Число

Подмножество этих комплексных чисел

Число является математический объект используется для подсчета , измерения и этикетки . Исходными примерами являются натуральные числа 1 , 2 , 3 , 4 и так далее. ^[1] Числа могут быть представлены на языке числовыми словами . В более широком смысле отдельные числа могут быть представлены символами , называемыми цифрами ; например, «5» - это цифра, которая представляет собой число пять . Поскольку можно запомнить только относительно небольшое количество символов, основные цифры обычно организованы в видесистема счисления , которая представляет собой организованный способ представления любого числа. Наиболее распространенной системой счисления является индуистско-арабская система счисления , которая позволяет представлять любое число с помощью комбинации из десяти основных числовых символов, называемых цифрами . ^{[2] [3]} В дополнение к их использованию при подсчете и измерении, цифры часто используются для этикеток (как с номерами телефонов ), для заказа (как с серийными номерами ) и для кодов (как с ISBN ). В обычном использовании числительное не отличается четко от числа, которое оно представляет.

В математике понятие числа расширялось на протяжении веков, включая 0 , ^[4] отрицательные числа , ^[5] рациональные числа, такие как половина , действительные числа, такие как квадратный корень из 2 и π , ^[6] и комплексные числа ^[7], которые расширяют действительные числа квадратным корнем из −1 (и его комбинации с действительными числами путем добавления или вычитания его кратных). ^[5] Вычисления с числами производятся с помощью арифметических операций.${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {1} {2}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left ({\ sqrt {2}} \ right)}$ , наиболее известными из которых являются сложение , вычитание , умножение , деление и возведение в степень . Их изучение или использование называется арифметикой - термином, который также может относиться к теории чисел , изучению свойств чисел.

Помимо практического использования, числа имеют культурное значение во всем мире. ^{[8] [9]} Например, в западном обществе число 13 часто считается несчастливым , а « миллион » может означать «много», а не точное количество. ^[8] Хотя сейчас это считается псевдонаукой , вера в мистическое значение чисел, известная как нумерология , пронизывала древнюю и средневековую мысль. ^[10] Нумерология сильно повлияла на развитие греческой математики , стимулируя исследование многих проблем теории чисел, которые до сих пор представляют интерес. ^[10]

В течение XIX века математики начали разрабатывать множество различных абстракций, которые разделяют определенные свойства чисел и могут рассматриваться как расширение концепции. Среди первых были гиперкомплексные числа , которые состоят из различных расширений или модификаций системы комплексных чисел . В современной математике числовые системы ( множества ) считаются важными частными примерами более общих категорий, таких как кольца и поля , и применение термина «число» является условным и не имеет фундаментального значения. ^[11]

История [ править ]

Фактическая точность этого раздела оспаривается . Соответствующее обсуждение можно найти на Talk: Number . Пожалуйста, помогите обеспечить надежный источник спорных утверждений . ( Ноябрь 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Цифры [ править ]

Цифры следует отличать от цифр , символов, используемых для представления чисел. Египтяне изобрели первую зашифрованную систему счисления, а затем греки перенесли свои счетные числа на ионический и дорический алфавиты. ^[12] Римские цифры, система, в которой использовались комбинации букв латинского алфавита, оставались доминирующими в Европе до распространения превосходящей индуистско-арабской системы счисления в конце 14 века, а индуистско-арабская система счисления остается наиболее распространенной. система представления чисел в современном мире. ^[13] Ключом к эффективности системы был символ нуля , который был разработан древними индийскими математиками.около 500 г. н.э. ^[13]

Первое использование чисел [ править ]

Были обнаружены кости и другие артефакты с вырезанными на них отметками, которые многие считают отметками . ^[14] Эти счетные метки могли использоваться для подсчета прошедшего времени, например количества дней, лунных циклов или ведения учета количества, например, животных.

В системе подсчета нет понятия разряда (как в современной десятичной системе счисления), что ограничивает представление больших чисел. Тем не менее системы подсчета считаются первым видом абстрактной системы счисления.

Первый известная система с местом значения была Месопотамская база 60 системы ( с. 3400 г. до н.э.) и самая раннего известных баз 10 системы датируется 3100 г. до н.э. в Египте . ^[15]

Нуль [ редактировать ]

Первое известное задокументированное использование нуля датируется 628 г. н.э. и появилось в Brāhmasphuasiddhānta , основной работе индийского математика Брахмагупты . Он рассматривал 0 как число и обсуждал операции с ним, включая деление . К этому времени (VII век) эта концепция явно достигла Камбоджи в виде кхмерских цифр , и документация показывает, что идея позже распространилась на Китай и исламский мир .

Брахмагупта « Брахмаспхунасиддханта» - первая книга, в которой ноль упоминается как число, поэтому Брахмагупта обычно считается первым, кто сформулировал концепцию нуля. Он дал правила использования нуля с отрицательными и положительными числами, например, «ноль плюс положительное число - это положительное число, а отрицательное число плюс ноль - отрицательное число». Brāhmasphuṭasiddhānta является самым ранним из известного текста лакомства нуля как число в своем собственном праве, а не просто как заполнитель цифра в представлении другого номера , как это было сделано в Вавилоне или как символ отсутствия количества , как это было сделано Птолемеем и римляне.

Использование 0 в качестве числа следует отличать от его использования в качестве числового заполнителя в системах с указанием места . Многие древние тексты использовали 0. Вавилонские и египетские тексты использовали его. Египтяне использовали слово nfr для обозначения нулевого баланса в бухгалтерском учете с двойной записью . В индийских текстах используется санскритское слово шунье или шунья для обозначения концепции пустоты . В текстах по математике это слово часто относится к числу ноль. ^[16] Аналогичным образом, Панини (V век до нашей эры) использовал нулевой оператор в Аштадхьяи , раннем примере алгебраической грамматики.для санскрита (см. также Пингала ).

Есть и другие варианты использования нуля перед Брахмагуптой, хотя документация не так полна, как в Брахмаспхунасиддханте .

Записи показывают, что древние греки казались неуверенными в статусе 0 как числа: они спрашивали себя, «как« ничто »может быть чем-то?» ведущие к интересным философским и, в Средневековье, религиозным спорам о природе и существовании 0 и вакуума . В парадоксах от Зенона Элейского зависят отчасти от неопределенной интерпретации 0. (древних греков даже допрошен ли  1 был номер.)

В конце ольмеков люди юго-центральной части Мексики начали использовать символ для нуля, раковине глифа , в Новом Свете, возможно , в 4 веке до н.э. , но , конечно , на 40 г. до н.э., который стал неотъемлемой частью майя цифр и календарь майя . В арифметике майя использовалось основание 4 и основание 5, записанное как основание 20. Джордж И. Санчес в 1961 году сообщил о «пальцевых» счетах с основанием 4 и основанием 5. ^{[17] [ нужен лучший источник ]}

К 130 году нашей эры Птолемей , находившийся под влиянием Гиппарха и вавилонян, использовал символ для 0 (маленький кружок с длинной чертой над чертой) в шестидесятеричной системе счисления, иначе использовал буквенные греческие цифры . Поскольку он использовался отдельно, а не просто как заполнитель, этот эллинистический ноль был первым документированным использованием настоящего нуля в Старом Свете. В более поздних византийских рукописях его Syntaxis Mathematica ( Альмагест ) эллинистический ноль трансформировался в греческую букву омикрон (иначе означает 70).

Другой истинный ноль использовался в таблицах вместе с римскими цифрами к 525 г. (первое известное использование Дионисием Экзигуусом ), но как слово, nulla не означает ничего , а не как символ. Когда деление давало 0 в качестве остатка, использовалось nihil , также означающее « ничего» . Эти средневековые нули использовали все будущие средневековые вычислители (калькуляторы Пасхи ). Отдельное использование их начального, N, было использовано в таблице римских цифр Беде или его коллегой около 725, истинный символ нуля.

Отрицательные числа [ редактировать ]

Абстрактное понятие отрицательных чисел было признано еще в 100–50 годах до нашей эры в Китае. Девять глав по математическому искусству содержат методы нахождения площадей фигур; красные стержни использовались для обозначения положительных коэффициентов , черные - для отрицательных. ^[18] Первое упоминание в западной работе относится к III веку нашей эры в Греции . Диофант сослался на уравнение, эквивалентное 4 x + 20 = 0 (решение отрицательное) в Арифметике , заявив, что уравнение дало абсурдный результат.

В течение 600-х годов в Индии для обозначения долга использовались отрицательные числа . Предыдущее упоминание Диофанта более подробно обсуждалось индийским математиком Брахмагуптой в книге Brāhmasphuasiddhānta в 628 году, который использовал отрицательные числа для получения общей формы квадратичной формулы, которая используется сегодня. Однако в XII веке в Индии Бхаскара дает отрицательные корни для квадратных уравнений, но говорит, что отрицательное значение «в данном случае не следует принимать, поскольку оно неадекватно; люди не одобряют отрицательные корни».

Европейские математики по большей части сопротивлялись концепции отрицательных чисел до 17 века, хотя Фибоначчи допускал отрицательные решения финансовых проблем, где они могли интерпретироваться как долги (глава 13 Liber Abaci , 1202), а позже как убытки (в Flos ). В то же время китайцы указывали отрицательные числа, проводя диагональной чертой через крайнюю правую ненулевую цифру соответствующего положительного числа. ^[19] Первое использование отрицательных чисел в европейской работе было Николя Шуке в 15 веке. Он использовал их в качестве показателей , но называл их «абсурдными числами».

Еще в XVIII веке было обычной практикой игнорировать любые отрицательные результаты, возвращаемые уравнениями, исходя из предположения, что они бессмысленны, как это делал Рене Декарт с отрицательными решениями в декартовой системе координат .

Рациональное число [ редактировать ]

Вполне вероятно, что понятие дробных чисел восходит к доисторическим временам . Древние египтяне использовали их египетскую дробь обозначение для рациональных чисел в математических текстах , такие как Папирус Ахмес и Kahun папирус . Классические греческие и индийские математики изучали теорию рациональных чисел как часть общего изучения теории чисел . ^{[ Править ]} Наиболее известным из них является Евклида элементы , знакомства примерно до 300 г. до н. Из индийских текстов наиболее актуальной является Сутра Стхананга., который также охватывает теорию чисел как часть общего изучения математики.

Концепция десятичных дробей тесно связана с обозначением десятичных разрядов; эти два, кажется, развивались в тандеме. Например, джайнская математическая сутра обычно включает вычисления десятичных дробей, приближенных к Пи или квадратному корню из 2 . ^{[ необходима цитата ]} Точно так же в вавилонских математических текстах очень часто использовались шестидесятеричные (основание 60) дроби.

Иррациональные числа [ редактировать ]

Самое раннее известное использование иррациональных чисел было в индийских сутрах Сульба, составленных между 800 и 500 годами до нашей эры. ^{[20] [ необходим лучший источник ]} Первые доказательства существования иррациональных чисел обычно приписываются Пифагору , в частности пифагорейцу Гиппасу из Метапонта , который произвел (скорее всего геометрическое) доказательство иррациональности квадратного корня из 2. История гласит, что Гиппас открыл иррациональные числа, когда пытался представить квадратный корень из 2 в виде дроби. Однако Пифагор верил в абсолютность чисел и не мог согласиться с существованием иррациональных чисел. Он не мог опровергнуть их существование с помощью логики, но он не мог принять иррациональные числа, и поэтому, как утверждается и часто сообщается, он приговорил Гиппаса к смерти через утопление, чтобы воспрепятствовать распространению этой смущающей новости. ^{[21] [ нужен лучший источник ]}

16 век принес окончательное европейское признание отрицательных целых и дробных чисел. К 17 веку математики обычно использовали десятичные дроби в современных обозначениях. Однако только в 19 веке математики разделили иррациональные числа на алгебраические и трансцендентные и снова занялись научным изучением иррациональных чисел. Со времен Евклида он почти бездействовал . В 1872 году, публикация теорий Карла Вейерштрасса (его учеником Е. Kossak), Эдуарда Heine , ^[22] Георг Кантор , ^[23] и Дедекинд ^[24] был вызван. В 1869 г.Шарль Мери взял ту же отправную точку, что и Гейне, но теория обычно относится к 1872 году. Метод Вейерштрасса был полностью изложен Сальваторе Пинчерле (1880), а метод Дедекинда получил дополнительную известность в более поздних работах автора (1888). и одобрение Пола Таннери (1894). Вейерштрасс, Кантор и Гейне основывают свои теории на бесконечных рядах, в то время как Дедекинд основывает свою на идее разреза (Шнитта) в системе действительных чисел , разделяя все рациональные числа на две группы, обладающие определенными характеристическими свойствами. Субъект получил более поздние вклады в руки Вейерштрасса, Кронекера , ^[25] и Мере.

Поиск корней уравнений пятой и более высоких степеней был важным развитием, теорема Абеля – Руффини ( Ruffini 1799, Abel 1824) показала, что они не могут быть решены радикалами (формулами, включающими только арифметические операции и корни). Следовательно, необходимо было рассмотреть более широкий набор алгебраических чисел (все решения полиномиальных уравнений). Галуа (1832 г.) связал полиномиальные уравнения с теорией групп, положив начало области теории Галуа .

Цепные дроби , тесно связанные с иррациональными числами (и из - за Катальди, 1613), получил внимание на руках Эйлера , ^[26] и на открытии 19 - го века были привезены в известность через письма Жозеф Луи Лагранж . Другой заслуживающий внимания вклад был сделан Друкенмюллером (1837), Кунце (1857), Лемке (1870) и Гюнтером (1872). Рамус ^[27] сначала связал этот предмет с детерминантами , что привело к последующим вкладам Гейне, ^[28] Мёбиуса и Гюнтера ^[29] в теорию детерминант Кеттенбруха .

Трансцендентные числа и действительные числа [ редактировать ]

Существование трансцендентных чисел ^[30] было впервые установлено Лиувиллем (1844, 1851). Эрмит доказал в 1873 г., что е трансцендентно, а Линдеманн в 1882 г. доказал, что π трансцендентно. И, наконец, Кантор показал , что множество всех действительных чисел является несчетным бесконечным , но множество всех алгебраических чисел является счетным , поэтому существует несчетный бесконечное количество чисел трансцендентных.

Бесконечность и бесконечно малые [ редактировать ]

Самая ранняя из известных концепций математической бесконечности появляется в Яджурведе , древнем индийском письме, где в какой-то момент говорится: «Если вы удалите часть из бесконечности или добавите часть в бесконечность, то останется бесконечность». Бесконечность была популярной темой философских исследований среди джайнских математиков c. 400 г. до н.э. Они различали пять типов бесконечности: бесконечность в одном и двух направлениях, бесконечность по площади, бесконечность везде и бесконечность вечно. Этот символ часто используется для обозначения бесконечного количества.${\ Displaystyle {\ текст {∞}}}$

Аристотель определил традиционное западное понятие математической бесконечности. Он проводил различие между актуальной бесконечностью и потенциальной бесконечностью - по общему мнению, только последняя имеет истинную ценность. В книге Галилео Галилея « Две новые науки» обсуждается идея взаимно однозначного соответствия между бесконечными множествами. Но следующий крупный прогресс в теории был сделан Георгом Кантором ; в 1895 г. он опубликовал книгу о своей новой теории множеств , в которой, среди прочего, ввел трансфинитные числа и сформулировал гипотезу континуума .

В 1960-х Абрахам Робинсон показал, как бесконечно большие и бесконечно малые числа могут быть строго определены и использованы для развития области нестандартного анализа. Система гипердействительных чисел представляет собой строгий метод лечения идеи о бесконечных и бесконечно малых чисел, которые использовались случайно математиками, ученых и инженеров с тех пор изобретение исчисления бесконечно малых по Ньютона и Лейбница .

Современную геометрическую версию бесконечности дает проективная геометрия , которая вводит «идеальные точки на бесконечности», по одной для каждого направления в пространстве. Постулируется, что каждое семейство параллельных прямых в заданном направлении сходится к соответствующей идеальной точке. Это тесно связано с идеей точек схода в перспективном рисовании.

Сложные числа [ редактировать ]

Самое раннее упоминание мимолетное к корням квадратным из отрицательных чисел произошли в работе математика и изобретателя Герона Александрийского в 1 веке нашей эры , когда он рассматривал объем невозможного усеченного о наличии пирамиды . Они стали более заметными, когда в 16 веке замкнутые формулы для корней многочленов третьей и четвертой степени были открыты итальянскими математиками, такими как Никколо Фонтана Тарталья и Джероламо Кардано . Вскоре стало понятно, что эти формулы, даже если кто-то интересовался только действительными решениями, иногда требовали манипуляции с квадратными корнями из отрицательных чисел.

Это было вдвойне тревожным, поскольку в то время они даже не считали, что отрицательные числа имеют твердую основу. Когда Рене Декарт ввел термин «мнимые» для этих величин в 1637 году, он имел в виду его уничижительный характер. (См. Мнимое число для обсуждения «реальности» комплексных чисел.) Еще одним источником путаницы было то, что уравнение

${\ displaystyle \ left ({\ sqrt {-1}} \ right) ^ {2} = {\ sqrt {-1}} {\ sqrt {-1}} = - 1}$

казался капризным несовместимым с алгебраическим тождеством

${\ displaystyle {\ sqrt {a}} {\ sqrt {b}} = {\ sqrt {ab}},}$

который действителен для положительных действительных чисел a и b , а также использовался в вычислениях комплексных чисел с одним из a , b положительным, а другим отрицательным. Неправильное использование этого удостоверения и связанного удостоверения личности

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {a}}} = {\ sqrt {\ frac {1} {a}}}}$

в случае, когда и a, и b отрицательны, даже озадачил Эйлера . Эта трудность в конечном итоге привела его к соглашению использовать специальный символ i вместо символа для защиты от этой ошибки.${\ displaystyle {\ sqrt {-1}}}$

В 18 веке работали Авраам де Муавр и Леонард Эйлер . Формула Де Муавра (1730) гласит:

${\ Displaystyle (\ соз \ тета + я \ грех \ тета) ^ {п} = \ соз п \ тета + я \ грех п \ тета}$

в то время как формула Эйлера из комплексного анализа (1748) дал нам:

${\ Displaystyle \ соз \ тета + я \ грех \ тета = е ^ {я \ тета}.}$

Существование комплексных чисел не было полностью признано, пока Каспар Вессель не описал геометрическую интерпретацию в 1799 году. Карл Фридрих Гаусс заново открыл и популяризировал ее несколько лет спустя, и в результате теория комплексных чисел получила заметное расширение. Появилась идея графического представления комплексных чисел, однако, уже в 1685 году, в Wallis «s De алгебре трактате .

Также в 1799 году Гаусс представил первое общепринятое доказательство фундаментальной теоремы алгебры , показав, что каждый многочлен над комплексными числами имеет полный набор решений в этой области. Общее признание теории комплексных чисел произошло благодаря трудам Огюстена Луи Коши и Нильса Хенрика Абеля , особенно последнего, который был первым, кто смело использовал комплексные числа с хорошо известным успехом. ^{[ термин павлин ]}

Гаусс изучал комплексные числа вида a + bi , где a и b являются целыми или рациональными (а i - один из двух корней x ² + 1 = 0 ). Его ученик Готтхольд Эйзенштейн изучал тип a + bω , где ω - комплексный корень из x ³ - 1 = 0. Другие такие классы (называемые круговыми полями ) комплексных чисел происходят из корней из единицы x ^k - 1 = 0. для более высоких значений k. Это обобщение во многом связано с Эрнстом Куммером , который также изобрел идеальные числа , которые были выражены как геометрические объекты Феликсом Клейном в 1893 году.

В 1850 году Виктор Александр Пюизо сделал ключевой шаг в различении полюсов и точек ветвления и ввел понятие существенных особых точек . ^{[ требуется пояснение ]} Это в конечном итоге привело к концепции расширенной комплексной плоскости .

простые числа [ редактировать ]

Простые числа изучались на протяжении всей истории человечества. ^{[ необходима цитата ]} Евклид посвятил одну книгу Элементов теории простых чисел; в нем он доказал бесконечность простых чисел и основную теорему арифметики , а также представил алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел.

В 240 г. до н.э. Эратосфен использовал Решето Эратосфена, чтобы быстро выделить простые числа. Но наиболее дальнейшее развитие теории простых чисел в Европе относится к эпохе Возрождения и более поздних эпох. ^{[ необходима цитата ]}

В 1796 году Адриен-Мари Лежандр выдвинул гипотезу о теореме о простых числах , описывающей асимптотическое распределение простых чисел. Другие результаты, касающиеся распределения простых чисел, включают доказательство Эйлера того, что сумма обратных простых чисел расходится, и гипотезу Гольдбаха , которая утверждает, что любое достаточно большое четное число является суммой двух простых чисел. Еще одна гипотеза, связанная с распределением простых чисел, - это гипотеза Римана , сформулированная Бернхардом Риманом в 1859 году. Теорема о простых числах была окончательно доказана Жаком Адамаром и Шарлем де ла Валле-Пуссеном. в 1896 г. Предположения Гольдбаха и Римана остаются недоказанными и неопровержимыми.

Основная классификация [ править ]

Числа можно разделить на наборы , называемые системами счисления , такими как натуральные и действительные числа . ^[31] Основные категории номеров следующие:

Основные системы счисления

${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$	Естественный	0, 1, 2, 3, 4, 5, ... или 1, 2, 3, 4, 5, ... ${\ displaystyle \ mathbb {N} _ {0}}$или иногда используются.${\ Displaystyle \ mathbb {N} _ {1}}$
${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$	Целое число	..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$	Рациональный	а/бгде a и b - целые числа, а b не равно 0
${\displaystyle \mathbb {R} }$	Настоящий	Предел сходящейся последовательности рациональных чисел
${\displaystyle \mathbb {C} }$	Сложный	a + bi, где a и b - действительные числа, а i - формальный квадратный корень из −1

Как правило, нет проблем с идентификацией каждой системы счисления с надлежащим подмножеством следующей (путем злоупотребления обозначениями ), потому что каждая из этих систем счисления является вложением в следующую (с помощью ZFC ). ^[32] Полученная иерархия позволяет, например, формально правильно говорить о действительных числах, которые являются рациональными числами, и символически выражается записью

${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }$.

Натуральные числа [ править ]

Наиболее известные числа - это натуральные числа (иногда называемые целыми числами или счетными числами): 1, 2, 3 и т. Д. Традиционно, последовательность натуральных чисел началась с 1 (0 не был даже рассмотрен ряд для древних греков .) Тем не менее, в 19 - м веке, набор теоретики и другие математики начали в том числе 0 ( мощности из пустого множества , т.е. 0 элементов, где 0, таким образом, является наименьшим кардинальным числом ) в наборе натуральных чисел. ^{[33] [34]} Сегодня разные математики используют этот термин для описания обоих множеств, включая 0 или нет. Математический символ для множества всех натуральных чиселN , также записывается , и иногда или когда необходимо указать, должен ли набор начинаться с 0 или 1 соответственно.${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle \mathbb {N} _{1}}$

В системе счисления с основанием 10 , которая сегодня почти повсеместно используется для математических операций, символы натуральных чисел записываются с использованием десяти цифр : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Основание системы счисления. или основание - это количество уникальных числовых цифр, включая ноль, которые система счисления использует для представления чисел (для десятичной системы основание системы счисления равно 10). В этой системе базовая 10, крайняя правая цифра натурального числа имеет место значение 1, а все остальные цифры имеет значение место в десять раз , что на месте значения цифры справа от нее.

В теории множеств , которая способна служить аксиоматической основой современной математики ^[35], натуральные числа могут быть представлены классами эквивалентных множеств. Например, число 3 можно представить как класс всех наборов, в которых ровно три элемента. В качестве альтернативы, в арифметике Пеано число 3 представлено как sss0, где s - это функция «преемник» (т. Е. 3 - это третий преемник 0). Возможно множество различных представлений; все, что нужно для формального представления 3, - это трижды начертать определенный символ или набор символов.

Целые числа [ править ]

Отрицательного положительного целого числа, определяется как число , которое производит 0 , когда он добавляется к соответствующему положительному целому числу. Отрицательные числа обычно пишутся со знаком минус ( минус ). Например, отрицательное значение 7 записывается как −7, а 7 + (−7) = 0 . Когда множество отрицательных чисел в сочетании с множеством натуральных чисел (включая 0), то результат определяется как множество целых чисел , Z также записывается . Здесь буква Z происходит от немецкого Zahl  «число». Набор целых чисел образует кольцо с операциями сложения и умножения. ^[36] Z {\displaystyle \mathbb {Z} }

Натуральные числа образуют подмножество целых чисел. Поскольку не существует общего стандарта для включения или исключения нуля в натуральные числа, натуральные числа без нуля обычно называют положительными целыми числами , а натуральные числа с нулем - неотрицательными целыми числами .

Рациональные числа [ править ]

Рациональное число - это число, которое может быть выражено в виде дроби с целым числителем и положительным целым знаменателем. Отрицательные знаменатели разрешены, но их обычно избегают, поскольку каждое рациональное число равно дроби с положительным знаменателем. Дроби записываются в виде двух целых чисел, числителя и знаменателя, с разделительной чертой между ними. Фракциям/ппредставляет m частей целого, разделенных на n равных частей. Одному и тому же рациональному числу могут соответствовать две разные дроби; Например1/2 и 2/4 равны, то есть:

${\displaystyle {1 \over 2}={2 \over 4}.}$

В целом,

${\displaystyle {a \over b}={c \over d}}$ если и только если ${\displaystyle {a\times d}={c\times b}.}$

Если абсолютное значение из т больше , чем п (должен быть положительным), то абсолютное значение доли больше , чем 1. Фракции , может быть больше, меньше или равно 1 , а также может быть положительным, отрицательным, или 0. Набор всех рациональных чисел включает целые числа, поскольку каждое целое число можно записать как дробь со знаминателем 1. Например, можно записать −7 −7/1. Символ рациональных чисел - Q ( частное ), также пишется . Q {\displaystyle \mathbb {Q} }

Реальные числа [ править ]

Символ для действительных чисел - R , также записываемый как Они включают в себя все числа измерения. Каждое действительное число соответствует точке на числовой прямой . В следующем абзаце основное внимание будет уделено положительным действительным числам. Отрицательные действительные числа обрабатываются в соответствии с общими правилами арифметики, а их обозначение - это просто префикс соответствующего положительного числа знаком минус , например -123,456.${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Большинство действительных чисел могут быть аппроксимированы только десятичными числами , в которых десятичная точка помещается справа от цифры с разрядным значением 1. Каждая цифра справа от десятичной точки имеет разрядное значение, составляющее одну десятую от разрядного значения числа цифра слева от нее. Например, 123,456 представляет123456/1000, или, словами, сто, две десятки, три единицы, четыре десятых, пять сотых и шесть тысячных. Действительное число может быть выражено конечным числом десятичных цифр только в том случае, если оно рационально и его дробная часть имеет знаменатель, простые множители которого равны 2 или 5 или оба, потому что это простые множители 10, основание десятичной системы. . Так, например, одна половина равна 0,5, одна пятая - 0,2, одна десятая - 0,1, а одна пятидесятая - 0,02. Для представления других действительных чисел в виде десятичных дробей потребовалась бы бесконечная последовательность цифр справа от десятичной точки. Если эта бесконечная последовательность цифр соответствует шаблону, ее можно записать с многоточием или другим обозначением, которое указывает повторяющийся шаблон. Такая десятичная дробь называется повторяющейся десятичной дробью . Таким образом1/3можно записать как 0,333 ... с многоточием, чтобы указать, что шаблон продолжается. Вечно повторяющиеся тройки также записываются как 0. 3 . ^[37]

Оказывается, эти повторяющиеся десятичные дроби (включая повторение нулей ) обозначают в точности рациональные числа, т. Е. Все рациональные числа также являются действительными числами, но это не тот случай, когда каждое действительное число является рациональным. Нерациональное действительное число называется иррациональным . Известное иррациональное действительное число - это число π , отношение длины окружности любого круга к его диаметру . Когда пи записывается как

${\displaystyle \pi =3.14159265358979\dots ,}$

как это иногда бывает, многоточие не означает, что десятичные дроби повторяются (они не повторяются), а скорее, что им нет конца. Доказано, что π иррационально . Другое известное число, которое оказалось иррациональным действительным числом, - это

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1.41421356237\dots ,}$

квадратный корень из 2 , то есть, единственное положительное действительное число, квадрат которого равен 2. Обе эти цифры были аппроксимированы ( с помощью компьютера) до триллионов (1 триллион = 10 ¹² = 1,000,000,000,000) цифр.

Не только эти выдающиеся примеры, но и почти все действительные числа иррациональны и поэтому не имеют повторяющихся шаблонов и, следовательно, не имеют соответствующей десятичной цифры. Их можно приблизительно представить только десятичными числами , обозначающими округленные или усеченные действительные числа. Любое округленное или усеченное число обязательно является рациональным числом, которых счетно много . Все измерения по своей природе являются приблизительными и всегда имеют допустимую погрешность . Таким образом, 123,456 считается приближением любого действительного числа, большего или равного1234555/10000 и строго меньше чем 1234565/10000 (округление до трех знаков после запятой) или любое действительное число, большее или равное 123456/1000 и строго меньше чем 123457/1000(усечение после 3. десятичного знака). Цифры, свидетельствующие о большей точности, чем само измерение, следует удалить. Остальные цифры тогда называются значащими цифрами . Например, измерения линейкой редко могут быть выполнены без погрешности не менее 0,001 м . Если стороны прямоугольника измеряются как 1,23 м и 4,56 м, то умножение дает площадь прямоугольника от 5,614591 м ² до 5,603011 м ² . Поскольку не сохраняется даже вторая цифра после десятичного разряда, следующие цифры не имеют значения . Поэтому результат обычно округляется до 5,61.

Так же, как одна и та же дробь может быть записана более чем одним способом, одно и то же действительное число может иметь более одного десятичного представления. Например, 0,999 ..., 1.0, 1.00, 1.000, ..., все представляют натуральное число 1. Данное действительное число имеет только следующие десятичные представления: приближение к некоторому конечному числу десятичных знаков, приближение, в котором устанавливается шаблон, который продолжается в течение неограниченное количество десятичных знаков или точное значение только с конечным числом десятичных знаков. В этом последнем случае последняя ненулевая цифра может быть заменена цифрой на единицу меньше, за которой следует неограниченное количество девяток, или за последней ненулевой цифрой может следовать неограниченное количество нулей. Таким образом, точное действительное число 3,74 может быть записано как 3,7399999999 ... и 3,74000000000 .... Точно так же десятичное число с неограниченным количеством нулей можно переписать, отбросив 0 справа от десятичного разряда, а десятичное число с неограниченным числом 9 's можно переписать, увеличив крайнюю правую цифру -9 на единицу, заменив все 9 справа от этой цифры на 0. Наконец, можно отбросить неограниченную последовательность нулей справа от десятичной точки. Например, 6,849999999999 ... = 6,85 и 6,850000000000 ... = 6,85. Наконец, если все цифры в числительном равны 0, число равно 0, и если все цифры в числительном представляют собой бесконечную строку из девяток, вы можете опустить девятки справа от десятичного разряда и добавить один к строке девяток слева от десятичного знака. Например, 99,999 ... = 100.Наконец, если все цифры в числительном равны 0, число равно 0, и если все цифры в числительном представляют собой бесконечную строку из девяток, вы можете опустить девятки справа от десятичного разряда и добавить один к строке девяток слева от десятичного знака. Например, 99,999 ... = 100.Наконец, если все цифры в числительном равны 0, число равно 0, и если все цифры в числительном представляют собой бесконечную строку из девяток, вы можете опустить девятки справа от десятичного разряда и добавить один к строке девяток слева от десятичного знака. Например, 99,999 ... = 100.

Действительные числа также обладают важным, но весьма техническим свойством, называемым свойством наименьшей верхней границы .

Можно показать, что любое упорядоченное поле , которое также является полным , изоморфно действительным числам. Однако действительные числа не являются алгебраически замкнутым полем , потому что они не включают решение (часто называемое квадратным корнем из минус единицы ) алгебраического уравнения .${\displaystyle x^{2}+1=0}$

Комплексные числа [ править ]

Переходя на более высокий уровень абстракции, действительные числа можно расширить до комплексных чисел . Этот набор чисел возник исторически из попыток найти замкнутые формулы для корней кубических и квадратичных многочленов. Это привело к выражениям, включающим квадратные корни из отрицательных чисел, и, в конечном итоге, к определению нового числа: квадратного корня из -1, обозначенного i , символа, присвоенного Леонардом Эйлером , и названного мнимой единицей . Комплексные числа состоят из всех чисел вида

${\displaystyle \,a+bi}$

где a и b - действительные числа. Из - за этого, комплексные числа соответствуют точкам на комплексной плоскости , в векторном пространстве двух реальных размеров . В выражении a + bi действительное число a называется действительной частью, а b - мнимой частью . Если действительная часть комплексного числа равна 0, то число называется мнимым числом или чисто мнимым ; если мнимая часть равна 0, то число является действительным числом. Таким образом, действительные числа являются подмножествомкомплексных чисел. Если действительная и мнимая части комплексного числа являются целыми числами, то это число называется гауссовым целым числом . Символ для комплексных чисел - C или .${\displaystyle \mathbb {C} }$

Основная теорема алгебры утверждает , что комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле , а это означает , что каждый многочлен с комплексными коэффициентами имеет корень в комплексных числах. Как и действительные числа, комплексные числа образуют поле , которое является полным , но, в отличие от действительных чисел, оно не упорядочено . То есть нет никакого последовательного смысла в утверждении, что I больше 1, и нет никакого смысла в утверждении, что I меньше 1. С технической точки зрения, комплексные числа не имеют общего порядка , совместимого с полевыми операциями .

Подклассы целых чисел [ править ]

Четные и нечетные числа [ править ]

Четное число - это целое число, которое «делится без остатка » на два, то есть делится на два без остатка ; нечетное число является целым числом , что даже не. (Старомодный термин «делимый без остатка» теперь почти всегда сокращается до « делимый ».) Любое нечетное число n может быть построено по формуле n = 2 k + 1 для подходящего целого числа k . Начиная с k = 0, первые неотрицательные нечетные числа равны {1, 3, 5, 7, ...}. Любое четное число m имеет вид m = 2 k, где k снова являетсяцелое число . Точно так же первые неотрицательные четные числа - это {0, 2, 4, 6, ...}.

Простые числа [ править ]

Простое число , часто сокращается до всего лишь штрих , представляет собой целое число больше 1 , что не является произведением двух меньше положительных целых чисел. Первые несколько простых чисел - это 2, 3, 5, 7 и 11. Нет такой простой формулы, как для нечетных и четных чисел, для генерации простых чисел. Простые числа широко изучались более 2000 лет и привели к множеству вопросов, только на некоторые из которых были даны ответы. Изучение этих вопросов относится к теории чисел . Гипотеза Гольдбаха является примером вопроса, на который до сих пор нет ответа: «Является ли каждое четное число суммой двух простых чисел?»

Был подтвержден один ответ на вопрос о том, является ли каждое целое число больше единицы произведением простых чисел только одним способом, кроме перестановки простых чисел; это доказанное утверждение называется основной теоремой арифметики . Доказательство появляется в «Элементах» Евклида .

Другие классы целых чисел [ править ]

Многие подмножества натуральных чисел были предметом конкретных исследований и получили названия, часто в честь первого математика, изучившего их. Примером таких наборов целых чисел являются числа Фибоначчи и совершенные числа . Дополнительные примеры см. В разделе Целочисленная последовательность .

Подклассы комплексных чисел [ править ]

Алгебраические, иррациональные и трансцендентные числа [ править ]

Алгебраические числа - это числа, которые являются решением полиномиального уравнения с целыми коэффициентами. Действительные числа, не являющиеся рациональными числами, называются иррациональными числами . Комплексные числа, не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными числами . Алгебраические числа, которые являются решениями монического полиномиального уравнения с целыми коэффициентами, называются целыми алгебраическими числами .

Конструируемые числа [ править ]

Мотивированные классическими задачами построения с линейкой и циркулем , конструктивные числа - это те комплексные числа, действительная и мнимая части которых могут быть построены с помощью линейки и циркуля, начиная с заданного сегмента единичной длины за конечное число шагов.

Вычислимые числа [ править ]

Вычислимы номер , также известный как рекурсивной числа , является действительное число такое , что существует алгоритм , который, учитывая положительное число п в качестве входных данных, производит первые п цифр десятичного представления Вычислимая числа. Эквивалентные определения могут быть даны с использованием μ-рекурсивных функций , машин Тьюринга или λ-исчисления . Вычислимые числа стабильны для всех обычных арифметических операций, включая вычисление корней многочлена , и, таким образом, образуют вещественное замкнутое поле , содержащее действительные алгебраические числа .

Вычислимые числа можно рассматривать как действительные числа, которые могут быть точно представлены в компьютере: вычислимое число точно представлено своими первыми цифрами и программой для вычисления дополнительных цифр. Однако на практике вычислимые числа используются редко. Одна из причин заключается в том, что не существует алгоритма проверки равенства двух вычислимых чисел. Точнее, не может существовать никакого алгоритма, который принимает на вход любое вычислимое число и в каждом случае решает, равно это число нулю или нет.

Набор вычислимых чисел имеет ту же мощность, что и натуральные числа. Следовательно, почти все действительные числа невычислимы. Однако очень сложно явно получить действительное число, которое невозможно вычислить.

Расширения концепции [ править ]

p -адические числа [ править ]

В р -адические числа могут иметь бесконечно длинные расширения слева от десятичной точки, таким же образом , что реальные цифры могут иметь бесконечно длинные разложения вправо. Полученная система счисления зависит от того, какое основание используется для цифр: возможно любое основание, но основание простых чисел обеспечивает наилучшие математические свойства. Набор p -адических чисел содержит рациональные числа, но не содержится в комплексных числах.

Элементы алгебраического функционального поля над конечным полем и алгебраических чисел обладают многими подобными свойствами (см. Аналогия функционального поля ). Поэтому теоретики чисел часто рассматривают их как числа. В этой аналогии важную роль играют p -адические числа.

Гиперкомплексные числа [ править ]

Некоторые системы счисления, которые не включены в комплексные числа, могут быть построены из действительных чисел таким образом, чтобы обобщить конструкцию комплексных чисел. Иногда их называют гиперкомплексными числами . К ним относятся кватернионы H , введенные сэром Уильямом Роуэном Гамильтоном , в которых умножение не коммутативно , октонионы , в которых умножение не является ассоциативным в дополнение к тому, что оно не коммутативно, и седенионы , в которых умножение не является альтернативным , ни ассоциативным, ни коммутативный.

Трансфинитные числа [ править ]

Для работы с бесконечными множествами натуральные числа были обобщены до порядковых и кардинальных чисел . Первый дает порядок набора, а второй - его размер. Для конечных множеств и порядковые, и кардинальные числа отождествляются с натуральными числами. В бесконечном случае многие порядковые числа соответствуют одному и тому же количественному числу.

Нестандартные числа [ править ]

Гиперреальные числа используются в нестандартном анализе . Гиперреальные числа или нестандартные числа (обычно обозначаемые * R ) обозначают упорядоченное поле, которое является правильным расширением упорядоченного поля действительных чисел R и удовлетворяет принципу переноса . Этот принцип позволяет Истинное первый порядок утверждение о R должны быть переосмыслено в качестве истинных утверждений первого порядка о * R .

Сверхреальные и сюрреалистические числа расширяют действительные числа, добавляя бесконечно малые числа и бесконечно большие числа, но все же образуют поля .

См. Также [ править ]

• Конкретный номер
• Список номеров
• Список номеров на разных языках
• Список типов номеров
• Математическая константа  - фиксированное число, получившее имя
• Сложные числа
• Численное познание
• Порядки величины
• Физическая константа  - Универсальная и неизменная физическая величина.
• Pi  - отношение длины окружности к ее диаметру.
• Позиционная нотация  - метод представления или кодирования чисел
• Простое число  - положительное целое число с двумя делителями, 1 и самим собой
• Скаляр (математика)  - элементы поля, например действительные числа, в контексте линейной алгебры.
• Субитизация и подсчет

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Тобиас Данциг , Число, язык науки; критический обзор, написанный для образованного нематематика , Нью-Йорк, The Macmillan Company, 1930. ^{[ ISBN отсутствует ]}
• Эрих Фридман, что особенного в этом номере?
• Стивен Галович, Введение в математические структуры , Harcourt Brace Javanovich, 1989, ISBN 0-15-543468-3 . 
• Пол Халмос , Наивная теория множеств , Springer, 1974, ISBN 0-387-90092-6 . 
• Моррис Клайн , Математическая мысль от древних до наших дней , Oxford University Press, 1990. ISBN 978-0195061352 
• Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел , Principia Mathematica to * 56, Cambridge University Press, 1910. ^{[ ISBN отсутствует ]}

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме чисел .

В Викицитатнике есть цитаты, связанные с: Число

Найдите номер в Викисловаре, бесплатном словаре.

В Викиверситете есть учебные ресурсы по начальной математике: числа

• Нечаев В.И. (2001) [1994], «Число» , Математическая энциклопедия , EMS Press
• Таллант, Джонатан. "Существуют ли числа?" . Numberphile . Брэди Харан . Архивировано из оригинала на 2016-03-08 . Проверено 6 апреля 2013 .
• BBC Radio 4, В наше время: отрицательные числа
• «4000 лет цифр» , лекция Робина Уилсона, 7/11/07, Gresham College (доступно для скачивания в формате MP3 или MP4, а также в виде текстового файла).
• "Какое самое любимое число в мире?" . 2011-06-22 . Проверено 17 сентября 2011 .; «Обниматься с 9, обниматься с 8, подмигивать 7» . 2011-08-11 . Проверено 17 сентября 2011 .
• Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей