Функция действительной переменной

В математическом анализе , и применения в геометрии , прикладной математики , инженерии и естественных наук , А функция действительной переменной является функцией которой домен является реальное число ℝ , или подмножество из ℝ , который содержит интервал положительной длины. Большинство рассматриваемых и исследуемых реальных функций дифференцируемы в некотором интервале. Наиболее широко рассматриваемые такие функции - это действительные функции , которые являются действительными функциями.действительной переменной, то есть функций действительной переменной, домен которой является набором действительных чисел.

Тем не менее, домен функции действительной переменной может быть любым. Тем не менее, часто предполагается иметь структуру ℝ - векторное пространство над полем действительных чисел. То есть, кообласть может быть евклидово пространства , координатный вектор , набор матриц действительных чисел заданного размера, или ℝ - алгебры , такими как комплексные числа или кватернионы . Структурное ℝ- векторное пространство кодобласти индуцирует структуру ℝ- векторного пространства на функциях. Если область значений имеет структуру ℝ -алгебры, то же самое верно и для функций.

Изображение функции действительного переменного является кривой в области значений. В этом контексте функция, определяющая кривую, называется параметрическим уравнением кривой.

Когда область значений функции действительной переменной является конечномерным векторным пространством , функцию можно рассматривать как последовательность реальных функций. Это часто используется в приложениях.

Настоящая функция [ править ]

Действительная функция - это функция от подмножества до где, как обычно, обозначает набор действительных чисел . То есть область определения реальной функции является подмножеством , а ее область значений - это. Обычно предполагается, что область содержит интервал положительной длины.${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R},}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$

Основные примеры [ править ]

Для многих обычно используемых реальных функций область значений - это весь набор действительных чисел, а функция является непрерывной и дифференцируемой в каждой точке области. Говорят, что эти функции определены, непрерывны и дифференцируемы всюду. Это случай:

• Все полиномиальные функции , включая постоянные функции и линейные функции
• Функции синуса и косинуса
• Экспоненциальная функция

Некоторые функции определены везде, но в некоторых точках не являются непрерывными. Например

• Функция Хевисайда определена всюду, но не является непрерывной в нуле.

Некоторые функции всюду определены и непрерывны, но не везде дифференцируемы. Например

• Абсолютное значение определена и непрерывна всюду, и дифференцируема всюду, кроме нуля.
• Кубический корень определена и непрерывна всюду, и дифференцируема всюду, кроме нуля.

Многие общие функции определены не везде, но являются непрерывными и дифференцируемыми везде, где они определены. Например:

• Рациональная функция является отношением двух полиномиальных функций, и не определена в нулях знаменателя.
• Тангенс не определен для , где K является любым целым числом.${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} + к \ пи,}$
• Функция логарифма определяется только для положительных значений переменной.

Некоторые функции непрерывны во всей своей области определения и не дифференцируемы в некоторых точках. Это случай:

• Квадратный корень определяется только для неотрицательных значений переменной, а не дифференцируема в точке 0 (она дифференцируема для всех положительных значений переменной).

Общее определение [ править ]

Вещественная функция вещественного переменный является функцией , которая принимает в качестве входных данных действительного числа , обычно представленного переменных х , для получения другого действительного числа, то значения функции, обычно обозначаемый п ( х ). Для простоты в этой статье действительная функция действительной переменной будет называться просто функцией . Чтобы избежать двусмысленности, будут явно указаны другие типы функций, которые могут возникнуть.

Некоторые функции определены для всех реальных значений переменных (один говорит, что они определены везде), но некоторые другие функции определены только в том случае, если значение переменной берется в подмножестве X из ℝ, области определения функции, которая всегда предполагается, что он содержит интервал положительной длины. Другими словами, действительная функция действительной переменной - это функция

${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$

такое, что его область определения X является подмножеством, содержащим интервал положительной длины.

Простым примером функции одной переменной может быть:

${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle Х = \ {х \ в \ mathbb {R} \,: \, х \ geq 0 \}}$

${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$

который является квадратным корнем из x .

Изображение [ править ]

Изображение функции является множество всех значений е , когда переменная х пробегов во всей области е . Для непрерывной (см. Определение ниже) действительной функции со связной областью изображение представляет собой либо интервал, либо одно значение. В последнем случае функция является постоянной функцией .${\displaystyle f(x)}$

Прообраз данного действительного числа у есть множество решений уравнения у = ф ( х ) .

Домен [ править ]

Домен функции нескольких вещественных переменных является подмножеством ℝ , что иногда явно. В самом деле, если ограничить область Х некоторой функции F на подмножество Y ⊂ X , каждый получает формально другую функцию, то ограничение на F на Y , которая обозначается п _{| Y} . На практике часто не вредно идентифицировать f и f _{| Y} и опустить индекс _{| Y} .

И наоборот, иногда возможно естественным образом расширить область определения данной функции, например, путем непрерывности или аналитического продолжения . Это означает, что нецелесообразно явно определять область определения функции действительной переменной.

Алгебраическая структура [ править ]

Арифметические операции могут применяться к функциям следующим образом:

• Для каждого вещественного числа г , на постоянной функции , всюду определена.${\displaystyle (x)\mapsto r}$
• Для каждого действительного числа r и каждой функции f функция имеет ту же область определения, что и f (или везде определена, если r = 0).${\displaystyle rf:(x)\mapsto rf(x)}$
• Если е и г две функции соответствующих областей Х и Y такие , что X ∩ Y содержит открытое подмножество ℝ, то и это функции , которые имеют область , содержащую X ∩ Y .${\displaystyle f+g:(x)\mapsto f(x)+g(x)}$${\displaystyle f\,g:(x)\mapsto f(x)\,g(x)}$

Отсюда следует, что функции n переменных, которые определены всюду, и функции n переменных, которые определены в некоторой окрестности данной точки, образуют коммутативные алгебры над вещественными числами (ℝ-алгебры).

Аналогичным образом можно определить, какая функция является функцией, только если множество точек ( x ) в области определения f таких, что f ( x ) ≠ 0, содержит открытое подмножество. Это ограничение означает, что указанные выше две алгебры не являются полями .${\displaystyle 1/f:(x)\mapsto 1/f(x),}$

Непрерывность и ограничение [ править ]

До второй половины XIX века математики рассматривали только непрерывные функции . В то время понятие непрерывности было разработано для функций одной или нескольких действительных переменных задолго до формального определения топологического пространства и непрерывного отображения между топологическими пространствами. Поскольку непрерывные функции действительной переменной широко используются в математике, стоит определить это понятие без ссылки на общее понятие непрерывных отображений между топологическим пространством.

Для определения непрерывности полезно рассмотреть функцию расстояния от ℝ, которая является всюду определенной функцией двух вещественных переменных:${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$

Функция F является непрерывной в точке , которая является интерьер в своей области, если для любого положительного вещественного числа е , есть положительное действительное число ф такое , что для всех таких , что Другими словами, φ может быть выбрана достаточно мал для имеющего image by f отрезка радиуса φ с центром в, содержащемся в интервале длины 2 ε с центром в A, функция является непрерывной, если она непрерывна в каждой точке своей области определения.${\displaystyle a}$${\displaystyle |f(x)-f(a)|<\varepsilon }$${\displaystyle x}$${\displaystyle d(x,a)<\varphi .}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f(a).}$

Предел из вещественной функции вещественной переменной выглядит следующим образом . ^[1] Пусть a - точка топологического замыкания области X функции f . Функция f имеет предел L, когда x стремится к a , обозначенный

${\displaystyle L=\lim _{x\to a}f(x),}$

если выполняется следующее условие: для любого положительного действительного числа ε > 0 существует положительное действительное число δ > 0 такое, что

${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }$

для всех x в области таких, что

${\displaystyle d(x,a)<\delta .}$

Если предел существует, он уникален. Если a находится внутри области, предел существует тогда и только тогда, когда функция непрерывна в a . В этом случае мы имеем

${\displaystyle f(a)=\lim _{x\to a}f(x).}$

Когда a находится на границе области определения f , и если f имеет предел в a , последняя формула позволяет «расширить по непрерывности» область определения f до a .

Исчисление [ править ]

Можно собрать несколько функций, каждая из которых является реальной переменной, например

${\displaystyle y_{1}=f_{1}(x)\,,\quad y_{2}=f_{2}(x)\,,\ldots ,y_{n}=f_{n}(x)}$

в вектор, параметризованный x :

${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})=[f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots ,f_{n}(x)]}$

Производная вектора y - это производная вектора f _i ( x ) для i = 1, 2, ..., n :

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {y} }{dx}}=\left({\frac {dy_{1}}{dx}},{\frac {dy_{2}}{dx}},\ldots ,{\frac {dy_{n}}{dx}}\right)}$

Можно также выполнить линейный интеграл вдоль пространственной кривой, параметризованной x , с вектором положения r = r ( x ), путем интегрирования по переменной x :

${\displaystyle \int _{a}^{b}\mathbf {y} (x)\cdot d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {y} (x)\cdot {\frac {d\mathbf {r} (x)}{dx}}dx}$

где · - скалярное произведение , а x = a и x = b - начальная и конечная точки кривой.

Теоремы [ править ]

С помощью определений интегрирования и производных можно сформулировать ключевые теоремы, включая основную теорему исчисления интегрирования по частям и теорему Тейлора . Оценить смесь интегралов и производных можно с помощью дифференцирования теорем под знаком интеграла .

Неявные функции [ править ]

Вещественная неявной функции вещественной переменной не записывается в виде « у = п ( х )». Вместо этого отображается отображение из пространства ℝ ² в нулевой элемент в ℝ (просто обычный ноль 0):

${\displaystyle \phi :\mathbb {R} ^{2}\to \{0\}}$

а также

${\displaystyle \phi (x,y)=0}$

- уравнение в переменных. Неявные функции - это более общий способ представления функций, поскольку если:

${\displaystyle y=f(x)}$

тогда мы всегда можем определить:

${\displaystyle \phi (x,y)=y-f(x)=0}$

но обратное не всегда возможно, т.е. не все неявные функции имеют форму этого уравнения.

Одномерные пространственные кривые в ℝ ⁿ [ править ]

Формулировка [ править ]

Для функций r ₁ = r ₁ ( t ) , r ₂ = r ₂ ( t ) , ..., r _n = r _n ( t ) все функции общей переменной t , так что:

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} &\quad r_{2}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} &\cdots &\quad r_{n}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \\r_{1}=r_{1}(t)&\quad r_{2}=r_{2}(t)&\cdots &\quad r_{n}=r_{n}(t)\\\end{aligned}}}$

или вместе:

${\displaystyle \mathbf {r} :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{n}\,,\quad \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)}$

то параметризованный набор из n ,

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=[r_{1}(t),r_{2}(t),\ldots ,r_{n}(t)]}$

описывает одномерную пространственную кривую .

Касательная линия к кривой [ править ]

В точке r ( t = c ) = a = ( a ₁ , a ₂ , ..., a _n ) для некоторой константы t = c задаются уравнения одномерной касательной к кривой в этой точке с точки зрения обычных производных от т ₁ ( т ), г ₂ ( т ), ..., т _п ( т ), и г относительно т :

${\displaystyle {\frac {r_{1}(t)-a_{1}}{dr_{1}(t)/dt}}={\frac {r_{2}(t)-a_{2}}{dr_{2}(t)/dt}}=\cdots ={\frac {r_{n}(t)-a_{n}}{dr_{n}(t)/dt}}}$

Нормальная плоскость к кривой [ править ]

Уравнение n- мерной гиперплоскости, нормальной к касательной при r = a, имеет следующий вид:

${\displaystyle (p_{1}-a_{1}){\frac {dr_{1}(t)}{dt}}+(p_{2}-a_{2}){\frac {dr_{2}(t)}{dt}}+\cdots +(p_{n}-a_{n}){\frac {dr_{n}(t)}{dt}}=0}$

или с точки зрения скалярного произведения :

${\displaystyle (\mathbf {p} -\mathbf {a} )\cdot {\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}=0}$

где p = ( p ₁ , p ₂ , ..., p _n ) - точки на плоскости , а не на пространственной кривой.

Отношение к кинематике [ править ]

Физическая и геометрическая интерпретация d r ( t ) / dt - это « скорость » точечной частицы, движущейся по пути r ( t ), рассматривающая r как координаты вектора пространственного положения, параметризованные временем t , и является вектором касательная к пространственной кривой для всех t в мгновенном направлении движения. При t = c пространственная кривая имеет касательный вектор d r ( t ) / dt | _{т = с}, а гиперплоскость, нормальная к пространственной кривой в точке t = c , также нормальна к касательной в точке t = c . Любой вектор в этой плоскости ( p - a ) должен быть нормальным к d r ( t ) / dt | _{т = с} .

Аналогично, d ² r ( t ) / dt ² - это « ускорение » частицы и вектор, нормальный к кривой, направленный вдоль радиуса кривизны .

Матричные функции [ править ]

Матрица также может быть функцией одной переменной. Например, матрица вращения в 2d:

${\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$

является матричнозначной функцией угла поворота относительно начала координат. Аналогичным образом , в специальной теории относительности , то преобразование Лоренца матрицы для чистого усиления (без поворотов):

${\displaystyle \Lambda (\beta )={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&-{\frac {\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&0&0\\-{\frac {\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}}$

является функцией параметра ускорения β = v / c , в котором v - относительная скорость между системами отсчета (непрерывная переменная), а c - скорость света , постоянная.

Банахово и гильбертово пространства и квантовая механика [ править ]

Обобщая предыдущий раздел, выходные данные функции действительной переменной также могут находиться в банаховом или гильбертовом пространстве. В этих пространствах определены деление, умножение и пределы, поэтому такие понятия, как производная и интеграл, по-прежнему применяются. Особенно часто это происходит в квантовой механике, где берется производная от кета или оператора . Это происходит, например, в общем нестационарном уравнении Шредингера :

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi }$

где берется производная волновой функции, которая может быть элементом нескольких различных гильбертовых пространств.

Комплексная функция действительной переменной [ править ]

Комплексная функция действительного переменный может быть определена путем ослабления, в определении вещественных функций, ограничение области значений на действительные числа, и позволяя комплексные значения.

Если f ( x ) - такая комплексная функция, ее можно разложить как

f ( x ) = g ( x ) + ih ( x ) ,

где g и h - действительные функции. Другими словами, изучение комплексных функций легко сводится к изучению пар действительных функций.

Количество множеств функций действительной переменной [ править ]

Мощность множества вещественных функций вещественной переменной , является , что строго больше , чем мощность в континууме (т.е. множество всех действительных чисел). Этот факт легко проверяется кардинальной арифметикой:${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }=\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \}}$${\displaystyle \beth _{2}=2^{\mathfrak {c}}}$

$${\displaystyle \mathrm {card} (\mathbb {R} ^{\mathbb {R} })=\mathrm {card} (\mathbb {R} )^{\mathrm {card} (\mathbb {R} )}={\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=(2^{\aleph _{0}})^{\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}\cdot {\mathfrak {c}}}=2^{\mathfrak {c}}.}$$

Кроме того, если есть набор такой, что , то мощность набора также равна , так как${\displaystyle X}$${\displaystyle 2\leq \mathrm {card} (X)\leq {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle X^{\mathbb {R} }=\{f:\mathbb {R} \to X\}}$${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$

$${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}=\mathrm {card} (2^{\mathbb {R} })\leq \mathrm {card} (X^{\mathbb {R} })\leq \mathrm {card} (\mathbb {R} ^{\mathbb {R} })=2^{\mathfrak {c}}.}$$

Тем не менее, множество непрерывных функций имеет строго меньшую мощность, мощность континуума, . Это следует из того факта, что непрерывная функция полностью определяется своим значением на плотном подмножестве своей области определения. ^[2] Таким образом, мощность множества непрерывных действительных функций на вещественных числах не превышает мощность множества действительных функций рациональной переменной. По количественной арифметике:${\displaystyle C^{0}(\mathbb {R} )=\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :f\ \mathrm {continuous} \}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

$${\displaystyle \mathrm {card} (C^{0}(\mathbb {R} ))\leq \mathrm {card} (\mathbb {R} ^{\mathbb {Q} })=(2^{\aleph _{0}})^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}\cdot \aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}.}$$

С другой стороны, поскольку существует явное взаимное соответствие между и набором постоянных функций , который образует подмножество , также должно выполняться. Следовательно, .${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :f(x)\equiv x_{0}\}}$${\displaystyle C^{0}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathrm {card} (C^{0}(\mathbb {R} ))\geq {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle \mathrm {card} (C^{0}(\mathbb {R} ))={\mathfrak {c}}}$

См. Также [ править ]

• Реальный анализ
• Функция нескольких действительных переменных
• Комплексный анализ
• Функция нескольких сложных переменных

Ссылки [ править ]

• Ф. Эйрес, Э. Мендельсон (2009). Исчисление . Серия набросков Шаума (5-е изд.). Макгроу Хилл. ISBN 978-0-07-150861-2.
• Р. Вреде, MR Spiegel (2010). Продвинутое исчисление . Серия набросков Шаума (3-е изд.). Макгроу Хилл. ISBN 978-0-07-162366-7.
• Н. Бурбаки (2004). Функции действительной переменной: элементарная теория . Springer. ISBN 354-065-340-6.

Внешние ссылки [ править ]

• Многопараметрическое исчисление
• Л. А. Талман (2007) Дифференцируемость функций многих переменных.