Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
«²» перенаправляется сюда. Для оформления надстрочных индексов см. Подстрочные и надстрочные индексы .
5⋅5 или 5 2 (5 в квадрате) можно отобразить графически с помощью квадрата . Каждый блок представляет одну единицу 11 , а весь квадрат представляет 5⋅5 или площадь квадрата.

В математике , квадрат является результатом умножения на число само по себе. Глагол «возвести в квадрат» используется для обозначения этой операции. Возведение в квадрат аналогично возведению в степень  2 и обозначается надстрочным индексом 2; например, квадрат 3 можно записать в виде 3 2 , что число 9. В некоторых случаях , когда индексы не доступны, как, например , в языках программирования или простые текстовые файлы, обозначения x^2или x**2могут быть использованы вместо .x2

Прилагательное, которое соответствует возведению в квадрат, является квадратичным .

Квадрат целого числа можно также назвать квадратным числом или полным квадратом. В алгебре операция возведения в квадрат часто обобщается на многочлены , другие выражения или значения в системах математических значений, отличных от чисел. Например, квадрат линейного многочлена x + 1 является квадратичным многочленом ( x +1) 2 = x 2 + 2 x + 1 .

Одним из важных свойств квадратуры, для чисел, а также во многих других математических системах, является то , что (для всех чисел х ), квадрат х таким же , как квадрат его аддитивного обратного - х . То есть функция квадрата удовлетворяет тождеству x 2 = (- x ) 2 . Это также можно выразить, сказав, что функция квадрата является четной функцией .

В реальных числах [ править ]

График функции квадрата y = x 2 представляет собой параболу .

Операция возведения в квадрат определяет реальную функцию, называемую функцией возведения в квадрат или функцией возведения в квадрат . Его домен представляет собой целую вещественную линию , а его изображение - набор неотрицательных действительных чисел.

Функция квадрата сохраняет порядок положительных чисел: большие числа имеют большие квадраты. Другими словами, квадрат - это монотонная функция на интервале [0, + ∞) . Что касается отрицательных чисел, числа с большим абсолютным значением имеют большие квадраты, поэтому квадрат является монотонно убывающей функцией на (−∞, 0] . Следовательно, ноль является (глобальным) минимумом функции квадрата. Квадрат x 2 числа число x меньше x (то есть x 2 < x ) тогда и только тогда, когда 0 < x <1 , то есть если xпринадлежит открытому интервалу (0,1) . Это означает, что квадрат целого числа никогда не меньше исходного числа x .

Каждое положительное действительное число представляет собой квадрат ровно двух чисел, одно из которых строго положительное, а другое - строго отрицательное. Ноль - это квадрат только одного числа. По этой причине можно определить функцию квадратного корня , которая связывает неотрицательное действительное число с неотрицательным числом, квадрат которого является исходным числом.

Из отрицательного числа в системе действительных чисел нельзя извлечь квадратный корень , потому что квадраты всех действительных чисел неотрицательны . Отсутствие действительных квадратных корней для отрицательных чисел можно использовать для расширения действительной системы счисления до комплексных чисел , постулируя мнимую единицу i , которая является одним из квадратных корней из −1.

Свойство «каждое неотрицательное действительное число является квадратом» было обобщено до понятия реального замкнутого поля , которое является упорядоченным полем , в котором каждый неотрицательный элемент является квадратом, а каждый многочлен нечетной степени имеет корень. Вещественные замкнутые поля нельзя отличить от поля действительных чисел по их алгебраическим свойствам: каждое свойство действительных чисел, которое может быть выражено в логике первого порядка (что выражается формулой, в которой переменные, которые количественно выражаются или представляют элементы, а не множества), верно для каждого реального закрытого поля, и, наоборот, каждое свойство логики первого порядка, которое верно для конкретного реального закрытого поля, также верно для действительных чисел.

В геометрии [ править ]

Есть несколько основных применений функции квадрата в геометрии.

Название функции квадрата показывает ее важность в определении площади : она проистекает из того факта, что площадь квадрата со сторонами длиной   l равна l 2 . Площадь зависит от размера квадратично: площадь формы в n  раз больше, в n 2  раза больше. Это справедливо для площадей в трех измерениях, а также на плоскости: например, площадь поверхности сферы пропорциональна квадрату ее радиуса, что физически проявляется законом обратных квадратов, описывающим, как сила физического силы, такие как гравитация, зависят от расстояния.

Зональные пластины Френеля имеют кольца с одинаковыми квадратами расстояний до центра.

Функция квадрата связана с расстоянием через теорему Пифагора и ее обобщение, закон параллелограмма . Евклидово расстояние не является гладкой функцией : трехмерный график расстояния от фиксированной точки образует конус с негладкой точкой на вершине конуса. Однако квадрат расстояния (обозначаемый d 2 или r 2 ), график которого имеет параболоид , является гладкой и аналитической функцией .

Скалярное произведение из евклидовой вектора с самим собой, равна квадрату его длины: v ⋅ v = v 2 . Это далее обобщается на квадратичные формы в линейных пространствах через внутреннее произведение . Тензор инерции в механике является примером квадратичной формы. Он демонстрирует квадратичную зависимость момента инерции от размера ( длины ).

Существует бесконечно много пифагоровых троек , наборов из трех натуральных чисел, таких, что сумма квадратов первых двух равна квадрату третьего. Каждая из этих троек дает целые стороны прямоугольного треугольника.

В абстрактной алгебре и теории чисел [ править ]

Функция квадрата определяется в любом поле или кольце . Элемент в изображении этой функции называется квадратом , а прообразы квадрата - квадратными корнями .

Понятие возведения в квадрат особенно важно в конечных полях Z / p Z, образованных числами по модулю нечетного простого числа p . Ненулевой элемент этого поля называется квадратичным вычетом, если он является квадратом в Z / p Z , в противном случае он называется квадратичным невычетом. Ноль, будучи квадратом, не считается квадратичным остатком. Каждое конечное поле этого типа имеет ровно ( p - 1) / 2 квадратичных вычетов и ровно ( p - 1) / 2 квадратичных невычетов. Квадратичные вычеты образуют группупри умножении. Свойства квадратичных вычетов широко используются в теории чисел .

В более общем смысле, в кольцах функция квадрата может иметь разные свойства, которые иногда используются для классификации колец.

Ноль может быть квадратом некоторых ненулевых элементов. Коммутативное кольцо не таким образом, что квадрат ненулевого элемента никогда не равна нулю, называется приведенное кольцо . В более общем смысле, в коммутативном кольце радикальный идеал - это идеал  I , из которого следует . Оба понятия важны в алгебраической геометрии из-за Nullstellensatz Гильберта .

Элемент кольца, равный его собственному квадрату, называется идемпотентом . В любом кольце 0 и 1 - идемпотенты.Других идемпотентов в полях и вообще в целостных областях нет . Однако кольцо целых чисел по модулю  n имеет 2 k идемпотентов, где k - количество различных простых делителей числа  n . Коммутативное кольцо, в котором каждый элемент равен своему квадрату (каждый элемент идемпотентен), называется булевым кольцом ; Примером из информатики является кольцо, элементы которого являются двоичными числами , с побитовым И в качестве операции умножения и поразрядным исключающим ИЛИ в качестве операции сложения.

В упорядоченном кольце , х 2 ≥ 0 для любых х . Более того, x 2 = 0  тогда и только тогда, когда  x = 0 .

В суперкоммутативной алгебре, где 2 обратимо, квадрат любого нечетного элемента равен нулю.

Если A - коммутативная полугруппа , то

На языке квадратичных форм это равенство означает, что функция квадрата - это «форма, допускающая композицию». Фактически, функция квадрата - это основа, на которой строятся другие квадратичные формы, которые также допускают композицию. Процедура была введена Л. Е. Диксоном для получения октонионов из кватернионов путем удвоения. Метод удвоения был формализован А. А. Альбертом, который начал с поля действительных чисел ℝ и функции квадрата, удвоив его, чтобы получить поле комплексных чисел с квадратичной формой x 2 + y 2, а затем снова удвоить, чтобы получить кватернионы. Процедура удвоения называется конструкцией Кэли – Диксона и была обобщена для формирования алгебр размерности 2 n над полем F с инволюцией.

Квадратная функция z 2 является «нормой» композиционной алгебры ℂ, где тождественная функция образует тривиальную инволюцию, с которой начинается построение Кэли – Диксона, приводящее к композиционным алгебрам бикомплексов, бикватернионов и биоктонионов.

В комплексных числах и связанных алгебрах над действительными [ править ]

Смотрите также: Возведение в степень § Степень комплексных чисел

Комплекс квадратной функции  г 2 является двойной крышкой комплексной плоскости , таким образом, что каждое ненулевой комплексное число имеет ровно два квадратных корни. Эта карта связана с параболическими координатами .

Абсолютный квадрат комплексного числа является произведением г г * включая его комплексное сопряжение ; [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] это также может быть выражено через комплексный модуль или абсолютное значение, | z | 2 . Его можно обобщить на векторы как комплексное скалярное произведение .

Другое использование [ править ]

Квадраты вездесущи в алгебре, в более общем смысле, почти во всех отраслях математики, а также в физике, где многие единицы определяются с помощью квадратов и обратных квадратов: см. Ниже .

Метод наименьших квадратов - стандартный метод, используемый для переопределенных систем .

Возведение в квадрат используется в статистике и теории вероятностей при определении стандартного отклонения набора значений или случайной величины . Отклонение каждого значения  x i от среднего  значения набора определяется как разность . Эти отклонения возводятся в квадрат, затем для нового набора чисел (каждое из которых положительно) берется среднее значение. Это среднее значение представляет собой дисперсию , а его квадратный корень - стандартное отклонение. В области финансов , то волатильность финансового инструмента представляет собой стандартное отклонение ее значения.

См. Также [ править ]

  • Возведение в степень возведением в квадрат
  • Многочлен SOS , представление неотрицательного многочлена в виде суммы квадратов многочленов
  • Семнадцатая проблема Гильберта для представления положительных многочленов в виде суммы квадратов рациональных функций
  • Многочлен без квадратов
  • Куб (алгебра)
  • Метрический тензор
  • Квадратное уровненеие
  • Кольцо полиномов
  • Суммы квадратов (страница значений с различными релевантными ссылками)

Связанные личности [ править ]

Алгебраический (нужно коммутативное кольцо )
  • Разница двух квадратов
  • Тождество Брахмагупты – Фибоначчи , связанное с комплексными числами в рассмотренном выше смысле
  • Тождество Эйлера с четырьмя квадратами , аналогичным образом связанное с кватернионами
  • Восьмиквадратная идентичность Дегена, аналогичным образом связана с октонионами
  • Личность Лагранжа
Другой
  • Пифагорейская тригонометрическая идентичность
  • Личность Парсеваля

Связанные физические величины [ править ]

  • ускорение , длина за квадрат времени
  • поперечное сечение (физика) , размерная величина
  • константа связи (имеет квадратный заряд в знаменателе и может быть выражена квадратом расстояния в числителе)
  • кинетическая энергия (квадратичная зависимость от скорости)
  • удельная энергия , величина (квадратная скорость)

Сноски [ править ]

  1. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Абсолютный квадрат» . mathworld.wolfram.com .
  2. ↑ Мур, Томас (9 января 2003 г.). Шесть идей, которые сформировали физику: блок Q - Частицы ведут себя как волны . McGraw-Hill Education. ISBN 9780072397130 - через Google Книги.
  3. ^ Blanpied, Уильям А. (4 сентября 1969). Физика: ее структура и эволюция . Издательство Blaisdell. ISBN 9780471000341 - через Google Книги.
  4. ↑ Грейнер, Уолтер (6 декабря 2012 г.). Квантовая механика: введение . Springer Science & Business Media. ISBN 9783642579745 - через Google Книги.
  5. ^ Burkhardt, Чарльз Э .; Левенталь, Джейкоб Дж. (15 декабря 2008 г.). Основы квантовой физики . Springer Science & Business Media. ISBN 9780387776521 - через Google Книги.
  6. ^ Senese, Фред (24 августа 2018). Символическая математика для химиков: руководство для пользователей Maxima . Джон Вили и сыновья. ISBN 9781119273233 - через Google Книги.
  7. ↑ Штайнер, Марк (30 июня 2009 г.). Применимость математики как философской проблемы . Издательство Гарвардского университета. ISBN 9780674043985 - через Google Книги.
  8. ^ Плаксивая, Тим (19 марта 2019). Философия физики: квантовая теория . Издательство Принстонского университета. ISBN 9780691183527 - через Google Книги.

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Маршалл, Мюррей Положительные многочлены и суммы квадратов. Математические обзоры и монографии, 146. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2008. xii + 187 стр. ISBN 978-0-8218-4402-1 , ISBN 0-8218-4402-4  
  • Раджваде, АР (1993). Квадраты . Серия лекций Лондонского математического общества. 171 . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-42668-5. Zbl  0785.11022 .