Квадратный корень

Обозначение (главного) квадратного корня из x

Например, √ 25 = 5 , поскольку 25 = 5 ⋅ 5 или 5 ² (5 в квадрате).

В математике , А квадратный корень из числа х это число у такого , что у ² = х ; другими словами, число y , квадрат которого (результат умножения числа на себя, или y  ⋅  y ) равен x . ^[1] Например, 4 и −4 являются квадратными корнями из 16, потому что 4 ² = (−4) ² = 16 . Каждое неотрицательное действительное число x имеет уникальный неотрицательный квадратный корень, называемый главным квадратным корнем , который обозначается${\ displaystyle {\ sqrt {x}},}$^[2], где символназывается радикальным знаком ^[3] или основанием . Например, главный квадратный корень из 9 равен 3, что обозначается как,потому что 3 ² = 3 3 = 9 и 3 неотрицательно. Термин (или число), квадратный корень которого рассматривается, известен как подкоренное выражение . Подкоренное выражение - это число или выражение под знаком радикала, в данном случае 9.${\ displaystyle {\ sqrt {}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {9}} = 3,}$

Каждое положительное число x имеет два квадратных корня: положительный и отрицательный. Вместе эти два корня обозначаются как (см. Сокращение ± ). Хотя главный квадратный корень из положительного числа является лишь одним из его двух квадратных корней, обозначение « квадратный корень» часто используются для обозначения основного квадратного корня . Для положительного x главный квадратный корень также может быть записан в экспоненциальной записи как x ^1/2 . ^{[4] [5]}${\ displaystyle {\ sqrt {x}},}$${\ displaystyle - {\ sqrt {x}},}$${\ displaystyle \ pm {\ sqrt {x}}}$

Квадратные корни отрицательных чисел можно обсуждать в рамках комплексных чисел . В более общем смысле, квадратные корни можно рассматривать в любом контексте, в котором определяется понятие «возведения в квадрат» некоторых математических объектов. К ним относятся функциональные пространства и квадратные матрицы , среди других математических структур .

История

Йельского вавилонская Коллекция ЕКЗ 7289 глина таблетка была создана между 1800 и 1600 г. до н.э. до н.э., показывающий , и , соответственно , как 1; 24,51,10 и 0; 42,25,35 база 60 номеров на площади пересекают две диагонали. ^[6] (1; 24,51,10) основание 60 соответствует 1,41421296, что является правильным значением с точностью до 5 десятичных знаков (1,41421356 ...).${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ textstyle {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}}}$

Папирус Ахмес копия с 1650 г. до н.э. более раннего Берлинского папируса и других текстов - возможно, Kahun Papyrus  - что показывает , как египтяне извлеченного квадратный корень с помощью обратного метода пропорции. ^[7]

В Древней Индии знания теоретических и прикладных аспектов квадратного и квадратного корня были по крайней мере такими же старыми, как сутры Сульба, датируемые примерно 800–500 гг. До н.э. (возможно, намного раньше). ^{[ необходима цитата ]} Метод нахождения очень хороших приближений к квадратным корням из 2 и 3 дан в Баудхаяна Сульба Сутре . ^[8] Арьябхата в « Арьябхатии» (раздел 2.4) дал метод нахождения квадратного корня из чисел, состоящих из многих цифр.

Древним грекам было известно, что квадратные корни из положительных целых чисел , которые не являются полными квадратами , всегда являются иррациональными числами : числами, не выражаемыми как отношение двух целых чисел (то есть их нельзя записать точно как m / n , где m и n целые числа). Это теорема Евклида X, 9 , почти наверняка принадлежащая Теэтету, датируемая примерно 380 г. до н. Э. ^[9] Частный случай квадратного корня из 2, как предполагается, восходит к пифагорейцам и традиционно приписывается Гиппасу .^{[ Править ]} Это именно длина диагонали от в квадрат с длиной стороны 1 .

В китайской математической работе « Письма о расчетах» , написанной между 202 г. до н. Э. И 186 г. до н. Э. Во время ранней династии Хань , квадратный корень аппроксимируется с помощью метода «избытка и недостатка», который гласит «... объединить избыток и недостаток как делитель; (взяв) числитель дефицита, умноженный на знаменатель избытка, и числитель избытка, умноженный на знаменатель дефицита, объединить их в качестве делимого ". ^[10]

Символ квадратного корня, написанный сложной буквой R, был изобретен Региомонтаном (1436–1476). R был также использован для системы счисления , чтобы указать , квадратные корни в Кардано «ы Арс Магна . ^[11]

По словам историка математики Д. Е. Смита , метод Арьябхаты для нахождения квадратного корня был впервые введен в Европе Катанео - в 1546 году.

Согласно Джеффри А. Оуксу , арабы использовали букву jīm / īm ( ج ), первую букву слова « جذر » (по-разному транслитерируемого как jaḏr , jiḏr , aḏr или iḏr , «корень»), помещенного в его первоначальную форму ( ﺟ ) над числом, чтобы указать его квадратный корень. Буква jīm напоминает нынешнюю форму квадратного корня. Его использование доходит до конца XII века в трудах марокканского математика Ибн аль-Ясамина . ^[12]

Символ «√» для квадратного корня был впервые использован в печати в 1525 году, в Кристоф Рудольф «s Косс . ^[13]

Свойства и использование

Функция главного квадратного корня (обычно называемая просто «функцией квадратного корня») - это функция, которая отображает набор неотрицательных действительных чисел на себя. С геометрической точки зрения функция квадратного корня отображает площадь квадрата на длину его стороны.${\ displaystyle f (x) = {\ sqrt {x}}}$

Квадратный корень из x является рациональным тогда и только тогда, когда x - рациональное число, которое может быть представлено как отношение двух полных квадратов. (См. Квадратный корень из 2 для доказательства того, что это иррациональное число, и квадратичный иррациональный для доказательства для всех неквадратных натуральных чисел.) Функция квадратного корня отображает рациональные числа в алгебраические числа , последние являются надмножеством рациональных чисел ).

Для всех действительных чисел х ,

${\ displaystyle {\ sqrt {x ^ {2}}} = \ left | x \ right | = {\ begin {cases} x, & {\ mbox {if}} x \ geq 0 \\ - x, & { \ mbox {if}} x <0. \ end {case}}}$     (см. абсолютное значение )

Для всех неотрицательных действительных чисел x и y ,

${\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$

и

${\displaystyle {\sqrt {x}}=x^{1/2}.}$

Функция квадратного корня непрерывна для всех неотрицательных x и дифференцируема для всех положительных x . Если f обозначает функцию квадратного корня, производная которой определяется выражением:

${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.}$

Ряд Тейлора в о й = 0 сходится при | х | ≤ 1, и определяется выражением${\displaystyle {\sqrt {1+x}}}$

${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\cdots ,}$

Квадратный корень из неотрицательного числа используется в определении евклидовой нормы (и расстояния ), а также в таких обобщениях, как гильбертовы пространства . Он определяет важное понятие стандартного отклонения, используемое в теории вероятностей и статистике . Он широко используется в формуле для корней квадратного уравнения ; квадратичные поля и кольца квадратичных целых чисел , основанные на квадратных корнях, важны в алгебре и используются в геометрии. Квадратные корни часто встречаются в других математических формулах, а также во многих физических законах.

Квадратные корни из натуральных чисел

Положительное число имеет два квадратных корня, один положительный и один отрицательный, которые противоположны друг другу. Когда речь идет о на квадратный корень из положительного целого числа, то, как правило , положительный квадратный корень , который имел в виду.

Квадратные корни целого числа - это целые алгебраические числа, а точнее - квадратичные целые числа .

Квадратный корень из положительного целого числа - это произведение корней его простых множителей, потому что квадратный корень из произведения - это произведение квадратных корней из множителей. Поскольку необходимы только корни тех простых чисел, которые имеют нечетную степень при факторизации . Точнее, квадратный корень из разложения на простые множители равен ${\displaystyle {\sqrt {p^{2k}}}=p^{k},}$

${\displaystyle {\sqrt {p_{1}^{2e_{1}+1}\cdots p_{k}^{2e_{k}+1}p_{k+1}^{2e_{k+1}}\dots p_{n}^{2e_{n}}}}=p_{1}^{e_{1}}\dots p_{n}^{e_{n}}{\sqrt {p_{1}\dots p_{k}}}.}$

В виде десятичных разложений

Квадратные корни из полных квадратов (например, 0, 1, 4, 9, 16) являются целыми числами . Во всех других случаях квадратные корни из положительных целых чисел являются иррациональными числами и, следовательно, имеют неповторяющиеся десятичные знаки в их десятичных представлениях . Десятичные приближения квадратных корней из первых нескольких натуральных чисел приведены в следующей таблице.

п	${\displaystyle {\sqrt {n}},}$ усечено до 50 знаков после запятой
0	0
1	1
2	1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694
3	1.7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038
4	2
5	2,2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152
6	2.4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667
7	2,6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245
8	2,8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389
9	3
10	3,1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521

Как расширения в других системах счисления

Как и раньше, квадратные корни из полных квадратов (например, 1, 4, 9, 16) являются целыми числами. Во всех других случаях квадратные корни из положительных целых чисел являются иррациональными числами и, следовательно, имеют неповторяющиеся цифры в любой стандартной позиционной системе обозначений .

Квадратные корни из малых целых чисел используются в схемах хэш-функций SHA-1 и SHA-2, чтобы ничего не дать мне в числах в рукаве .

Как периодические непрерывные дроби

Один из самых интригующих результатов изучения иррациональных чисел как цепных дробей был получен Джозефом Луи Лагранжем c. 1780. Лагранж обнаружил, что представление квадратного корня из любого положительного целого числа, не являющегося квадратом, в виде непрерывной дроби является периодическим . То есть определенный образец частичных знаменателей бесконечно повторяется в непрерывной дроби. В некотором смысле эти квадратные корни являются простейшими иррациональными числами, потому что они могут быть представлены простым повторяющимся шаблоном целых чисел.

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	= [1; 2, 2, ...]
${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	= [1; 1, 2, 1, 2, ...]
${\displaystyle {\sqrt {4}}}$	= [2]
${\displaystyle {\sqrt {5}}}$	= [2; 4, 4, ...]
${\displaystyle {\sqrt {6}}}$	= [2; 2, 4, 2, 4, ...]
${\displaystyle {\sqrt {7}}}$	= [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, ...]
${\displaystyle {\sqrt {8}}}$	= [2; 1, 4, 1, 4, ...]
${\displaystyle {\sqrt {9}}}$	= [3]
${\displaystyle {\sqrt {10}}}$	= [3; 6, 6, ...]
${\displaystyle {\sqrt {11}}}$	= [3; 3, 6, 3, 6, ...]
${\displaystyle {\sqrt {12}}}$	= [3; 2, 6, 2, 6, ...]
${\displaystyle {\sqrt {13}}}$	= [3; 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, ...]
${\displaystyle {\sqrt {14}}}$	= [3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, ...]
${\displaystyle {\sqrt {15}}}$	= [3; 1, 6, 1, 6, ...]
${\displaystyle {\sqrt {16}}}$	= [4]
${\displaystyle {\sqrt {17}}}$	= [4; 8, 8, ...]
${\displaystyle {\sqrt {18}}}$	= [4; 4, 8, 4, 8, ...]
${\displaystyle {\sqrt {19}}}$	= [4; 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1, 2, 8, ...]
${\displaystyle {\sqrt {20}}}$	= [4; 2, 8, 2, 8, ...]

Квадратная скобка обозначение , используемое выше , является краткой формой для непрерывной дроби. Написанная в более наглядной алгебраической форме, простая непрерывная дробь для квадратного корня из 11, [3; 3, 6, 3, 6, ...], выглядит так:

${\displaystyle {\sqrt {11}}=3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+\ddots }}}}}}}}}}}$

где двузначный образец {3, 6} повторяется снова и снова в частичных знаменателях. Поскольку 11 = 3 ² + 2 , вышесказанное также идентично следующим обобщенным непрерывным дробям :

${\displaystyle {\sqrt {11}}=3+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {6}{20-1-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-\ddots }}}}}}}}}}.}$

Вычисление

Квадратные корни из положительных чисел не являются рациональными числами , и поэтому не могут быть записаны как завершающее или повторяющееся десятичное выражение. Поэтому в целом любая попытка вычислить квадратный корень, выраженный в десятичной форме, может дать только приближение, хотя может быть получена последовательность все более точных приближений.

Большинство карманных калькуляторов имеют ключ извлечения квадратного корня. Компьютерные таблицы и другое программное обеспечение также часто используются для вычисления квадратных корней. Карманные калькуляторы обычно реализуют эффективные процедуры, такие как метод Ньютона (часто с начальным предположением, равным 1), для вычисления квадратного корня из положительного действительного числа. ^{[14] [15]} При вычислении квадратных корней с помощью таблиц логарифмов или правил скольжения можно использовать тождества

${\displaystyle {\sqrt {a}}=e^{(\ln a)/2}=10^{(\log _{10}a)/2},}$

где перли и войти ₁₀ являются естественными и базовыми-10 логарифмами .

Методом проб и ошибок ^[16] можно вычислить квадрат для оценки и повысить или понизить оценку до тех пор, пока она не будет согласована с достаточной точностью. Для этой техники целесообразно использовать идентификацию${\displaystyle {\sqrt {a}}}$

${\displaystyle (x+c)^{2}=x^{2}+2xc+c^{2},}$

поскольку он позволяет скорректировать оценку x на некоторую величину c и измерить квадрат корректировки в терминах исходной оценки и ее квадрата. Кроме того, ( x + c ) ² ≈ x ² + 2 xc, когда c близко к 0, потому что касательная линия к графику x ² + 2 xc + c ² при c = 0, как функция только c , равна у = 2 хс + х ² . Таким образом, небольшие корректировких может быть спланировано путем установки 2 хс к , или с = / (2 х ).

Наиболее распространенный итерационный метод вычисления квадратного корня вручную известен как « вавилонский метод » или «метод Герона» в честь греческого философа I века Герона Александрийского , который первым описал его. ^[17] Метод использует ту же итерационную схему, что и метод Ньютона – Рафсона, который дает при применении к функции y = f ( x ) = x ² - a , используя тот факт, что его наклон в любой точке равен dy / dx = f ′ ( x ) = 2 x , но предшествует ему на много веков.^[18] Алгоритм состоит в том, чтобы повторять простое вычисление, результатом которого является число, близкое к действительному квадратному корню, каждый раз, когда оно повторяется с его результатом в качестве нового ввода. Мотивация состоит в том, что если x является завышенной оценкой квадратного корня из неотрицательного действительного числа a, тогда a / x будет заниженным значением, и поэтому среднее этих двух чисел является лучшим приближением, чем любое из них. Однако неравенство средних арифметических и геометрических показывает, что это среднее всегда является завышенным значением квадратного корня (как указано ниже ), и поэтому оно может служить новым завышенным значением, с которым можно повторить процесс, который сходитсякак следствие того, что последовательные переоценки и недооценки становятся ближе друг к другу после каждой итерации. Чтобы найти x :

1. Начните с произвольного положительного начального значения x . Чем ближе к квадратному корню из a , тем меньше итераций потребуется для достижения желаемой точности.
2. Замените x на среднее ( x + a / x ) / 2 между x и a / x .
3. Повторите действия, начиная с шага 2, используя это среднее значение в качестве нового значения x .

То есть, если произвольное предположение для равно x ₀ и x _{n + 1} = ( x _n + a / x _n ) / 2 , то каждое x _n является приближением, которое лучше для больших n, чем для малых n . Если a положительно, сходимость квадратичная , что означает, что по мере приближения к пределу количество правильных цифр примерно удваивается на каждой следующей итерации. Если a = 0 , сходимость только линейная.${\displaystyle {\sqrt {a}}}$${\displaystyle {\sqrt {a}}}$

Использование идентичности

${\displaystyle {\sqrt {a}}=2^{-n}{\sqrt {4^{n}a}},}$

вычисление квадратного корня из положительного числа можно свести к вычислению числа в диапазоне [1,4) . Это упрощает поиск начального значения для итерационного метода, близкого к квадратному корню, для которого можно использовать полиномиальное или кусочно-линейное приближение .

Временная сложность для вычисления квадратного корня с п цифрами точности эквивалентно умножения два п -значных чисел.

Еще один полезный метод вычисления квадратного корня - алгоритм сдвига корня n-й степени , применяемый для n = 2 .

Имя функции извлечения квадратного корня варьируется от языка программирования к языку программирования, при этом sqrt^[19] (часто произносится как «squirt» ^[20] ) является общим, используется в C , C ++ и производных языках, таких как JavaScript , PHP и Python .

Квадратные корни из отрицательных и комплексных чисел

Квадрат любого положительного или отрицательного числа положителен, а квадрат 0 равен 0. Следовательно, никакое отрицательное число не может иметь действительного квадратного корня. Однако можно работать с более обширным набором чисел, называемым комплексными числами , который действительно содержит решения для вычисления квадратного корня из отрицательного числа. Это делается путем введения нового числа, обозначаемого i (иногда j , особенно в контексте электричества, где « i » традиционно представляет электрический ток) и называемого мнимой единицей , которая определяется таким образом, что i ² = -1 . Используя эти обозначения, мы можем думать оi как квадратный корень из −1, но мы также имеем (- i ) ² = i ² = −1, и поэтому - i также является квадратным корнем из −1. По соглашению, главный квадратный корень из -1 я , или в более общем случае , если х является любое неотрицательное число, то главный квадратный корень из - х является

${\displaystyle {\sqrt {-x}}=i{\sqrt {x}}.}$

Правая часть (как и отрицательная) действительно является квадратным корнем из - x , поскольку

${\displaystyle (i{\sqrt {x}})^{2}=i^{2}({\sqrt {x}})^{2}=(-1)x=-x.}$

Для любого ненулевого комплексного числа z существует ровно два числа w таких, что w ² = z : главный квадратный корень из z (определен ниже) и его отрицательное значение.

Главный квадратный корень комплексного числа

Чтобы найти определение квадратного корня, которое позволяет нам последовательно выбирать одно значение, называемое главным значением , мы начинаем с наблюдения, что любое комплексное число x + iy можно рассматривать как точку на плоскости ( x , y ), выражается в декартовых координатах . Одна и та же точка может быть переинтерпретирована с использованием полярных координат в качестве пары ), где r ≥ 0 - это расстояние точки от начала координат, а - угол, который линия от начала координат до точки образует с положительной действительной осью ( x ). . В комплексном анализе положение этой точки условно записывается, если${\displaystyle (r,\varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle re^{i\varphi }.}$

${\displaystyle z=re^{i\varphi }{\text{ with }}-\pi <\varphi \leq \pi ,}$

тогда мы определяем главный квадратный корень из z следующим образом:

${\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {r}}e^{i\varphi /2}.}$

Таким образом, функция главного квадратного корня определяется с использованием неположительной действительной оси в качестве разветвления . Функция главного квадратного корня голоморфна везде, кроме множества неположительных действительных чисел (на строго отрицательных вещественных числах она даже не является непрерывной ). Приведенный выше ряд Тейлора для остается верным для комплексных чисел x с | х | <1 .${\displaystyle {\sqrt {1+x}}}$

Вышесказанное также может быть выражено в терминах тригонометрических функций :

${\displaystyle {\sqrt {r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)}}={\sqrt {r}}\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}+i\sin {\frac {\varphi }{2}}\right).}$

Алгебраическая формула

Когда число выражается с использованием декартовых координат, для вычисления главного квадратного корня можно использовать следующую формулу: ^{[21] [22]}

${\displaystyle {\sqrt {x+iy}}={\sqrt {\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}{2}}}\pm i{\sqrt {\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-x}{2}}},}$

где знак мнимой части корня считается таким же, как знак мнимой части исходного числа, или положительным, когда равен нулю. Реальная часть основной стоимости всегда неотрицательна.

Например, главные квадратные корни из ± i даются по формуле:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {i}}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}+i{\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i),\\{\sqrt {-i}}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}-i{\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1-i).\end{aligned}}}$

Примечания

В дальнейшем комплексные z и w могут быть выражены как:

• ${\displaystyle z=|z|e^{i\theta _{z}}}$
• ${\displaystyle w=|w|e^{i\theta _{w}}}$

где и .${\displaystyle -\pi <\theta _{z}\leq \pi }$${\displaystyle -\pi <\theta _{w}\leq \pi }$

Из - за прерывистый характер квадратного корня функции в комплексной плоскости, следующие законы не верны в целом.

• ${\displaystyle {\sqrt {zw}}={\sqrt {z}}{\sqrt {w}}}$(контрпример для главного квадратного корня: z = −1 и w = −1 ) Это равенство справедливо только тогда, когда${\displaystyle -\pi <\theta _{z}+\theta _{w}\leq \pi }$
• ${\displaystyle {\frac {\sqrt {w}}{\sqrt {z}}}={\sqrt {\frac {w}{z}}}}$(контрпример для главного квадратного корня: w = 1 и z = −1 ) Это равенство справедливо только тогда, когда${\displaystyle -\pi <\theta _{w}-\theta _{z}\leq \pi }$
• ${\displaystyle {\sqrt {z^{*}}}=\left({\sqrt {z}}\right)^{*}}$(контрпример для главного квадратного корня: z = −1 ) Это равенство справедливо только тогда, когда${\displaystyle \theta _{z}\neq \pi }$

Аналогичная проблема возникает с другими сложными функциями с разветвлениями, например, комплексным логарифмом и отношениями log z + log w = log ( zw ) или log ( z ^* ) = log ( z ) ^*, которые в общем случае неверны.

Ошибочное предположение об одном из этих законов лежит в основе нескольких ошибочных «доказательств», например следующего, показывающего, что −1 = 1 :

${\displaystyle {\begin{aligned}-1&=i\cdot i\\&={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\\&={\sqrt {\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)}}\\&={\sqrt {1}}\\&=1\end{aligned}}}$

Третье равенство не может быть оправдано (см. Недействительное доказательство ). Это можно сделать, изменив значение √ так, чтобы оно больше не представляло главный квадратный корень (см. Выше), но выбирало ветвь для квадратного корня, содержащую . Левая часть становится либо${\displaystyle {\sqrt {1}}\cdot {\sqrt {-1}}.}$

${\displaystyle {\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}=i\cdot i=-1}$

если ветка включает + i или

${\displaystyle {\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}=(-i)\cdot (-i)=-1}$

если ветвь включает - i , а правая часть становится

${\displaystyle {\sqrt {\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)}}={\sqrt {1}}=-1,}$

где последнее равенство является следствием выбора ветви при переопределении √.${\displaystyle {\sqrt {1}}=-1,}$

Корни N-й степени и полиномиальные корни

Определение квадратного корня из числа , которое было обобщено следующим образом.${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y^{2}=x}$

Кубический корень из этого числа такой , что ; это обозначено${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y^{3}=x}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}.}$

Если n является целым числом больше двух, корень n- й степени является таким числом , что ; это обозначено${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y^{n}=x}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}.}$

Для любого многочлена р , А корень из р представляет собой число у таких , что р ( у ) = 0 . Например, корни n- го числа x являются корнями многочлена (от y )${\displaystyle y^{n}-x.}$

Теорема Абеля – Руффини утверждает, что, как правило, корни многочлена пятой степени или выше не могут быть выражены через корни n- й степени.

Квадратные корни из матриц и операторов

Если A - положительно определенная матрица или оператор, то существует ровно одна положительно определенная матрица или оператор B с B ² = A ; мы затем определим A ^1/2 = B . В общем случае матрицы могут иметь несколько квадратных корней или даже бесконечное их количество. Например, единичная матрица 2 × 2 имеет бесконечное количество квадратных корней ^[23], хотя только один из них является положительно определенным.

В целостных областях, включая поля

Каждый элемент области целостности имеет не более двух квадратных корней. Разность двух квадратов идентичности у ² - v ² = ( U - V ) ( U + V ) доказывается с помощью коммутативности умножения . Если u и v - квадратные корни из одного и того же элемента, то u ² - v ² = 0 . Поскольку делителей нуля нет, отсюда следует, что u = v или u + v= 0 , где последнее означает, что два корня аддитивно инвертируют друг друга. Другими словами, если существует элемент, являющийся квадратным корнем u из элемента a , то единственными квадратными корнями из a являются u и −u . Единственный квадратный корень из 0 в области целостности - это сам 0.

В поле характеристики  2 элемент либо имеет один квадратный корень, либо не имеет его вообще, потому что каждый элемент является его собственным аддитивным обратным, так что - u = u . Если поле конечно характеристики 2, то каждый элемент имеет единственный квадратный корень. В поле любой другой характеристики любой ненулевой элемент либо имеет два квадратных корня, как объяснено выше, либо не имеет ни одного.

Для нечетного простого числа p положим q = p ^e для некоторого положительного целого числа e . Ненулевой элемент поля F q с q элементами является квадратичным вычетом, если он имеет квадратный корень из F _q . В противном случае это квадратичный невычет. Есть ( q - 1) / 2 квадратичных вычетов и ( q - 1) / 2 квадратичных невычетов; ноль не засчитывается ни в одном из классов. Квадратичные вычеты образуют группу при умножении. Свойства квадратичных вычетов широко используются втеория чисел .

В кольцах вообще

В отличие от области целостности, квадратный корень в произвольном (унитальном) кольце не обязательно должен быть уникальным с точностью до знака. Например, в кольце целых чисел по модулю 8 (которое является коммутативным, но имеет делители нуля) элемент 1 имеет четыре различных квадратных корня: ± 1 и ± 3.${\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} }$

Другой пример - кольцо кватернионов, не имеющее делителей нуля, но не коммутативное. Здесь элемент −1 имеет бесконечно много квадратных корней , включая ± i , ± j и ± k . Фактически, набор квадратных корней из −1 в точности равен${\displaystyle \mathbb {H} ,}$

${\displaystyle \{ai+bj+ck\mid a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\}.}$

Квадратный корень из 0 равен 0 или делителю нуля. Таким образом, в кольцах, где нет делителей нуля, это однозначно 0. Однако кольца с делителями нуля могут иметь кратные квадратные корни из 0. Например, в любом кратном n есть квадратный корень из 0.${\displaystyle \mathbb {Z} /n^{2}\mathbb {Z} ,}$

Геометрическое построение квадратного корня

Квадратный корень из положительного числа обычно определяется как длина стороны квадрата с площадью, равной данному числу. Но квадратная форма для этого не нужна: если один из двух одинаковых плоских евклидовых объектов имеет площадь в раз больше, чем другой, то соотношение их линейных размеров равно .${\displaystyle {\sqrt {a}}}$

Квадратный корень можно построить с помощью циркуля и линейки. В его элементов , Евклид ( . Фл 300 г. до н.э.) дал строительство среднее геометрическое двух величин в двух разных местах: Предложение II.14 и Предложение VI.13 . Поскольку среднее геометрическое для a и b равно , можно построить, просто взяв b = 1 .${\displaystyle {\sqrt {ab}}}$${\displaystyle {\sqrt {a}}}$

Эта конструкция также дана Декартом в его «Геометрии» , см. Рисунок 2 на странице 2 . Однако Декарт не претендовал на оригинальность, и его аудитория была хорошо знакома с Евклидом.

Второе доказательство Евклида в Книге VI основано на теории подобных треугольников . Пусть AHB - отрезок длины a + b с AH = a и HB = b . Постройте окружность с диаметром AB и пусть C будет одним из двух пересечений перпендикулярной хорды в точке H с окружностью, и обозначьте длину CH как h . Затем, используя теорему Фалеса и, как в доказательстве теоремы Пифагора с помощью аналогичных треугольников , треугольник AHC похож на треугольник CHB (как и на самом деле оба треугольника ACB, хотя нам это и не нужно, но это суть доказательство теоремы Пифагора) , так что AH: CH как HC: HB, т.е./ h = h / b , из чего путем перекрестного умножения заключаем, что h ² = ab , и, наконец, что . Когда отмечаем середину O отрезка AB и рисуем радиус OC длины ( a + b ) / 2 , то ясно, что OC> CH, т.е. (с равенством тогда и только тогда, когда a = b ), что является арифметико-геометрическим среднее неравенство для двух переменных и, как отмечалось выше , является основой древнегреческого понимания «метода Герона».${\displaystyle h={\sqrt {ab}}}$${\textstyle {\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {ab}}}$

Другой метод геометрической конструкции использует правильные треугольники и индукцию : может быть построен, и как только было построено, правый треугольник с ножками 1 и имеет гипотенузу из . Построение последовательных квадратных корней таким образом дает Спираль Теодора, изображенную выше.${\displaystyle {\sqrt {1}}}$${\displaystyle {\sqrt {x}}}$${\displaystyle {\sqrt {x}}}$${\displaystyle {\sqrt {x+1}}}$

Смотрите также

• Апотом (математика)
• кубический корень
• Функциональный квадратный корень
• Целочисленный квадратный корень
• Вложенный радикал
• N-й корень
• Корень единства
• Решение квадратных уравнений с цепными дробями
• Принцип квадратного корня
• Квантовый вентиль § Квадратный корень из логического элемента НЕ (√NOT)

Примечания

Рекомендации

• Даубен, Джозеф В. (2007). «Китайская математика I». В Каце, Виктор Дж. (Ред.). Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-11485-9.
• Гельфанд, Израэль М .; Шен, Александр (1993). Алгебра (3-е изд.). Birkhäuser. п. 120. ISBN 0-8176-3677-3.
• Джозеф, Джордж (2000). Герб Павлина . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-00659-8.
• Смит, Дэвид (1958). История математики . 2 . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-20430-7.
• Селин, Хелайн (2008), Энциклопедия истории науки, техники и медицины в незападных культурах , Springer, Bibcode : 2008ehst.book ..... S , ISBN 978-1-4020-4559-2.

внешняя ссылка

Викискладе есть медиафайлы по теме квадратный корень .

• Алгоритмы, реализации и многое другое  - веб-страница Пола Хси о квадратных корнях
• Как найти квадратный корень вручную
• Избранная колонка AMS, «Арифметика Галилея» Тони Филипса  - включает раздел о том, как Галилей находил квадратные корни.