Алгебраическое уравнение

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Найти источники: «Алгебраическое уравнение» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( январь 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В математике , алгебраическое уравнение или полиномиальное уравнение является уравнением вида

{\ displaystyle P = 0}

где P - многочлен с коэффициентами в некотором поле , часто поле рациональных чисел . Для многих авторов термин алгебраическое уравнение относится только к уравнениям с одной переменной , то есть к полиномиальным уравнениям, включающим только одну переменную . С другой стороны, полиномиальное уравнение может включать несколько переменных. В случае нескольких переменных ( многомерный случай) термин полиномиальное уравнение обычно предпочтительнее алгебраического уравнения .

Например,

{\ displaystyle x ^ {5} -3x + 1 = 0}

является алгебраическим уравнением с целыми коэффициентами и

{\ displaystyle y ^ {4} + {\ frac {xy} {2}} - {\ frac {x ^ {3}} {3}} + xy ^ {2} + y ^ {2} + {\ frac {1} {7}} = 0}

является многомерным полиномиальным уравнением над рациональными числами.

Некоторые, но не все полиномиальные уравнения с рациональными коэффициентами имеют решение, которое представляет собой алгебраическое выражение, которое можно найти с помощью конечного числа операций, которые включают только те же самые типы коэффициентов (то есть могут быть решены алгебраически ). Это может быть сделано для всех таких уравнений степени один, два, три или четыре; но для пятой и более степеней это можно сделать только для некоторых уравнений, а не для всех . Большое количество исследований было посвящено вычислению эффективных и точных приближений действительных или комплексных решений одномерного алгебраического уравнения (см. Алгоритм поиска корней) и общих решений нескольких многомерных полиномиальных уравнений (см. Система полиномиальных уравнений ).

Терминология [ править ]

Термин «алгебраическое уравнение» восходит к тому времени, когда основной задачей алгебры было решение одномерных полиномиальных уравнений. Эта проблема была полностью решена в 19 веке; см. Основную теорему алгебры , теорему Абеля – Руффини и теорию Галуа .

С тех пор область применения алгебры резко расширилась. В частности, он включает изучение уравнений, которые включают корни n- й степени и, в более общем смысле, алгебраические выражения . Это делает термин « алгебраическое уравнение» неоднозначным вне контекста старой проблемы. Таким образом, термин полиномиальное уравнение обычно предпочтительнее, когда может возникнуть эта неоднозначность, особенно при рассмотрении многомерных уравнений.

История [ править ]

Изучение алгебраических уравнений, вероятно, так же старо, как и математика: вавилонские математики еще в 2000 году до нашей эры умели решать некоторые виды квадратных уравнений (изображенных на древневавилонских глиняных табличках ).

Одномерные алгебраические уравнения над рациональными числами (т. Е. С рациональными коэффициентами) имеют очень долгую историю. Древние математики хотели получить решения в форме радикальных выражений , например, для положительного решения . Древние египтяне умели таким образом решать уравнения степени 2. Индийский математик Брахмагупта (597–668 гг. Н.э.) подробно описал квадратичную формулу в своем трактате Brāhmasphuṭasiddhānta, опубликованном в 628 г., но написанном словами, а не символами. В IX веке Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми и другие исламские математики вывели квадратную формулу , общее решение уравнений степени 2, и признали важность ${\ Displaystyle х = {\ гидроразрыва {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}$ ${\ displaystyle x ^ {2} -x-1 = 0}$ дискриминант . В период Возрождения в 1545 году Джероламо Кардано опубликовал решение Сципионе дель Ферро и Никколо Фонтана Тарталья для уравнений степени 3 и решение Лодовико Феррари для уравнений степени 4 . Наконец , в 1824 году Нильс Хенрик Абель доказал, что уравнения степени 5 и выше не имеют общих решений с использованием радикалов. Теория Галуа , названная в честь Эвариста Галуа, показал, что некоторые уравнения как минимум степени 5 не имеют даже идиосинкратического решения в радикалах, и дал критерии для определения того, действительно ли уравнение разрешимо с использованием радикалов.

Направления обучения [ править ]

Алгебраические уравнения являются основой ряда областей современной математики: алгебраическая теория чисел - это изучение (одномерных) алгебраических уравнений над рациональными числами (то есть с рациональными коэффициентами). Теория Галуа была введена Эваристом Галуа, чтобы указать критерии для решения, можно ли решить алгебраическое уравнение в терминах радикалов. В теории поля , алгебраическое расширение является расширением таким образом, что каждый элемент является корнем алгебраического уравнения над основным полем. Трансцендентная теория чисел - это изучение действительных чисел, которые не являются решениями алгебраического уравнения над рациональными числами. Уравнение диофантовпредставляет собой (обычно многомерное) полиномиальное уравнение с целыми коэффициентами, для которого интересны целочисленные решения. Алгебраическая геометрия - это изучение решений в алгебраически замкнутом поле многомерных полиномиальных уравнений.

Два уравнения эквивалентны, если имеют одинаковый набор решений . В частности, уравнение эквивалентно . Отсюда следует, что изучение алгебраических уравнений равносильно изучению многочленов. ${\ displaystyle P = Q}$ ${\ displaystyle PQ = 0}$

Полиномиальное уравнение над рациональными числами всегда можно преобразовать в эквивалентное, в котором коэффициенты являются целыми числами . Например, умножая на 42 = 2 · 3 · 7 и группируя его члены в первом члене, ранее упомянутое полиномиальное уравнение становится ${\ displaystyle y ^ {4} + {\ frac {xy} {2}} = {\ frac {x ^ {3}} {3}} - xy ^ {2} + y ^ {2} - {\ frac {1} {7}}}$

{\ displaystyle 42y ^ {4} + 21xy-14x ^ {3} + 42xy ^ {2} -42y ^ {2} + 6 = 0.}

Поскольку синус , возведение в степень и 1 / T не являются полиномиальными функциями,

{\ displaystyle e ^ {T} x ^ {2} + {\ frac {1} {T}} xy + \ sin (T) z-2 = 0}

это не полиномиальное уравнение в четырех переменных х , у , г , а Т над рациональными числами. Тем не менее, это полиномиальное уравнение в трех переменных х , у и г над полем из элементарных функций в переменной T .

Теория [ править ]

Полиномы [ править ]

Дано уравнение с неизвестным $x$

(\mathrm {E} )\qquad a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0

,

с коэффициентами в поле $K$ , можно эквивалентно сказать, что решения (E) в $K$ являются корнями в $K$ многочлена

P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dots +a_{1}X+a_{0}\quad \in K[X]

.

Можно показать, что полином степени $n$ в поле имеет не более $n$ корней. Таким образом, уравнение (E) имеет не более $n$ решений.

Если $К «$ является расширение поля из $K$ , можно считать (Е) , чтобы быть уравнением с коэффициентами из $K$ и решений (E) в $K$ также решения в $K»$ (обратное не имеет места в общем случае ). Всегда можно найти расширение поля $K,$ известное как поле разрыва многочлена $P$ , в котором (E) имеет хотя бы одно решение.

Существование решений вещественных и сложных уравнений [ править ]

Основная теорема алгебры состояний , что поле из комплексных чисел замкнуто алгебраически, то есть все полиномиальные уравнения с комплексными коэффициентами и степенью по крайней мере , один есть решение.

Отсюда следует, что все полиномиальные уравнения степени 1 или более с действительными коэффициентами имеют комплексное решение. С другой стороны, такое уравнение, как не имеет решения в (решениями являются мнимые единицы $i$ и $-i$ ). $x^{2}+1=0$ $\mathbb {R}$

В то время как реальные решения реальных уравнений интуитивно понятны (они представляют собой координаты $x$ точек, где кривая $y = P (x)$ пересекает ось $x$ ), существование сложных решений реальных уравнений может быть неожиданным и менее простым. визуализировать.

Однако унитарный многочлен от нечетной степени должен обязательно иметь действительный корень. Ассоциированная полиномиальная функция в $й$ непрерывна, и она приближается , как $х$ приближается и в качестве $й$ подходов . По теореме о промежуточном значении он должен поэтому принимать нулевое значение при некотором действительном $x$ , которое затем является решением полиномиального уравнения. $-\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $+\infty$

Связь с теорией Галуа [ править ]

Существуют формулы, дающие решения вещественных или комплексных многочленов степени меньше или равной четырем в зависимости от их коэффициентов. Абель показал, что найти такую формулу вообще невозможно (используя только четыре арифметических действия и извлекая корни) для уравнений пятой степени и выше. Теория Галуа предоставляет критерий, который позволяет определить, можно ли выразить решение данного полиномиального уравнения с помощью радикалов.

Явное решение числовых уравнений [ править ]

Подход [ править ]

Явное решение вещественного или комплексного уравнения степени 1 тривиально. Решение уравнения более высокой степени $n$ сводится к факторизации ассоциированного многочлена, то есть переписыванию (E) в виде

a_{n}(x-z_{1})\dots (x-z_{n})=0

,

где решения тогда . Тогда проблема состоит в том, чтобы выразить в терминах . $z_{1},\dots ,z_{n}$ $z_{i}$ $a_{i}$

Этот подход применяется в более общем случае, если коэффициенты и решения принадлежат области целостности .

Общие техники [ править ]

Факторинг [ править ]

Если уравнение $P (x) = 0$ степени $n$ имеет рациональный корень $α$ , связанный многочлен можно факторизовать, чтобы получить форму $P (X) = (X - α) Q (X)$ (путем деления $P (X)$ на $X - α$ или записав $P (X) - P (α)$ как линейную комбинацию членов вида $X k - α k$ , и вычленив $X - α$ . Таким образом, решение $P (x) = 0$ сводится к решению уравнения $Q$ $($ $x$ $) = 0$ степени $n - 1$ . См., Например, случай n = 3 .

Устранение субдоминирующего термина [ править ]

Чтобы решить уравнение степени $n$ ,

(\mathrm {E} )\qquad a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0

,

общий предварительный шаг состоит в том, чтобы исключить член степени $n - 1$ : при установке уравнение (E) становится $x=y-{\frac {a_{n-1}}{n\,a_{n}}}$

a_{n}y^{n}+b_{n-2}y^{n-2}+\dots +b_{1}x+b_{0}=0

.

Леонард Эйлер разработал этот метод для случая n = 3, но он также применим, например, для случая n = 4 .

Квадратные уравнения [ править ]

Чтобы решить квадратное уравнение вида, вычисляют дискриминант Δ, определяемый формулой . $ax^{2}+bx+c=0$ $\Delta =b^{2}-4ac$

Если многочлен имеет действительные коэффициенты, он имеет:

два различных действительных корня, если ; $\Delta >0$
один настоящий двойной корень, если ; $\Delta =0$
нет реального корня if , но есть два комплексно сопряженных корня. $\Delta <0$

Кубические уравнения [ править ]

Самым известным методом решения кубических уравнений путем записи корней в радикалах является формула Кардано .

Уравнения четвертой степени [ править ]

Для подробного обсуждения некоторых методов решения см .:

Преобразование Чирнхауза (общий метод, без гарантии успеха);
Метод Безу (общий метод, без гарантии успеха);
Метод Феррари (решения для 4 степени);
Метод Эйлера (решения для степени 4);
Метод Лагранжа (решения для степени 4);
Метод Декарта (решения для степени 2 или 4);

Уравнение четвертой степени с можно свести к квадратному уравнению заменой переменной при условии, что оно либо биквадратичное ( $b = d$ $= 0$ ), либо квазипалиндромное ( $e = a$ $,$ $d = b$ ). $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ $a\neq 0$

Некоторые кубические и четвертые уравнения могут быть решены с помощью тригонометрии или гиперболических функций .

Уравнения высшей степени [ править ]

Эварист Галуа и Нильс Хенрик Абель независимо показали, что в общем случае многочлен степени 5 или выше не разрешим с использованием радикалов. Некоторые частные уравнения действительно имеют решения, например, связанные с круговыми многочленами 5-й и 17-й степени.

Чарльз Эрмит , с другой стороны, показал, что многочлены степени 5 разрешимы с помощью эллиптических функций .

В противном случае можно найти численные приближения к корням, используя алгоритмы поиска корней , такие как метод Ньютона .

См. Также [ править ]

Алгебраическая функция
Алгебраическое число
Поиск корня
Линейное уравнение (степень = 1)
Квадратное уравнение (степень = 2)
Кубическое уравнение (степень = 3)
Уравнение четвертой степени (степень = 4)
Уравнение пятой степени (степень = 5)
Шестическое уравнение (степень = 6)
Септическое уравнение (степень = 7)
Система линейных уравнений
Система полиномиальных уравнений
Линейное диофантово уравнение
Линейное уравнение над кольцом
Теорема Крамера (алгебраические кривые) о количестве точек, обычно достаточном для определения двумерной кривой n-й степени

Ссылки [ править ]

"Алгебраическое уравнение" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Вайсштейн, Эрик В. "Алгебраическое уравнение" . MathWorld .