Доля

Торт с удаленной четвертью (одной четвертью). Остальные три четверти разделены пунктирными линиями и помечены дробью.1/4.

Фракция (от латинских разорванного , «сломано») представляет собой часть целого , или, в более общем смысле , любое число равных частей. При разговоре на повседневном английском языке дробь описывает количество частей определенного размера, например, половина, восемь пятых, три четверти. Распространенным , вульгарные , или простой фракция (примеры: а ) состоит из числитель отображается над линией (или перед косой чертой), и ненулевым знаменатель , изображенную ниже (или после) , что линии. Числители и знаменатели также используются в дробях, которые не являются общепринятыми.${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {17} {3}}}$, включая сложные дроби, сложные дроби и смешанные числа.

В положительных общих дробях числитель и знаменатель являются натуральными числами . Числитель представляет собой количество равных частей, а знаменатель указывает, сколько из этих частей составляют единицу или целое. Знаменатель не может быть равен нулю, потому что нулевые части никогда не могут составлять целое. Например, в дроби 3 ⁄ 4 числитель 3 говорит нам, что дробь представляет 3 равные части, а знаменатель 4 говорит нам, что 4 части составляют целое. Картина справа иллюстрирует или ⁺³ / ₄ торта.${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$

Обычная дробь - это цифра, которая представляет собой рациональное число . Это же число также может быть представлено в виде десятичной дроби , процента или отрицательной степени. Например, 0,01, 1% и 10 ^-2 равны доле 1/100. Целое число можно представить как имеющий неявный знаменатель, равный единице (например, 7 равно 7/1).

Другое использование дробей - представление соотношений и делений . ^[1] Таким образом, дробь3/4также может использоваться для представления соотношения 3: 4 (отношение части к целому) и деления 3 ÷ 4 (три, разделенные на четыре). Правило ненулевого знаменателя, которое применяется при представлении деления в виде дроби, является примером правила, согласно которому деление на ноль не определено.

Мы также можем записывать отрицательные дроби, которые представляют собой противоположность положительной дроби. Например, если1/2 представляет собой прибыль в полдоллара, тогда -1/2представляет собой потерю в полдоллара. Из-за правил деления чисел со знаком (которые частично утверждают, что отрицательное, деленное на положительное, отрицательное), -1/2, −1/2 а также 1/−2все представляют одну и ту же дробь - отрицательную половину. И поскольку негатив, разделенный на негатив, дает позитив,−1/−2 представляет собой положительную половину.

В математике множество всех чисел , которые могут быть выражены в виде в / б , где и Ь являются целыми числами и Ь не равна нулю, называется множество рациональных чисел и представлена символом Q , ^[2] , который стоит для частного . Число является рациональным числом именно тогда, когда оно может быть записано в такой форме (т. Е. Как обычная дробь). Однако слово « дробь» также можно использовать для описания математических выражений, не являющихся рациональными числами. Примеры такого использования включают алгебраические дроби (частные алгебраических выражений) и выражения, содержащиеиррациональные числа , такие как √ 2 /2 (см квадратный корень из 2 ) и π / 4 (см доказательство того, что π иррационально ).

Словарь [ править ]

В дроби количество описываемых равных частей является числителем (от латинского numerātor , «счетчик» или «число»), а тип или разновидность частей - знаменателем (от латинского dēnōminātor , «вещь, которая называет или обозначает "). ^{[3] [4]} В качестве примера, эта часть ⁸ / ₅ составляет восемь частей, каждая из которых имеет тип с именем «пятой». В терминах деления числитель соответствует делимому , а знаменатель - делителю .

Неформально числитель и знаменатель можно отличить только путем размещения, но в формальном контексте они обычно разделяются дробной чертой . Полоса дроби может быть горизонтальной (как в1/3), Косые (как в 2/5), или по диагонали (как в ⁴ / ₉ ). ^[5] Эти отметки соответственно известны как горизонтальная полоса; косая черта , косая черта ( США ) или штрих ( Великобритания ); и дробная черта, солидус, ^[6] или дробная косая черта . ^{[n 1]} В типографике дроби, расположенные вертикально, также известны как « en » или « дроби орехов », а диагональные - как « em » или «дроби баранины», в зависимости от того, занимает ли дробь с однозначным числителем и знаменателем доля узкого анквадрат или более широкий квадрат em . ^[5] В традиционном типографском шрифте - часть шрифта, содержащая полную дробь (например,1/2) была известна как «случайная дробь», в то время как дроби, представляющие только часть дроби, назывались «дробными дробями».

Знаменатели английских дробей обычно выражаются порядковыми числами во множественном числе, если числитель не равен единице. (Например, ² / ₅ и ³ / ₅ оба чтения как число «пятых».) Исключения включают знаменатель 2, который всегда читать «половину» или «половинки», знаменатель 4, который может быть в качестве альтернативы выражается как «четверть» / «четверти» или как «четверть» / «четверти», а знаменатель 100, который альтернативно может быть выражен как «сотые» / «сотые» или « проценты ».

Когда знаменатель равен 1, он может быть выражен в терминах «целых», но чаще игнорируется, а числитель считывается как целое число. Например,3/1можно описать как «три целых» или просто как «три». Если числитель равен единице, его можно опустить (например, «десятая часть» или «каждая четверть»).

Вся фракция может быть выражена как единый состав, в этом случае он расставлен через дефис, или как количество фракций с числителем, равным единице, в этом случае это не так. (Например, «две пятых» - это дробь2/5и «две пятых» такие же фракция понимается как 2 экземпляр ¹ / ₅ ) . Фракции , всегда должно быть дефис при использовании в качестве прилагательных. В качестве альтернативы дробь можно описать, прочитав ее как числитель «над» знаменателем, причем знаменатель будет выражен количественным числом . (Например,3/1также может быть выражено как «три над одним».) Термин «сверх» используется даже в случае дробей с солидусом, где числа ставятся слева и справа от косой черты . (Например, 1/2 может читаться как «половина», «половина» или «один больше двух».) Дроби с большими знаменателями, которые не являются степенями десяти, часто отображаются таким образом (например,1/117 как «один больше ста семнадцати»), в то время как знаменатели со знаменателем, делящимся на десять, обычно читаются обычным порядковым образом (например, 6/1000000 как «шестимиллионную», «шестимиллионную» или «шестимиллионную»).

Формы дробей [ править ]

Простые, распространенные или вульгарные дроби [ править ]

Простая дробь (также известная как общая фракция или вульгарные фракции , где вульгарные латыни означает «общий») представляет собой рациональное число записывается в виде в / б или , где и б оба являются целыми числами . ^[10] Как и в случае с другими дробями, знаменатель ( b ) не может быть нулевым. Примеры включают , , , и . Этот термин первоначально использовался, чтобы отличить этот тип дроби от шестидесятеричной дроби, используемой в астрономии. ^[11]${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle -{\tfrac {8}{5}}}$${\displaystyle {\tfrac {-8}{5}}}$${\displaystyle {\tfrac {8}{-5}}}$

Обычные дроби могут быть положительными или отрицательными, и они могут быть правильными или неправильными (см. Ниже). Сложные дроби, сложные дроби, смешанные числа и десятичные дроби (см. Ниже) не являются обычными дробями; хотя, если они не являются иррациональными, их можно оценить до обыкновенной дроби.

• Блок фракция является общей фракции с числителем 1 (например, ). Доли единиц также могут быть выражены с помощью отрицательных показателей степени, например 2 ^-1 , что представляет 1/2, и 2 ^-2 , что представляет 1 / (2 ² ) или 1/4.${\displaystyle {\tfrac {1}{7}}}$
• Диадический фракция является общей фракцией , в которой знаменатель является степенью два , например .${\displaystyle {\tfrac {1}{8}}={\tfrac {1}{2^{3}}}}$

Правильные и неправильные дроби [ править ]

Обычные дроби могут быть классифицированы как правильные и неправильные. Когда числитель и знаменатель положительны, дробь называется правильной, если числитель меньше знаменателя, и неправильной в противном случае. ^{[12] [13]} Концепция «неправильной дроби» возникла поздно, а терминология основана на том факте, что «дробь» означает «кусок», поэтому правильная дробь должна быть меньше 1. ^[11] Это было объяснено в учебнике 17 века «Земля искусств» . ^{[14] [15]}

В общем, обычная дробь называется правильной дробью , если абсолютное значение дроби строго меньше единицы, то есть если дробь больше -1 и меньше 1. ^{[16] [17]} Это говорят , чтобы быть неправильной фракции , или иногда сверху тяжелой фракции , ^[18] , если абсолютное значение доли больше или равно 1. Примеры надлежащих фракций 2/3, -3/4, и 4 / 9, а примеры неправильных дробей - 9/4, −4/3 и 3/3.

Взаимные числа и «невидимый знаменатель» [ править ]

Обратной фракции еще одна фракция с числитель и знаменатель обменены. Обратной величиной , например, является . Произведение дроби на обратную величину равно 1, следовательно, обратная величина является мультипликативной обратной величиной дроби. Обратная величина правильной дроби является неправильной, а обратная величина неправильной дроби, не равной 1 (то есть числитель и знаменатель не равны), является правильной дробью.${\displaystyle {\tfrac {3}{7}}}$${\displaystyle {\tfrac {7}{3}}}$

Когда числитель и знаменатель дроби равны ( например), его значение равно 1, и поэтому дробь является неправильной. Его обратная величина также имеет значение 1 и тоже является неправильной.${\displaystyle {\tfrac {7}{7}}}$

Любое целое число можно записать в виде дроби с числом один в знаменателе. Например, 17 можно записать как , где 1 иногда называют невидимым знаменателем . Следовательно, у каждой дроби или целого числа, кроме нуля, есть обратная величина. Например. величина, обратная 17 .${\displaystyle {\tfrac {17}{1}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{17}}}$

Коэффициенты [ править ]

Соотношение представляет собой связь между двумя или более числами , которые могут быть иногда выражаются в виде дроби. Как правило, несколько элементов группируются и сравниваются в соотношении, определяющем численно взаимосвязь между каждой группой. Отношения выражаются как «группа 1 к группе 2 ... к группе n ». Например, если в автопарке 12 машин, из которых

• 2 белые,
• 6 красные, а
• 4 желтые,

тогда соотношение красных, белых и желтых автомобилей составляет 6: 2: 4. Соотношение желтых автомобилей и белых автомобилей составляет 4: 2 и может быть выражено как 4: 2 или 2: 1.

Отношение часто преобразуется в дробь, когда оно выражается как отношение к целому. В приведенном выше примере соотношение желтых автомобилей ко всем машинам на участке составляет 4:12 или 1: 3. Мы можем преобразовать эти отношения к фракции, и сказать , что ⁺⁴ / ₁₂ из вагонов или ⁺¹ / ₃ из автомобилей в партии желтые. Следовательно, если человек случайно выбрал одну машину на участке, то с вероятностью один из трех она будет желтой.

Десятичные дроби и проценты [ править ]

Десятичная фракция представляет собой дробь, знаменатель не дан в явном виде, но понимается как целое число , степень десять. Десятичные дроби обычно выражаются с использованием десятичной записи, в которой подразумеваемый знаменатель определяется количеством цифр справа от десятичного разделителя , внешний вид которого (например, точка, точка с выпуклостью (•), запятая) зависит от языковой стандарт (например, см. десятичный разделитель ). Таким образом, для 0,75 числитель равен 75, а подразумеваемый знаменатель равен 10 во второй степени, а именно. 100, потому что справа от десятичного разделителя стоят две цифры. В десятичных числах больше 1 (например, 3,75) дробная частьчисла выражается цифрами справа от десятичной дроби (в данном случае значение 0,75). 3.75 можно записать либо в виде неправильной дроби, 375/100, или в виде смешанного числа, .${\displaystyle 3{\tfrac {75}{100}}}$

Десятичные дроби также могут быть выражены в научном представлении с отрицательными показателями, например6,023 × 10 ^-7 , которая представляет собой 0.0000006023. В10 ⁻⁷ представляет собой знаменатель10 ⁷ . Деление на10 ⁷ перемещает десятичную запятую на 7 разрядов влево.

Десятичные дроби с бесконечным числом цифр справа от десятичного разделителя представляют собой бесконечный ряд . Например,1/3 = 0,333 ... представляет собой бесконечный ряд 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ....

Другой вид дроби представляет собой процент (лат за Centum значение «на сто», представленный символом%), в которой подразумеваемой знаменатель всегда 100. Таким образом, 51% означает 51/100. Проценты больше 100 или меньше нуля обрабатываются таким же образом, например, 311% равно 311/100, а -27% равно -27/100.

Соответствующее понятие промилле или частей на тысячу (ppt) подразумевает знаменатель 1000, в то время как более общее обозначение частей на миллион , например 75 частей на миллион (ppm), означает, что пропорция составляет 75 / 1,000,000.

Использование обыкновенных дробей или десятичных дробей часто зависит от вкуса и контекста. Обычные дроби используются чаще всего, когда знаменатель относительно мал. Путем мысленного вычисления легче умножить 16 на 3/16, чем произвести такое же вычисление с использованием десятичного эквивалента дроби (0,1875). И точнеенапример, умножить 15 на 1/3, чем умножить 15 на любое десятичное приближение одной трети. Денежные значения обычно выражаются в виде десятичных дробей со знаменателем 100, т. Е. С двумя десятичными знаками, например 3,75 доллара. Однако, как отмечалось выше, в британской валюте до десятичной дроби шиллинги и пенсы часто имели форму (но не значение) дроби, например, 3/6 (читается «три и шесть»), что означает 3 шиллинга и 6 пенсов и не имеющий отношения к дроби 3/6.

Смешанные числа [ править ]

Смешанная позиция (также называется смешанная фракцией или смешанное число ) является традиционным обозначением суммы ненулевого целым числа и правильной дроби (имеющей одинаковый знак). Он используется в основном в измерениях: например, в дюймах. В научных измерениях почти всегда используется десятичная система счисления, а не смешанные числа. Сумма подразумевается без использования видимого оператора, такого как соответствующий "+". Например, при обращении к двум целым тортам и трем четвертям другого торта цифры, обозначающие целую часть и дробную часть торта, пишутся рядом друг с другом, поскольку вместо однозначного обозначения обрабатываются отрицательные смешанные числа, как в как Любая такая сумма${\displaystyle 2{\tfrac {3}{16}}}$${\displaystyle 2{\tfrac {3}{4}}}$${\displaystyle 2+{\tfrac {3}{4}}.}$${\displaystyle -2{\tfrac {3}{4}}}$${\displaystyle -(2+{\tfrac {3}{4}}).}$целое плюс часть можно преобразовать в неправильную дробь , применив правила сложения различающихся количеств .

Эта традиция формально противоречит обозначениям в алгебре, где смежные символы без явного инфиксного оператора обозначают продукт. В выражении «понятная» операция - это умножение. Если заменяется, например, дробью , «понятное» умножение необходимо заменить явным умножением, чтобы избежать появления смешанного числа. ${\displaystyle 2x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$

Когда предполагается умножение, может быть записано как${\displaystyle 2{\tfrac {b}{c}}}$

${\displaystyle 2\cdot {\tfrac {b}{c}},\quad }$или или${\displaystyle \quad 2\times {\tfrac {b}{c}},\quad }$${\displaystyle \quad 2\left({\tfrac {b}{c}}\right),\;\ldots }$

Неправильную дробь можно преобразовать в смешанное число следующим образом:

1. Используя евклидово деление (деление с остатком), разделите числитель на знаменатель. В этом примере разделите 11 на 4. 11 ÷ 4 = 2 остатка 3.${\displaystyle {\tfrac {11}{4}}}$
2. Фактор (без остатка) превращается в целое число часть смешанного числа. Остаток становится числителем дробной части. В этом примере 2 - это целая часть числа, а 3 - числитель дробной части.
3. Новый знаменатель совпадает со знаменателем неправильной дроби. В примере это 4. Таким образом .${\displaystyle {\tfrac {11}{4}}=2{\tfrac {3}{4}}}$

Исторические представления [ править ]

Египетская фракция [ править ]

Например, египетская дробь - это сумма различных положительных дробных единиц . Это определение вытекает из того факта , что древние египтяне выражается все фракции , за исключением того , и таким образом. Каждое положительное рациональное число можно разложить до египетской дроби. Например, может быть записано как Любое положительное рациональное число может быть записано как сумма единичных дробей бесконечным числом способов. Двумя способами написания являются и .${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$${\displaystyle {\tfrac {5}{7}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{21}}.}$${\displaystyle {\tfrac {13}{17}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{68}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{68}}}$

Сложные и составные фракции [ править ]

В сложной дроби числитель, знаменатель или и то, и другое представляют собой дробь или смешанное число ^{[19] [20],} соответствующее делению на дроби. Например, и являются сложными дробями. Чтобы уменьшить сложную дробь до простой дроби, считайте самую длинную строку дроби представляющей деление. Например:${\displaystyle {\frac {\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{3}}}}$${\displaystyle {\frac {12{\tfrac {3}{4}}}{26}}}$

${\displaystyle {\frac {\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{3}}}={\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {3}{1}}={\tfrac {3}{2}}}$

${\displaystyle {\frac {12{\tfrac {3}{4}}}{26}}=12{\tfrac {3}{4}}\cdot {\tfrac {1}{26}}={\tfrac {12\cdot 4+3}{4}}\cdot {\tfrac {1}{26}}={\tfrac {51}{4}}\cdot {\tfrac {1}{26}}={\tfrac {51}{104}}}$

${\displaystyle {\frac {\tfrac {3}{2}}{5}}={\tfrac {3}{2}}\times {\tfrac {1}{5}}={\tfrac {3}{10}}}$

${\displaystyle {\frac {8}{\tfrac {1}{3}}}=8\times {\tfrac {3}{1}}=24.}$

Если в сложной дроби нет однозначного способа определить, какие строки дроби имеют приоритет, то это выражение сформировано неправильно из-за двусмысленности. Итак, 5/10/20/40 не является допустимым математическим выражением из-за множества возможных интерпретаций, например, как

${\displaystyle 5/(10/(20/40))={\frac {5}{10/{\tfrac {20}{40}}}}={\frac {1}{4}}\quad }$ или как ${\displaystyle \quad (5/10)/(20/40)={\frac {\tfrac {5}{10}}{\tfrac {20}{40}}}=1}$

Соединение фракция представляет собой часть фракции, или любое количество фракций , связанные со словом из , ^{[19] [20]} , соответствующее умножения фракций. Чтобы уменьшить составную дробь до простой дроби, просто выполните умножение (см. Раздел об умножении ). Например, of - сложная дробь, соответствующая . Термины составная фракция и сложная фракция тесно связаны, и иногда один используется как синоним другого. (Например, составная фракция эквивалентна сложной фракции .)${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$${\displaystyle {\tfrac {5}{7}}}$${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\times {\tfrac {5}{7}}={\tfrac {15}{28}}}$${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\times {\tfrac {5}{7}}}$${\displaystyle {\tfrac {3/4}{7/5}}}$

Тем не менее, и «сложная дробь», и «сложная дробь» могут считаться устаревшими ^[21] и в настоящее время не используются четко определенным образом, частично даже взяты как синонимы друг друга ^[22] или для смешанных числительных. ^[23] Они потеряли свое значение как технические термины, а атрибуты «сложный» и «составной», как правило, используются в их повседневном значении «состоящий из частей».

Арифметика с дробями [ править ]

Как и целые числа, дроби подчиняются законам коммутативности , ассоциативности и распределения , а также правилу против деления на ноль .

Эквивалентные дроби [ править ]

Умножение числителя и знаменателя дроби на то же (ненулевое) число дает дробь, эквивалентную исходной дроби. Это верно, потому что для любого ненулевого числа дробь равна . Следовательно, умножение на аналогично умножению на единицу, и любое число, умноженное на единицу, имеет то же значение, что и исходное число. В качестве примера начнем с дроби . Когда числитель и знаменатель умножаются на 2, результат будет иметь то же значение (0,5), что и . Чтобы представить это наглядно, представьте, что вы разрезаете торт на четыре части; две части вместе ( ) составляют половину торта ( ).${\displaystyle n}$${\displaystyle {\tfrac {n}{n}}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\tfrac {n}{n}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {2}{4}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {2}{4}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

Упрощение (сокращение) дробей [ править ]

Деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое число дает эквивалентную дробь: если числитель и знаменатель дроби делятся на число (называемое множителем) больше 1, тогда дробь может быть уменьшена к эквивалентной дроби с меньшим числителем и меньшим знаменателем. Например, если и числитель, и знаменатель дроби делятся на, то их можно записать как и, и дробь станет , что можно уменьшить, разделив числитель и знаменатель на, чтобы получить уменьшенную дробь.${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$${\displaystyle c,}$${\displaystyle a=cd}$${\displaystyle b=ce,}$${\displaystyle {\tfrac {cd}{ce}}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle {\tfrac {d}{e}}.}$

Если один берет на с в наибольший общий делитель числителя и знаменателя, один получает эквивалентную дробь, числитель и знаменатель имеют самые низкие абсолютные значения . Один говорит, что дробь уменьшена до минимума .

Если числитель и знаменатель не делят множителей больше 1, дробь уже сокращена до самых низких значений и называется несократимой , сокращенной или в простейших терминах . Например, не в наименьшем значении, потому что и 3, и 9 можно точно разделить на 3. Напротив, оно выражается наименьшим числом - единственное положительное целое число, которое равномерно входит в 3 и 8, равно 1.${\displaystyle {\tfrac {3}{9}}}$${\displaystyle {\tfrac {3}{8}}}$

Используя эти правила, мы можем показать это , например.${\displaystyle {\tfrac {5}{10}}={\tfrac {1}{2}}={\tfrac {10}{20}}={\tfrac {50}{100}}}$

В качестве другого примера, поскольку наибольший общий делитель 63 и 462 равен 21, дробь может быть уменьшена до наименьших членов, разделив числитель и знаменатель на 21:${\displaystyle {\tfrac {63}{462}}}$

${\displaystyle {\tfrac {63}{462}}={\tfrac {63\,\div \,21}{462\,\div \,21}}={\tfrac {3}{22}}}$

Алгоритм Евклида дает метод для нахождения наибольшего общего делителя двух любых целых чисел.

Сравнение дробей [ править ]

Сравнение дробей с одинаковым положительным знаменателем дает тот же результат, что и сравнение числителей:

${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}>{\tfrac {2}{4}}}$потому что 3> 2 , и равные знаменатели положительны.${\displaystyle 4}$

Если равные знаменатели отрицательны, то для дробей справедлив противоположный результат сравнения числителей:

${\displaystyle {\tfrac {3}{-4}}<{\tfrac {2}{-4}}{\text{ because }}{\tfrac {a}{-b}}={\tfrac {-a}{b}}{\text{ and }}-3<-2.}$

Если две положительные дроби имеют один и тот же числитель, то дробь с меньшим знаменателем является большим числом. Когда целое делится на равные части, если для создания целого требуется меньше равных частей, тогда каждая часть должна быть больше. Когда две положительные дроби имеют один и тот же числитель, они представляют одинаковое количество частей, но в дроби с меньшим знаменателем части больше.

Один из способов сравнить дроби с разными числителями и знаменателями - найти общий знаменатель. Для сравнения и они преобразуются в и (где точка означает умножение и является альтернативным символом для ×). Тогда bd является общим знаменателем, и числители ad и bc можно сравнивать. Для сравнения дробей необязательно определять значение общего знаменателя - можно просто сравнить ad и bc , не оценивая bd , например, сравнивая  ? дает .${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$${\displaystyle {\tfrac {c}{d}}}$${\displaystyle {\tfrac {a\cdot d}{b\cdot d}}}$${\displaystyle {\tfrac {b\cdot c}{b\cdot d}}}$${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {4}{6}}>{\tfrac {3}{6}}}$

Для более кропотливого вопроса  ? умножьте верхнюю и нижнюю часть каждой дроби на знаменатель другой дроби, чтобы получить общий знаменатель, получив  ? . Не нужно вычислить - только числители необходимо сравнить. Поскольку 5 × 17 (= 85) больше 4 × 18 (= 72), результат сравнения равен .${\displaystyle {\tfrac {5}{18}}}$${\displaystyle {\tfrac {4}{17}},}$${\displaystyle {\tfrac {5\times 17}{18\times 17}}}$${\displaystyle {\tfrac {18\times 4}{18\times 17}}}$${\displaystyle 18\times 17}$${\displaystyle {\tfrac {5}{18}}>{\tfrac {4}{17}}}$

Поскольку каждое отрицательное число, включая отрицательные дроби, меньше нуля, а каждое положительное число, включая положительные дроби, больше нуля, отсюда следует, что любая отрицательная дробь меньше любой положительной дроби. Это позволяет вместе с приведенными выше правилами сравнивать все возможные дроби.

Дополнение [ править ]

Первое правило сложения состоит в том, что можно добавлять только одинаковые количества; например, различное количество кварталов. В отличие от величин, таких как добавление третей к четвертям, сначала необходимо преобразовать в аналогичные количества, как описано ниже: Представьте себе карман, содержащий две четверти, и другой карман, содержащий три четверти; Всего пять кварталов. Поскольку четыре квартала эквивалентны одному (доллару), это можно представить следующим образом:

${\displaystyle {\tfrac {2}{4}}+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {5}{4}}=1{\tfrac {1}{4}}}$.

Если к пирогу нужно добавить торт, куски необходимо преобразовать в сопоставимые количества, например, восьмые или четвертинки торта.${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$

Добавление непохожих количеств [ править ]

Чтобы добавить фракции, содержащие различающиеся количества (например, четверти и трети), необходимо преобразовать все суммы в одинаковые количества. Легко определить выбранный тип дроби, в которую нужно преобразовать; просто умножьте два знаменателя (нижнее число) каждой дроби. В случае целого числа применять невидимый знаменатель ${\displaystyle 1.}$

Для прибавления четвертей к третям оба типа дроби преобразуются в двенадцатые, таким образом:

${\displaystyle {\frac {1}{4}}\ +{\frac {1}{3}}={\frac {1\times 3}{4\times 3}}\ +{\frac {1\times 4}{3\times 4}}={\frac {3}{12}}\ +{\frac {4}{12}}={\frac {7}{12}}.}$

Рассмотрите возможность добавления следующих двух величин:

${\displaystyle {\frac {3}{5}}+{\frac {2}{3}}}$

Во- первых, новообращенный в fifteenths путем умножения числитель и знаменатель на три части : . Поскольку равно 1, умножение на не меняет значения дроби.${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}$${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}\times {\tfrac {3}{3}}={\tfrac {9}{15}}}$${\displaystyle {\tfrac {3}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {3}{3}}}$

Во- вторых, конвертировать в fifteenths путем умножения числитель и знаменатель на пять: .${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\times {\tfrac {5}{5}}={\tfrac {10}{15}}}$

Теперь видно, что:

${\displaystyle {\frac {3}{5}}+{\frac {2}{3}}}$

эквивалентно:

${\displaystyle {\frac {9}{15}}+{\frac {10}{15}}={\frac {19}{15}}=1{\frac {4}{15}}}$

Этот метод можно выразить алгебраически:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+cb}{bd}}}$

Этот алгебраический метод всегда работает, тем самым гарантируя, что сумма простых дробей всегда снова будет простой дробью. Однако, если отдельные знаменатели содержат общий множитель, можно использовать меньший знаменатель, чем произведение этих значений. Например, когда сложение и единичные знаменатели имеют общий множитель, и поэтому вместо знаменателя 24 (4 × 6) можно использовать деленный вдвое знаменатель 12, уменьшая не только знаменатель в результате, но и множители в числитель.${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$${\displaystyle {\tfrac {5}{6}}}$${\displaystyle 2,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {3}{4}}+{\frac {5}{6}}&={\frac {3\cdot 6}{4\cdot 6}}+{\frac {4\cdot 5}{4\cdot 6}}={\frac {18}{24}}+{\frac {20}{24}}&={\frac {19}{12}}\\&={\frac {3\cdot 3}{4\cdot 3}}+{\frac {2\cdot 5}{2\cdot 6}}={\frac {9}{12}}+{\frac {10}{12}}&={\frac {19}{12}}\end{aligned}}}$

Наименьший возможный знаменатель дается наименьшим общим кратным единичных знаменателей, который получается в результате деления механического кратного на все общие множители единичных знаменателей. Это называется наименьшим общим знаменателем.

Вычитание [ править ]

Процесс вычитания дробей, по сути, такой же, как и процесс их сложения: найдите общий знаменатель и замените каждую дробь на эквивалентную дробь с выбранным общим знаменателем. Полученная дробь будет иметь этот знаменатель, а ее числитель будет результатом вычитания числителей исходных дробей. Например,

${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {4}{6}}-{\tfrac {3}{6}}={\tfrac {1}{6}}}$

Умножение [ править ]

Умножение дроби на другую [ править ]

Чтобы умножить дроби, умножьте числители и знаменатели. Таким образом:

${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\times {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {6}{12}}}$

Чтобы объяснить процесс, рассмотрим одну треть одного квартала. На примере торта: если три маленьких кусочка одинакового размера составляют четверть, а четыре четверти составляют одно целое, двенадцать таких маленьких одинаковых ломтиков составляют одно целое. Следовательно, треть четверти - двенадцатая. Теперь рассмотрим числители. Первая фракция, две трети, вдвое больше одной трети. Поскольку одна треть четверти равна одной двенадцатой, две трети четверти равны двум двенадцатым. Вторая фракция, три четверти, в три раза больше одной четверти, поэтому две трети из трех четвертей в три раза больше двух третей одной четверти. Таким образом, две трети умножить на три четверти - это шесть двенадцатых.

Быстрый способ умножения дробей называется «отмена». По сути, во время умножения ответ сводится к наименьшим членам. Например:

${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\times {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {{\cancel {2}}^{~1}}{{\cancel {3}}^{~1}}}\times {\tfrac {{\cancel {3}}^{~1}}{{\cancel {4}}^{~2}}}={\tfrac {1}{1}}\times {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}}$

Двойка является общим множителем как в числителе левой дроби, так и в знаменателе правой дроби и делится на обе. Три является общим делителем левого знаменателя и правого числителя и делится на оба.

Умножение дроби на целое число [ править ]

Поскольку целое число можно переписать как само деленное на 1, нормальные правила умножения дробей все еще могут применяться.

${\displaystyle 6\times {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {6}{1}}\times {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {18}{4}}}$

Этот метод работает, потому что дробь 6/1 означает шесть равных частей, каждая из которых является целым.

Умножение смешанных чисел [ править ]

При умножении смешанных чисел считается предпочтительным преобразовать смешанное число в неправильную дробь. ^[24] Например:

${\displaystyle 3\times 2{\tfrac {3}{4}}=3\times \left({\tfrac {8}{4}}+{\tfrac {3}{4}}\right)=3\times {\tfrac {11}{4}}={\tfrac {33}{4}}=8{\tfrac {1}{4}}}$

Другими словами, это то же самое , что получить в общей сложности 11 четвертей (потому что 2 торта, каждое из которых разделено на четверти, составляет всего 8 четвертей), и 33 четверти , так как 8 тортов, каждое из которых состоит из четвертей, всего составляет 32 четверти.${\displaystyle 2{\tfrac {3}{4}}}$${\displaystyle {\tfrac {8}{4}}+{\tfrac {3}{4}}}$${\displaystyle 8{\tfrac {1}{4}}}$

Подразделение [ править ]

Чтобы разделить дробь на целое число, вы можете либо разделить числитель на число, если оно входит в числитель равномерно, либо умножить знаменатель на число. Например, равно и также равно , что сводится к . Чтобы разделить число на дробь, умножьте это число на величину, обратную этой дроби. Таким образом, .${\displaystyle {\tfrac {10}{3}}\div 5}$${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {10}{3\cdot 5}}={\tfrac {10}{15}}}$${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\div {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {4}{3}}={\tfrac {1\cdot 4}{2\cdot 3}}={\tfrac {2}{3}}}$

Преобразование десятичных знаков в дроби [ править ]

Чтобы преобразовать обычную дробь в десятичную, проделайте долгое деление десятичных представлений числителя на знаменатель (это идиоматически выражается также как «делите знаменатель на числитель») и округлите ответ до желаемой точности. Например, чтобы изменить ¹ / ₄ в десятичной системе , разделить на ( « в »), чтобы получить . Для изменения ¹ / ₃ в десятичной системе , делятся на ( « в »), и останавливается , когда требуемая точность получается, например, при знаков после запятой с . Фракцию ¹ / ₄${\displaystyle 1.00}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle 1.00}$${\displaystyle 0.25}$${\displaystyle 1.000...}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 1.0000...}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle 0.3333}$могут быть записаны точно с двух десятичных цифр, в то время как фракция ¹ / ₃ не могут быть записаны точно так , как в десятичной системе с конечным числом цифр. Чтобы преобразовать десятичную дробь в дробь, запишите в знаменателе a, а затем столько нулей, сколько цифр находится справа от десятичной точки, и запишите в числитель все цифры исходного десятичного разделителя, просто опуская десятичную точку. Таким образом${\displaystyle 1}$${\displaystyle 12.3456={\tfrac {123456}{10000}}.}$

Преобразование повторяющихся десятичных знаков в дроби [ править ]

Десятичные числа, хотя, возможно, более полезны для работы при выполнении вычислений, иногда не хватает точности, которую имеют обычные дроби. Иногда для достижения той же точности требуется бесконечное повторяющееся десятичное число. Таким образом, часто бывает полезно преобразовывать повторяющиеся десятичные дроби в дроби.

Предпочитаемый ^{[ кем? ]} способ указать повторяющееся десятичное число состоит в том, чтобы поместить полосу (известную как винкулум ) над повторяющимися цифрами, например 0. 789 = 0,789789789 ... Для повторяющихся шаблонов, где повторяющийся шаблон начинается сразу после десятичной точки, простой деления рисунка на то же количество девяток, что и чисел в нем, будет достаточно. Например:

0. 5 = 5/9

0. 62 = 62/99

0. 264 = 264/999

0. 6291 = 6291/9999

В случае, если перед шаблоном предшествуют начальные нули , к девяткам добавляется такое же количество конечных нулей :

0,0 5 = 5/90

0,000 392 = 392/999000

0,00 12 = 12/9900

Если шаблону предшествует неповторяющийся набор десятичных знаков (например, 0,1523 987 ), мы можем записать его как сумму неповторяющихся и повторяющихся частей соответственно:

0,1523 + 0,0000 987

Затем преобразуйте обе части в дроби и сложите их, используя методы, описанные выше:

1523/10000 + 987/9990000 = 1522464/9990000

В качестве альтернативы можно использовать алгебру, например, ниже:

1. Пусть x = повторяющееся десятичное число:

   х = 0,1523 987

2. Умножьте обе стороны на степень 10, достаточно большую (в данном случае 10 ⁴ ), чтобы переместить десятичную точку непосредственно перед повторяющейся частью десятичного числа:

   10000 х = 1523. 987

3. Умножьте обе стороны на степень 10 (в данном случае 10 ³ ), которая равна количеству повторяющихся разрядов:

   10 000 000 x = 1 523 987. 987

4. Вычтем два уравнения друг из друга (если a = b и c = d , то a - c = b - d ):

   10,000,000 х - 10,000 х = 1,523,987. 987 - 1523. 987

5. Продолжите операцию вычитания, чтобы очистить повторяющуюся десятичную дробь:

   9,990,000 x = 1,523,987 - 1,523

   9 990 000 x = 1 522 464

6. Разделите обе части на 9 990 000, чтобы представить x в виде дроби.

   х = 1522464  /  9990000

Дроби в абстрактной математике [ править ]

Помимо того, что дроби имеют большое практическое значение, математики изучают их также и проверяют, что приведенные выше правила для дробей непротиворечивы и надежны . Математики определить фракцию в качестве упорядоченной пары из целых чисел , и для которых операции сложение , вычитание , умножение и деление определяются следующим образом : ^[25]${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a}$${\displaystyle b\neq 0,}$

${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)\,}$

${\displaystyle (a,b)-(c,d)=(ad-bc,bd)\,}$

${\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac,bd)}$

${\displaystyle (a,b)\div (c,d)=(ad,bc)\quad ({\text{with, additionally, }}c\neq 0)}$

Эти определения во всех случаях согласуются с определениями, данными выше; только обозначения другие. В качестве альтернативы, вместо определения вычитания и деления как операций, «обратные» дроби по отношению к сложению и умножению могут быть определены как:

${\displaystyle {\begin{aligned}-(a,b)&=(-a,b)&&{\text{additive inverse fractions,}}\\&&&{\text{with }}(0,b){\text{ as additive unities, and}}\\(a,b)^{-1}&=(b,a)&&{\text{multiplicative inverse fractions, for }}a\neq 0,\\&&&{\text{with }}(b,b){\text{ as multiplicative unities}}.\end{aligned}}}$

Кроме того, отношение , заданное как

${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)\quad \iff \quad ad=bc,}$

является отношением эквивалентности дробей. Каждую фракцию из одного класса эквивалентности можно рассматривать как представителя всего класса, а каждый целый класс можно рассматривать как одну абстрактную фракцию. Эта эквивалентность сохраняется указанными выше операциями, т. Е. Результаты работы с дробями не зависят от выбора представителей из их класса эквивалентности. Формально для сложения фракций

${\displaystyle (a,b)\sim (a',b')\quad }$и подразумевают${\displaystyle \quad (c,d)\sim (c',d')\quad }$

${\displaystyle ((a,b)+(c,d))\sim ((a',b')+(c',d'))}$

и аналогично для других операций.

В случае дробей целых чисел дроби а/бс взаимно простыми a и b и b > 0 часто рассматриваются как однозначно определенные представители для их эквивалентных дробей, которые считаются одним и тем же рациональным числом. Таким образом, дроби целых чисел составляют поле рациональных чисел.

В более общем плане , и б могут быть элементами любой области целостности R , причем в этом случае фракция представляет собой элемент поля частных из R . Например, многочлены в одном неопределенных, с коэффициентами из некоторой интегральной области D , сами по себе являются составным доменом, назовут его P . Итак, для элементов a и b из P сгенерированное поле дробей является полем рациональных дробей (также известным как поле рациональных функций ).

Алгебраические дроби [ править ]

Алгебраическая дробь - это указанное частное двух алгебраических выражений . Как и в случае с дробями целых чисел, знаменатель алгебраической дроби не может быть равен нулю. Двумя примерами алгебраических дробей являются и . Алгебраические дроби подчиняются тем же свойствам поля, что и арифметические дроби.${\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}}$${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}}$

Если числитель и знаменатель являются полиномами , например , алгебраическая дробь называется рациональной дробью (или рациональным выражением ). Иррациональная фракция является тот , который не является рациональным, как, например, тот , который содержит переменный под дробным показателем степени или корня, как и в .${\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}}$${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}}$

Терминология, используемая для описания алгебраических дробей, аналогична терминологии, используемой для обычных дробей. Например, алгебраическая дробь имеет наименьшее значение, если единственными общими для числителя и знаменателя множителями являются 1 и -1. Алгебраическая дробь, числитель или знаменатель которой или и то, и другое содержат дробь, например , называется комплексной дробью .${\displaystyle {\frac {1+{\tfrac {1}{x}}}{1-{\tfrac {1}{x}}}}}$

Поле рациональных чисел - это поле дробей целых чисел, в то время как сами целые числа являются не полем, а скорее областью целостности . Точно так же рациональные дроби с коэффициентами в поле образуют поле дробей многочленов с коэффициентом в этом поле. Рассматривая рациональные дроби с действительными коэффициентами, радикальные выражения, представляющие числа, например , также являются рациональными дробями, как и трансцендентные числа, такие как, поскольку все и являются действительными числами , и поэтому рассматриваются как коэффициенты. Однако эти же числа не являются рациональными дробями с${\displaystyle \textstyle {\sqrt {2}}/2,}$${\textstyle \pi /2,}$${\displaystyle {\sqrt {2}},\pi ,}$${\displaystyle 2}$целочисленные коэффициенты.

Термин частичная дробь используется при разложении рациональных дробей на суммы более простых дробей. Например, рациональная дробь можно разложить в виде суммы два фракций: Это полезно для вычисления первообразных от рациональных функций (см частичного разложения фракции более).${\displaystyle {\frac {2x}{x^{2}-1}}}$${\displaystyle {\frac {1}{x+1}}+{\frac {1}{x-1}}.}$

Радикальные выражения [ править ]

Дробь может также содержать радикалы в числителе и / или знаменателе. Если знаменатель содержит радикалы, может быть полезно его рационализировать (сравнить упрощенную форму радикального выражения ), особенно если необходимо выполнить дальнейшие операции, такие как добавление или сравнение этой дроби с другой. Также удобнее, если деление будет производиться вручную. Когда знаменатель представляет собой мономиальный квадратный корень, его можно рационализировать, умножив верхнюю и нижнюю часть дроби на знаменатель:

${\displaystyle {\frac {3}{\sqrt {7}}}={\frac {3}{\sqrt {7}}}\cdot {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7}}}={\frac {3{\sqrt {7}}}{7}}}$

Процесс рационализации биномиальных знаменателей включает в себя умножение верхней и нижней части дроби на сопряжение знаменателя, так что знаменатель становится рациональным числом. Например:

${\displaystyle {\frac {3}{3-2{\sqrt {5}}}}={\frac {3}{3-2{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {3+2{\sqrt {5}}}{3+2{\sqrt {5}}}}={\frac {3(3+2{\sqrt {5}})}{{3}^{2}-(2{\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {3(3+2{\sqrt {5}})}{9-20}}=-{\frac {9+6{\sqrt {5}}}{11}}}$

${\displaystyle {\frac {3}{3+2{\sqrt {5}}}}={\frac {3}{3+2{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {3-2{\sqrt {5}}}{3-2{\sqrt {5}}}}={\frac {3(3-2{\sqrt {5}})}{{3}^{2}-(2{\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {3(3-2{\sqrt {5}})}{9-20}}=-{\frac {9-6{\sqrt {5}}}{11}}}$

Даже если этот процесс приводит к тому, что числитель становится иррациональным, как в приведенных выше примерах, процесс все же может облегчить последующие манипуляции за счет уменьшения количества иррациональных чисел, с которыми нужно работать в знаменателе.

Типографские вариации [ править ]

В компьютерных дисплеях и типографике простые дроби иногда печатаются как один символ, например ½ ( половина ). См. Статью о числовых формах для получения информации о том, как это сделать в Unicode .

Научные публикации различают четыре способа установки дробей вместе с рекомендациями по использованию: ^[26]

• специальные дроби: дроби, представленные в виде одного символа с наклонной полосой, примерно такой же высоты и ширины, как и другие символы в тексте. Обычно используется для простых дробей, таких как: ½, ⅓, ⅔, ¼ и ¾. Поскольку цифры меньше, разборчивость может быть проблемой, особенно для шрифтов небольшого размера. Они не используются в современных математических обозначениях, но в других контекстах.
• падежные дроби: аналогично специальным дробям, они отображаются как один типографский символ, но с горизонтальной полосой, что делает их вертикальными . Примером может быть , но отображается с такой же высотой, что и другие символы. Некоторые источники включают все отображение дробей как падежных дробей, если они занимают только одно типографское пространство, независимо от направления полосы. ^[27]${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$
• дроби шиллинга или солида: 1/2, так называемые, потому что это обозначение использовалось для недесятичной британской валюты ( £ sd ), как 2/6 для половины кроны , что означает два шиллинга и шесть пенсов. Хотя обозначение «два шиллинга и шесть пенсов» не означало дробь, косая черта теперь используется в дробях, особенно для дробей, встроенных в прозу (а не отображаемых), чтобы избежать неровных строк. Он также используется для дробей внутри дробей ( сложные дроби ) или внутри показателей, чтобы повысить удобочитаемость. Дроби, записанные таким образом, также известные как дроби , ^[28] пишутся на одной типографской строке, но занимают 3 или более типографских пробела.
• застроенных фракции: . Эта нотация использует две или более строк обычного текста и приводит к изменению интервала между строками при включении в другой текст. Хотя они большие и разборчивые, они могут мешать работе, особенно для простых дробей или сложных дробей.${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$

История [ править ]

Самые ранние фракции были обратными из целых чисел : древних символов , представляющих одну часть двух, одна часть из трех, одна часть из четырех, и так далее. ^[29] египтяне использовали египетские дроби с.  1000 г.  до н.э. Около 4000 лет назад египтяне разделили на фракции, используя несколько иные методы. Они использовали наименьшие общие кратные с единичными дробями . Их методы дали тот же ответ, что и современные методы. ^[30] У египтян также были разные обозначения двоичных дробей в Деревянной Табличке Ахмима и в нескольких задачах Математического Папируса Райнда .

В греки использовали единичные фракции и (позже) цепные дроби . Читатели этого греческого философа Пифагора ( с.  530  до н.э.) обнаружил , что квадратный корень из двух не может быть выражено в виде дроби целых чисел . (Это обычно, хотя, вероятно, ошибочно приписывается Гиппасу из Метапонта , который, как говорят, был казнен за раскрытие этого факта.) В 150 г. до н.э. джайнские математики в Индии написали « Стхананга-сутру».», в котором собраны работы по теории чисел, арифметическим операциям и операциям с дробями.

Современное выражение фракций , известных как bhinnarasi , кажется, возникла в Индии в работе Арьябхатта ( с.  AD 500 ), ^{[ править ]} Brahmagupta ( с.  628 ), и Bhaskara ( с.  1150 ). ^[31] Их работы формируют дроби, помещая числители ( санскрит : амса ) над знаменателями ( чеда ), но без черты между ними. ^[31] В санскритской литературе, дроби всегда выражались как сложение или вычитание целого числа. ^{[ необходима цитата ]} Целое число было написано в одной строке, а дробь в двух его частях - в следующей строке. Если дробь была отмечена кружком ⟨०⟩ или крестиком ⟨+⟩, она вычитается из целого числа; если такой знак не появляется, считается, что он добавляется. Например, Бхаскара I пишет: ^[32]

६ १ २

१ १ १ _०

४ ५ ९

что эквивалентно

6 1 2

1 1 -1

4 5 9

и будет записан в современных обозначениях как 61/4, 11/5, и 2 - 1/9 (т.е. 18/9).

Горизонтальная фракция бар сначала засвидетельствован в работе Аль-Хассар ( эт.  1200 ), ^[31] мусульманские математики из Феса , Марокко , который специализируется на исламском наследственном праве . В своем обсуждении он пишет: «... например, если вам говорят написать три пятых и одну треть пятого, напишите так, ». ^[33] Такое же дробное представление - с дробью перед целым числом ^{[31] -} появляется вскоре после этого в работе Леонардо Фибоначчи в 13 веке. ^[34]${\displaystyle {\frac {3\quad 1}{5\quad 3}}}$

Обсуждая происхождение десятичных дробей , Дирк Ян Струик заявляет: ^[35]

«Введение десятичных дробей в качестве общей вычислительной практики можно отнести к фламандской брошюре De Thiende , опубликованной в Лейдене в 1585 году, вместе с французским переводом« La Disme »фламандского математика Саймона Стевина (1548–1620), затем обосновался в Северных Нидерландах . Это правда, что десятичные дроби использовались китайцами за много веков до Стевина, и что персидский астроном Аль-Каши с большой легкостью использовал десятичные и шестидесятеричные дроби в своем « Ключе к арифметике» ( Самарканд , начало пятнадцатого века). . "^[36]

В то время как персидский математик Джамшид аль-Каши утверждал, что сам открыл десятичные дроби в 15 веке, Дж. Леннарт Берггрен отмечает, что он ошибался, поскольку десятичные дроби были впервые использованы за пять веков до него багдадским математиком Абу'л-Хасаном алом. -Углидиси еще в 10 веке. ^{[37] [n 2]}

В формальном образовании [ править ]

Педагогические инструменты [ править ]

В начальных школах , фракции были продемонстрированы с помощью Cuisenaire стержней , фракции Bars , фракция полос, фракция кругов, бумаги (для складывания или резки), шаблонов блоков , круговые-образные части, пластиковые прямоугольники, сетки бумага, точка бумаги , geoboards , счетчики и программное обеспечение.

Документы для учителей [ править ]

Несколько штатов США приняли учебные траектории из руководящих принципов Общей государственной инициативы по стандартизации в области математического образования. Помимо секвенирования изучения дробей и операций с дробями, документ предусматривает следующее определение фракции: «А число представит в виде / где есть целое число и является положительным целым числом (слово. Доля в этих стандартах всегда ссылается на неотрицательное число.) " ^[39] Сам документ также относится к отрицательным дробям.^{${\displaystyle a}$}_{${\displaystyle b}$}${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

См. Также [ править ]

• Крестное умножение
• 0,999 ...
• Несколько
• ФРАКТРАН

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме дроби .

Посмотрите знаменатель в Викисловаре, бесплатном словаре.

Найдите числитель в Викисловаре, бесплатном словаре.

• «Дробь, арифметическая» . Интернет-энциклопедия математики .
• «Дробь» . Британская энциклопедия .
• «Дробь (математика)» . Citizendium .
• «Дробь» . PlanetMath . Архивировано 25 октября 2019 года . Проверено 29 сентября 2019 года .