корень n- й степени

В математике , п - й корень из числа х представляет собой число г , которое при возведенное в степень п , дает  х :

${\ Displaystyle г ^ {п} = х,}$

где n - натуральное число , иногда называемое степенью корня. Корень степени 2 называется квадратным корнем, а корень степени 3 - кубическим корнем . Корни более высокой степени обозначаются порядковыми числами, например, корень четвертой , двадцатый и т. Д. Вычисление корня n- й степени является извлечением корня .

Например, 3 является квадратным корнем из 9, поскольку 3 ² = 9, а −3 также является квадратным корнем из 9, поскольку (−3) ² = 9.

Любое ненулевое число, рассматриваемое как комплексное, имеет n различных комплексных корней n- й степени, включая действительные (не более двух). П - й корень 0 равен нулю для всех положительных целых чисел п , так как 0 ^п = 0 . В частности, если n четно, а x - положительное действительное число, один из его корней n- й степени действительный и положительный, один отрицательный, а остальные (когда n > 2 ) не являются действительными комплексными числами ; если n четное, а x - отрицательное действительное число, ни одно изn- ые корни реальны. Если n нечетно, а x вещественно, одинкорень n- й степени вещественен и имеет тот же знак, что и x , а другие ( n - 1 ) корни не являются действительными. Наконец, если x не является действительным, то ни один из егокорней n- й степени не является действительным.

Корни действительных чисел обычно записываются с использованием символа корня или системы счисления с обозначением положительного квадратного корня из x, если x положительно; для более высоких корней обозначает действительный корень n- й степени, если n нечетно, и положительный корень n- й степени, если n четно, а x положительно. В других случаях символ обычно не используется как неоднозначный. В выражении целое число n называется индексом, а x - подкоренным выражением . ${\displaystyle {\sqrt {{~^{~}}^{~}\!\!}}}$${\displaystyle {\sqrt {x}}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$

Когда рассматриваются комплексные корни n- й степени, часто бывает полезно выбрать один из корней в качестве главного значения . Обычно выбирают тот, который делает корень n- й степени непрерывной функцией , действительной и положительной для действительного и положительного x . Точнее, главный корень n- й степени x является корнем n- й степени с наибольшей действительной частью, а когда их два (для действительного и отрицательного x ), корнем с положительной мнимой частью .

Трудность с этим выбором состоит в том, что для отрицательного действительного числа и нечетного индекса главный корень n- й степени не является действительным. Например, имеют три кубические корни, , и корень реального куба и корень основного куба${\displaystyle -8}$${\displaystyle -2}$${\displaystyle 1+i{\sqrt {3}}}$${\displaystyle 1-i{\sqrt {3}}.}$${\displaystyle -2}$${\displaystyle 1+i{\sqrt {3}}.}$

Неразрешенный корень, особенно тот, в котором используется символ радикала, иногда называют сурдом ^[1] или радикалом . ^[2] Любое выражение, содержащее радикал, будь то квадратный корень, кубический корень или более высокий корень, называется радикальным выражением , а если оно не содержит трансцендентных функций или трансцендентных чисел, оно называется алгебраическим выражением .

Корни также можно определить как частные случаи возведения в степень , где показатель степени является дробью :

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}.}$

Корни используются для определения радиуса сходимости в виде степенного ряда с испытанием корня . В п - е корни 1 называются корнями из единицы и играют фундаментальную роль в различных областях математики, такие как теория чисел , теория уравнений и преобразование Фурье .

История [ править ]

Архаичный термин для извлечения корней n - это радикализация . ^{[3] [4]}

Определение и обозначения [ править ]

П - й корень из числа х , где п представляет собой положительное целое число, является любым из п действительных или комплексных чисел г которого п - й мощности х :

${\displaystyle r^{n}=x.}$

Каждое положительное действительное число x имеет единственный положительный корень n- й степени, называемый главным корнем n- й степени , который записывается . Если n равно 2, это называется главным квадратным корнем, а n опускается. П - й корень также может быть представлен , используя возведение в степень , как х ^{1 / п} .${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$

Для четных значений n положительные числа также имеют отрицательный корень n- й степени, тогда как отрицательные числа не имеют действительного корня n- й степени. Для нечетных значений n каждое отрицательное число x имеет действительный отрицательный корень n- й степени. Например, у -2 есть действительный корень 5-й степени, но у -2 нет действительных корней 6-й степени.${\displaystyle {\sqrt[{5}]{-2}}=-1.148698354\ldots }$

Каждое ненулевое число x , действительное или комплексное , имеет n различных корней n- й степени комплексного числа . (В случае, если x действительный, это число включает любые действительные корни n- й степени.) Единственный комплексный корень из 0 - это 0.

П е корни почти всех чисел (все целые числа , за исключением п - й степеней, и все рациональные за исключением частных двух п - й степеней) являются иррациональными . Например,

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1.414213562\ldots }$

Все корни n- й степени целых чисел являются алгебраическими числами .

Термин « сурд» восходит к аль-Хваризми (ок. 825 г.), который называл рациональные и иррациональные числа слышимыми и неслышными соответственно. Позже это привело к тому, что арабское слово « م » ( асамм , что означает «глухой» или «немой») для иррационального числа было переведено на латынь как «surdus» (что означает «глухой» или «немой»). Герард Кремонский (ок. 1150 г.), Фибоначчи (1202 г.), а затем Роберт Рекорд (1551 г.) использовали этот термин для обозначения неразрешенных иррациональных корней , то есть выражений формы, в которой и${\displaystyle {\sqrt[{n}]{i}},}$${\displaystyle n}$${\displaystyle i}$являются целыми числами, а все выражение обозначает иррациональное число. ^[5] Квадратичные иррациональные числа , то есть иррациональные числа формы , также известны как «квадратичные сурды».${\displaystyle {\sqrt {i}},}$

Квадратные корни [ править ]

График .${\displaystyle y=\pm {\sqrt {x}}}$

Квадратный корень из числа х представляет собой число г , который, когда квадрат , становится х :

${\displaystyle r^{2}=x.}$

Каждое положительное действительное число имеет два квадратных корня, один положительный и один отрицательный. Например, два квадратных корня из 25 равны 5 и −5. Положительный квадратный корень также известен как главный квадратный корень и обозначается знаком радикала:

${\displaystyle {\sqrt {25}}=5.}$

Поскольку квадрат каждого действительного числа неотрицателен, отрицательные числа не имеют действительных квадратных корней. Однако для каждого отрицательного действительного числа есть два мнимых квадратных корня. Например, квадратные корни из −25 равны 5 i и −5 i , где i представляет собой число, квадрат которого равен −1 .

Кубические корни [ править ]

График .${\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}}$

Кубический корень из числа х представляет собой число г которого куб является х :

${\displaystyle r^{3}=x.}$

Каждое действительное число x имеет только один записанный действительный корень куба . Например,${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2}$ и ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}=-2.}$

Каждое действительное число имеет два дополнительных комплексных кубических корня.

Личности и свойства [ править ]

Выражение степени корня n- й степени в ее экспоненциальной форме, например, в , упрощает управление степенями и корнями.${\displaystyle x^{1/n}}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}\equiv (a^{m})^{1/n}\equiv a^{m/n}.}$

Каждое положительное действительное число имеет ровно один положительный действительный корень n- й степени, поэтому правила операций с Surds, включающими положительные подкоренные выражения , просты в пределах действительных чисел:${\displaystyle a,\;b}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt[{n}]{ab}}&\equiv {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\\{\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}&\equiv {\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\end{aligned}}}$

Тонкости могут возникнуть при извлечении корней n- й степени из отрицательных или комплексных чисел . Например:

${\displaystyle {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}\neq {\sqrt {-1\times -1}}=1,\quad }$ скорее ${\displaystyle \quad {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}=i\times i=i^{2}=-1.}$

Поскольку правило строго выполняется только для неотрицательных вещественных подкоренных выражений, его применение приводит к неравенству на первом шаге выше.${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}\times {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{ab}}}$

Упрощенная форма радикального выражения [ править ]

Говорят, что невложенное радикальное выражение имеет упрощенную форму, если ^[6]

1. Нет множителя при подкоренном выражении, который можно было бы записать в степени, большей или равной индексу.
2. Под знаком радикала дробей нет.
3. В знаменателе нет радикалов.

Например, чтобы записать радикальное выражение в упрощенном виде, можно поступить следующим образом. Сначала найдите идеальный квадрат под знаком квадратного корня и удалите его:${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {32}{5}}}}$

${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {32}{5}}}={\sqrt {\tfrac {16\times 2}{5}}}=4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}}$

Далее стоит дробь под знаком корня, которую мы меняем следующим образом:

${\displaystyle 4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}}$

Наконец, удаляем радикал из знаменателя следующим образом:

${\displaystyle {\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}={\frac {4}{5}}{\sqrt {10}}}$

Когда есть знаменатель, включающий сурды, всегда можно найти коэффициент, на который можно умножить числитель и знаменатель, чтобы упростить выражение. ^{[7] [8]} Например, используя факторизацию суммы двух кубов :

${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{\left({\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}\right)\left({\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}\right)}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{a+b}}\,.}$

Упростить радикальные выражения, содержащие вложенные радикалы, может быть довольно сложно. Например, неочевидно, что:

${\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}}$

Вышесказанное можно получить с помощью:

${\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}={\sqrt {1+2{\sqrt {2}}+2}}={\sqrt {1^{2}+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}^{2}}}={\sqrt {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2}}}=1+{\sqrt {2}}}$

Бесконечная серия [ править ]

Корень или корень можно представить бесконечной серией :

${\displaystyle (1+x)^{\frac {s}{t}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{n-1}(s-kt)}{n!t^{n}}}x^{n}}$

с . Это выражение может быть получено из биномиального ряда .${\displaystyle |x|<1}$

Вычисление основных корней [ править ]

П - го корня из целого числа к только целое число , если к является произведением п - й степени целых чисел. Во всех остальных случаях корень n- й степени целого числа является иррациональным числом . Например, корень пятой степени из 248832 равен

${\displaystyle {\sqrt[{5}]{248832}}={\sqrt[{5}]{3^{5}\cdot 2^{5}\cdot 2^{5}}}=12}$

а корень пятой степени из 34 равен

${\displaystyle {\sqrt[{5}]{34}}={\sqrt[{5}]{2\cdot 17}}=2.024397458\ldots ,}$

где здесь многоточие означает не только то, что десятичное выражение не заканчивается после конечного числа цифр, но и то, что цифры никогда не входят в повторяющийся образец, потому что число иррационально.

Поскольку для положительных действительных чисел a и b равенство выполняется, указанное выше свойство может быть распространено на положительные рациональные числа. Пусть , с р и д взаимно простым и положительными целыми числами, рациональное число, то г имеет рациональный п - й корень, если как положительные , целые числа р и д есть целое число п - й корень, то есть, является произведением п - й степени рационально числа. Если один или оба корня n- й степени в p или q иррациональны, частное тоже иррационально.${\displaystyle \;{\sqrt[{n}]{a/b}}={\sqrt[{n}]{a}}/{\sqrt[{n}]{b}}\;}$${\displaystyle r=p/q}$ ${\displaystyle \;r=p\cdot {\tfrac {1}{q}}\;}$

Использование метода Ньютона [ править ]

П - й корень из числа А может быть вычислен с методом Ньютона . Начните с первоначального предположения x _0, а затем повторите, используя рекуррентное соотношение

${\displaystyle x_{k+1}={\frac {1}{n}}\left({(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right)}$

пока не будет достигнута желаемая точность.

В зависимости от области применения может быть достаточно использовать только первое приближение Ньютона:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x^{n}+y}}\approx x+{\frac {y}{nx^{n-1}}}.}$

Например, чтобы найти корень пятой степени из 34, обратите внимание, что 2 ⁵ = 32 и, таким образом, возьмите x = 2, n = 5 и y = 2 в приведенной выше формуле. Это дает

${\displaystyle {\sqrt[{5}]{34}}={\sqrt[{5}]{32+2}}\approx 2+{\frac {2}{5\cdot 16}}=2.025.}$

Погрешность аппроксимации составляет всего около 0,03%.

Метод Ньютона может быть изменен для получения обобщенной непрерывной дроби для корня n- й степени, которая может быть изменена различными способами, как описано в этой статье. Например:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{x^{n}+y}}=x+{\cfrac {y}{nx^{n-1}+{\cfrac {(n-1)y}{2x+{\cfrac {(n+1)y}{3nx^{n-1}+{\cfrac {(2n-1)y}{2x+{\cfrac {(2n+1)y}{5nx^{n-1}+{\cfrac {(3n-1)y}{2x+\ddots }}}}}}}}}}}};}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}}=x+{\cfrac {2x\cdot y}{n(2z-y)-y-{\cfrac {(1^{2}n^{2}-1)y^{2}}{3n(2z-y)-{\cfrac {(2^{2}n^{2}-1)y^{2}}{5n(2z-y)-{\cfrac {(3^{2}n^{2}-1)y^{2}}{7n(2z-y)-\ddots }}}}}}}}.}$

В случае корня пятой степени из 34 выше (после разделения выбранных общих факторов):

${\displaystyle {\sqrt[{5}]{34}}=2+{\cfrac {1}{40+{\cfrac {4}{4+{\cfrac {6}{120+{\cfrac {9}{4+{\cfrac {11}{200+{\cfrac {14}{4+\ddots }}}}}}}}}}}}=2+{\cfrac {4\cdot 1}{165-1-{\cfrac {4\cdot 6}{495-{\cfrac {9\cdot 11}{825-{\cfrac {14\cdot 16}{1155-\ddots }}}}}}}}.}$

Последовательное вычисление главных корней десятичных чисел (основание 10) [ править ]

Треугольник Паскаля показ .${\displaystyle P(4,1)=4}$

Основываясь на последовательном вычислении квадратного корня , можно увидеть, что используемая здесь формула, или , следует схеме, включающей треугольник Паскаля. Поскольку корень n- й степени числа определяется как значение элемента в строке треугольника Паскаля, так что мы можем переписать выражение как . Для удобства назовите результат этого выражения . Используя это более общее выражение, любой положительный главный корень может быть вычислен цифра за цифрой следующим образом.${\displaystyle x(20p+x)\leq c}$${\displaystyle x^{2}+20xp\leq c}$${\displaystyle P(n,i)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P(4,1)=4}$${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}10^{i}P(n,i)p^{i}x^{n-i}}$${\displaystyle y}$

Запишите исходное число в десятичной форме. Числа записываются аналогично алгоритму длинного деления , и, как и при длинном делении, корень будет записан в строке выше. Теперь разделите цифры на группы цифр, соответствующих полученному корню, начиная с десятичной точки и идя влево и вправо. Десятичная точка корня будет выше десятичной точки подкоренного выражения. Над каждой группой цифр исходного номера появится одна цифра корня.

Начиная с самой левой группы цифр, выполните следующую процедуру для каждой группы:

1. Начиная слева, опустите наиболее значимую (крайнюю левую) группу цифр, которые еще не используются (если все цифры были использованы, напишите «0» количество раз, необходимое для создания группы) и запишите их справа от остаток от предыдущего шага (на первом шаге остатка не будет). Другими словами, умножьте остаток на и сложите цифры из следующей группы. Это будет текущее значение c .${\displaystyle 10^{n}}$
2. Найдите p и x следующим образом:
   • Позвольте быть частью корня, найденной до сих пор , игнорируя любую десятичную точку. (Для первого шага ).${\displaystyle p}$${\displaystyle p=0}$
   • Определите наибольшую цифру, такую ​​что .${\displaystyle x}$${\displaystyle y\leq c}$
   • Поместите цифру как следующую цифру корня, то есть над группой цифр, которую вы только что ввели. Таким образом, следующий p будет старым p, умноженным на 10 плюс x .${\displaystyle x}$
3. Вычтите из, чтобы получить новый остаток.${\displaystyle y}$${\displaystyle c}$
4. Если остаток равен нулю и нет больше цифр, которые нужно сбрасывать, то алгоритм завершен. В противном случае вернитесь к шагу 1 для другой итерации.

Примеры [ править ]

Найдите квадратный корень из 152,2756.

  1 2. 3 4   / \ / 01 52,27 56

 01 10 0 · 1 · 0 0 · 1 2 + 10 1 · 2 · 0 1 · 1 1 ≤ 1 <10 0 · 1 · 0 0 · 2 2 + 10 1 · 2 · 0 1 · 2 1 x = 1 01 y = 10 0 · 1 · 0 0 · 1 2 + 10 1 · 2 · 0 1 · 1 2 = 1 + 0 = 1 00 52 10 0 · 1 · 1 0 · 2 2 + 10 1 · 2 · 1 1 · 2 1 ≤ 52 <10 0 · 1 · 1 0 · 3 2 + 10 1 · 2 · 1 1 · 3 1 x = 2 00 44 y = 10 0 · 1 · 1 0 · 2 2 + 10 1 · 2 · 1 1 · 2 1 = 4 + 40 = 44 08 27 10 0 · 1 · 12 0 · 3 2 + 10 1 · 2 · 12 1 · 3 1 ≤ 827 <10 0 · 1 · 12 0 · 4 2 + 10 1 · 2 · 12 1 · 4 1 x = 3 07 29 y = 10 0 · 1 · 12 0 · 3 2 + 10 1 · 2 · 12 1 · 3 1 = 9 + 720 = 729 98 56 10 0 · 1 · 123 0 · 4 2 + 10 1 · 2 · 123 1 · 4 1 ≤ 9856 <10 0 · 1 · 123 0 · 5 2 + 10 1 · 2 · 123 1 · 5 1 x = 4 98 56 y = 10 0 · 1 · 123 0 · 4 2 + 10 1 · 2 · 123 1 · 4 1 = 16 + 9840 = 9856 00 00 Алгоритм завершается: Ответ 12.34

Найдите кубический корень из 4192 до ближайшей сотой.

  1 6. 1 2 4  3 / \ / 004 192 000 000 000

 004 10 0 · 1 · 0 0 · 1 3 + 10 1 · 3 · 0 1 · 1 2 + 10 2 · 3 · 0 2 · 1 1 ≤ 4 <10 0 · 1 · 0 0 · 2 3 + 10 1 · 3 · 0 1 · 2 2 + 10 2 · 3 · 0 2 · 2 1 x = 1 001 y = 10 0 · 1 · 0 0 · 1 3 + 10 1 · 3 · 0 1 · 12 + 10 2 · 3 · 0 2 · 1 1 = 1 + 0 + 0 = 1 003 192 10 0 · 1 · 1 0 · 6 3 + 10 1 · 3 · 1 1 · 6 2 + 10 2 · 3 · 1 2 · 6 1 ≤ 3192 <10 0 · 1 · 1 0 · 7 3 + 10 1 · 3 · 1 1 · 7 2 + 10 2 · 3 · 1 2 · 7 1 x = 6 003096 y = 10 0 · 1 · 1 0 · 6 3 + 10 1 · 3 · 1 1 · 62 + 10 2 · 3 · 1 2 · 6 1 = 216 + 1 080 + 1 800 = 3 096 096 000 10 0 · 1 · 16 0 · 1 3 + 10 1 · 3 · 16 1 · 1 2 + 10 2 · 3 · 16 2 · 1 1 ≤ 96000 <10 0 · 1 · 16 0 · 2 3 + 10 1 · 3 · 16 1 · 2 2 + 10 2 · 3 · 16 2 · 2 1 x = 1 077 281 y = 10 0 · 1 · 16 0 · 1 3 + 10 1 · 3 · 16 1 · 12 + 10 2 · 3 · 16 2 · 1 1 = 1 + 480 + 76 800 = 77 281 018 719 000 10 0 · 1 · 161 0 · 2 3 + 10 1 · 3 · 161 1 · 2 2 + 10 2 · 3 · 161 2 · 2 1 ≤ 18719000 <10 0 · 1 · 161 0 · 3 3 + 10 1 · 3 · 161 1 · 3 2 + 10 2 · 3 · 161 2 · 3 1 x = 2 015 571 928 y = 10 0 · 1 · 161 0 · 2 3 + 10 1 · 3 · 161 1 · 22 + 10 2 · 3 · 161 2 · 2 1 = 8 + 19 320 + 15 552 600 = 15 571 928 003 147 072 000 10 0 · 1 · 1612 0 · 4 3 + 10 1 · 3 · 1612 1 · 4 2 + 10 2 · 3 · 1612 2 · 4 1 ≤ 31470 72000 <10 0 · 1 · 1612 0 · 5 3 + 10 1 · 3 · 1612 1 · 5 2 + 10 2 · 3 · 1612 2 · 5 1 x = 4 Желаемая точность достигается: Кубический корень из 4192 составляет около 16,12.

Логарифмический расчет [ править ]

Главный корень n- й степени положительного числа можно вычислить с помощью логарифмов . Начиная с уравнения, которое определяет r как корень n- й степени из x , а именно с положительным x и, следовательно, его главный корень r также положительным, логарифмируют обе стороны ( подойдет любое основание логарифма ), чтобы получить${\displaystyle r^{n}=x,}$

${\displaystyle n\log _{b}r=\log _{b}x\quad \quad {\text{hence}}\quad \quad \log _{b}r={\frac {\log _{b}x}{n}}.}$

Корень r восстанавливается из этого путем взятия антилогарифма :

${\displaystyle r=b^{{\frac {1}{n}}\log _{b}x}.}$

(Примечание: эта формула показывает b в степени результата деления, а не b, умноженное на результат деления.)

В случае, когда x отрицательно, а n нечетно, существует один действительный корень r, который также отрицателен. Это можно найти, сначала умножив обе части определяющего уравнения на −1, чтобы получить, а затем, как и прежде, чтобы найти | r |, и используя r = - | г | .${\displaystyle |r|^{n}=|x|,}$

Геометрическая конструктивность [ править ]

В древнегреческие математики знали , как использовать компас и Straightedge построить длину , равную квадратному корню из заданной длины, когда вспомогательная линия единичной длины дается. В 1837 году Пьер Ванцель доказал, что корень n- й степени заданной длины не может быть построен, если n не является степенью числа 2. ^[9]

Сложные корни [ править ]

Каждое комплексное число, отличное от 0, имеет n различных корней n- й степени.

Квадратные корни [ править ]

Два квадратных корня комплексного числа всегда отрицательны друг другу. Например, квадратные корни из −4 равны 2 i и −2 i , а квадратные корни из i равны

${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i)\quad {\text{and}}\quad -{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i).}$

Если мы выразим комплексное число в полярной форме, то квадратный корень можно получить, взяв квадратный корень из радиуса и уменьшив угол вдвое:

${\displaystyle {\sqrt {re^{i\theta }}}=\pm {\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2}.}$

Основной корень комплексного числа может быть выбран различными способами, например ,

${\displaystyle {\sqrt {re^{i\theta }}}={\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2}}$

который вводит разрез ветви в комплексной плоскости вдоль положительной вещественной оси с условием 0 ≤  θ  <2 π , или вдоль отрицательной вещественной оси с - π  <  θ  ≤  π .

Используя первый (последний) ветви вырезать главный квадратный корень карты на полуплоскость с неотрицательной мнимой (реальной) части. Последнее сокращение ветки предполагается в математических программах, таких как Matlab или Scilab .${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {z}}}$${\displaystyle \scriptstyle z}$

Корни единства [ править ]

Число 1 имеет n различных корней n- й степени на комплексной плоскости, а именно

${\displaystyle 1,\;\omega ,\;\omega ^{2},\;\ldots ,\;\omega ^{n-1},}$

куда

${\displaystyle \omega =e^{\frac {2\pi i}{n}}=\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)}$

Эти корни равномерно распределены по единичному кругу в комплексной плоскости под углами, кратными . Например, квадратные корни из единицы равны 1 и −1, а корни четвертой степени из единицы равны 1 ,, −1 и .${\displaystyle 2\pi /n}$${\displaystyle i}$${\displaystyle -i}$

корни n [ править ]

Каждое комплексное число имеет n различных корней n- й степени на комплексной плоскости. Это

${\displaystyle \eta ,\;\eta \omega ,\;\eta \omega ^{2},\;\ldots ,\;\eta \omega ^{n-1},}$

где η - единственный корень n- й степени, а 1,  ω ,  ω ² , ...  ω ^{n −1} - корни n- й степени из единицы. Например, четыре разных корня четвертой степени из 2 равны

${\displaystyle {\sqrt[{4}]{2}},\quad i{\sqrt[{4}]{2}},\quad -{\sqrt[{4}]{2}},\quad {\text{and}}\quad -i{\sqrt[{4}]{2}}.}$

В полярной форме единственный корень n- й степени можно найти по формуле

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{re^{i\theta }}}={\sqrt[{n}]{r}}\cdot e^{i\theta /n}.}$

Здесь r - величина (модуль, также называемый абсолютным значением ) числа, от которого требуется извлечь корень; если число можно записать как + bi, тогда . Кроме того, это угол, образованный при повороте в исходной точке против часовой стрелки от положительной горизонтальной оси к лучу, идущему от начала координат к числу; он имеет свойства, которые и${\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \cos \theta =a/r,}$ ${\displaystyle \sin \theta =b/r,}$${\displaystyle \tan \theta =b/a.}$

Таким образом, поиск корней n- й степени в комплексной плоскости можно разделить на два этапа. Во- первых, величина всех п - й корней является п - й корень из величины исходного числа. Во-вторых, угол между положительной горизонтальной осью и лучом от начала координат до одного из корней n равен , где - угол, определяемый таким же образом для числа, корень которого берется. Кроме того, все корни n из n расположены на одинаковом расстоянии друг от друга.${\displaystyle \theta /n}$${\displaystyle \theta }$

Если n четно, корни n- го порядка комплексного числа , из которых есть четное число, входят в аддитивные обратные пары, так что если число r ₁ является одним из корней n- й степени, то r ₂ = - r ₁ является другим. Это связано с тем, что повышение коэффициента –1 последнего до степени n для четного n дает 1: то есть (- r ₁ ) ⁿ = (–1) ⁿ × r ₁ ⁿ = r ₁ ⁿ .

Как и в случае с квадратными корнями, приведенная выше формула не определяет непрерывную функцию на всей комплексной плоскости, а вместо этого имеет разветвление в точках, где θ  /  n является разрывным.

Решение многочленов [ править ]

Когда-то было высказано предположение, что все полиномиальные уравнения могут быть решены алгебраически (то есть, что все корни полинома могут быть выражены в терминах конечного числа радикалов и элементарных операций ). Однако, хотя это верно для многочленов третьей степени ( кубики ) и полиномов четвертой степени ( квартики ), теорема Абеля – Руффини (1824) показывает, что это неверно в целом, когда степень равна 5 или больше. Например, решения уравнения

${\displaystyle x^{5}=x+1}$

не могут быть выражены в терминах радикалов. ( ср. уравнение пятой степени )

Доказательство иррациональности несовершенной n- й степени x [ править ]

Предположим, что это рационально. То есть его можно сократить до дроби , где a и b - целые числа без общего множителя.${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$

Это значит что .${\displaystyle x={\frac {a^{n}}{b^{n}}}}$

Поскольку x является целым числом и должен иметь общий множитель, если . Это означает, что если , не в простейшей форме. Таким образом, b должно быть равно 1.${\displaystyle a^{n}}$${\displaystyle b^{n}}$${\displaystyle b\neq 1}$${\displaystyle b\neq 1}$${\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}}$

Так как и , .${\displaystyle 1^{n}=1}$${\displaystyle {\frac {n}{1}}=n}$${\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}=a^{n}}$

Это означает , что и , таким образом, . Это означает, что это целое число. Поскольку x не является совершенной степенью n , это невозможно. Таким образом , нерационально.${\displaystyle x=a^{n}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=a}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$

См. Также [ править ]

• Алгоритм N-го корня
• Алгоритм смещения корня n-й степени
• Радикальный символ
• Алгебраическое число
• Вложенный радикал
• Корень двенадцатой степени из двух
• Супер-корень

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Поищите surd в Викисловаре, бесплатном словаре.

Поищите радикальные темы в Викисловаре, бесплатном словаре.