Ограничение (математика)

Функция
$х \mapsto е (х)$
Примеры по домену и кодомену
$X$ → $B,$ $B$ → $X,$ $B n$ → $B$ $X$ → $Z,$ $Z$ → $X$ $X$ → $R,$ $R$ → $X,$ $R n$ → $X$ $X$ → $C,$ $C$ → $X,$ $C n$ → $X$
Классы / свойства
Постоянный Личность Линейный Полиномиальный Рациональный Алгебраический Аналитический Гладкий Непрерывный Измеримый Инъекционный Сюръективный Биективный
Конструкции
Ограничение Сочинение λ Обратный
Обобщения
Частичное Многозначный Скрытый
v т е

Функция x ² с областью определения R не имеет обратной функции . Если мы ограничим x ² неотрицательными действительными числами , тогда у него будет обратная функция, известная как квадратный корень из x .

В математике , то ограничение из функции является новой функцией, обозначаются или , полученная путем выбора меньшего домена А для исходной функции . ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f \ vert _ {A}}$ ${\ displaystyle f {\ upharpoonright _ {A}}}$ ${\ displaystyle f}$

Формальное определение [ править ]

Пусть функция от множества $Е$ к множеству $F$ . Если множество является подмножеством из $Е$ , то ограничение , чтобы функция ^[1] ${\ displaystyle f: E \ to F}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle A}$

{\ displaystyle {f |} _ {A} \ двоеточие от A \ до F}

задано f | ( Х ) = е ( х ) для й в А . Неформально ограничение $f$ на $A$ - это та же функция, что и $f$ , но определено только на . ${\ displaystyle A \ cap \ operatorname {dom} f}$

Если функция $F$ будет рассматривать как отношение на декартово произведении , то сужение $F$ на $А$ может быть представлено его графике , где пары представляют собой упорядоченные пары в графе $G$ . $(x,f(x))$ $E\times F$ $G({f|}_{A})=\{(x,f(x))\in G(f)\mid x\in A\}=G(f)\cap (A\times F)$ $(x,f(x))$

Примеры [ править ]

Ограничение неинъективной функции на область является инъекцией . $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}$ $\mathbb {R} _{+}=[0,\infty )$ $f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}$
Факториал функция является ограничением гаммы - функции на положительные целые числа, с аргументом сдвинут на один: ${\Gamma |}_{\mathbb {Z} ^{+}}\!(n)=(n-1)!$

Свойства ограничений [ править ]

Ограничение функции всем ее доменом возвращает исходную функцию, т . Е .. $f:X\rightarrow Y$ $X$ $f|_{X}=f$
Дважды ограничить функцию - это то же самое, что ограничить ее один раз, т.е. если , то . $A\subseteq B\subseteq \operatorname {dom} f$ $(f|_{B})|_{A}=f|_{A}$
Ограничение тождественной функции на множестве X к подгруппе А из X является только отображение включения из A в X . ^[2]
Ограничение непрерывной функции непрерывно. ^[3]^[4]

Приложения [ править ]

Обратные функции [ править ]

Чтобы функция имела инверсию, она должна быть взаимно однозначной . Если функция $F$ не является взаимно однозначным, то можно определить частичный обратный из $F$ , ограничивая область. Например, функция

f(x)=x^{2}

определенное в целом не взаимно однозначно, так как x ² = (- x ) ² для любого x в . Однако функция становится взаимно однозначной, если мы ограничиваемся областью , и в этом случае $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} _{\geq 0}=[0,\infty )$

f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.

(Если вместо этого мы ограничимся областью , то обратная величина будет отрицательной величиной квадратного корня из $y$ .) В качестве альтернативы, нет необходимости ограничивать область, если мы позволяем обратной функции быть многозначной . $(-\infty ,0]$

Операторы выбора [ править ]

В реляционной алгебре , А выбор (иногда называемое ограничение , чтобы избежать путаницы с SQL использованием «S из SELECT) является унарной операция записывается как или где: $\sigma _{a\theta b}(R)$ $\sigma _{a\theta v}(R)$

$a$ и являются именами атрибутов, $b$
$\theta$ - бинарная операция в множестве , $\{<,\leq ,=,\neq ,\geq ,>\}$
$v$ постоянная величина,
$R$ это отношение .

Адресные выбирает все те кортежи , в течение которого существует между и в атрибуте. $\sigma _{a\theta b}(R)$ $R$ $\theta$ $a$ $b$

Выбор выбирает все те кортежи, для которых удерживается значение между атрибутом и значением . $\sigma _{a\theta v}(R)$ $R$ $\theta$ $a$ $v$

Таким образом, оператор выбора ограничивается подмножеством всей базы данных.

Лемма о вставке [ править ]

Лемма о склейке - результат топологии, которая связывает непрерывность функции с непрерывностью ее ограничений на подмножества.

Позвольте быть два замкнутых подмножества (или два открытых подмножества) топологического пространства такое, что , и пусть также быть топологическим пространством. Если является непрерывным при ограничении обоими и , то является непрерывным. $X,Y$ $A$ $A=X\cup Y$ $B$ $f:A\to B$ $X$ $Y$ $f$

Этот результат позволяет взять две непрерывные функции, определенные на замкнутых (или открытых) подмножествах топологического пространства, и создать новую.

Шкивы [ править ]

Связки предоставляют способ обобщения ограничений на объекты помимо функций.

В теории пучков , сопоставляется объект в категории для каждого открытого множества $U$ в виде топологического пространства , и требует, чтобы объекты удовлетворяют определенные условия. Наиболее важным условием является наличие ограничивающих морфизмов между каждой парой объектов, связанных с вложенными открытыми множествами; то есть, если , то существует морфизм res _V_,_U : F ( U ) → F ( V ), удовлетворяющий следующим свойствам, которые предназначены для имитации ограничения функции: $F(U)$ $V\subseteq U$

Для любого открытого множества U в X морфизм ограничения res _{U , U} : F ( U ) → F ( U ) является тождественным морфизмом на F ( U ).
Если мы имеем три открытые множества $W \subseteq V \subseteq U$ , то композитные $разрешения Ш, V \circ Рез V, U = Рез W, U$ .
(Локальность) Если ( U _i ) - открытое покрытие открытого множества U , и если s , t ∈ F ( U ) таковы, что $s | U i = t | U i$ для каждого множества U _i покрытия, тогда s = t ; и
(Склейка) Если ( U _i ) - открытое покрытие открытого множества U , и если для каждого i задано сечение $s i \in F (U i)$ такое, что для каждой пары U _i , U _j покрытия задает ограничения s _i и s _j согласуются с перекрытиями: $s i | U i \cap U j = s j | U i \cap U j$ , то существует сечение $s \in F (U)$ такое, что $s | U i = s i$ для каждого i .

Совокупность всех таких объектов называется связкой . Если выполняются только первые два свойства, это предварительная связка .

Ограничение влево и вправо [ править ]

В более общем смысле , ограничение (или ограничение домена или лево-ограничение ) $◁$ $R$ из бинарного отношения $R$ между $Е$ и $F$ может быть определена как отношение , обладающее домена $А$ , областью значений $Р$ и графа $G ($ $◁$ $R$ $) = {($ $х$ $,$ $y$ $) \in G ($ $R$ $) |$ $x$ $\in$ $A$ $}$ . Точно так же можно определить ограничение права или ограничение диапазона $R$ $▷$ $B$ . В самом деле, можно определить ограничение на n- мерные отношения, а также на подмножества, понимаемые как отношения, такие как $E \times F$ для бинарных отношений. Эти случаи не укладываются в схему связок . ^{[ требуется разъяснение ]}

Анти-ограничение [ править ]

Антиограничение домена (или вычитание домена ) функции или бинарного отношения $R$ (с областью $E$ и codomain $F$ ) набором $A$ может быть определено как $( E \ A ) ◁ R$ ; она удаляет все элементы $А$ из области $Е$ . Это иногда обозначается $A$ ⩤ $R$ . ^[5] Аналогично, ограничение диапазона (или вычитание диапазона ) функции или бинарного отношения $R$ набором $B$ определяется как $R ▷ ( F \ B )$ ; она удаляет все элементы $B$ из кообласти $F$ . Это иногда обозначают $R$ ⩥ $B$ .

См. Также [ править ]

Ограничение
Отвод деформации
Функция (математика) § Ограничение и расширение
Бинарное отношение § Ограничение
Реляционная алгебра § Выбор (σ)

Ссылки [ править ]

^ Столл, Роберт (1974). Множества, логика и аксиоматические теории (2-е изд.). Сан-Франциско: WH Freeman and Company. С. 5 . ISBN 0-7167-0457-9.
^ Халмош, Павел (1960). Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: Д. Ван Ностранд.Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag). Перепечатано Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (издание в мягкой обложке).
^ Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Река Верхнее Седл: Зал Прентис. ISBN 0-13-181629-2.
^ Адамс, Колин Конрад; Франзоза, Роберт Дэвид (2008). Введение в топологию: чистая и прикладная . Пирсон Прентис Холл. ISBN 978-0-13-184869-6.
↑ Данн, С. и Стоддарт, Билл, объединяющие теории программирования: Первый международный симпозиум, UTP 2006, Уолвортский замок, графство Дарем, Великобритания, 5–7 февраля 2006 г., пересмотренные избранные ... Компьютерные науки и общие вопросы) . Спрингер (2006)

[Stoll-1] Столл, Роберт (1974). Множества, логика и аксиоматические теории (2-е изд.). Сан-Франциско: WH Freeman and Company. С. 5 . ISBN 0-7167-0457-9.

[2] Халмош, Павел (1960). Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: Д. Ван Ностранд.Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag). Перепечатано Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (издание в мягкой обложке).

[3] Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Река Верхнее Седл: Зал Прентис. ISBN 0-13-181629-2.

[4] Адамс, Колин Конрад; Франзоза, Роберт Дэвид (2008). Введение в топологию: чистая и прикладная . Пирсон Прентис Холл. ISBN 978-0-13-184869-6.

[5] Данн, С. и Стоддарт, Билл, объединяющие теории программирования: Первый международный симпозиум, UTP 2006, Уолвортский замок, графство Дарем, Великобритания, 5–7 февраля 2006 г., пересмотренные избранные ... Компьютерные науки и общие вопросы) . Спрингер (2006)