В математике , А многозначная функция , называемая также многофункциональной , многозначная функцией , многозначная функцией , подобна функции , но может связать несколько значений для каждого входа. Точнее, многозначная функция из области X в область кодирования Y связывает каждый x в X с одним или несколькими значениями y в Y ; таким образом, это последовательное бинарное отношение . [ необходима цитата ]Некоторые авторы допускают, чтобы многозначная функция не имела значения для некоторых входных данных (в этом случае многозначная функция является просто бинарным отношением). [ необходима цитата ]
Однако в некоторых контекстах, таких как комплексный анализ ( X = Y =), авторы предпочитают имитировать теорию функций, поскольку они расширяют концепции обычных (однозначных) функций. В этом контексте обычную функцию часто называют однозначной функцией, чтобы избежать путаницы.
Термин многозначная функция возник в комплексном анализе, от аналитического продолжения . Часто бывает так, что известно значение сложной аналитической функции. в некоторой окрестности точки. Это имеет место для функций, определенных теоремой о неявной функции или рядом Тейлора вокруг. В такой ситуации можно расширить область определения однозначной функции вдоль кривых в комплексной плоскости, начиная с . При этом обнаруживается, что значение расширенной функции в точке зависит от выбранной кривой от к ; поскольку ни одно из новых значений не является более естественным, чем другие, все они включены в многозначную функцию.
Например, пусть - обычная функция извлечения квадратного корня положительных действительных чисел. Можно расширить его область до окрестности в комплексной плоскости, а затем далее по кривым, начинающимся в , так что значения вдоль данной кривой непрерывно изменяются от . Расширение до отрицательных действительных чисел дает два противоположных значения для квадратного корня - например, ± i для –1 - в зависимости от того, была ли область расширена через верхнюю или нижнюю половину комплексной плоскости. Это явление очень часто встречается для корней n- й степени , логарифмов и обратных тригонометрических функций .
Чтобы определить однозначную функцию из сложной многозначной функции, можно выделить одно из нескольких значений как главное значение , создав однозначную функцию на всей плоскости, которая является разрывной вдоль определенных граничных кривых. В качестве альтернативы, работа с многозначной функцией позволяет иметь что-то, что везде непрерывно, за счет возможных изменений значений при следовании замкнутому пути ( монодромия ). Эти проблемы решены в теории римановых поверхностей : рассмотреть многозначную функциюкак обычная функция, не отбрасывая каких-либо значений, область умножается на многослойное накрывающее пространство , многообразие, которое является римановой поверхностью, связанной с.
Примеры
- Каждое действительное число больше нуля имеет два действительных квадратных корня , так что квадратный корень можно рассматривать как многозначную функцию. Например, мы можем написать; хотя у нуля есть только один квадратный корень,.
- Каждое ненулевое комплексное число имеет два квадратных корня, три кубических корня и, как правило, корень n n . Единственный корень n- й степени из 0 равен 0.
- Функция комплексного логарифма многозначна. Значения, принятые для реальных чисел а также находятся для всех целых чисел .
- Обратные тригонометрические функции многозначны, потому что тригонометрические функции периодичны. У нас есть
- Как следствие, arctan (1) интуитивно связано с несколькими значениями: π / 4, 5 π / 4, −3 π / 4 и так далее. Мы можем рассматривать arctan как однозначную функцию, ограничивая область значений tan x до - π / 2 < x < π / 2 - области, в которой tan x монотонно возрастает. Таким образом, диапазон arctan ( x ) становится - π / 2 < y < π / 2 . Эти значения из ограниченного домена называются основными значениями .
- Неопределенный интеграл можно рассматривать как многозначную функцию. Неопределенный интеграл функции - это набор функций, производная которых является этой функцией. Постоянная интегрирования следует из того , что производная функции постоянной является 0.
- Обратные гиперболические функции над комплексной областью многозначны, потому что гиперболические функции периодичны вдоль мнимой оси. По сравнению с реалами они однозначны.
- Argmax многозначна, например ,
Все это примеры многозначных функций, возникающих из неинъективных функций . Поскольку исходные функции не сохраняют всю информацию о своих входах, они не обратимы. Часто ограничение многозначной функции является частичным обратным к исходной функции.
Многозначные функции комплексного переменного имеют точки ветвления . Например, для функции корня n и логарифма 0 - точка ветвления; для функции арктангенса мнимые единицы i и - i являются точками ветвления. Используя точки ветвления, эти функции можно переопределить как однозначные, ограничив диапазон. Подходящий интервал может быть найден путем использования разветвления , своего рода кривой, которая соединяет пары точек ветвления, тем самым уменьшая многослойную риманову поверхность функции до единственного слоя. Как и в случае с реальными функциями, ограниченный диапазон можно назвать главной ветвью функции.
Многозначный анализ
Многозначный анализ - это изучение множеств в духе математического анализа и общей топологии .
Вместо того, чтобы рассматривать наборы только точек, многозначный анализ рассматривает наборы множеств. Если набор наборов снабжен топологией или наследует соответствующую топологию от лежащего в основе топологического пространства, то сходимость наборов может быть изучена.
Большая часть многозначного анализа возникла благодаря изучению математической экономики и оптимального управления , отчасти как обобщение выпуклого анализа ; термин « вариационный анализ » используют такие авторы, как Р. Тиррелл Рокафеллар и Роджер Дж. Б. Уетс , Джонатан Борвейн и Адриан Льюис , а также Борис Мордухович . В теории оптимизации сходимость аппроксимирующих субдифференциалов к субдифференциалам важна для понимания необходимых или достаточных условий для любой точки минимизации.
Существуют многозначные расширения следующих понятий из точечного анализа: непрерывность , дифференцирование , интегрирование , [1] теорема о неявной функции , сжимающие отображения , теория меры , теоремы о неподвижной точке , [2] оптимизация и теория топологической степени .
Уравнения обобщены на включения .
Типы многозначных функций
Можно выделить несколько концепций, обобщающих непрерывность , таких как свойство замкнутого графа и полунепрерывность сверху и снизу [a] . Существуют также различные обобщения меры на многофункциональность.
Приложения
Множественные функции возникают в теории оптимального управления , особенно в дифференциальных включениях и связанных предметах, таких как теория игр , где теорема Какутани о неподвижной точке для мультифункций была применена для доказательства существования равновесий по Нэшу (в контексте теории игр многозначную функцию обычно называют как переписка ). Это среди многих других свойств, слабо связанных с аппроксимируемостью полунепрерывных мультифункций верхней части с помощью непрерывных функций, объясняет, почему полунепрерывность верхней части более предпочтительна, чем полунепрерывность нижней части.
Тем не менее, полунепрерывные снизу мультифункции обычно обладают непрерывной выборкой, как указано в теореме Майкла о выборе , которая обеспечивает другую характеризацию паракомпактных пространств. [3] [4] Другие селекционные теоремы, такие как направленный непрерывный выбор Брессана-Коломбо, теорема Куратовского и измеримого выбора Рилля -Нардзевского , измеримый выбор Ауманна и выбор Фришковского для разложимых отображений, важны для оптимального управления и теории дифференциальных включений .
В физике многозначные функции играют все более важную роль. Они образуют математическую основу для Дирака «ы магнитных монополей , для теории дефектов в кристаллах и в результате пластичности материалов, для вихрей в сверхтекучих и сверхпроводниках , а также для фазовых переходов в этих системах, например , плавление и удержание кварков . Они являются источником структур калибровочного поля во многих областях физики. [ необходима цитата ]
Контраст с
- Биекция
- Инъективная функция
- Сюръективная функция
Смотрите также
- Толстая ссылка , гиперссылка "один ко многим"
- Интервальный конечный элемент
- Частичная функция
Рекомендации
- ^ Ауманн, Роберт Дж. (1965). «Интегралы от многозначных функций». Журнал математического анализа и приложений . 12 (1): 1–12. DOI : 10.1016 / 0022-247X (65) 90049-1 .
- ^ Какутани, Шизуо (1941). «Обобщение теоремы Брауэра о неподвижной точке». Математический журнал герцога . 8 (3): 457–459. DOI : 10.1215 / S0012-7094-41-00838-4 .
- ^ Эрнест Майкл (март 1956 г.). «Непрерывный выбор. I» (PDF) . Анналы математики . Вторая серия. 63 (2): 361–382. DOI : 10.2307 / 1969615 . hdl : 10338.dmlcz / 119700 . JSTOR 1969 615 .
- ^ Душан Реповш ; П.В. Семенов (2008). «Эрнест Майкл и теория непрерывного отбора». Топология Прил . 155 (8): 755–763. arXiv : 0803.4473 . DOI : 10.1016 / j.topol.2006.06.011 .
Заметки
- ^ Некоторые авторы используют термин «полунепрерывный» вместо «полунепрерывный».
дальнейшее чтение
- CD Aliprantis и KC Border, Бесконечномерный анализ. Путеводитель автостопом , Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006 г.
- Дж. Андрес и Л. Горневич, Принципы топологической неподвижной точки для краевых задач , Kluwer Academic Publishers, 2003 г.
- Ж.-П. Обен, А. Челлина, Дифференциальные включения, многозначные карты и теория жизнеспособности , Grundl. der Math. Wiss. 264, Springer - Verlag, Берлин, 1984 г.
- Ж.-П. Обен, Х. Франковска , Многозначный анализ , Биркхойзер, Базель, 1990 г.
- К. Деймлинг, Многозначные дифференциальные уравнения , Вальтер де Грюйтер, 1992 г.
- Гелету, А. (2006). «Введение в топологические пространства и многозначные карты» (PDF) . Конспект лекций . Technische Universität Ilmenau .
- Х. Кляйнерт , Многозначные поля в конденсированной среде, электродинамике и гравитации , World Scientific (Сингапур, 2008 г.) (также доступно в Интернете )
- Х. Кляйнерт , Калибровочные поля в конденсированных средах , Vol. I: Сверхпоток и вихревые линии, 1–742, Vol. II: Напряжения и дефекты, 743–1456, World Scientific, Сингапур, 1989 г. (также доступно в Интернете: том I и том II )
- Д. Реповш, П. В. Семенов, Непрерывный выбор многозначных отображений , Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 1998
- ЕС Тарафдар и МСР Чоудхури, Топологические методы многозначного нелинейного анализа , World Scientific, Сингапур, 2008 г.
- Mitroi, F.-C .; Никодем, К .; Вонсович, С. (2013). «Неравенства Эрмита-Адамара для выпуклых многозначных функций» . Demonstratio Mathematica . 46 (4): 655–662. DOI : 10,1515 / Дема-2013-0483 .