде всего отметим, что для каждого объекта морфизм («семейство подмножеств») индуцирует подобъект . Формально, это определяется отходили вместе . Универсальное свойство объекта власти состоит в том, что каждое отношение возникает таким образом, давая биективное соответствие между отношениями и морфизмами .

Из конечных пределов и объектов мощности можно вывести, что

  • Все копределы, взятые по категориям с конечным индексом, существуют.
  • В категории есть классификатор подобъектов .
  • Категория декартово закрытая .

В некоторых приложениях роль классификатора подобъектов является ключевой, тогда как энергетические объекты - нет. Таким образом, некоторые определения меняют роли того, что определяется, и того, что является производным.

Логические функторы [ править ]

Логический функтор является функтором между топосами , который сохраняет конечные пределы и объекты питания. Логические функторы сохраняют структуры, которые имеют топозы. В частности, они сохраняют конечные копределы, классификаторы подобъектов и экспоненциальные объекты . [6]

Объяснение [ править ]

Топос, как определено выше, может пониматься как декартова закрытая категория, для которой понятие подобъекта объекта имеет элементарное определение или определение первого порядка. Это понятие как естественная категориальная абстракция понятий подмножества множества, подгруппы группы и, в более общем смысле, подалгебры любой алгебраической структуры , предшествует понятию топос. Он определен в любой категории, а не только в топоях, в языке второго порядка , то есть в терминах классов морфизмов, а не индивидуальных морфизмов, следующим образом. Даны два моника m , n соответственно от Y и Z до X, Мы говорим , что т ≤ п , когда существует морфизм р : Y → Z , для которых нп = м , вызывая предзаказ на monics к X . Когда m ≤ n и n ≤ m, мы говорим, что m и n эквивалентны. Подобъекты X являются результирующими классами эквивалентности моников к нему.

В топосе «подобъект» становится, по крайней мере неявно, понятием первого порядка следующим образом.

Как было отмечено выше, топос является категория С , имеющей все конечных пределами и , следовательно , в частности , пустой предел или конечный объект 1. Тогда естественно , чтобы лечить морфизмы вида х : 1 → X , как элементы х ∈ Х . Таким образом, морфизмы f : X → Y соответствуют функциям, отображающим каждый элемент x ∈ X в элемент fx ∈ Y , причем приложение реализуется путем композиции.

Тогда можно подумать, что подобъект X определяется как класс эквивалентности моников m : X ′ → X, имеющих один и тот же образ { mx | x ∈ X ′ }. Загвоздка в том, что два или более морфизма могут соответствовать одной и той же функции, то есть мы не можем предполагать, что C является конкретным в том смысле, что функтор C (1, -): C → Set точен. Для примера категории Grph из графиков и связанных с ними гомоморфизмамявляется топосом, конечный объект 1 которого является графом с одной вершиной и одним ребром (петля), но не конкретен, потому что элементы 1 → G графа G соответствуют только петлям, а не другим ребрам, ни вершины без петель. В то время как определение второго порядка делает G и подграф всех петель G (с их вершинами) отдельными подобъектами G (если каждое ребро и каждая вершина не является петлей), это основанное на изображении одно делает нет. Эту проблему можно решить для примера графа и связанных примеров с помощью леммы Йонеды, как описано в дополнительных примерах.раздел ниже, но тогда он перестает быть приоритетным. Topoi предлагают более абстрактное, общее решение первого порядка.

Рис. 1. m как откат общего подобъекта t вдоль f .

Как было отмечено выше, топос С имеет подобъектом классификатор Q, а именно объект C с элементом т ∈ Ом, то общий подобъектом из C , обладающие тем свойством , что каждый унитарный м : X ' → X возникает как откате из родовой подобъекта вдоль уникального морфизма f : X → Ω, как показано на рисунке 1. Теперь обратный образ моники является моникой, и все элементы, включая t, являются мониками, поскольку существует только один морфизм к 1 от любого заданного объекта, откуда происходит обратный образ t по f : X→ Ω - моника. Следовательно, моники к X находятся в биекции с обратными образами t вдоль морфизмов из X в Ω. Последние морфизмы разбивают моники на классы эквивалентности, каждый из которых определяется морфизмом f : X → Ω, характеристическим морфизмом этого класса, который мы считаем подобъектом X, характеризуемым или именуемым f .

Все это относится к любым топосам, будь то бетон или нет. В конкретном случае, а именно в C (1, -) точном, например в категории множеств, ситуация сводится к знакомому поведению функций. Здесь моники m : X ′ → X - это в точности инъекции (однозначные функции) из X ′ в X , а также те, у которых заданный образ { mx | x ∈ X ′ } образуют подобъект X, соответствующий морфизму f : X → Ω, для которого f −1 ( t) это изображение. Моники подобъекта, как правило, имеют много доменов, но все они взаимно однозначны.

Подводя итог, это понятие первого порядка классификатора подобъекта неявно определяет для топоса то же отношение эквивалентности на мониках к X, которое ранее было явно определено понятием подобъекта второго порядка для любой категории. Само понятие отношения эквивалентности в классе морфизмов само по себе является вторым порядком, который определение топоса аккуратно обходит, явно определяя только понятие классификатора подобъектов Ω, оставляя понятие подобъекта X как неявное следствие, характеризуемое (и, следовательно, namable) ассоциированным с ним морфизмом f : X → Ω.

Дальнейшие примеры [ править ]

Каждый топос Гротендика является элементарным топосом, но обратное неверно (поскольку каждый топос Гротендика является кополным, что не требуется от элементарного топоса).

Категории конечных множеств, конечных G- множеств (действия группы G на конечном множестве) и конечных графов являются элементарными топосами, которые не являются топосами Гротендика.

Если C - малая категория, то категория функторов Set C (состоящая из всех ковариантных функторов из C в множества с естественными преобразованиями как морфизмы) является топосом. Например, категория Grph графов, допускающих наличие нескольких направленных ребер между двумя вершинами, является топосом. Граф состоит из двух наборов, набора ребер и набора вершин, и двух функций s, t между этими наборами, назначающих каждому ребру e его источник s ( e ) и цель t ( e ). Таким образом, Grph эквивалентенв категорию функторов Set C , где C - категория с двумя объектами E и V и двумя морфизмами s, t : E → V, дающими соответственно источник и цель каждого ребра.

Лемма Йонеды утверждает, что C op вкладывается в множество C как полная подкатегория. В примере графа вложение представляет C op как подкатегорию множества C , двумя объектами которого являются V ' как безреберный граф с одной вершиной и E' как двухвершинный граф с одним ребром (оба как функторы) и чьи два неединичных морфизма - это два гомоморфизма графов из V ' в E' (оба как естественные преобразования). Естественные преобразования из V ' в произвольный граф (функтор) G составляют вершины графа G, а вершины изE ' к G составляют его ребра. Хотя множество C , которое мы можем идентифицировать с Grph , не конкретизируется ни V ', ни E' , функтор U : Grph → Set 2 отправляет объект G паре множеств ( Grph ( V ' , G ), Grph ( E ' , G )) и морфизм h : G → H на пару функций ( Grph ( V' ,h ), Grph ( E ' , h )) точен . То есть морфизм графов можно понимать как пару функций, одна из которых отображает вершины, а другая - ребра, причем приложение все еще реализовано как композиция, но теперь с несколькими видами обобщенных элементов. Это показывает, что традиционная концепция конкретной категории как категории, объекты которой имеют базовый набор, может быть обобщена для обслуживания более широкого диапазона топоев, позволяя объекту иметь несколько базовых наборов, то есть быть мультисортированными.

См. Также [ править ]

  • История теории топоса
  • Гипотеза гомотопии
  • Интуиционистская теория типов
  • ∞-топос
  • Квазитопос

Примечания [ править ]

  1. ^ Illusie 2004
  2. ^ Карамелло, Оливия (2016). Гротендик позиционирует себя как объединяющие "мосты" в математике (PDF) (HDR). Парижский университет Дидро (Париж 7).
  3. ^ Карамелло, Оливия (2017). Теории, сайты, топосы: Связь и изучение математических теорий через теоретико-топологические мосты . Издательство Оксфордского университета. DOI : 10.1093 / oso / 9780198758914.001.0001 . ISBN 9780198758914.
  4. ^ Артин, Майкл ; Мазур, Барри (1969). Etale гомотопия . Конспект лекций по математике. 100 . Springer-Verlag . DOI : 10.1007 / BFb0080957 . ISBN 978-3-540-36142-8.
  5. ^ Фридлендер, Эрик М. (1982), Этальная гомотопия симплициальных схем , Анналы математических исследований, 104 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08317-9
  6. ^ Макларти 1992 , стр. 159

Ссылки [ править ]

Несколько нежных бумаг
  • Эдвардс, DA; Гастингс, HM (лето 1980 г.). «Теория Чеха: прошлое, настоящее и будущее» . Математический журнал Скалистых гор . 10 (3): 429–468. DOI : 10,1216 / RMJ-1980-10-3-429 . JSTOR  44236540 .
  • Баэз, Джон . "Теория Топоса в двух словах" . Нежное введение.
  • Стивен Викерс : " Toposes pour les nuls " и " Toposes pour les vraiment nuls". Элементарные и даже более элементарные введения в toposes как обобщенные пространства.
  • Иллюзи, Люк (2004). "Что такое ... Топос?" (PDF) . Уведомления AMS . 51 (9): 160–1.

Следующие тексты представляют собой простые введения в топосы и основы теории категорий. Они должны подходить тем, кто плохо разбирается в математической логике и теории множеств, даже не математикам.

  • Ловер, Ф. Уильям ; Шануэль, Стивен Х. (1997). Концептуальная математика: первое введение в категории . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-47817-5.«Введение в категории для компьютерных ученых, логиков, физиков, лингвистов и т. Д.» (цитата из текста обложки).
  • Ловер, Ф. Уильям; Розбру, Роберт (2003). Наборы для математики . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-01060-3. Знакомит с основами математики с категориальной точки зрения.

Основополагающая работа Гротендика по топосам:

  • Гротендик, А .; Вердье, JL (1972). Теория топосов и когомологий Etale des Schémas . Конспект лекций по математике. 269 . Springer. DOI : 10.1007 / BFb0081551 . ISBN 978-3-540-37549-4. Tome 2 270 дои : 10.1007 / BFb0061319 ISBN 978-3-540-37987-4 

Следующие монографии включают введение в некоторые или всю теорию топосов, но не предназначены в первую очередь для начинающих студентов. Перечислены в (воспринимаемом) порядке возрастающей сложности.

  • Макларти, Колин (1992). Элементарные категории, элементарные топы . Кларендон Пресс. ISBN 978-0-19-158949-2.Хорошее введение в основы теории категорий, теории топосов и логики топосов. Предполагает очень мало предпосылок.
  • Голдблатт, Роберт (2013) [1984]. Топои: категориальный анализ логики . Курьерская корпорация. ISBN 978-0-486-31796-0. Хорошее начало. Доступно в Интернете на домашней странице Роберта Голдблатта.
  • Белл, Джон Л. (2001). «Развитие категориальной логики» . В Габбее, DM; Гентнер, Франц (ред.). Справочник по философской логике . 12 (2-е изд.). Springer. С. 279–. ISBN 978-1-4020-3091-8.Версия доступна в Интернете на домашней странице Джона Белла.
  • Маклейн, Сондерс ; Moerdijk, Ieke (2012) [1994]. Пучки в геометрии и логике: первое введение в теорию топоса . Springer. ISBN 978-1-4612-0927-0. Более полный и трудный для чтения.
  • Барр, Майкл ; Уэллс, Чарльз (2013) [1985]. Топосы, тройки и теории . Springer. ISBN 978-1-4899-0023-4.(Онлайн-версия). Более кратко, чем связки по геометрии и логике , но сложно для начинающих.
Справочные материалы для экспертов, менее подходящие для первого ознакомления
  • Эдвардс, DA; Гастингс, HM (1976). Гомотопические теории Чеха и Стинрода с приложениями к геометрической топологии . Конспект лекций по математике. 542 . Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / BFb0081083 . ISBN 978-3-540-38103-7.
  • Борсё, Фрэнсис (1994). Справочник по категориальной алгебре: Том 3, Теория пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. 52 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-44180-3.Третья часть «замечательного magnum opus Борсо», как назвал его Джонстон. По-прежнему подходит в качестве введения, хотя новичкам может быть трудно распознать наиболее подходящие результаты среди огромного количества предоставленного материала.
  • Джонстон, Питер Т. (2014) [1977]. Теория Топоса . Курьер. ISBN 978-0-486-49336-7.Долгое время стандартный сборник по теории топосов. Однако даже Джонстон описывает эту работу как «слишком трудную для чтения и не для слабонервных».
  • Джонстон, Питер Т. (2002). Эскизы слона: сборник теории топоса . 2 . Кларендон Пресс. ISBN 978-0-19-851598-2. По состоянию на начало 2010 года два из запланированных трех томов этого обширного компендиума были доступны.
  • Карамелло, Оливия (2017). Теории, сайты, топосы: Связь и изучение математических теорий через теоретико-топологические мосты . Издательство Оксфордского университета. DOI : 10.1093 / oso / 9780198758914.001.0001 . ISBN 9780198758914.
Книги, посвященные специальным приложениям теории топосов
  • Педиккио, Мария Кристина; Толен, Уолтер; Рота, GC, ред. (2004). Категориальные основы: специальные темы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. 97 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-83414-8. Включает в себя множество интересных специальных приложений.