Расстояние

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Поиск источников:  «Distance»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( февраль 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Расстояние - это числовое измерение того, насколько далеко друг от друга находятся объекты или точки. В физике или повседневном использовании расстояние может относиться к физической длине или оценке, основанной на других критериях (например, «на два округа больше»). Расстояние от точки A до точки B иногда обозначается как . ^[1] В большинстве случаев «расстояние от A до B» взаимозаменяемо с «расстоянием от B до A». ^[2] В математике функция расстояния или метрика является обобщением концепции физического расстояния; это способ описания того, что значит для элементов некоторого пространства быть «близко» или «далеко» друг от друга.В психологии и${\ displaystyle | AB |}$в социальных науках расстояние - это нечисловое измерение; Психологическая дистанция определяется как «различные способы, которыми объект может быть удален от себя» в таких измерениях, как «время, пространство, социальная дистанция и гипотетичность» ^[3].

Обзор и определения [ править ]

Физические расстояния [ править ]

Физическое расстояние может означать несколько разных вещей:

• Пройденное расстояние: длина определенного пути, пройденного между двумя точками, ^[4] например, расстояние, пройденное при навигации по лабиринту.
• Прямолинейное (евклидово) расстояние: длина кратчайшего возможного пути в пространстве между двумя точками, который можно было бы пройти, если бы не было препятствий (обычно формализируется как евклидово расстояние ).
• Геодезическое расстояние: длина кратчайшего пути между двумя точками, оставаясь на некоторой поверхности, например, расстояние по большому кругу вдоль кривой Земли.
• Длина определенного пути, который возвращается к начальной точке, например, мяч, брошенный вверх, или Земля, когда он завершает один оборот по орбите .

«Круговое расстояние» - это расстояние, пройденное колесом, которое может быть полезно при проектировании транспортных средств или механических передач. Окружность колеса равна 2 π  × радиус, и если принять радиус равным 1, то каждый оборот колеса эквивалентен расстоянию 2 π радиан. В технике часто используется ω  = 2 πƒ , где ƒ - частота .

Необычные определения расстояния могут быть полезны для моделирования определенных физических ситуаций, но также используются в теоретической математике:

• « Манхэттенское расстояние » - это прямолинейное расстояние, названное в честь количества кварталов (в северном, южном, восточном или западном направлениях), по которым такси должно проехать, чтобы добраться до пункта назначения на сетке улиц в некоторых частях Нью-Йорка. .
• «Расстояние до шахматной доски», формализованное как расстояние Чебышева , - это минимальное количество ходов, которое король должен сделать на шахматной доске , чтобы пройти между двумя клетками.

Измерения расстояния в космологии усложняются расширением Вселенной и эффектами, описываемыми теорией относительности (такими как сокращение длины движущихся объектов).

Теоретические расстояния [ править ]

Термин «расстояние» также используется по аналогии для измерения нефизических объектов определенными способами.

В информатике существует понятие « расстояние редактирования » между двумя строками. Например, слова «собака» и «точка», которые различаются только одной буквой, ближе, чем «собака» и «кошка», которые различаются тремя буквами. Эта идея используется в средствах проверки орфографии и в теории кодирования и математически формализована несколькими различными способами, такими как:

• Расстояние Левенштейна
• Расстояние Хэмминга
• Расстояние Ли
• Расстояние Яро – Винклера

В математике метрическое пространство - это набор, для которого определены расстояния между всеми членами набора. Таким образом, можно вычислить множество различных типов «расстояний», например, для обхода графиков , сравнения распределений и кривых, а также с использованием необычных определений «пространства» (например, с использованием многообразия или отражений ). Понятие расстояния в теории графов использовалось для описания социальных сетей , например, с помощью числа Эрдёша или числа Бэкона - количество отношений сотрудничества на расстоянии от человека определяется плодовитым математиком Полом Эрдёшем и актером Кевином Бэконом., соответственно.

В психологии, географии человека и социальных науках расстояние часто рассматривается не как объективный показатель, а как субъективный опыт. ^[5]

Расстояние в зависимости от направленного расстояния и смещения [ править ]

И расстояние, и смещение измеряют движение объекта. Расстояние не может быть отрицательным и никогда не уменьшается. Расстояние - это скалярная величина или величина , тогда как смещение - это векторная величина, имеющая как величину, так и направление . Он может быть отрицательным, нулевым или положительным. Направленное расстояние не измеряет движение; он измеряет расстояние между двумя точками и может быть положительным, нулевым или отрицательным вектором. ^[6]

Расстояние , пройденное транспортным средством (например , в виде записанного с помощью одометр ), человека, животного или объекта вдоль изогнутой траектории от точки А до точки Б , следует отличать от прямолинейного расстояния от A до B . Например, независимо от расстояния, пройденного за время пути от A до B и обратно до A , смещение равно нулю, поскольку начальная и конечная точки совпадают. В общем, расстояние по прямой не равно пройденному расстоянию, за исключением поездок по прямой.

Направленное расстояние [ править ]

Направленные расстояния можно определять по прямым и криволинейным линиям.

Направленные расстояния вдоль прямых линий - это векторы, которые определяют расстояние и направление между начальной и конечной точками. Направленное расстояние точки C от точки A в направлении B на прямой AB в евклидовом векторном пространстве - это расстояние от A до C, если C падает на луч AB , но является отрицательным для этого расстояния, если C падает на луч BA (т.е. если C не находится на той же стороне от A, что и Bявляется). Например, направленное расстояние от флагштока Главной библиотеки Нью-Йорка до флагштока Статуи Свободы:

• Отправная точка: флагшток библиотеки
• Конечная точка: статуя флагштока
• Направление: -38 °
• Расстояние: 8.72 км

Другой вид направленного расстояния - это расстояние между двумя разными частицами или точечными массами в данный момент времени. Например, расстояние от центра тяжести Земли A до центра тяжести Луны B (что не означает строго движение от A к B ) попадает в эту категорию.

Направленное расстояние вдоль изогнутой линии не является вектором и представлено сегментом этой изогнутой линии, определяемой конечными точками A и B , с некоторой конкретной информацией, указывающей смысл (или направление) идеального или реального движения от одной конечной точки сегмент на другой (см. рисунок). Например, простая маркировка двух конечных точек как A и B может указывать на смысл, если предполагается упорядоченная последовательность ( A , B ), что подразумевает, что A является начальной точкой.

Смещение [ править ]

Смещение (см. Выше) - это особый вид направленного расстояния, определенный в механике . Направленное расстояние называется смещением, когда это расстояние по прямой (минимальное расстояние) от A и B , и когда A и B - позиции, занятые одной и той же частицей в два разных момента времени. Это подразумевает движение частицы. Расстояние, пройденное частицей, всегда должно быть больше или равно ее перемещению, причем равенство имеет место только тогда, когда частица движется по прямой траектории.

Математика [ править ]

Геометрия [ править ]

В аналитической геометрии , то евклидово расстояние между двумя точками на плоскости ху , можно найти , используя формулу расстояния. Расстояние между ( x ₁ , y ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ ) определяется по формуле: ^{[7] [8]}

${\displaystyle d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.}$

Аналогично, для заданных точек ( x ₁ , y ₁ , z ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ , z ₂ ) в трехмерном пространстве расстояние между ними равно: ^[7]

${\displaystyle d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}.}$

Эти формулы легко выводятся путем построения прямоугольного треугольника с опорой на гипотенузе другого (с другой ноги , ортогональной к плоскости , содержащей 1 - треугольник) и применяя теорему Пифагора . Эта формула расстояния также может быть расширена до формулы длины дуги . Другие расстояния с другими формулами используются в неевклидовой геометрии .

Расстояние в евклидовом пространстве [ править ]

В евклидовом пространстве R ⁿ расстояние между двумя точками обычно определяется евклидовым расстоянием ( расстояние с двумя нормами). Иногда вместо них используются другие расстояния, основанные на других нормах .

Для точки ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) и точки ( y ₁ , y ₂ , ..., y _n ) расстояние Минковского порядка p ( p -нормальное расстояние ) определяется как :

Расстояние 1 норма	${\displaystyle =\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|}$
Расстояние 2 нормы	${\displaystyle =\left(\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{2}\right)^{1/2}}$
p - нормальное расстояние	${\displaystyle =\left(\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}\right)^{1/p}}$
бесконечное нормальное расстояние	${\displaystyle =\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}\right)^{1/p}}$
	${\displaystyle =\max \left(|x_{1}-y_{1}|,|x_{2}-y_{2}|,\ldots ,|x_{n}-y_{n}|\right).}$

p не обязательно должно быть целым числом, но оно не может быть меньше 1, потому что в противном случае неравенство треугольника не выполняется.

Расстояние с двумя нормами - это евклидово расстояние , обобщение теоремы Пифагора на более чем две координаты . Это то, что было бы получено, если бы расстояние между двумя точками было измерено линейкой : «интуитивное» представление о расстоянии.

Расстояние, равное 1 норме, более красочно называют нормой такси или манхэттенским расстоянием , потому что это расстояние, которое автомобиль может проехать в городе, разбитом на квадратные кварталы (если нет улиц с односторонним движением).

Расстояние с бесконечной нормой также называется расстоянием Чебышева . В 2D, это минимальное количество ходов короли требуют , чтобы перемещаться между двумя квадратами на шахматной доске .

Р -норма редко используется для значений р , кроме 1, 2 и бесконечности, но видеть суперэллипс .

В физическом пространстве евклидово расстояние в некотором смысле является наиболее естественным, потому что в этом случае длина твердого тела не изменяется при вращении .

Вариационная формулировка расстояния [ править ]

Евклидово расстояние между двумя точками в пространстве ( и ) может быть записано в вариационной форме, где расстояние является минимальным значением интеграла:${\displaystyle A={\vec {r}}(0)}$${\displaystyle B={\vec {r}}(T)}$

${\displaystyle D=\int _{0}^{T}{\sqrt {\left({\partial {\vec {r}}(t) \over \partial t}\right)^{2}}}\,dt}$

Вот траектория (путь) между двумя точками. Значение интеграла (D) представляет длину этой траектории. Расстояние - это минимальное значение этого интеграла и получается, когда где - оптимальная траектория. В известном евклидовом случае (указанный выше интеграл) эта оптимальная траектория представляет собой просто прямую линию. Хорошо известно, что кратчайший путь между двумя точками - это прямая линия. Формально прямые линии можно получить, решив уравнения Эйлера – Лагранжа для указанного выше функционала . В неевклидовых многообразиях (искривленных пространствах), где природа пространства представлена метрическим тензором, подынтегральное выражение должно быть изменено на , где${\displaystyle {\vec {r}}(t)}$${\displaystyle r=r^{*}}$${\displaystyle r^{*}}$ ${\displaystyle g_{ab}}$${\displaystyle {\sqrt {g^{ac}{\dot {r}}_{c}g_{ab}{\dot {r}}^{b}}}}$Использовалось соглашение Эйнштейна о суммировании .

Обобщение на многомерные объекты [ править ]

Евклидово расстояние между двумя объектами также может быть обобщено на случай, когда объекты больше не являются точками, а представляют собой многомерные многообразия , такие как пространственные кривые, поэтому в дополнение к разговору о расстоянии между двумя точками можно обсудить концепции расстояния между двумя струны. Поскольку новые объекты, с которыми мы имеем дело, являются расширенными объектами (больше не точками), дополнительные концепции, такие как нерасширяемость, ограничения кривизны и нелокальные взаимодействия, которые обеспечивают непересечение, становятся центральными для понятия расстояния. Расстояние между двумя многообразиями - это скалярная величина, которая получается в результате минимизации обобщенного функционала расстояния, который представляет преобразование между двумя многообразиями:

${\displaystyle {\mathcal {D}}=\int _{0}^{L}\int _{0}^{T}\left\{{\sqrt {\left({\partial {\vec {r}}(s,t) \over \partial t}\right)^{2}}}+\lambda \left[{\sqrt {\left({\partial {\vec {r}}(s,t) \over \partial s}\right)^{2}}}-1\right]\right\}\,ds\,dt}$

Вышеупомянутый двойной интеграл представляет собой обобщенный функционал расстояния между двумя полимерными конформациями. является пространственным параметром и является псевдовремени. Это означает, что это конформация полимер / струна во время, параметризованная по длине струны на . Точно так же и траектория бесконечно малого отрезка струны при преобразовании всей струны из конформации в конформацию . Член с кофактором - множитель Лагранжа.${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$${\displaystyle {\vec {r}}(s,t=t_{i})}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle {\vec {r}}(s=S,t)}$${\displaystyle {\vec {r}}(s,0)}$${\displaystyle {\vec {r}}(s,T)}$${\displaystyle \lambda }$и его роль заключается в обеспечении того, чтобы длина полимера оставалась неизменной во время превращения. Если два дискретных полимера нерастяжимы, тогда преобразование минимального расстояния между ними больше не включает чисто прямолинейное движение даже в евклидовой метрике. У такого обобщенного расстояния есть потенциальное применение к проблеме сворачивания белка . ^{[9] [10]}

Это обобщенное расстояние аналогично действию Намбу – Гото в теории струн , однако нет точного соответствия, потому что евклидово расстояние в 3-м пространстве не эквивалентно пространственно-временному расстоянию, минимизированному для классической релятивистской струны.

Алгебраическое расстояние [ править ]

Это показатель, часто используемый в компьютерном зрении, который можно минимизировать с помощью оценки наименьших квадратов . [2] [3] Для кривых или поверхностей, заданных уравнением (например, коники в однородных координатах ), алгебраическое расстояние от точки до кривой просто . Это может служить «начальным предположением» для геометрического расстояния для уточнения оценок кривой с помощью более точных методов, таких как нелинейный метод наименьших квадратов .${\displaystyle x^{\text{T}}Cx=0}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle x'^{\text{T}}Cx'}$

Общая метрика [ править ]

В математике , в частности в геометрии , функция расстояния на заданном множестве M - это функция d : M × M → R , где R обозначает множество действительных чисел , которая удовлетворяет следующим условиям:

• d ( x , y ) ≥ 0 и d ( x , y ) = 0 тогда и только тогда, когда x = y . (Расстояние между двумя разными точками положительно и равно нулю точно от точки до самой себя.) ^[2]
• Он симметричен : d ( x , y ) = d ( y , x ) . (Расстояние между x и y одинаково в любом направлении.) ^[2]
• Он удовлетворяет неравенству треугольника : d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ) . (Расстояние между двумя точками - это кратчайшее расстояние по любому пути). ^[2] Такая функция расстояния известна как метрика . Вместе с множеством он составляет метрическое пространство .

Например, обычное определение расстояния между двумя действительными числами x и y : d ( x , y ) = | х - у | . Это определение удовлетворяет трем условиям выше, и соответствует стандартной топологии на прямой . Но расстояние на данном множестве - выбор определения. Другой возможный выбор - определить: d ( x , y ) = 0, если x = y , и 1 в противном случае. Это также определяет метрику, но дает совершенно иную топологию, « дискретную топологию»."; при таком определении числа не могут быть сколь угодно близкими.

Расстояния между наборами и между точкой и набором [ править ]

Между объектами возможны различные определения расстояний. Например, между небесными телами не следует путать расстояние от поверхности до поверхности и расстояние от центра до центра. Если первое намного меньше второго, как для низкой околоземной орбиты , обычно указывается первое (высота), в противном случае, например, для расстояния Земля – Луна, второе.

Есть два общих определения расстояния между двумя непустыми подмножествами данного метрического пространства :

• Одна из версий расстояния между двумя непустыми множествами - это точная нижняя грань расстояний между любыми двумя их соответствующими точками, что является повседневным значением слова, т. Е.

${\displaystyle d(A,B)=\inf _{x\in A,y\in B}d(x,y).}$

Это симметричная преметрика . В наборе наборов, некоторые из которых соприкасаются или накладываются друг на друга, это не «разделение», потому что расстояние между двумя разными, но соприкасающимися или перекрывающимися наборами равно нулю. Кроме того, он не является гемиметрическим , т. Е. Неравенство треугольника не выполняется, за исключением особых случаев. Поэтому только в особых случаях это расстояние превращает набор множеств в метрическое пространство .

• Расстояние Хаусдорфа - это большее из двух значений, одно из которых является супремумом , для точки, лежащей в пределах одного набора, нижнего предела, для второй точки, лежащей над другим набором, расстояния между точками, а другое значение аналогично определены, но с заменой ролей двух наборов. Это расстояние делает само множество непустых компактных подмножеств метрического пространства метрическим пространством .

Расстояние между точкой и множеством является нижней гранью расстояний между точкой и те , в наборе. Это соответствует расстоянию, в соответствии с первым упомянутым выше определением расстояния между наборами, от набора, содержащего только эту точку, до другого набора.

В терминах этого определение расстояния Хаусдорфа можно упростить: это большее из двух значений, одно из которых является супремумом, для точки, находящейся в пределах одного набора, расстояния между точкой и набором, а другое значение определены аналогичным образом, но роли двух наборов поменялись местами.

Теория графов [ править ]

В теории графов расстояние между двумя вершинами представляет собой длину самого короткого пути между этими вершинами.

Статистические расстояния [ править ]

В статистике и информационной геометрии существует много видов статистических расстояний , особенно расхождения , особенно расхождения Брегмана и f- расхождения . Они включают и обобщают многие понятия «разницы между двумя распределениями вероятностей » и позволяют изучать их геометрически, как статистические многообразия . Самым элементарным является квадрат Евклидова расстояния , который составляет основу наименьших квадратов ; это самое основное расхождение Брегмана. Наиболее важным в теории информации является относительная энтропия( Дивергенция Кульбака – Лейблера ), которая позволяет аналогичным образом исследовать оценку максимального правдоподобия геометрически; это самая основная f- дивергенция, а также дивергенция Брегмана (и единственная дивергенция, которая является обеими). Статистические многообразия, соответствующие расходимости Брегмана, являются плоскими многообразиями в соответствующей геометрии, что позволяет использовать аналог теоремы Пифагора (которая традиционно верна для квадрата евклидова расстояния) для линейных обратных задач при выводе теории оптимизации .

Другие важные статистические расстояния включают расстояние Махаланобиса , энергетическое расстояние и многие другие.

Другие математические "расстояния" [ править ]

• Канберрское расстояние - взвешенная версия манхэттенского расстояния, используемая в информатике.

В психологии [ править ]

Психологическая дистанция определяется как «различные способы, которыми объект может быть удален от себя» по таким измерениям, как «время, пространство, социальная дистанция и гипотетичность». ^[3] Взаимосвязь между психологической дистанцией и степенью абстрактности или конкретного мышления описывается в теории конструктивного уровня , которая представляет собой основу для принятия решений .

См. Также [ править ]

В Wikiquote есть цитаты, связанные с: Расстояние

Поддержка библиотеки [ править ]

• Python (язык программирования)
  • Interspace - пакет для определения расстояния между двумя векторами, числами, строками и т. Д.
  • SciPy - Расчеты расстояния ( scipy.spatial.distance)
• Юлия (язык программирования)
  • Julia Statistics Distance - Пакет Julia для оценки расстояний (метрик) между векторами.

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Деза Э, Деза М (2006). Словарь расстояний . Эльзевир. ISBN 0-444-52087-2.