Величина (математика)

В математике величины или размера в виде математического объекта является свойством , которое определяет , является ли больше или меньше , чем у других объектов того же рода объект. Более формально величина объекта - это отображаемый результат упорядочивания (или ранжирования) - класса объектов, к которому он принадлежит.

В физике величина может быть определена как количество или расстояние.

История [ править ]

Греки различали несколько типов величин ^{[1], в} том числе:

• Положительные дроби
• Сегменты линии (упорядочены по длине )
• Фигуры-самолеты (по площади )
• Твердые вещества (по объему )
• Углы (упорядоченные по угловой величине)

Они доказали, что первые две системы не могут быть одинаковыми или даже изоморфными по величине. ^[2] Они не считали отрицательные величины значимыми, и величина по-прежнему в основном используется в контекстах, в которых ноль является либо наименьшим размером, либо меньше всех возможных размеров.

Числа [ править ]

Величина любого числа обычно называется его « абсолютным значением » или «модулем» и обозначается как . ^{[3] [4]}${\ displaystyle x}$${\ displaystyle | x |}$

Реальные числа [ править ]

Абсолютное значение действительного числа r определяется следующим образом: ^[5]

${\displaystyle \left|r\right|=r,{\text{ if }}r{\text{ ≥ }}0}$

${\displaystyle \left|r\right|=-r,{\text{ if }}r<0.}$

Абсолютное значение также можно рассматривать как расстояние числа от нуля на прямой числовой линии . Например, абсолютное значение 70 и -70 равно 70.

Комплексные числа [ править ]

Комплексное число г может рассматриваться как положение точки Р в 2-мерном пространстве , называется комплексной плоскостью . Абсолютное значение (или модуль) z можно представить как расстояние P от начала этого пространства. Формула для абсолютного значения z = a + bi аналогична формуле для евклидовой нормы вектора в 2-мерном евклидовом пространстве: ^[6]

${\displaystyle \left|z\right|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

где действительные числа а и б являются реальной частью и мнимой частью из г , соответственно. Например, модуль −3 + 4 i равен . С другой стороны , величина комплексного числа г может быть определена как квадратный корень из произведения самого по себе и его комплексно - сопряженному , , ^[3] , где для любого комплексного числа г = + би , комплексно сопряженного г ^* = - би . ${\displaystyle {\sqrt {(-3)^{2}+4^{2}}}=5}$${\displaystyle {\bar {z}}}$

${\displaystyle \left|z\right|={\sqrt {z{\bar {z}}}}={\sqrt {(a+bi)(a-bi)}}={\sqrt {a^{2}-abi+abi-b^{2}i^{2}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

( где )${\displaystyle i^{2}=-1}$

Векторные пространства [ править ]

Евклидово векторное пространство [ править ]

Евклидово вектор представляет положение точки Р в евклидовом пространстве . Геометрически это можно описать как стрелку от начала пространства (вектор хвоста) до этой точки (вектор вершины). Математически, вектор х в п - мерном евклидовом пространстве может быть определен как упорядоченный список п действительных чисел (в декартовых координатах из Р ): х = [ х ₁ , х ₂ , ..., х _п ]. Его величина или длина , обозначаемая ,${\displaystyle \|x\|}$^{[3] [7]} чаще всего определяется как его евклидова норма (или евклидова длина): ^[8]

${\displaystyle \|\mathbf {x} \|:={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$

Например, в 3-мерном пространстве величина [3, 4, 12] равна 13, потому что это эквивалентно квадратному корню из скалярного произведения вектора:${\displaystyle {\sqrt {3^{2}+4^{2}+12^{2}}}={\sqrt {169}}=13.}$

${\displaystyle \|\mathbf {x} \|:={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}.}$

Евклидова норма вектора - это просто частный случай евклидова расстояния : расстояние между его хвостом и кончиком. Для евклидовой нормы вектора x используются два аналогичных обозначения :

1. ${\displaystyle \left\|\mathbf {x} \right\|,}$
2. ${\displaystyle \left|\mathbf {x} \right|.}$

Недостаток второго обозначений является то , что он также может быть использован для обозначения абсолютного значения из скаляров и определителей матриц, который вводит элемент неопределенности.

Нормированные векторные пространства [ править ]

По определению, все евклидовы векторы имеют величину (см. Выше). Однако понятие величины нельзя применять ко всем видам векторов.

Функция, отображающая объекты по их величине, называется нормой . Векторное пространство , снабженное нормой, такой как евклидово пространство, называется нормированное векторное пространство . ^[9] Не все векторные пространства нормированы.

Псевдоевклидово пространство [ править ]

В псевдоевклидовом пространстве величина вектора - это значение квадратичной формы для этого вектора.

Логарифмические величины [ править ]

При сравнении звездных величин часто используется логарифмическая шкала. Примеры включают в себя громкость в виде звука (измеряется в децибелах ), то яркость в виде звезды , а шкалу Рихтера интенсивности землетрясений. Логарифмические величины могут быть отрицательными и не могут быть осмысленно добавлены или вычтены (поскольку соотношение нелинейное).

Порядок величины [ править ]

Порядки величины обозначают разницу в числовых величинах, обычно измерениях, в 10 раз, то есть разницу в одну цифру в расположении десятичной точки.

См. Также [ править ]

• Чувство числа
• Векторное обозначение

Ссылки [ править ]