Алгебраическая операция

Алгебраические операции над решением квадратного уравнения . Знак корня √, обозначающий квадратный корень , эквивалентен возведению в степень в степени ½. Знак ± означает, что уравнение может быть записано либо со знаком +, либо со знаком -.

В математике , основная алгебраическая операция представляет собой любое одно из наиболее распространенных операций в арифметическом , которые включают в себя сложение , вычитание , умножение , деление , возведение в целочисленной власть , и принимая корни (дробное питание). ^{[1] [2]} Эти операции могут выполняться с числами , и в этом случае их часто называют арифметическими операциями . Они также могут быть выполнены аналогичным образом для переменных , алгебраических выражений , ^[3]и в более общем плане на элементах алгебраических структур , таких как группы и поля . ^[4] Алгебраическая операция также может быть определена просто как функция от декартовой мощности в виде набора в том же набор. ^[5]

Термин « алгебраическая операция» также может использоваться для операций, которые могут быть определены путем сложения основных алгебраических операций, таких как скалярное произведение . В исчислении и математическом анализе , алгебраическая операция также используется для операций , которые могут быть определены с помощью чисто алгебраических методов . Например, возведение в степень с целым или рациональным показателем степени является алгебраической операцией, но не возведение в степень с действительным или комплексным показателем степени. Кроме того, производная - это не алгебраическая операция.

Обозначение [ править ]

Символы умножения обычно опускаются и подразумеваются, когда нет оператора между двумя переменными или членами, или когда используется коэффициент . Например, 3 × x ² записывается как 3 x ² , а 2 × x × y записывается как 2 xy . ^[6] Иногда символы умножения заменяются точкой или центральной точкой ^[1], так что x × y записывается как x . y или x · y . Обычный текст , языки программирования икалькуляторы также используют единственную звездочку для обозначения символа умножения, ^[7], и он должен использоваться явно; например, 3 x записывается как 3 * x .

Вместо использования знака неоднозначного деления (÷), разделение ^[a] обычно обозначается винкулумом , горизонтальной линией, как в3/х + 1. В виде простого текста и языков программирования, слэш (также называемый солидус ) используется, например , 3 / ( х + 1).

Показатели обычно форматируются с использованием надстрочных индексов, ^[1] как в x ² . В обычном тексте и в языке разметки TeX символ каретки ^ представляет экспоненты, поэтому x ² записывается как x ^ 2. ^{[9] [10]} В языках программирования, таких как Ada , ^[11] Fortran , ^[12] Perl , ^[13] Python ^[14] и Ruby , ^[15] используется двойная звездочка, поэтому x ² записывается как x ** 2.

Знак плюс-минус , ±, используется как сокращенное обозначение для двух выражений, записанных как одно, представляющих одно выражение со знаком плюс, а другое со знаком минус. ^[1] Например, y = x ± 1 представляет два уравнения y = x + 1 и y = x - 1. Иногда оно используется для обозначения положительного или отрицательного термина, такого как ± x .

Арифметические и алгебраические операции [ править ]

Алгебраические операции работают так же, как арифметические операции , как показано в таблице ниже.

Операция	Арифметический пример	Пример алгебры	Комментарии ≡ означает «эквивалентно» ≢ означает «не эквивалентно»
Добавление	${\ Displaystyle (5 \ раз 5) + 5 + 5 + 3}$ эквивалент: ${\ displaystyle 5 ^ {2} + (2 \ times 5) +3}$	${\displaystyle (b\times b)+b+b+a}$ эквивалент: ${\displaystyle b^{2}+2b+a}$	${\displaystyle {\begin{aligned}2\times b&\equiv 2b\\b+b+b&\equiv 3b\\b\times b&\equiv b^{2}\end{aligned}}}$
Вычитание	${\displaystyle (7\times 7)-7-5}$ эквивалент: ${\displaystyle 7^{2}-7-5}$	${\displaystyle (b\times b)-b-a}$ эквивалент: ${\displaystyle b^{2}-b-a}$	${\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}-b&\not \equiv b\\3b-b&\equiv 2b\\b^{2}-b&\equiv b(b-1)\end{aligned}}}$
Умножение	${\displaystyle 3\times 5}$ или же ${\displaystyle 3\ .\ 5}$   или же   ${\displaystyle 3\cdot 5}$ или же   ${\displaystyle (3)(5)}$	${\displaystyle a\times b}$ или же ${\displaystyle a.b}$   или же   ${\displaystyle a\cdot b}$ или же   ${\displaystyle ab}$	${\displaystyle a\times a\times a}$ такой же как ${\displaystyle a^{3}}$
Разделение	${\displaystyle 12\div 4}$ или же   ${\displaystyle 12/4}$ или же   ${\displaystyle {\frac {12}{4}}}$	${\displaystyle b\div a}$ или же   ${\displaystyle b/a}$ или же   ${\displaystyle {\frac {b}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {(a+b)}{3}}\equiv {\tfrac {1}{3}}\times (a+b)}$
Возведение в степень	${\displaystyle 3^{\frac {1}{2}}}$   ${\displaystyle 2^{3}}$	${\displaystyle a^{\frac {1}{2}}}$   ${\displaystyle a^{3}}$	${\displaystyle a^{\frac {1}{2}}}$ такой же как ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$   ${\displaystyle a^{3}}$ такой же как ${\displaystyle a\times a\times a}$

Примечание: использование букв и является произвольным, и примеры были бы в равной степени действительными, если бы и использовались.${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Свойства арифметических и алгебраических операций [ править ]

Свойство	Арифметический пример	Пример алгебры	Комментарии ≡ означает «эквивалентно» ≢ означает «не эквивалентно»
Коммутативность	${\displaystyle 3+5=5+3}$ ${\displaystyle 3\times 5=5\times 3}$	${\displaystyle a+b=b+a}$ ${\displaystyle a\times b=b\times a}$	Сложение и умножение коммутативны и ассоциативны [16] Вычитание и деление не являются: например ${\displaystyle (a-b)\not \equiv (b-a)}$
Ассоциативность	${\displaystyle (3+5)+7=3+(5+7)}$ ${\displaystyle (3\times 5)\times 7=3\times (5\times 7)}$	${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$ ${\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c)}$

См. Также [ править ]

• Алгебраическое выражение
• Алгебраическая функция
• Элементарная алгебра
• Факторизация квадратичного выражения
• Порядок действий

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]