Абсолютная величина

График функции абсолютного значения для действительных чисел

Абсолютное значение числа можно рассматривать как его расстояние от нуля.

В математике , то абсолютное значение или модуль из вещественного числа  х , обозначаемый | х | , является неотрицательным значением  x независимо от его знака . А именно, | х | = Х , если х является положительным , и | х | = - х , если х является отрицательным (в этом случае - х положительна), и | 0 | = 0. Например, абсолютное значение 3 равно 3, а абсолютное значение −3 также равно 3. Абсолютное значение числа можно рассматривать как его расстояние от нуля.

Обобщения абсолютного значения для действительных чисел происходят в самых разных математических условиях. Например, абсолютное значение также определено для комплексных чисел , кватернионов , упорядоченных колец , полей и векторных пространств . Абсолютное значение тесно связано с понятиями величины , расстояния и нормы в различных математических и физических контекстах.

Терминология и обозначения [ править ]

В 1806 году Жан-Робер Арган ввел термин модуль , означающий единицу измерения на французском языке, особенно для комплексного абсолютного значения, ^{[1] [2],} и он был заимствован в английском языке в 1866 году как латинский эквивалент модуля . ^[1] Термин « абсолютная величина » используется в этом смысле по крайней мере с 1806 г. на французском языке ^[3] и с 1857 г. на английском языке. ^[4] Обозначения | х | , с вертикальной полосой на каждой стороне, был введен Карлом Вейерштрассом в 1841 году. ^[5] Другие названия дляабсолютное значение включает числовое значение ^[1] и величину . ^[1] В языках программирования и пакетах вычислительного программного обеспечения абсолютное значение x обычно представляется с помощью или подобного выражения.abs(x)

Вертикальная полоса обозначение появляется также в ряде других математических контекстов: например, когда применяются к набору, оно обозначает его мощность ; применительно к матрице он обозначает ее определитель . Вертикальные полосы обозначают абсолютное значение только для алгебраических объектов, для которых определено понятие абсолютного значения, в частности, элемента нормированной алгебры с делением , например действительного числа, комплексного числа или кватерниона. Близким, но отличным обозначением является использование вертикальных полос для евклидовой нормы ^[6] или sup norm ^[7] вектора in , хотя двойные вертикальные полосы с нижними индексами ( и${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle ||\cdot ||_{2}}$${\displaystyle ||\cdot ||_{\infty }}$соответственно) являются более распространенными и менее неоднозначными обозначениями.

Определение и свойства [ править ]

Реальные числа [ править ]

Для любого вещественного числа  х , то абсолютное значение или модуль из  й обозначаются через | х | ( вертикальная черта с каждой стороны от количества) и определяется как ^[8]

${\displaystyle |x|=\left\{{\begin{array}{rl}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{\text{if }}x<0.\end{array}}\right.}$

Таким образом, абсолютное значение  x всегда либо положительно, либо равно нулю , но никогда не отрицательно : когда сам x отрицателен ( x <0 ), то его абсолютное значение обязательно положительно ( | x | = - x > 0 ).

С точки зрения аналитической геометрии , абсолютное значение действительного числа - это расстояние этого числа от нуля вдоль линии действительного числа , а в более общем смысле абсолютное значение разности двух действительных чисел - это расстояние между ними. Понятие абстрактной функции расстояния в математике можно рассматривать как обобщение абсолютного значения разницы (см. «Расстояние» ниже).

Поскольку символ квадратного корня представляет собой уникальный положительный квадратный корень (в применении к положительному числу), отсюда следует, что

${\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$

эквивалентно определению, приведенному выше, и может использоваться как альтернативное определение абсолютного значения действительных чисел. ^[9]

Абсолютное значение имеет следующие четыре основных свойства ( a , b - действительные числа), которые используются для обобщения этого понятия на другие области:

${\displaystyle |a|\geq 0}$	Неотрицательность
${\displaystyle |a|=0\iff a=0}$	Положительная определенность
${\displaystyle |ab|=|a|\,|b|}$	Мультипликативность
${\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}$	Субаддитивность , в частности неравенство треугольника

Неотрицательность, положительная определенность и мультипликативность легко очевидны из определения. Чтобы убедиться, что субаддитивность верна, сначала обратите внимание, что одна из двух альтернатив принятия s как –1 или +1 гарантирует, что Теперь, поскольку и , отсюда следует, что, какое бы значение s ни было , оно будет для всех действительным . Следовательно, как и хотелось. (Обобщение этого аргумента на комплексные числа см. Ниже в разделе «Доказательство неравенства треугольника для комплексных чисел» .)${\displaystyle s\cdot (a+b)=|a+b|\geq 0.}$${\displaystyle -1\cdot x\leq |x|}$${\displaystyle +1\cdot x\leq |x|}$${\displaystyle s\cdot x\leq |x|}$${\displaystyle x}$${\displaystyle |a+b|=s\cdot (a+b)=s\cdot a+s\cdot b\leq |a|+|b|}$

Ниже приведены некоторые дополнительные полезные свойства. Это либо непосредственные следствия определения, либо подразумеваются четырьмя фундаментальными свойствами, указанными выше.

${\displaystyle {\big |}\,|a|\,{\big |}=|a|}$	Идемпотентность (абсолютное значение абсолютного значения является абсолютным значением)
${\displaystyle |-a|=|a|}$	Ровность ( симметрия отражения графика)
${\displaystyle |a-b|=0\iff a=b}$	Идентичность неразличимого (эквивалент положительной определенности)
${\displaystyle |a-b|\leq |a-c|+|c-b|}$	Неравенство треугольника (эквивалент субаддитивности)
${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}\ }$(если )${\displaystyle b\neq 0}$	Сохранение деления (эквивалент мультипликативности)
${\displaystyle |a-b|\geq {\big |}\,|a|-|b|\,{\big |}}$	Неравенство обратного треугольника (эквивалент субаддитивности)

Два других полезных свойства, касающихся неравенств:

${\displaystyle |a|\leq b\iff -b\leq a\leq b}$

${\displaystyle |a|\geq b\iff a\leq -b\ }$ или же ${\displaystyle a\geq b}$

Эти отношения могут использоваться для решения неравенств, касающихся абсолютных значений. Например:

${\displaystyle |x-3|\leq 9}$	${\displaystyle \iff -9\leq x-3\leq 9}$
	${\displaystyle \iff -6\leq x\leq 12}$

Абсолютное значение, как «расстояние от нуля», используется для определения абсолютной разницы между произвольными действительными числами, стандартной метрики действительных чисел.

Комплексные числа [ править ]

Абсолютное значение комплексного числа  есть расстояние  от начала координат. На рисунке также видно, что и его комплексное сопряжение имеют одинаковое абсолютное значение.${\displaystyle z}$${\displaystyle r}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\bar {z}}}$

Поскольку комплексные числа не упорядочены , определение реального абсолютного значения, данное вверху, не может быть непосредственно применено к комплексным числам. Однако геометрическая интерпретация абсолютного значения действительного числа как расстояния от 0 может быть обобщена. Абсолютное значение комплексного числа определяется евклидовым расстоянием от соответствующей точки комплексной плоскости до начала координат . Это можно вычислить с помощью теоремы Пифагора : для любого комплексного числа

${\displaystyle z=x+iy,}$

где х и у являются действительными числами, то абсолютное значение или модуль из  г обозначается | z | и определяется ^[10]

${\displaystyle |z|={\sqrt {[\mathrm {Re} (z)]^{2}+[\mathrm {Im} (z)]^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}$

где Re ( z ) = x и Im ( z ) = y обозначают действительную и мнимую части z соответственно. Когда мнимая часть y равна нулю, это совпадает с определением абсолютного значения действительного числа  x .

Когда комплексное число  z выражается в полярной форме как

${\displaystyle z=re^{i\theta },}$

при (а θ ∈ arg ( z ) - аргумент (или фаза) z ), его абсолютное значение равно${\displaystyle r={\sqrt {[\mathrm {Re} (z)]^{2}+[\mathrm {Im} (z)]^{2}}}\geq 0}$

${\displaystyle |z|=r}$.

Поскольку произведение любого комплексного числа  z и его комплексного сопряженного числа  с одинаковым абсолютным значением всегда является неотрицательным действительным числом , абсолютное значение комплексного числа может быть удобно выражено через квадратный корень из абсолютного квадрата :${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy,}$${\displaystyle (x^{2}+y^{2})}$ ${\displaystyle z\cdot {\overline {z}}}$

${\displaystyle |z|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}},}$

напоминая альтернативное определение для вещественных чисел: ${\displaystyle |x|={\sqrt {x\cdot x}}.}$

Комплексное абсолютное значение разделяет четыре основных свойства, приведенных выше для реального абсолютного значения.

На языке теории групп свойство мультипликативности можно перефразировать следующим образом: абсолютное значение - это гомоморфизм группы из мультипликативной группы комплексных чисел на группу при умножении положительных действительных чисел . ^[11]

Важно отметить, что свойство субаддитивности (« неравенство треугольника ») распространяется на любой конечный набор из n  комплексных чисел как${\textstyle (z_{k})_{k=1}^{n}}$

${\displaystyle {\Bigg |}\sum _{k=1}^{n}z_{k}{\Bigg |}\leq \sum _{k=1}^{n}|z_{k}|.\quad \quad (*)}$

Это неравенство также относится к бесконечным семьям , при условии , что бесконечный ряд является абсолютно сходящимся . Если интегрирование Лебега рассматривается как непрерывный аналог суммирования, то этому неравенству аналогичным образом подчиняются комплексные измеримые функции при интегрировании по измеримому подмножеству :${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }z_{k}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle {\Bigg |}\int _{E}f\ dx{\Bigg |}\leq \int _{E}|f|\ dx.\quad \quad (**)}$

(Это включает в себя интегрируемые по Риману функции на ограниченном интервале как частный случай.)${\displaystyle [a,b]}$

Доказательство комплексного неравенства треугольника [ править ]

Неравенство треугольника, как дано , может быть продемонстрировано путем применения трех легко проверяемых свойств комплексных чисел: А именно, для любого комплексного числа ,${\displaystyle (*)}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$

(i): существует такое, что и ;${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$${\displaystyle |c|=1}$${\displaystyle |z|=c\cdot z}$

(II): .${\displaystyle \mathrm {Re} (z)\leq |z|}$

Кроме того , для семейства комплексных чисел , . Особенно,${\displaystyle (w_{k})_{k=1}^{n}}$${\textstyle \sum _{k}w_{k}=\sum _{k}\mathrm {Re} (w_{k})+i\sum _{k}\mathrm {Im} (w_{k})}$

(iii): если , то .${\textstyle \sum _{k}w_{k}\in \mathbb {R} }$${\textstyle \sum _{k}w_{k}=\sum _{k}\mathrm {Re} (w_{k})}$

Доказательство : Выбирайтетакойи(суммированный). Следующее вычисление дает желаемое неравенство: ${\displaystyle (*)}$${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$${\displaystyle |c|=1}$${\textstyle {\big |}\sum _{k}z_{k}{\big |}=c{\big (}\sum _{k}z_{k}{\big )}}$${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$

${\displaystyle {\Big |}\sum _{k}z_{k}{\Big |}\;{\overset {(i)}{=}}\;c{\Big (}\sum _{k}z_{k}{\Big )}=\sum _{k}cz_{k}\;{\overset {(iii)}{=}}\;\sum _{k}\mathrm {Re} (cz_{k})\;{\overset {(ii)}{\leq }}\;\sum _{k}|cz_{k}|=\sum _{k}|c||z_{k}|=\sum _{k}|z_{k}|}$.

Из этого доказательства ясно, что равенство имеет место в точности, если все неотрицательные действительные числа, что, в свою очередь, имеет место точно, если все ненулевые имеют одинаковый аргумент , то есть для комплексной константы и действительных констант для .${\displaystyle (*)}$${\displaystyle cz_{k}}$${\displaystyle z_{k}}$${\displaystyle z_{k}=a_{k}\zeta }$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle a_{k}\geq 0}$${\displaystyle 1\leq k\leq n}$

Поскольку измеримость подразумевает, что это тоже измеримо, доказательство неравенства проводится с помощью той же техники, с заменой на и на . ^[12]${\displaystyle f}$${\displaystyle |f|}$${\displaystyle (**)}$${\textstyle \sum _{k}(\cdot )}$${\textstyle \int _{E}(\cdot )\,dx}$${\displaystyle z_{k}}$${\displaystyle f(x)}$

Функция абсолютного значения [ править ]

Реальная функция абсолютного значения везде непрерывна . Он дифференцируем всюду, кроме x = 0 . Он монотонно убывает на интервале (−∞, 0] и монотонно возрастает на интервале [0, + ∞) . Поскольку действительное число и его противоположность имеют одинаковое абсолютное значение, это четная функция и, следовательно, не обратима . Реальная функция абсолютного значения является кусочно - линейной , выпуклой функцией .

И действительные, и комплексные функции идемпотентны .

Связь с функцией знака [ править ]

Функция абсолютного значения действительного числа возвращает его значение независимо от его знака, тогда как функция знака (или знака) возвращает знак числа независимо от его значения. Следующие уравнения показывают взаимосвязь между этими двумя функциями:

${\displaystyle |x|=x\operatorname {sgn}(x),}$

или же

${\displaystyle |x|\operatorname {sgn}(x)=x,}$

и х ≠ 0 ,

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\frac {|x|}{x}}={\frac {x}{|x|}}.}$

Производная [ править ]

Реальная функция абсолютного значения имеет производную для каждого x ≠ 0 , но не дифференцируема при x = 0 . Его производная при x ≠ 0 задается ступенчатой ​​функцией : ^{[13] [14]}

${\displaystyle {\frac {d|x|}{dx}}={\frac {x}{|x|}}={\begin{cases}-1&x<0\\1&x>0.\end{cases}}}$

Реальная функция абсолютного значения является примером непрерывной функции, которая достигает глобального минимума там, где производная не существует.

Субдифференциал из  | х | при  x = 0 - интервал  [−1,1] . ^[15]

Комплекс абсолютное значение функции не непрерывна всюду , но комплекс дифференцируема нигде , потому что нарушает уравнения Коши-Римана . ^[13]

Вторая производная от  | х | относительно  x равен нулю везде, кроме нуля, где его нет. В качестве обобщенной функции вторую производную можно принять равной удвоенной дельта-функции Дирака .

Первообразное [ править ]

Первообразной (неопределенного интеграла) вещественной функции абсолютного значения

${\displaystyle \int |x|dx={\frac {x|x|}{2}}+C,}$

где C - произвольная постоянная интегрирования . Это не сложная первообразная, потому что комплексные первообразные могут существовать только для комплексно-дифференцируемых ( голоморфных ) функций, а комплексная функция абсолютного значения не является.

Расстояние [ править ]

Абсолютная величина тесно связана с идеей расстояния. Как отмечалось выше, абсолютное значение действительного или комплексного числа - это расстояние от этого числа до начала координат, вдоль линии действительного числа, для действительных чисел или в комплексной плоскости, для комплексных чисел, и, в более общем смысле, абсолютное значение разницы двух действительных или комплексных чисел - это расстояние между ними.

Стандартное евклидово расстояние между двумя точками

${\displaystyle a=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$

и

${\displaystyle b=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})}$

в евклидовом n -пространстве определяется как:

${\displaystyle {\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.}$

Это можно рассматривать как обобщение, поскольку для и реального, то есть в 1-пространстве, согласно альтернативному определению абсолютного значения,${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle b_{1}}$

${\displaystyle |a_{1}-b_{1}|={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}}}={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{1}(a_{i}-b_{i})^{2}}},}$

а для и комплексных чисел, т.е. в двумерном пространстве,${\displaystyle a=a_{1}+ia_{2}}$${\displaystyle b=b_{1}+ib_{2}}$

${\displaystyle |a-b|}$	${\displaystyle =|(a_{1}+ia_{2})-(b_{1}+ib_{2})|}$
	${\displaystyle =|(a_{1}-b_{1})+i(a_{2}-b_{2})|}$
	${\displaystyle ={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}}}={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{2}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.}$

Выше показано, что расстояние «абсолютное значение» для действительных и комплексных чисел согласуется со стандартным евклидовым расстоянием, которое они наследуют в результате рассмотрения их как одномерного и двумерного евклидова пространства соответственно.

Свойства абсолютного значения разности двух действительных или комплексных чисел: неотрицательность, тождество неразличимых, симметрия и неравенство треугольника, данные выше, можно рассматривать как мотивирующие более общее понятие функции расстояния следующим образом:

Вещественнозначная функция d на множестве X  ×  X называется метрикой (или функцией расстояния ) на  X , если она удовлетворяет следующим четырем аксиомам: ^[16]

${\displaystyle d(a,b)\geq 0}$	Неотрицательность
${\displaystyle d(a,b)=0\iff a=b}$	Идентичность неразличимых
${\displaystyle d(a,b)=d(b,a)}$	Симметрия
${\displaystyle d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,b)}$	Неравенство треугольника

Обобщения [ править ]

Заказанные кольца [ править ]

Определение абсолютного значения, данное для действительных чисел выше, может быть распространено на любое упорядоченное кольцо . То есть, если  является элементом упорядоченного кольца  R , то абсолютного значения из  , обозначаемого | а | , определяется как: ^[17]

${\displaystyle |a|=\left\{{\begin{array}{rl}a,&{\text{if }}a\geq 0\\-a,&{\text{if }}a<0.\end{array}}\right.}$

где - a - аддитивное обратное к  a , 0 - аддитивное тождество , а <и ≥ имеют обычный смысл по отношению к порядку в кольце.

Поля [ править ]

Четыре основных свойства абсолютного значения для действительных чисел могут использоваться для обобщения понятия абсолютного значения на произвольное поле следующим образом.

Действительная функция  v в поле  F называется абсолютным значением (также модулем , величиной , значением или оценкой ) ^[18], если она удовлетворяет следующим четырем аксиомам:

${\displaystyle v(a)\geq 0}$	Неотрицательность
${\displaystyle v(a)=0\iff a=\mathbf {0} }$	Положительная определенность
${\displaystyle v(ab)=v(a)v(b)}$	Мультипликативность
${\displaystyle v(a+b)\leq v(a)+v(b)}$	Субаддитивность или неравенство треугольника

Там , где 0 обозначает аддитивную идентичность из  F . Это следует из положительной определенности и мультипликативности , что v ( 1 ) = 1 , где 1 обозначает мультипликативную идентичность из  F . Определенные выше действительные и комплексные абсолютные значения являются примерами абсолютных значений для произвольного поля.

Если v - абсолютное значение на  F , то функция  d на F  ×  F , определенная как d ( a ,  b ) = v ( a - b ) , является метрикой, и следующие условия эквивалентны:

• г удовлетворяет ультраметрическое неравенство для всех х , у , г в  F .${\displaystyle d(x,y)\leq \max(d(x,z),d(y,z))}$
• ${\displaystyle {\big \{}v{\Big (}{\textstyle \sum _{k=1}^{n}}\mathbf {1} {\Big )}:n\in \mathbb {N} {\big \}}}$будет ограничена в  R .
• ${\displaystyle v{\Big (}{\textstyle \sum _{k=1}^{n}}\mathbf {1} {\Big )}\leq 1\ }$ для каждого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$
• ${\displaystyle v(a)\leq 1\Rightarrow v(1+a)\leq 1\ }$ для всех ${\displaystyle a\in F.}$
• ${\displaystyle v(a+b)\leq \mathrm {max} \{v(a),v(b)\}\ }$ для всех ${\displaystyle a,b\in F.}$

Абсолютное значение, которое удовлетворяет любому (а значит, всем) из вышеперечисленных условий, называется неархимедовым , в противном случае оно называется архимедовым . ^[19]

Векторные пространства [ править ]

Опять же, фундаментальные свойства абсолютного значения для действительных чисел могут быть использованы, с небольшими изменениями, для обобщения этого понятия на произвольное векторное пространство.

Действительнозначная функция в векторном пространстве  V над полем  F , представленная как || · || , называется абсолютной величиной , но чаще нормой , если она удовлетворяет следующим аксиомам:

Для всех  а в  F и V , U в  V ,

${\displaystyle \|\mathbf {v} \|\geq 0}$	Неотрицательность
${\displaystyle \|\mathbf {v} \|=0\iff \mathbf {v} =0}$	Положительная определенность
${\displaystyle \|a\mathbf {v} \|=|a|\|\mathbf {v} \|}$	Положительная однородность или положительная масштабируемость
${\displaystyle \|\mathbf {v} +\mathbf {u} \|\leq \|\mathbf {v} \|+\|\mathbf {u} \|}$	Субаддитивность или неравенство треугольника

Норма вектора также называется его длиной или величиной .

В случае евклидова пространства функция, определяемая формулой${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \|(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\|={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}}$

- норма, называемая евклидовой нормой . Когда действительные числа рассматриваются как одномерное векторное пространство , абсолютное значение является нормой и является p- нормой (см. Пространство L p ) для любого  p . Фактически абсолютное значение является «единственной» нормой в том смысле, что для каждой нормы || · || на , || х || = || 1 || ⋅ | х | . Комплексное абсолютное значение - это частный случай нормы во внутреннем пространстве продукта . Она идентична евклидовой норме, если комплексная плоскость${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$отождествляется с евклидовой плоскостью  .${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Композиционные алгебры [ править ]

Каждая композиционная алгебра A имеет инволюцию x → x *, называемую ее сопряжением . Произведение в A элемента x и его сопряженного x * записывается N ( x ) = xx * и называется нормой x .

Действительные числа , комплексные числа и кватернионы - все это композиционные алгебры с нормами, заданными определенными квадратичными формами . Абсолютное значение в этих алгебрах с делением дается квадратным корнем из нормы композиционной алгебры.${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

В общем случае норма композиционной алгебры может быть квадратичной формой, которая не является определенной и имеет нулевые векторы . Однако, как и в случае алгебр с делением, когда элемент x имеет ненулевую норму, тогда x имеет мультипликативный обратный, задаваемый x * / N ( x ).

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бартл; Шерберт; Введение в реальный анализ (4-е изд.), John Wiley & Sons, 2011 ISBN 978-0-471-43331-6 . 
• Nahin, Paul J .; Воображаемая сказка ; Издательство Принстонского университета; (твердый переплет, 1998 г.). ISBN 0-691-02795-1 . 
• Мак-Лейн, Сондерс, Гарретт Биркгоф, алгебра , американское математическое общество, 1999. ISBN 978-0-8218-1646-2 . 
• Мендельсон, Эллиотт, Схема начального исчисления Шаума , McGraw-Hill Professional, 2008. ISBN 978-0-07-148754-2 . 
• О'Коннор, Джей Джей и Робертсон, EF; «Жан Роберт Арган» .
• Шехтер, Эрик; Справочник по анализу и его основам , стр. 259–263, «Абсолютные значения» , Academic Press (1997) ISBN 0-12-622760-8 . 

Внешние ссылки [ править ]

• «Абсолютное значение» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• абсолютное значение в PlanetMath .
• Вайсштейн, Эрик В. «Абсолютная ценность» . MathWorld .