Функция с действительным знаком

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Функция с действительным знаком»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июнь 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Масса, измеренная в граммах, является функцией от этого набора веса к положительным действительным числам. Термин « весовая функция », являющийся намеком на этот пример, используется в чистой и прикладной математике.

В математике функция с действительным знаком - это функция , значения которой являются действительными числами . Другими словами, это функция, которая присваивает действительное число каждому члену своего домена .

Действительные функции действительной переменной (обычно называемые реальными функциями ) и действительные функции нескольких реальных переменных являются основным объектом изучения исчисления и, в более общем плане, реального анализа . В частности, многие функциональные пространства состоят из функций с действительными значениями.

Алгебраическая структура [ править ]

Позвольте быть набор всех функций от множества X до действительных чисел . Поскольку это поле , его можно превратить в векторное пространство и коммутативную алгебру над вещественными числами с помощью следующих операций:${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (X, {\ mathbb {R}})}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (X, {\ mathbb {R}})}$

• ${\ Displaystyle f + g: x \ mapsto f (x) + g (x)}$- векторное сложение
• ${\ displaystyle \ mathbf {0}: х \ mapsto 0}$- аддитивная идентичность
• ${\ displaystyle cf: x \ mapsto cf (x), \ quad c \ in \ mathbb {R}}$- скалярное умножение
• ${\ displaystyle fg: x \ mapsto f (x) g (x)}$- поточечное умножение

Эти операции распространяются на частичные функции от X до с ограничением, что частичные функции f + g и f g определены только в том случае, если области определения f и g имеют непустое пересечение; в этом случае их область определения является пересечением областей определения f и g .${\ displaystyle \ mathbb {R},}$

Кроме того, поскольку это упорядоченный набор, существует частичный порядок${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

• ${\ Displaystyle \ е \ Leq g \ четырехъядерный \ iff \ quad \ forall x: f (x) \ Leq g (x),}$

на котором образуется частично упорядоченное кольцо .${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (X, {\ mathbb {R}}),}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (X, {\ mathbb {R}})}$

Измеримый [ править ]

Σ-алгебра из борелевских множеств является важной структурой реальных чисел. Если X имеет свою σ-алгебру и функция f такова, что прообраз f  ⁻¹ ( B ) любого борелевского множества B принадлежит этой σ-алгебре, то f называется измеримой . Измеримые функции также образуют векторное пространство и алгебру, как описано выше .

Более того, набор (семейство) вещественнозначных функций на X может фактически определять σ-алгебру на X, порожденную всеми прообразами всех борелевских множеств (или только интервалов , это не важно). Так возникают σ-алгебры в теории вероятностей ( Колмогорова ) , где действительные функции на пространстве выборок Ω являются действительными случайными величинами .

Непрерывный [ править ]

Действительные числа образуют топологическое пространство и полное метрическое пространство . Непрерывные вещественнозначные функции (из которых следует, что X - топологическое пространство) важны в теориях топологических и метрических пространств . Теорема об экстремальном значении утверждает, что для любой действительной непрерывной функции на компактном пространстве существуют ее глобальный максимум и минимум .

Само понятие метрического пространства определяется действительной функцией двух переменных, метрикой , которая является непрерывной. Особое значение имеет пространство непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве . Сходящиеся последовательности также можно рассматривать как действительные непрерывные функции на специальном топологическом пространстве.

Непрерывные функции также образуют векторное пространство и алгебру, как объяснено выше , и являются подклассом измеримых функций, потому что любое топологическое пространство имеет σ-алгебру, порожденную открытыми (или замкнутыми) множествами.

Гладкий [ править ]

Действительные числа используются в качестве области значений для определения гладких функций. Домен реальной гладкой функции может быть в режиме реального координатного пространства (что дает более реальную функцию многопараметрической ), а топологическое векторное пространство , ^[1] в открытое подмножестве из них, или гладкого многообразия .

Пространства гладких функций также являются векторными пространствами и алгебрами, как объяснялось выше , и являются подклассом непрерывных функций .

Появления в теории меры [ править ]

Мера на множестве является неотрицательной вещественным функционалом на о-алгебре подмножеств. ^[2] L p пространств на множествах с мерой определяются из вышеупомянутых действительных измеримых функций , хотя на самом деле они являются фактор-пространствами . Точнее, в то время как функция, удовлетворяющая соответствующему условию суммируемости, определяет элемент пространства L ^p , в противоположном направлении для любых f ∈ L ^p ( X ) и x ∈ X, который не является атомом , значение f( x ) не определено . Тем не менее, вещественные пространства L ^p все еще имеют некоторую структуру, изложенную выше . Каждое из L ^p пространств является векторным пространством и имеет частичный порядок, и существует поточечное умножение «функций», которое меняет p , а именно

${\displaystyle \cdot :L^{1/\alpha }\times L^{1/\beta }\to L^{1/(\alpha +\beta )},\quad 0\leq \alpha ,\beta \leq 1,\quad \alpha +\beta \leq 1.}$

Например, поточечное произведение двух функций L ² принадлежит L ¹ .

Другие выступления [ править ]

Другие контексты, в которых используются вещественнозначные функции и их специальные свойства, включают монотонные функции (на упорядоченных множествах ), выпуклые функции (на векторных и аффинных пространствах ), гармонические и субгармонические функции (на римановых многообразиях ), аналитические функции (обычно одного или нескольких вещественные переменные), алгебраические функции (на вещественных алгебраических многообразиях ) и многочлены (от одной или нескольких действительных переменных).

См. Также [ править ]

• Реальный анализ
• Уравнения с частными производными , основной пользователь функций с действительными значениями
• Норма (математика)
• Скаляр (математика)

Сноски [ править ]

Ссылки [ править ]

• Апостол, Том М. (1974). Математический анализ (2-е изд.). Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-00288-1.
• Джеральд Фолланд , Реальный анализ: современные методы и их приложения, второе издание, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0 . 
• Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа (3-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-054235-8.

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «Реальная функция» . MathWorld .