Алгебраическое выражение

В математике , Алгебраическое выражение является выражением строится из целочисленных констант , переменных и алгебраических операций ( сложение , вычитание , умножение , деление и экспонентное с показателем степени , который представляет собой рациональное число ). ^[1] Например, 3 x ² - 2 xy + c - алгебраическое выражение. Поскольку извлечение квадратного корня аналогично возведению в степень1/2,

${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {1-x ^ {2}} {1 + x ^ {2}}}}}$

также является алгебраическим выражением.

Напротив, трансцендентные числа, такие как π и e , не являются алгебраическими, поскольку они не являются производными от целочисленных констант и алгебраических операций. Обычно Pi строится как геометрическая связь, а определение e требует бесконечного числа алгебраических операций.

Рациональное выражение является выражением , которое может быть переписано в рациональную дробь , используя свойства арифметических операций ( коммутативные свойства и ассоциативные свойства сложения и умножения, распределительного свойства и правил для операций на фракции). Другими словами, рациональное выражение - это выражение, которое может быть построено из переменных и констант, используя только четыре операции арифметики . Таким образом,

${\ displaystyle {\ frac {3x ^ {2} -2xy + c} {y ^ {3} -1}}}$

является рациональным выражением, тогда как

${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {1-x ^ {2}} {1 + x ^ {2}}}}}$

не является.

Рациональное уравнение является уравнением , в котором две рациональные дроби (или рациональные выражения) вида

${\ displaystyle {\ frac {P (x)} {Q (x)}}}$

равны друг другу. Эти выражения подчиняются тем же правилам, что и дроби . Уравнения можно решить путем перемножения . Деление на ноль не определено, поэтому решение, вызывающее формальное деление на ноль, отклоняется.

Терминология [ править ]

В алгебре есть своя терминология для описания частей выражения:

В корнях многочленов [ править ]

В корни полинома выражения степени п , или , что эквивалентно решений полиномиального уравнения , всегда можно записать в виде алгебраических выражений , если п <5 (см квадратичной формулы , кубическая функции , и квартик уравнения ). Такое решение уравнения называется алгебраическим решением . Но теорема Абеля – Руффини утверждает, что алгебраические решения не существуют для всех таких уравнений (только для некоторых из них), если n 5.${\ displaystyle \ geq}$

Соглашения [ править ]

Переменные [ править ]

По соглашению буквы в начале алфавита (например, ) обычно используются для представления констант , а буквы в конце алфавита (например, и ) используются для представления переменных . ^[2] Обычно они пишутся курсивом. ^[3]${\ displaystyle a, b, c}$${\ displaystyle x, y}$${\ displaystyle z}$

Экспоненты [ править ]

По соглашению, члены с наибольшей степенью ( показателем степени ) пишутся слева, например, слева от . Когда коэффициент равен единице, он обычно опускается (например , записывается ). ^[4] Аналогично, когда показатель степени (степень) равен единице (например , записывается ), ^[5] и, когда показатель степени равен нулю, результат всегда равен 1 (например , записывается , поскольку всегда ). ^[6]${\ displaystyle x ^ {2}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle 1x ^ {2}}$${\ displaystyle x ^ {2}}$${\ displaystyle 3x ^ {1}}$${\ displaystyle 3x}$${\ displaystyle 3x ^ {0}}$${\ displaystyle 3}$${\ displaystyle x ^ {0}}$${\ displaystyle 1}$

Алгебраические и другие математические выражения [ править ]

В таблице ниже показано, как алгебраические выражения сравниваются с несколькими другими типами математических выражений по типу элементов, которые они могут содержать, в соответствии с общими, но не универсальными соглашениями.

Этот шаблон, возможно, содержит синтез материала, который достоверно не упоминает или не имеет отношения к основной теме. Соответствующее обсуждение можно найти на странице обсуждения . ( Июнь 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Рационально Алгебраическое выражение (или рациональное выражение ) является алгебраическим выражением , которое можно записать как частное от полиномов , такое как х ² +- х + 4 . Иррациональное Алгебраическое выражение является тот , который не является рациональным, такими как √ х + 4 .

См. Также [ править ]

• Алгебраическое уравнение
• Алгебраическая функция
• Аналитическое выражение
• Арифметическое выражение
• Выражение в закрытой форме
• Выражение (математика)
• Precalculus
• Полиномиальный
• Срок (логика)

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Джеймс, Роберт Кларк; Джеймс, Гленн (1992). Математический словарь . п. 8. ISBN 9780412990410.

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. "Алгебраическое выражение" . MathWorld .