Главное значение

В этой статье не процитировать какие - либо источники . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален .
Найти источники: «Основная ценность» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( декабрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , в частности , комплексного анализа , что главные значения из более многозначной функции являются значениями вдоль одной выбранной ветви этой функции , так что она является однозначной . Самый простой случай возникает при извлечении квадратного корня из положительного действительного числа . Например, 4 имеет два квадратных корня: 2 и –2; из них положительный корень, 2, считается главным корнем и обозначается как ${\ displaystyle {\ sqrt {4}}.}$

Мотивация [ править ]

Рассмотрим функцию комплексного логарифма log z . Он определяется как комплексное число w такое, что

{\ displaystyle e ^ {w} = z.}

Теперь, например, мы хотим найти журнал i . Это означает, что мы хотим решить

{\ Displaystyle е ^ {ш} = я}

для ш . Ясно, что i π / 2 - решение. Но разве это единственное решение?

Конечно, есть и другие решения, о чем свидетельствует рассмотрение положения i в комплексной плоскости и, в частности, его аргумента arg i . Мы можем повернуть против часовой стрелки на π / 2 радиан от 1, чтобы сначала достичь i , но если мы повернем еще на 2π, мы снова достигнем i . Итак, мы можем сделать вывод, что i (π / 2 + 2π) также является решением для log i . Становится ясно, что мы можем добавить любое кратное 2π i к нашему начальному решению, чтобы получить все значения для log i .

Но это имеет следствие, которое может быть удивительным при сравнении функций с действительными значениями: log i не имеет одного определенного значения! Для журнала z имеем

{\ Displaystyle \ журнал {Z} = \ ln {| z |} + я \ влево (\ mathrm {arg} \ z \ right) = \ ln {| z |} + я \ влево (\ mathrm {Arg} \ z + 2 \ pi k \ right)}

для целого числа k , где Arg z - (главный) аргумент z, определенный как лежащий в интервале . Поскольку главный аргумент уникален для данного комплексного числа z , он не входит в интервал. Каждое значение k определяет то, что известно как ветвь (или лист ), однозначный компонент многозначной функции журнала. ${\ Displaystyle (- \ пи, \ \ пи]}$ ${\ displaystyle - \ pi}$

Ветвь, соответствующая k = 0, известна как главная ветвь , а вдоль этой ветви значения, которые принимает функция, известны как главные значения .

Общий случай [ править ]

В общем случае, если f ( z ) многозначна, главная ветвь f обозначается

{\ Displaystyle \ mathrm {pv} \, е (г)}

такая, что для z в области определения f pv f ( z ) однозначно.

Основные значения стандартных функций [ править ]

Комплексные элементарные функции могут быть многозначными в некоторых областях. Главное значение некоторых из этих функций может быть получено путем разложения функции на более простые, при этом главное значение простых функций легко получить.

Функция логарифма [ править ]

Выше мы рассмотрели функцию логарифма , т. Е.

{\ displaystyle \ log {z} = \ ln {| z |} + i \ left (\ mathrm {arg} \ z \ right).}

Теперь arg z по сути многозначен. Часто аргумент некоторого комплексного числа определяется как находящийся между (исключающим) и (включительно), поэтому мы принимаем это за главное значение аргумента и пишем функцию аргумента на этой ветви Arg z (с ведущей заглавной буквы A ). Используя Arg z вместо arg z , мы получаем главное значение логарифма и записываем ${\ displaystyle - \ pi}$ ${\ displaystyle \ pi}$