Функция |
---|
х ↦ е ( х ) |
Примеры по домену и кодомену |
Классы / свойства |
Конструкции |
Обобщения |
В математике , А функция F от множества X до множества Y является сюръективны (также известный как на , или сюръекция ), если для каждого элемента у в кообласть Y из F , существует, по крайней мере , один элемент х в области Х функции f такой, что f ( x ) = y . [1] [2] [3] Необязательно, чтобы x был уникальным.; функция F может отображать один или несколько элементов X к одному элементу из Y .
Термин сюръективны и связанные с ними термины инъективными и биективен были введены Николя Бурбаки , [4] [5] группа в основном французских 20-го века математиков , которые под этим псевдонимом, написал серию книг , представляющих экспозицию современной высшей математики, начиная с 1935 года. Французское слово sur означает « сверх» или « выше» и связано с тем фактом, что образ области сюръективной функции полностью покрывает ее содомен.
Любая функция вызывает сюръекцию, ограничивая область своей области до образа ее области. Каждая сюръективная функция имеет правый обратный , и каждая функция с правым обратным обязательно является сюръекцией. Состав сюръективных функций всегда сюръективно. Любую функцию можно разложить на сюръекцию и инъекцию.
Определение [ править ]
Сюръекция является функцией которого изображения равно его области значений . Эквивалентно, функция с доменом и codomain сюръективна, если для каждого in существует хотя бы один in with . [2] Вырезки иногда обозначаются двуглавой стрелкой вправо ( U + 21A0 ↠ ДВУХГОЛОВАЯ СТРЕЛКА ВПРАВО ), [6] как в .
Символично,
- Если , то называется сюръективным, если
- . [3] [7]
Примеры [ править ]
- Для любого множества X , то функция тождества идентификатор X на X сюръективно.
- Функция f : Z → {0, 1}, определенная как f ( n ) = n mod 2 (то есть, четные целые числа отображаются в 0, а нечетные целые числа в 1), является сюръективной.
- Функция f : R → R, определяемая формулой f ( x ) = 2 x + 1, является сюръективной (и даже биективной ), потому что для каждого действительного числа y у нас есть x такое, что f ( x ) = y : такой подходящий x равно ( y - 1) / 2.
- Функция f : R → R, определяемая формулой f ( x ) = x 3 - 3 x, является сюръективной, потому что прообраз любого действительного числа y является множеством решений кубического полиномиального уравнения x 3 - 3 x - y = 0 , и каждый кубический многочлен с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень. Однако эта функция не является инъективной (и, следовательно, не биективной ), поскольку, например, прообраз y = 2 равен { x = −1, x= 2}. (Фактически, прообраз этой функции для каждого y , −2 ≤ y ≤ 2 имеет более одного элемента.)
- Функция g : R → R, определенная формулой g ( x ) = x 2 , не является сюръективной, поскольку не существует действительного числа x такого, что x 2 = −1 . Однако функция g : R → R ≥0, определяемая формулой g ( x ) = x 2 (с ограниченной областью), является сюръективной, поскольку для каждого y в неотрицательной вещественной области Y существует по крайней мере один xв вещественной области X такой, что x 2 = y .
- Натуральный логарифм функция LN: (0, + ∞) → R является сюръективным и даже биективен (отображение из множества положительных действительных чисел на множестве всех действительных чисел). Его обратная, экспоненциальная функция , если она определена с набором действительных чисел в качестве области определения, не является сюръективным (поскольку ее диапазон - это набор положительных действительных чисел).
- Матрица экспоненциальный не сюръективен когда рассматриваются как отображение из пространства все п х п матриц к себе. Однако обычно его определяют как отображение пространства всех матриц размера n × n в общую линейную группу степени n (то есть группу всех обратимых матриц размера n × n ). Согласно этому определению, матричная экспонента сюръективна для комплексных матриц, но все же не сюръективна для вещественных матриц.
- Проекция из декартова произведения × B к одному из его факторов сюръективна, если другой фактор не пуст.
- В трехмерной видеоигре векторы проецируются на плоский двумерный экран с помощью сюръективной функции.
Свойства [ править ]
Функция биективна тогда и только тогда, когда она одновременно сюръективна и инъективна .
Если (как это часто делается) функция отождествляется со своим графиком , то сюръективность не является свойством самой функции, а скорее свойством отображения . [8] Это функция вместе с ее доменом. В отличие от инъективности, сюръективность не может быть прочитана только по графику функции.
Сюрприз как правые обратимые функции [ править ]
Функция g : Y → X называется правой обратной функцией f : X → Y, если f ( g ( y )) = y для любого y в Y ( g может быть отменено функцией f ). Другими словами, г является правым обратным F , если композиция Р о г о г и е в таком порядке является функция тождествав области Y функции g . Функция г не должно быть полным обратным из F , так как композиция в другом порядке, г о е , не может быть тождественной функции на области X из F . Другими словами, f может отменить или " перевернуть " g , но не обязательно с его помощью.
Каждая функция с правым обратным обязательно является сюръекцией. Утверждение, что каждая сюръективная функция имеет правый обратный, эквивалентно аксиоме выбора .
Если F : X → Y сюръективно и В представляет собой подмножество из Y , то F ( F -1 ( B )) = B . Таким образом, B может быть восстановлен по его прообразу f −1 ( B ) .
Например, в первой иллюстрации, выше, существует некоторая функция г такая , что г ( С ) = 4. Существует также некоторая функция F такая , что F (4) = C . Неважно, что g ( C ) также может быть равно 3; имеет значение только то, что f "переворачивает" g .
Сюръективная композиция: первая функция не обязательно должна быть сюръективной.
Еще одна сюръективная функция. (Это оказывается взаимно однозначным )
Не -surjective функции. (Это инъекция )
Сюрприз как эпиморфизм [ править ]
Функция f : X → Y сюръективна тогда и только тогда, когда она сокращает справа : [9] для любых функций g , h : Y → Z , всякий раз, когда g o f = h o f , то g = h . Это свойство формулируется в терминах функций и их состава и могут быть обобщены на более общее понятие морфизмов в виде категории и их состав. Право-сокращательные морфизмы называютсяэпиморфизмы . В частности, сюръективные функции - это в точности эпиморфизмы в категории множеств . Приставка epi образована от греческого предлога πί, означающего над , выше , на .
Любой морфизм с правым обратным является эпиморфизмом, но обратное, вообще говоря, неверно. Правый обратный г морфизм F называется разделом из F . Морфизм с правым обратным называется расщепленным эпиморфизмом .
Сюрприз как бинарные отношения [ править ]
Любую функцию с доменом X и codomain Y можно рассматривать как полное слева и уникальное справа двоичное отношение между X и Y , отождествляя его с его графиком функций . Сюръективная функция с областью определения X и областью области Y является тогда бинарным отношением между X и Y , которое уникально справа и является как полным слева, так и полным справа .
Мощность области сюръекции [ править ]
Мощность в области сюръективного функции больше или равна мощности его значений: Если F : X → Y является Сюръекция, то X имеет , по меньшей мере столько же элементов, что и Y , в смысле кардинальных чисел . (Доказательство обращается к выбранной аксиоме, чтобы показать, что функция g : Y → X, удовлетворяющая f ( g ( y )) = y для всех y в Y, существует. Gлегко видеть инъективным, поэтому формальное определение | Y | ≤ | X | доволен.)
В частности, если оба Х и Y имеет конечные с тем же числом элементов, то F : X → Y сюръективно тогда и только тогда , когда F является инъективным .
Даны два множества X и Y , обозначение X ≤ * Y используется , чтобы сказать , что либо X пусто или что сюръекция из Y на X . Используя аксиому выбора, можно показать, что из X ≤ * Y и Y ≤ * X вместе следует, что | Y | = | X | - вариант теоремы Шредера – Бернштейна .
Состав и разложение [ править ]
Состав сюръективных функций всегда сюръективен: Если е и г оба сюръективны и кообласть г равна области е , то е о г сюрьективна. И наоборот, если f o g сюръективен, то f сюръективен (но g , функция, применяемая первой, не обязательно должна быть). Эти свойства являются обобщением сюръекций в категории множеств на любые эпиморфизмы в любой категории .
Любую функцию можно разложить на сюръекцию и инъекцию : для любой функции h : X → Z существуют сюръекция f : X → Y и инъекция g : Y → Z такие, что h = g o f . Чтобы убедиться в этом, определим Y как набор прообразов h −1 ( z ), где z находится в h ( X ) . Эти прообразы не пересекаютсяи раздел X . Затем f переносит каждый x в элемент Y, который его содержит, а g переносит каждый элемент Y в точку в Z, в которую h отправляет свои точки. Тогда f сюръективен, поскольку это отображение проекции, а g инъективен по определению.
Индуцированная сюръекция и индуцированная биекция [ править ]
Любая функция вызывает сюръекцию, ограничивая свой домен своим диапазоном. Любая сюръективная функция индуцирует биекцию, определенную на частном ее предметной области, путем сворачивания всех сопоставлений аргументов в заданное фиксированное изображение. Более точно, каждая сюръекция f : A → B может быть факторизована как проекция с последующей биекцией следующим образом. Пусть / ~ быть на классы эквивалентности из А под следующим отношением эквивалентности : х ~ Y тогда и только тогда , когда F ( х ) = е ( у ). Эквивалентно, A/ ~ - множество всех прообразов при f . Пусть P (~): A → A / ~ - отображение проекции, которое переводит каждый x из A в его класс эквивалентности [ x ] ~ , и пусть f P : A / ~ → B - корректно определенная функция, задаваемая f P ([ x ] ~ ) = f ( x ). Тогда f = f P o P (~).
См. Также [ править ]
Викискладе есть медиафайлы по теме Surjectivity . |
Посмотрите Сюръективная , сюръекцию , или на в Wiktionary, бесплатный словарь. |
- Биекция, инъекция и сюръекция
- Обложка (алгебра)
- Покрывающая карта
- Перечисление
- Пучок волокон
- Набор индексов
- Раздел (теория категорий)
Ссылки [ править ]
- ^ "Окончательный словарь высшего математического жаргона - Онто" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 7 декабря 2019 .
- ^ a b «Инъективный, сюръективный и биективный» . www.mathsisfun.com . Проверено 7 декабря 2019 .
- ^ a b «Биекция, инъекция и сюрприз | Блестящая вики по математике и науке» . brilliant.org . Проверено 7 декабря 2019 .
- ^ Миллер, Джефф, «Injection, сюръекция и биекция», раннее Использование некоторых слов математики , треноги.
- ^ Машаль, Морис (2006). Бурбаки . American Mathematical Soc. п. 106. ISBN 978-0-8218-3967-6.
- ^ «Стрелки - Юникод» (PDF) . Проверено 11 мая 2013 .
- ^ Фарлоу, SJ «Инъекции, сюрпризы и биологические инъекции» (PDF) . math.umaine.edu . Проверено 6 декабря 2019 .
- ^ TM Апостол (1981). Математический анализ . Эддисон-Уэсли. п. 35.
- ^ Голдблатт, Роберт (2006) [1984]. Топои, Категориальный анализ логики (пересмотренная ред.). Dover Publications . ISBN 978-0-486-45026-1. Проверено 25 ноября 2009 .
Дальнейшее чтение [ править ]
- Бурбаки, Н. (2004) [1968]. Теория множеств . Элементы математики . 1 . Springer. DOI : 10.1007 / 978-3-642-59309-3 . ISBN 978-3-540-22525-6. LCCN 2004110815 .