Полиномиальный

В математике , А полином является выражением , состоящее из переменных (называемых также неизвестных ) и коэффициентов , которая включает в себя только операции добавления , вычитания , умножения , и неотрицательного целого числа экспоненциации переменных. Пример полинома от одного неопределенного x : x ² - 4 x + 7 . Пример в трех переменных: x ³ + 2 xyz ² - yz+1 .

Многочлены появляются во многих областях математики и естествознания. Например, они используются для формирования полиномиальных уравнений , которые кодируют широкий круг задач, от элементарных задач со словами до сложных научных задач; они используются для определения полиномиальных функций , которые появляются в различных настройках, от базовой химии и физики до экономики и социальных наук ; они используются в расчетах и численном анализе для аппроксимации других функций. В продвинутой математике полиномы используются для построения колец многочленов и алгебраических многообразий., которые являются центральными понятиями алгебры и алгебраической геометрии .

Этимология [ править ]

Слово многочлен объединяет два разных корня : греческое поли , означающее «многие», и латинское номен , или имя. Он был образован от термина « биномиальный» путем замены латинского корня bi- на греческий poly- . Слово полином впервые было использовано в 17 веке. ^[1]

Обозначения и терминология [ править ]

Х происходит в виде полинома , что обычно называют переменной или неопределенной . Когда многочлен рассматривается как выражение, x является фиксированным символом, не имеющим никакого значения (его значение «неопределенное»). Однако, если рассматривать функцию, определяемую полиномом, то x представляет аргумент функции и поэтому называется «переменной». Многие авторы используют эти два слова как синонимы.

Обычно для неопределенных значений используются прописные буквы, а для переменных (или аргументов) связанной функции - соответствующие строчные буквы. ^{[ необходима цитата ]}

Многочлен P от неопределенного x обычно обозначается либо как P, либо как P ( x ). Формально имя полинома P , а не P ( x ), но использование функциональной записи P ( x ) восходит к тому времени, когда различие между многочленом и связанной с ним функцией было неясным. Более того, функциональная нотация часто бывает полезна для определения в одной фразе полинома и его неопределенности. Например, «пусть P ( x ) - многочлен» - это сокращение от «пусть Pбыть многочленом от неопределенного x ". С другой стороны, когда нет необходимости подчеркивать имя неопределенного, многие формулы намного проще и легче читать, если имя (имена) неопределенного (ых) не появляются при каждом появлении полинома.

Неоднозначность наличия двух обозначений для одного математического объекта может быть формально разрешена путем рассмотрения общего значения функциональных обозначений для многочленов. Если обозначает число, переменный, другой полином, или, в более общем смысле , любое выражение, то P ( ) обозначает, по соглашению, результат подстановки для й в Р . Таким образом, многочлен P определяет функцию

${\ Displaystyle а \ mapsto P (а),}$

которая является функцией Полинома , связанной с P . Часто при использовании этого обозначения предполагается, что а - это число. Однако его можно использовать в любой области, в которой определены сложение и умножение (то есть в любом кольце ). В частности, если a - многочлен, то P ( a ) также является многочленом.

Более конкретно, когда является неопределенным х , то образом из й с помощью этой функции многочлена P самого (подставляя х для й ничего не меняет). Другими словами,

${\displaystyle P(x)=P,}$

что формально оправдывает существование двух обозначений для одного и того же многочлена.

Определение [ править ]

Многочлен - это выражение, которое может быть построено из констант и символов, называемых переменными или неопределенными, посредством сложения , умножения и возведения в степень до неотрицательной целой степени. Два таких выражения, которые можно преобразовать одно в другое, применяя обычные свойства коммутативности , ассоциативности и дистрибутивности сложения и умножения, считаются определяющими один и тот же многочлен.

Многочлен от одного неопределенного x всегда можно записать (или переписать) в виде

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},}$

где - константы, а - неопределенный. ^{[2] [3]} Слово «неопределенный» означает, что оно не представляет никакого конкретного значения, хотя оно может быть заменено любым значением. Отображение, которое связывает результат этой замены с подставляемым значением, является функцией , называемой полиномиальной функцией .${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

Это можно выразить более кратко, используя обозначение суммирования :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}}$

То есть многочлен может быть либо нулевым, либо может быть записан как сумма конечного числа ненулевых членов . Каждый член состоит из произведения числа, называемого коэффициентом члена ^[a],  и конечного числа неопределенных, возведенных в целые неотрицательные степени.

Классификация [ править ]

Степень неопределенности в члене называется степенью неопределенности в этом члене; степень члена - это сумма степеней неопределенностей в этом члене, а степень полинома - это наибольшая степень любого члена с ненулевым коэффициентом. ^[4] Поскольку x = x ¹ , степень неопределенности без записанной экспоненты равна единице.

Член без неопределенных и многочлен без неопределенных называются, соответственно, постоянным членом и постоянным многочленом . ^[b] Степень постоянного члена и ненулевого постоянного многочлена равна 0. Степень нулевого многочлена 0 (который вообще не имеет членов) обычно считается неопределенной (но см. ниже). ^[5]

Например:

${\displaystyle -5x^{2}y}$

это термин. Коэффициент равен −5 , неопределенными являются x и y , степень x равна двум, а степень y равна единице. Степень всего члена - это сумма степеней каждого неопределенного в нем, поэтому в этом примере степень равна 2 + 1 = 3 .

Сумма нескольких членов дает многочлен. Например, это многочлен:

${\displaystyle \underbrace {_{\,}3x^{2}} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {term} \\\mathrm {1} \end{smallmatrix}}\underbrace {-_{\,}5x} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {term} \\\mathrm {2} \end{smallmatrix}}\underbrace {+_{\,}4} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {term} \\\mathrm {3} \end{smallmatrix}}.}$

Он состоит из трех членов: первый - это степень два, второй - степень один, а третий - степень ноль.

Полиномы малой степени получили определенные имена. Многочлен нулевой степени - это постоянный многочлен или просто константа . Многочлены первой, второй или третьей степени являются соответственно линейными многочленами, квадратичными многочленами и кубическими многочленами . ^[4] Для более высоких степеней конкретные имена обычно не используются, хотя иногда используются полиномы четвертой степени (для степени четыре) и полиномы пятой степени (для степени пятой). Имена степеней могут применяться к многочлену или его членам. Например, член 2 x в x ² + 2 x + 1 является линейным членом квадратичного многочлена.

Многочлен 0, который можно считать вообще не имеющим членов, называется нулевым многочленом . В отличие от других постоянных многочленов, его степень не равна нулю. Скорее, степень нулевого полинома либо явно не определена, либо определяется как отрицательная (либо -1, либо -∞). ^[6] Нулевой многочлен также уникален тем, что это единственный многочлен от одного неопределенного, имеющий бесконечное количество корней . График нулевого многочлена f ( x ) = 0 является осью x .

В случае многочленов более одной переменной, многочлен называется однородным по степени п , если все его ненулевых членов имеют степень п . Нулевой многочлен однороден, а его степень как однородного многочлена не определена. ^[c] Например, x ³ y ² + 7 x ² y ³ - 3 x ⁵ однороден степени 5. Подробнее см. Однородный многочлен .

Переместительный закон сложения может использоваться , чтобы изменить условия в любом порядке предпочтения. В многочленах с одним неопределенным члены обычно упорядочиваются по степени, либо в «убывающих степенях x », где сначала член наибольшей степени, либо в «возрастающих степенях x ». Многочлен в приведенном выше примере записан в порядке убывания x . Первый член имеет коэффициент 3 , неопределенный x и показатель степени 2 . Во втором члене коэффициент равен −5 . Третий член - постоянный. Потому что степеньненулевого многочлена является наибольшей степенью любого одного члена, этот многочлен имеет степень два. ^[7]

Два члена с одинаковыми неопределенными, возведенными в одну и ту же степень, называются «подобными членами» или «подобными терминами», и они могут быть объединены, используя закон распределения , в один член, коэффициент которого является суммой коэффициентов членов, которые были объединены. Может случиться так, что это сделает коэффициент 0. ^[8] Многочлены можно классифицировать по количеству членов с ненулевыми коэффициентами, так что одночленный многочлен называется мономом , ^[d] двучленный многочлен называется биномом. , а трехчленный многочлен называется трехчленом . Термин «четырехчлен» иногда используется для обозначения четырехчленного многочлена.

Вещественный многочлен является многочленом с вещественными коэффициентами. Когда он используется для определения функции , домен не так ограничен. Однако реальная полиномиальная функция - это функция от действительного числа к действительному, которая определяется действительным многочленом. Точно так же целочисленный многочлен - это многочлен с целыми коэффициентами, а комплексный многочлен - это многочлен с комплексными коэффициентами.

Многочлен от одного неопределенного называется одномерным многочленом , многочлен от более чем одного неопределенного называется многомерным многочленом . Многочлен с двумя неопределенными называется двумерным многочленом . ^[3] Эти понятия больше относятся к типу многочленов, с которыми обычно работают, чем к отдельным многочленам; например, при работе с одномерными многочленами нельзя исключать постоянные многочлены (которые могут быть результатом вычитания непостоянных многочленов), хотя, строго говоря, постоянные многочлены вообще не содержат неопределенных. Можно дополнительно классифицировать многомерные многочлены как двумерные , трехвариантные.и так далее в соответствии с максимально допустимым числом неопределенных. Опять же, чтобы множество рассматриваемых объектов было замкнутым при вычитании, изучение тривиальных многочленов обычно допускает двумерные многочлены и так далее. Также принято говорить просто «многочлены от x , y и z », перечисляя разрешенные неопределенности.

Оценка полинома состоит из подставляя численное значение каждого неопределенный и проведения указанных умножений и дополнений. Для многочленов от одной неопределенности оценка обычно более эффективна (меньшее количество арифметических операций для выполнения) с использованием метода Хорнера :

${\displaystyle (((((a_{n}x+a_{n-1})x+a_{n-2})x+\dotsb +a_{3})x+a_{2})x+a_{1})x+a_{0}.}$

Арифметика [ править ]

Сложение и вычитание [ править ]

Многочлены могут быть добавлены с использованием ассоциативного закона сложения (группировка всех их членов в единую сумму), возможно, с последующим переупорядочиванием (с использованием закона коммутативности ) и объединением подобных членов. ^{[8] [9]} Например, если

${\displaystyle P=3x^{2}-2x+5xy-2}$ и ${\displaystyle Q=-3x^{2}+3x+4y^{2}+8}$

тогда сумма

${\displaystyle P+Q=3x^{2}-2x+5xy-2-3x^{2}+3x+4y^{2}+8}$

можно переупорядочить и перегруппировать как

${\displaystyle P+Q=(3x^{2}-3x^{2})+(-2x+3x)+5xy+4y^{2}+(8-2)}$

а затем упрощен до

${\displaystyle P+Q=x+5xy+4y^{2}+6.}$

Когда полиномы складываются вместе, получается еще один многочлен. ^[10]

Вычитание многочленов аналогично.

Умножение [ править ]

Многочлены также можно умножать. Чтобы разложить произведение двух полиномов на сумму членов, многократно применяется закон распределения, в результате чего каждый член одного полинома умножается на каждый член другого. ^[8] Например, если

${\displaystyle {\begin{aligned}\color {Red}P&\color {Red}{=2x+3y+5}\\\color {Blue}Q&\color {Blue}{=2x+5y+xy+1}\end{aligned}}}$

тогда

${\displaystyle {\begin{array}{rccrcrcrcr}{\color {Red}{P}}{\color {Blue}{Q}}&{=}&&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{1}})\\&&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{1}})\\&&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{1}})\end{array}}}$

Проведение умножения в каждом члене дает

${\displaystyle {\begin{array}{rccrcrcrcr}PQ&=&&4x^{2}&+&10xy&+&2x^{2}y&+&2x\\&&+&6xy&+&15y^{2}&+&3xy^{2}&+&3y\\&&+&10x&+&25y&+&5xy&+&5.\end{array}}}$

Объединение похожих условий дает

${\displaystyle {\begin{array}{rcccrcrcrcr}PQ&=&&4x^{2}&+&(10xy+6xy+5xy)&+&2x^{2}y&+&(2x+10x)\\&&+&15y^{2}&+&3xy^{2}&+&(3y+25y)&+&5\end{array}}}$

который можно упростить до

${\displaystyle PQ=4x^{2}+21xy+2x^{2}y+12x+15y^{2}+3xy^{2}+28y+5.}$

Как и в примере, произведение многочленов всегда является многочленом. ^{[10] [5]}

Состав [ править ]

Учитывая многочлен от одной переменной и другой многочлен g от любого числа переменных, композиция получается заменой каждой копии переменной первого многочлена вторым многочленом. ^[5] Например, если и затем${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle f(x)=x^{2}+2x}$${\displaystyle g(x)=3x+2}$

Композицию можно расширить до суммы членов, используя правила умножения и деления многочленов. Композиция двух многочленов всегда является другим многочленом. ^[11]

Подразделение [ править ]

Деление одного многочлена на другой обычно не является многочленом. Вместо этого такие отношения представляют собой более общее семейство объектов, называемых рациональными дробями , рациональными выражениями или рациональными функциями , в зависимости от контекста. ^[12] Это аналогично тому факту, что отношение двух целых чисел является рациональным числом , не обязательно целым. ^{[13] [14]} Например, дробь 1 / ( x ² + 1) не является многочленом и не может быть записана как конечная сумма степеней переменной x .

Для многочленов от одной переменной существует понятие евклидова деления многочленов , обобщающее евклидово деление целых чисел. ^[e] Это понятие деления a ( x ) / b ( x ) приводит к двум многочленам, частному q ( x ) и остатку r ( x ) , таким, что a = b q + r и степень ( r ) < степень ( b ). Частное и остаток можно вычислить с помощью любого из нескольких алгоритмов, включая полиномиальное деление в столбик и синтетическое деление . ^[15]

Когда знаменатель b ( x ) является моническим и линейным, то есть b ( x ) = x - c для некоторой константы c , то теорема о полиномиальном остатке утверждает, что остаток от деления a ( x ) на b ( x ) является оценка F ( с ) . ^[14] В этом случае частное может быть вычислено по правилу Руффини , частному случаю синтетического деления. ^[16]

Факторинг [ править ]

Все многочлены с коэффициентами в уникальной области факторизации (например, целые числа или поле ) также имеют факторизованную форму, в которой многочлен записывается как произведение неприводимых многочленов и константы. Эта факторизованная форма уникальна до порядка множителей и их умножения на обратимую константу. В случае поля комплексных чисел неприводимые множители линейны. Над действительными числами они имеют степень один или два. Над целыми и рациональными числами неприводимые множители могут иметь любую степень. ^[17] Например, факторизованная форма

${\displaystyle 5x^{3}-5}$

является

${\displaystyle 5(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)}$

над целыми и действительными числами и

${\displaystyle 5(x-1)\left(x+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)\left(x+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right)}$

над комплексными числами.

Вычисление факторизованной формы, называемое факторизацией , в общем случае слишком сложно, чтобы его можно было выполнить вручную. Однако эффективные алгоритмы полиномиальной факторизации доступны в большинстве систем компьютерной алгебры .

Исчисление [ править ]

Вычисление производных и интегралов от многочленов особенно просто по сравнению с другими видами функций. Производная многочлена относительно х есть многочлен ${\displaystyle P=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}$

Точно так же общая первообразная (или неопределенный интеграл) равна${\displaystyle P}$где c - произвольная постоянная. Например, первообразные x ² + 1 имеют вид1/3х ³ + х + с .

Для многочленов, коэффициенты которых берутся из более абстрактных настроек (например, если коэффициенты являются целыми числами по модулю некоторого простого числа p или элементами произвольного кольца), формулу для производной все же можно интерпретировать формально, с коэффициентом ka _k, понимаемым как означают сумму K копий в _к . Например, по целым числам по модулю p производная многочлена x ^p + x равна многочлену 1 . ^[18]

Полиномиальные функции [ править ]

Полиномиальная функция является функцией , которая может быть определена путем оценки полинома. Точнее, функция f одного аргумента из данной области является полиномиальной функцией, если существует полином

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$

которое вычисляется для всех х в области от F (здесь, п является неотрицательным целым числом , и ₀ , ₁ , ₂ , ..., _п постоянные коэффициенты). Обычно, если не указано иное, полиномиальные функции имеют комплексные коэффициенты, аргументы и значения. В частности, многочлен, ограниченный действительными коэффициентами, определяет функцию от комплексных чисел до комплексных чисел. Если область определения этой функции также ограничена вещественными числами, результирующая функция будет реальной функцией${\displaystyle f(x)}$ что переводит реалы в реалы.

Например, функция f , определяемая формулой

${\displaystyle f(x)=x^{3}-x,}$

является полиномиальной функцией одной переменной. Аналогичным образом определяются полиномиальные функции нескольких переменных, использующие многочлены от более чем одной неопределенной переменной, как в

${\displaystyle f(x,y)=2x^{3}+4x^{2}y+xy^{5}+y^{2}-7.}$

Согласно определению полиномиальных функций, могут быть выражения, которые, очевидно, не являются полиномами, но тем не менее определяют полиномиальные функции. Примером может служить выражение, которое принимает те же значения, что и полином на интервале , и, таким образом, оба выражения определяют одну и ту же полиномиальную функцию на этом интервале.${\displaystyle \left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)^{2},}$${\displaystyle 1-x^{2}}$${\displaystyle [-1,1]}$

Каждая полиномиальная функция непрерывна , гладка и цела .

Графики [ править ]

Полиномиальная функция от одной действительной переменной может быть представлена графиком .

• График нулевого многочлена

f ( x ) = 0

это х Оу.

• График многочлена степени 0

f ( x ) = a ₀ , где a ₀ ≠ 0 ,

горизонтальная линия с пересечением оси y a ₀

• График полинома степени 1 (или линейной функции)

f ( x ) = a ₀ + a ₁ x , где a ₁ ≠ 0 ,

наклонная линия с пересечением оси y a ₀ и наклоном a ₁ .

• График многочлена степени 2

f ( x ) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² , где a ₂ ≠ 0

является парабола .

• График многочлена степени 3

f ( x ) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + a ₃ x ³ , где a ₃ ≠ 0

- кубическая кривая .

• График любого многочлена степени 2 или выше

f ( x ) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + ... + a _n x ⁿ , где a _n ≠ 0 и n ≥ 2

- непрерывная нелинейная кривая.

Непостоянная полиномиальная функция стремится к бесконечности, когда переменная неограниченно увеличивается (по абсолютной величине ). Если степень больше единицы, график не имеет асимптоты . Он имеет две параболические ветви с вертикальным направлением (одна ветвь для положительного x и одна для отрицательного x ).

Полиномиальные графы анализируются в исчислении с использованием пересечений, наклонов, вогнутости и поведения концов.

Уравнения [ править ]

Полиномиальное уравнение , также называется алгебраическое уравнение , является уравнением вида ^[19]

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0.}$

Например,

${\displaystyle 3x^{2}+4x-5=0}$

является полиномиальным уравнением.

При рассмотрении уравнений неопределенные (переменные) многочленов также называются неизвестными , а решения - это возможные значения неизвестных, для которых верно равенство (как правило, может существовать более одного решения). Полиномиальное уравнение отличается от полиномиального тождества, такого как ( x + y ) ( x - y ) = x ² - y ² , где оба выражения представляют один и тот же многочлен в разных формах, и, как следствие, любое вычисление обоих членов дает действительное равенство.

В элементарной алгебре изучаются такие методы, как квадратная формула , для решения всех полиномиальных уравнений первой и второй степени от одной переменной. Также есть формулы для уравнений кубической и четвертой степени . Для более высоких степеней теорема Абеля – Руффини утверждает, что не может существовать общей формулы в радикалах. Однако алгоритмы поиска корней могут использоваться для нахождения численных приближений корней полиномиального выражения любой степени.

Число решений полиномиального уравнения с действительными коэффициентами не может превышать степени и равно степени при подсчете комплексных решений с учетом их кратности . Этот факт называется основной теоремой алгебры .

Решение уравнений[ редактировать ]

Каждый многочлен Р в й определяет функцию называется функцией Полинома , связанная с Р ; уравнение Р ( х ) = 0 является полиномиальным уравнением , связанным с P . Решения этого уравнения называются корнями многочлена или нулями связанной функции (они соответствуют точкам, где график функции пересекает ось x ).${\displaystyle x\mapsto P(x),}$

Ряд является корнем многочлена P тогда и только тогда , когда линейный полином х - делит P , то есть , если есть другой многочлен Q такой , что Р = ( х - ) Q . Может случиться , что х - а делит Р больше , чем один раз: если ( х - с ) ² делит P затем называется кратный корень из P , и в противном случае называется простой корень из P . Если Р является ненулевым многочленом, существует высокая мощность м таким образом, что ( х - ) ^м делит Р , которая называется кратностью корень а в P . Когда P - нулевой многочлен, соответствующее полиномиальное уравнение тривиально, и этот случай обычно исключается при рассмотрении корней, так как в приведенных выше определениях каждое число является корнем нулевого многочлена с неопределенной кратностью. За этим исключением количество корней P, Даже подсчитывали с их соответствующими кратностей, не может превышать степень P . ^[20] Связь между коэффициентами многочлена и его корнями описывается формулами Виета .

Некоторые полиномы, например x ² + 1 , не имеют корней среди действительных чисел . Однако если набор принятых решений расширить до комплексных чисел , каждый непостоянный многочлен имеет хотя бы один корень; это основная теорема алгебры . Последовательно разделив множители x - a , можно увидеть, что любой многочлен с комплексными коэффициентами может быть записан как константа (его старший коэффициент), умноженная на произведение таких полиномиальных множителей степени 1; как следствие, количество (комплексных) корней с учетом их кратностей в точности равно степени полинома.

У слова «решение уравнения» может быть несколько значений. Можно выразить решения в виде явных чисел; например, единственное решение 2 x - 1 = 0 равно 1/2 . К сожалению, это вообще невозможно для уравнений степени больше единицы, и с древних времен математики пытались выразить решения в виде алгебраических выражений ; например, золотое сечение - это единственное положительное решение. В древние времена они удавались только для первой и второй степени. Для квадратичных уравнений , то квадратичная формула${\displaystyle (1+{\sqrt {5}})/2}$${\displaystyle x^{2}-x-1=0.}$дает такие выражения решений. С XVI века аналогичные формулы (использующие кубические корни в дополнение к квадратным корням), но гораздо более сложные, известны для уравнений третьей и четвертой степени (см. Кубическое уравнение и уравнение четвертой степени ). Но формулы для степени 5 и выше ускользали от исследователей в течение нескольких столетий. В 1824 году Нильс Хенрик Абель доказал поразительный результат о том, что существуют уравнения степени 5, решения которых не могут быть выражены (конечной) формулой, включающей только арифметические операции и радикалы (см. Теорему Абеля – Руффини ). В 1830 году Эварист Галуадоказал, что большинство уравнений степени выше четырех не могут быть решены радикалами, и показал, что для каждого уравнения можно решить, разрешимо ли оно в радикалах, и, если да, решить его. Этот результат положил начало теории Галуа и теории групп , двум важным разделам современной алгебры . Сам Галуа отметил, что вычисления, подразумеваемые его методом, были невыполнимы. Тем не менее, формулы для разрешимых уравнений степеней 5 и 6 были опубликованы (см. Квинтическую функцию и шестнадцатеричное уравнение ).

Когда нет алгебраического выражения для корней, и когда такое алгебраическое выражение существует, но слишком сложно, чтобы быть полезным, единственный способ решения - вычислить численные приближения решений. ^[21] Для этого есть много методов; некоторые из них ограничены полиномами, а другие могут применяться к любой непрерывной функции . Наиболее эффективные алгоритмы позволяют легко решать (на компьютере ) полиномиальные уравнения степени выше 1000 (см. Алгоритм поиска корня ).

Для многочленов от более чем одной неопределенной комбинации значений переменных, для которых функция многочлена принимает нулевое значение, обычно называют нулями, а не «корнями». Изучение множеств нулей многочленов является предметом алгебраической геометрии . Для набора полиномиальных уравнений с несколькими неизвестными существуют алгоритмы, позволяющие определить, есть ли у них конечное число комплексных решений, и, если это число конечно, для вычисления решений. См. Система полиномиальных уравнений .

Частный случай, когда все многочлены имеют степень один, называется системой линейных уравнений , для которой существует другой диапазон различных методов решения , включая классическое исключение Гаусса .

Полиномиальное уравнение, для которого интересуются только целые решения, называется диофантовым уравнением . Решение диофантовых уравнений обычно является очень сложной задачей. Было доказано, что не может быть какого-либо общего алгоритма их решения и даже определения того, пусто ли множество решений (см . Десятую проблему Гильберта ). Некоторые из самых известных проблем, которые были решены за последние пятьдесят лет, связаны с диофантовыми уравнениями, такими как Великая теорема Ферма .

Обобщения [ править ]

Есть несколько обобщений понятия многочленов.

Тригонометрические полиномы [ править ]

Тригонометрический полином есть конечный линейная комбинация из функций греха ( пй ) и соза ( ая ) с п взятием на значениях одного или несколько натуральных чисел . ^[22] Коэффициенты могут быть взяты как действительные числа для действительных функций.

Если sin ( nx ) и cos ( nx ) раскрываются в терминах sin ( x ) и cos ( x ), тригонометрический полином становится полиномом от двух переменных sin ( x ) и cos ( x ) (с использованием списка тригонометрических тождеств. # Формулы для нескольких углов ). И наоборот, каждый многочлен от sin ( x ) и cos ( x ) может быть преобразован с помощью тождеств «произведение к сумме» в линейную комбинацию функций sin ( nx ) и cos ( nx ). Эта эквивалентность объясняет, почему линейные комбинации называются полиномами.

Для комплексных коэффициентов нет разницы между такой функцией и конечным рядом Фурье .

Тригонометрические полиномы широко используются, например , в тригонометрической интерполяции , приложенной к интерполяции из периодических функций . Они также используются в дискретном преобразовании Фурье .

Матричные полиномы [ править ]

Матричный многочлен является многочленом с квадратными матрицами в качестве переменных. ^[23] Для обычного скалярнозначного многочлена

${\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},}$

этот многочлен, вычисленный в матрице A, равен

${\displaystyle P(A)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}A^{i}}=a_{0}I+a_{1}A+a_{2}A^{2}+\cdots +a_{n}A^{n},}$

где I - единичная матрица . ^[24]

Матрица полиномиальное уравнение представляет собой равенство между двумя матричными многочленами, которое имеет место для конкретных матриц в вопросе. Матрица полиномиальное тождество является матрица полиномиального уравнения , которое имеет место для всех матриц А в указанном кольце матриц М _п ( R ).

Многочлены Лорана [ править ]

Многочлены Лорана похожи на многочлены, но допускают появление отрицательных степеней переменной (переменных).

Рациональные функции [ править ]

Рациональная дробь является фактором ( алгебраическое дробь ) двух многочленов. Любое алгебраическое выражение, которое можно переписать в виде рациональной дроби, является рациональной функцией .

Хотя полиномиальные функции определены для всех значений переменных, рациональная функция определяется только для значений переменных, знаменатель которых не равен нулю.

Рациональные дроби включают многочлены Лорана, но не ограничивают знаменатели степенями неопределенного.

Силовой ряд [ править ]

Формальные степенные ряды похожи на многочлены, но допускают появление бесконечного числа ненулевых членов, так что они не имеют конечной степени. В отличие от полиномов, они, как правило, не могут быть явно и полностью записаны (как и иррациональные числа ), но правила манипулирования их членами такие же, как и для полиномов. Неформальные степенные ряды также обобщают многочлены, но умножение двух степенных рядов может не сходиться.

Другие примеры [ править ]

Двумерный многочлен, в котором вторая переменная заменяется экспоненциальной функцией, применяемой к первой переменной, например P ( x , e ^x ) , может называться экспоненциальным многочленом .

Приложения [ править ]

Абстрактная алгебра [ править ]

В абстрактной алгебре различают полиномы и полиномиальные функции . Многочлен F в одном неопределенном х над кольцом R определяется как формальное выражение вида

${\displaystyle f=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x^{1}+a_{0}x^{0}}$

где п представляет собой натуральное число, коэффициенты ₀ ,. . ., a _n являются элементами R , а x - формальным символом, чьи степени x ⁱ являются просто заполнителями для соответствующих коэффициентов a _i , так что данное формальное выражение является всего лишь способом кодирования последовательности ( a ₀ , a ₁ , ...) , где существует такое n , что a _i = 0 для всех i > n . Два полинома с одинаковым значениемn считаются равными тогда и только тогда, когда равны последовательности их коэффициентов; кроме того, любой многочлен равен любому многочлену с большим значением n, полученным из него добавлением членов перед ними, коэффициент которых равен нулю. Эти полиномы могут быть добавлены путем простого добавления соответствующих коэффициентов (можно использовать правило расширения с помощью членов с нулевыми коэффициентами, чтобы убедиться, что такие коэффициенты существуют). Таким образом, каждый многочлен фактически равен сумме членов, используемых в его формальном выражении, если такой член a _i x ⁱ интерпретируется как многочлен, который имеет нулевые коэффициенты при всех степенях x, кроме x ⁱ . Тогда для определения умножения достаточнораспределительный закон для описания продукта любых двух таких терминов, который задается правилом

${\displaystyle ax^{k}\;bx^{l}=abx^{k+l}}$

  для всех элементов a , b кольца R и всех натуральных чисел k и l .

Таким образом, множество всех многочленов с коэффициентами в кольце R образует кольцо, кольцо многочленов над R , которое обозначается R [ x ] . Отображение из R в R [ x ], переводящее r в rx ^0, является инъективным гомоморфизмом колец, согласно которому R рассматривается как подкольцо R [ x ] . Если R является коммутативным , то Р [ х ] является алгебройнад R .

Можно думать о кольце R [ x ] как о возникающем из R путем добавления одного нового элемента x в R и минимальном расширении до кольца, в котором x не удовлетворяет никаким другим соотношениям, кроме обязательных, плюс коммутация со всеми элементами из R (то есть xr = rx ). Для этого нужно также сложить все степени x и их линейные комбинации.

Формирование кольца многочленов вместе с формированием факторных колец путем разложения идеалов являются важными инструментами для построения новых колец из известных. Например, кольцо (фактически поле) комплексных чисел, которое может быть построено из кольца многочленов R [ x ] над действительными числами путем факторизации идеала кратных многочлена x ² + 1 . Другой пример - построение конечных полей , которое происходит аналогичным образом, начиная с поля целых чисел по модулю некоторого простого числа как кольца коэффициентов R (см. Модульную арифметику ).

Если R коммутативен, то можно связать с любым полиномом P в R [ х ] в полиномиальной функции F с областью и диапазон равен R . (В более общем смысле, можно принять домен и диапазон как любую ту же ассоциативную алгебру с единицей над R. ) Значение f ( r ) можно получить, подставив значение r вместо символа x в P. Одна из причин различать полиномы и полиномиальные функции состоит в том, что над некоторыми кольцами разные полиномы могут приводить к одной и той же полиномиальной функции (см . Маленькую теорему Ферма для примера, где R - целые числа по модулю p ). Это не тот случай, когда R - действительные или комплексные числа, поэтому эти два понятия не всегда различаются при анализе . Еще более важная причина различать полиномы и полиномиальные функции заключается в том, что многие операции с полиномами (например, евклидово деление ) требуют рассмотрения того, из чего состоит полином, как выражения, а не вычисления его при некотором постоянном значении x .

Делимость [ править ]

В коммутативной алгебре одним из основных направлений исследований является делимость многочленов. Если R - область целостности, а f и g - многочлены в R [ x ] , говорят, что f делит g или f является делителем g, если существует многочлен q в R [ x ] такой, что f q = g . Можно показать, что каждый ноль порождает линейный делитель или, более формально, если fявляется многочленом в R [ x ] и r является элементом R такой, что f ( r ) = 0 , то многочлен ( x - r ) делит f . Обратное также верно. Частное можно вычислить, используя полиномиальное деление в столбик . ^{[25] [26]}

Если F - поле, а f и g - многочлены в F [ x ] с g ≠ 0 , то существуют единственные многочлены q и r в F [ x ] с

${\displaystyle f=q\,g+r}$

и такой, что степень r меньше степени g (согласно соглашению, что полином 0 имеет отрицательную степень). Многочлены q и r однозначно определяются функциями f и g . Это называется евклидовым делением , делением с остатком или полиномиальным делением в длину и показывает, что кольцо F [ x ] является евклидовой областью .

Аналогично, простые многочлены (точнее, неприводимые многочлены ) могут быть определены как ненулевые многочлены, которые не могут быть разложены на произведение двух непостоянных многочленов . В случае коэффициентов в кольце, «непостоянный» должны быть заменено на «непостоянным или не- единицы » (оба определения совпадают в случае коэффициентов в поле). Любой многочлен можно разложить на произведение обратимой константы на произведение неприводимых многочленов. Если коэффициенты принадлежат полю или уникальной области факторизацииэто разложение уникально до порядка факторов и умножения любого неединичного фактора на единицу (и деления единичного фактора на ту же единицу). Когда коэффициенты принадлежат целым числам, рациональным числам или конечному полю, существуют алгоритмы для проверки неприводимости и вычисления факторизации в неприводимые многочлены (см. Факторизация многочленов ). Эти алгоритмы не применимы для рукописных вычислений, но доступны в любой системе компьютерной алгебры . Критерий Эйзенштейна также может быть использован в некоторых случаях для определения несводимости.

Позиционное обозначение [ править ]

В современных позиционных системах счисления, таких как десятичная система , цифры и их позиции в представлении целого числа, например 45, являются сокращенным обозначением полинома по основанию или основанию, в данном случае 4 × 10 ^1. + 5 × 10 ⁰ . В качестве другого примера, в системе счисления 5 строка цифр, такая как 132, обозначает (десятичное) число 1 × 5 ² + 3 × 5 ¹ + 2 × 5 ⁰ = 42. Это представление уникально. Пусть b - натуральное число, большее 1. Тогда любое натуральное число a можно однозначно выразить в виде

${\displaystyle a=r_{m}b^{m}+r_{m-1}b^{m-1}+\dotsb +r_{1}b+r_{0},}$

где m - неотрицательное целое число, а r - такие целые числа, что

0 < r _m < b и 0 ≤ r _i < b для i = 0, 1,. . . , м - 1 . ^[27]

Интерполяция и приближение [ править ]

Простая структура полиномиальных функций делает их весьма полезными при анализе общих функций с использованием полиномиальных приближений. Важным примером в исчислении является теорема Тейлора , которая грубо заявляет, что каждая дифференцируемая функция локально выглядит как полиномиальная функция, и теорема Стоуна – Вейерштрасса , которая утверждает, что каждая непрерывная функция, определенная на компактном интервале действительной оси, может быть аппроксимирована весь интервал как можно точнее с помощью полиномиальной функции. Практические методы аппроксимации включают полиномиальную интерполяцию и использование сплайнов . ^[28]

Другие приложения [ править ]

Полиномы часто используются для кодирования информации о каком-либо другом объекте. Характеристический многочлен матрицы или линейного оператор содержит информацию о операторе собственных . Минимальный многочлен из алгебраического элемента запись простейшего алгебраического соотношения удовлетворяет этот элемент. Хроматический многочлен из графика подсчитывает количество правильных раскрасок этого графа.

Термин «многочлен», как прилагательное, может также использоваться для величин или функций, которые могут быть записаны в полиномиальной форме. Например, в теории сложности вычислений фраза полиномиальное время означает, что время, необходимое для завершения алгоритма , ограничено полиномиальной функцией некоторой переменной, такой как размер входных данных.

История [ править ]

Определение корней многочленов или «решение алгебраических уравнений» - одна из старейших задач математики. Однако элегантные и практичные обозначения, которые мы используем сегодня, появились только в 15 веке. До этого уравнения записывались на словах. Например, задача алгебры из «Китайской арифметики в девяти разделах» , около 200 г. до н.э., начинается со слов: «Три снопа хорошего урожая, два снопа посредственного урожая и один сноп плохого урожая проданы за 29 до». Мы бы написали 3 x  + 2 y  +  z = 29 .

История обозначений [ править ]

Самое раннее известное использование знака равенства в Роберт Recorde «s The Whetstone Витте , 1557 знаки + для сложения, - для вычитания, а также использование письма для неизвестного появится в Михаэль Штифель » s Arithemetica Integra , 1544 . Рене Декарт в Ла Geometrie , 1637, ввел понятие графа полиномиального уравнения. Он популяризировал использование букв из начала алфавита для обозначения констант и букв из конца алфавита для обозначения переменных, как видно выше, в общей формуле для полинома от одной переменной, где буквы a обозначают константы и xобозначает переменную. Декарт также ввел использование надстрочных индексов для обозначения показателей степени. ^[29]

См. Также [ править ]

• Список полиномиальных тем
• Полиномиальная последовательность
• Полиномиальное преобразование  - преобразование полинома, вызванное преобразованием его корней.
• Полиномиальное отображение  - функция, при которой координаты изображения точки являются полиномиальными функциями координат точки.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме полиномов .

Найдите многочлен в Викисловаре, бесплатном словаре.

• "Полином" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• «Исследования Эйлера о корнях уравнений» . Архивировано из оригинального 24 сентября 2012 года .