Аргумент (комплексный анализ)

Рисунок 1. Диаграмма Аргана представляет собой комплексное число, лежащее на плоскости . Для каждой точки на плоскости

arg

- это функция, возвращающая угол .

\varphi

В математике (особенно в комплексном анализе ) аргумент комплексного числа z , обозначаемый arg ( z ), представляет собой угол между положительной действительной осью и линией, соединяющей начало координат и z , представленной в виде точки на комплексной плоскости , показанной на рисунке. как на рисунке 1. ^[1] Это многозначная функция, работающая с ненулевыми комплексными числами . Чтобы определить однозначную функцию, главное значение аргумента (иногда обозначаемое как Arg z $\varphi$ ) используется. Часто выбирается уникальное значение аргумента, лежащее в интервале (–π, π]. ^[2]^[3]

Определение [ править ]

Рисунок 2. Два варианта аргумента

\varphi

Аргумент комплексного числа $г = х + гу$ , обозначается $Arg (г)$ , ^[1] определяется двумя эквивалентными способами:

Геометрически, в комплексной плоскости , как двумерный полярный угол от положительной действительной оси до вектора, представляющего $z$ . Числовое значение задается углом в радианах и положительно, если измеряется против часовой стрелки. $\varphi$
Алгебраически, как любая действительная величина, такая что $\varphi$

z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi }

для некоторого положительного действительного

r

(см . формулу Эйлера ). Величина

r

- это модуль (или абсолютное значение)

z

, обозначаемый |

z

|: ^[1]

r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.

Имена величины , для модуля и фазы , ^[4]^[2] в качестве аргумента, иногда используют то же самое.

При обоих определениях можно видеть, что аргумент любого ненулевого комплексного числа имеет много возможных значений: во-первых, как геометрический угол, ясно, что вращения всего круга не меняют точку, поэтому углы отличаются на целое кратное из $2я$ радиан (полный круг) являются такими же, как отражено на фиг.2 справа. Аналогичным образом , от периодичности от греха и сов , второе определение также обладает этим свойством. Нулевой аргумент обычно остается неопределенным.

Основное значение [ править ]

Рис. 3. Главное значение

Arg

синей точки в точке

1 + i

равно

π / 4

. Красная линия здесь представляет собой срез ветки и соответствует двум красным линиям на рисунке 4, если смотреть вертикально друг над другом).

Поскольку полный поворот вокруг начала координат оставляет комплексное число неизменным, существует множество вариантов, которые можно сделать , обведя начало координат любое количество раз. Это показано на рисунке 2, представляющем многозначную (многозначную) функцию , где вертикальная линия (не показанная на рисунке) разрезает поверхность на высотах, представляющих все возможные варианты угла для этой точки. $\varphi$ $f(x,y)=\arg(x+iy)$

Когда требуется четко определенная функция, то обычный выбор, известный как главное значение , - это значение в открытом-закрытом интервале $(-π rad, π rad]$ , то есть от $-π$ до $π$ радиан , исключая $-π$ сам рад (эквивалент от -180 до +180 градусов , исключая -180 °). Это представляет собой угол до половины полного круга от положительной вещественной оси в любом направлении.

Некоторые авторы определяют диапазон главного значения как находящийся в закрытом-открытом интервале $[0, 2π)$ .

Обозначение [ править ]

Главное значение иногда имеет начальную букву с заглавной буквы, как в $Arg z$ , особенно когда рассматривается общая версия аргумента. Обратите внимание, что обозначения различаются, поэтому $arg$ и $Arg$ могут быть заменены в разных текстах.

Набор всех возможных значений аргумента можно записать в терминах $Arg$ как:

\operatorname {arg} (z)\in \{\operatorname {Arg} (z)+2\pi n\;|\;n\in \mathbb {Z} \}.

так же

\operatorname {Arg} (z)=\{\operatorname {arg} (z)-2\pi n\;|\;n\in \mathbb {Z} \land -\pi <\operatorname {arg} (z)-2\pi n\leq \pi \}.

Вычисление из реальной и мнимой части [ править ]

Если комплексное число известно в терминах его действительной и мнимой частей, то функция, которая вычисляет главное значение $Arg$ , называется функцией арктангенса с двумя аргументами atan2 :

\operatorname {Arg} (x+iy)=\operatorname {atan2} (y,\,x)

.

Функция atan2 (также называемая arctan2 или другими синонимами) доступна в математических библиотеках многих языков программирования и обычно возвращает значение в диапазоне $(-π, π]$ . ^[2]

Во многих текстах говорится, что значение задается как $arctan (y / x)$ , поскольку $y / x$ - это наклон, а $arctan$ преобразует наклон в угол. Это верно только тогда, когда $x > 0$ , поэтому определено частное и угол лежит между $- π / 2$ и $π / 2$ , но расширение этого определения на случаи, когда $x$ не положительно, относительно сложно. В частности, можно определить главное значение аргумента отдельно на двух полуплоскостях $x > 0$ и $x <0.$ (разделены на два квадранта, если нужно разделить ветвь на отрицательную ось $x$ ), $y > 0$ , $y <0$ , а затем соединить вместе.

\operatorname {Arg} (x+iy)=\operatorname {atan2} (y,\,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\text{if }}x>0,\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0,\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y<0,\\+{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y>0,\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y<0,\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}

Компактное выражение с 4 перекрывающимися полуплоскостями:

\operatorname {Arg} (x+iy)=\operatorname {atan2} (y,\,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\text{if }}x>0,\\{\frac {\pi }{2}}-\arctan \left({\frac {x}{y}}\right)&{\text{if }}y>0,\\-{\frac {\pi }{2}}-\arctan \left({\frac {x}{y}}\right)&{\text{if }}y<0,\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)\pm \pi &{\text{if }}x<0,\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}

Для варианта, когда $Arg$ определен как лежащий в интервале $[0, 2π)$ , значение можно найти, прибавив $2π$ к значению выше, когда оно отрицательно.

В качестве альтернативы, главное значение может быть вычислено единообразно, используя формулу касательного половинного угла , причем функция определяется на комплексной плоскости, но исключает начало координат:

\operatorname {Arg} (x+iy)={\begin{cases}2\arctan \left({\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}\right)&{\text{if }}x>0{\text{ or }}y\neq 0,\\\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y=0,\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}

Это основано на параметризации окружности (за исключением отрицательной оси $x$ ) рациональными функциями. Эта версия $Arg$ недостаточно стабильна для вычислений с плавающей запятой (поскольку она может переполняться вблизи области $x <0, y = 0$ ), но может использоваться в символьных вычислениях .

Вариант последней формулы, позволяющий избежать переполнения, иногда используется в вычислениях с высокой точностью:

\operatorname {Arg} (x+iy)={\begin{cases}2\arctan \left({\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-x}{y}}\right)&{\text{if }}y\neq 0,\\0&{\text{if }}x>0{\text{ and }}y=0,\\\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y=0,\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}

Личности [ править ]

Одним из основных мотивов для определения главного значения $Arg$ является возможность записывать комплексные числа в форме «модуль-аргумент». Следовательно , для любого комплексного числа $г$ ,

z=\left|z\right|e^{i\operatorname {Arg} z}.

Это действительно только в том случае, если $z$ не равно нулю, но может считаться действительным для $z = 0,$ если $Arg (0)$ рассматривается как неопределенная форма, а не как неопределенная.

Далее следуют некоторые дальнейшие отождествления. Если $z 1$ и $z 2$ - два ненулевых комплексных числа, то

\operatorname {Arg} (z_{1}z_{2})\equiv \operatorname {Arg} (z_{1})+\operatorname {Arg} (z_{2}){\pmod {(-\pi ,\pi ]}},

\operatorname {Arg} {\biggl (}{\frac {z_{1}}{z_{2}}}{\biggr )}\equiv \operatorname {Arg} (z_{1})-\operatorname {Arg} (z_{2}){\pmod {(-\pi ,\pi ]}}.

Если $z \neq 0$ и $n$ - любое целое число, то ^[2]

\operatorname {Arg} \left(z^{n}\right)\equiv n\operatorname {Arg} (z){\pmod {(-\pi ,\pi ]}}.

Пример [ править ]

\operatorname {Arg} {\biggl (}{\frac {-1-i}{i}}{\biggr )}=\operatorname {Arg} (-1-i)-\operatorname {Arg} (i)=-{\frac {3\pi }{4}}-{\frac {\pi }{2}}=-{\frac {5\pi }{4}}

Использование комплексного логарифма [ править ]

Из , легко следует, что . Это полезно, когда доступен комплексный логарифм . $z=|z|e^{i\theta }$ $\operatorname {Arg} (z)=-i\ln {\frac {z}{|z|}}$

Ссылки [ править ]

^ a b c «Исчерпывающий список символов алгебры» . Математическое хранилище . 2020-03-25 . Проверено 31 августа 2020 .
^ a b c d Вайсштейн, Эрик В. «Сложный аргумент» . mathworld.wolfram.com . Проверено 31 августа 2020 .
^ «Чистая математика» . internal.ncl.ac.uk . Проверено 31 августа 2020 .
^ Математический словарь (2002). фаза .

Библиография [ править ]

Альфорс, Ларс (1979). Комплексный анализ: Введение в теорию аналитических функций одной комплексной переменной (3-е изд.). Нью-Йорк; Лондон: Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-000657-1.
Поннусвами, С. (2005). Основы комплексного анализа (2-е изд.). Нью-Дели; Мумбаи: Нароса. ISBN 978-81-7319-629-4.
Бирдон, Алан (1979). Комплексный анализ: принцип аргументации в анализе и топологии . Чичестер: Вайли. ISBN 0-471-99671-8.
Боровский, Ефрем; Борвейн, Джонатан (2002) [1-е изд. 1989 как математический словарь . Математика . Словарь Коллинза (2-е изд.). Глазго: HarperCollins . ISBN 0-00-710295-X.

Внешние ссылки [ править ]

Аргумент в энциклопедии математики .

[:0-1] «Исчерпывающий список символов алгебры» . Математическое хранилище . 2020-03-25 . Проверено 31 августа 2020 .

[:1-2] Вайсштейн, Эрик В. «Сложный аргумент» . mathworld.wolfram.com . Проверено 31 августа 2020 .

[3] «Чистая математика» . internal.ncl.ac.uk . Проверено 31 августа 2020 .

[phase-4] Математический словарь (2002). фаза .

[1]