Норма (математика)

В математике , норма является функцией от действительного или комплексного векторного пространства на неотрицательных действительных чисел, ведет себя определенным образом , как расстояние от происхождения : оно коммутирует с масштабированием, подчиняется форму неравенства треугольника и равен нулю только при Происхождение. В частности, евклидово расстояние вектора от начала координат является нормой, называемой евклидовой нормой , или 2-нормой , которую также можно определить как квадратный корень из внутреннего произведения вектора на себя.

Псевдонорм или полунорм удовлетворяет первое два свойства нормы, но может быть равно нулю для других векторов , чем происхождение. ^[1] Векторное пространство с указанной нормой называется нормированным векторным пространством . Аналогичным образом векторное пространство с полунормой называется полунормированным векторным пространством .

Определение [ править ]

Учитывая векторное пространство V над подполом F комплексных чисел , А норма на V является неотрицательным многозначной вещественной функцией со следующими свойствами, где | а | обозначает обычное абсолютное значение из : ^[2]${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle p \ двоеточие V \ to \ mathbb {R}}$

Для всех а в F и всем U , V в V ,

1. p ( u + v ) ≤ p ( u ) + p ( v ) ( субаддитивный или удовлетворяющий неравенству треугольника ).
2. p ( a v ) = | а | p ( v ) (будучи абсолютно однородным или абсолютно масштабируемым ).
3. Если p ( v ) = 0, то v = 0 - нулевой вектор ( положительно определенный или разделяющий точки ).

Полунормой на V является функцией со свойствами 1 и 2 выше. ^[3]${\ displaystyle p \ двоеточие V \ to \ mathbb {R}}$

Эквивалентные нормы [ править ]

Предположим , что р и д являются две нормы (или полунормы) на векторном пространстве V . Тогда р и д называются эквивалентны , если существуют два действительных константы С и С с С > 0 такое , что для любого вектора V ∈ V ,

${\ displaystyle cq (\ mathbf {v}) \ leq p (\ mathbf {v}) \ leq Cq (\ mathbf {v}).}$

Нормы р и д эквивалентны тогда и только тогда , когда они индуцируют ту же топологию на V . ^[4] Любые две нормы в конечномерном пространстве эквивалентны, но это не распространяется на бесконечномерные пространства. ^[4]

Обозначение [ править ]

Если норма задана в векторном пространстве X , то норма вектора v ∈ X обычно обозначается заключением его в двойные вертикальные линии: такое обозначение также иногда используется, если p - всего лишь полунорма. Для длины вектора в евклидовом пространстве (который является примером нормы, как объяснено ниже ) обозначение | v | с одиночными вертикальными линиями также широко распространено.${\ displaystyle p: X \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ | v \ | = p (v).}$

В LaTeX и родственных языках разметки двойная полоса обозначения нормы вводится с макросом \|, который отображается как Двойная вертикальная линия, используемая для обозначения параллельных линий , параллельный оператор и параллельное сложение вводятся и отображаются как Несмотря на то, что выглядят одинаково, эти два Макросы не следует путать, так как они обозначают скобку и оператор. Следовательно, их размер и пространство вокруг них не вычисляются одинаково. Точно так же одиночная вертикальная полоса кодируется как при использовании в качестве скобки, так и как при использовании в качестве оператора.${\ Displaystyle \ |.}$\parallel${\ displaystyle \ parallel.}$\|\parallel|\mid

В Unicode кодовая точка символа «двойной вертикальной линии» ‖ - U + 2016. Символ «двойной вертикальной линии» не следует путать с символом «параллельно», Unicode U + 2225 (∥), который предназначен для обозначения параллельных линий и параллельных операторов. Двойную вертикальную линию также не следует путать с Unicode U + 01C1 (ǁ), предназначенным для обозначения боковых щелчков в лингвистике.

Единая вертикальная линия | называется «вертикальной линией» в Юникоде, а его кодовая точка - U + 007C.

Примеры [ править ]

Каждое (действительное или комплексное) векторное пространство допускает норму: если x _• = ( x _i ) _{i ∈ I} является базисом Гамеля для векторного пространства X, то действительное отображение, которое переводит x = ∑ _{i ∈ I} s _i x _i ∈ X (где все скаляры s _i , кроме конечного числа, равны 0) в ∑ _{i ∈ I} | s _i | является нормой на X . ^[5] Также существует большое количество норм, которые обладают дополнительными свойствами, которые делают их полезными для решения конкретных задач.

Абсолютная норма [ править ]

Абсолютное значение

${\ Displaystyle \ влево \ | х \ вправо \ | = \ влево | х \ вправо |}$

- норма на одномерных векторных пространствах, образованных действительными или комплексными числами . ^[6]

Любая норма p в одномерном векторном пространстве X эквивалентна (с точностью до масштабирования) абсолютной норме значения, что означает, что существует сохраняющий норму изоморфизм векторных пространств, где либо или , и сохранение нормы означает, что . Этот изоморфизм задается отправкой в вектор с нормой 1 , который существует, поскольку такой вектор получается путем умножения любого ненулевого вектора на обратный к его норме.${\displaystyle f:\mathbb {F} \rightarrow X,}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \left|x\right|=p(f(x))}$${\displaystyle 1\in \mathbb {F} }$

Евклидова норма [ править ]

В n- мерном евклидовом пространстве интуитивное понятие длины вектора x = ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) выражается формулой${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

${\displaystyle \left\|{\boldsymbol {x}}\right\|_{2}:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$^[7]

Это евклидова норма, которая дает обычное расстояние от начала координат до точки X - следствие теоремы Пифагора . Эта операция может также называться «SRSS», что является аббревиатурой от слова « s quare r oot of the s um of s quares». ^[8]

Евклидова норма на сегодняшний день является наиболее часто используемым норма , ^[7] , но существуют и другие нормы на этом векторном пространстве , как будет показано ниже. Однако все эти нормы эквивалентны в том смысле, что все они определяют одну и ту же топологию.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Скалярное произведение двух векторов евклидова векторного пространства является скалярным произведением их координатных векторов над ортонормированным . Следовательно, евклидова норма может быть записана безкоординатным образом как

${\displaystyle \left\|{\boldsymbol {x}}\right\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}$

Евклидова норма также называют L ² нормой , ^[9] ℓ ² нормой , 2-норма или квадратной нормой ; см. пространство L p . Она определяет функцию расстояния называется евклидова длина , L ² расстояние , или л ² расстояния .

Множество векторов , евклидова норма которых является заданной положительной константой, образует n- сферу .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$

Евклидова норма комплексных чисел [ править ]

Евклидова норма комплексного числа - это его абсолютное значение (также называемое модулем ), если комплексная плоскость отождествляется с евклидовой плоскостью. Такое отождествление комплексного числа x + i y как вектора на евклидовой плоскости делает величина (как впервые было предложено Эйлером) евклидова норма, связанная с комплексным числом.${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$ ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

Кватернионы и октонионы [ править ]

Есть ровно четыре евклидовых алгебры Гурвица над действительными числами . Это действительные числа , комплексные числа , кватернионы и, наконец, октонионы , где размеры этих пространств над действительными числами равны 1 , 2 , 4 и 8 соответственно. Канонические нормы и являются их функциями абсолютного значения , как обсуждалось ранее.${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {O} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Каноническая норма из кватернионов определяется${\displaystyle \mathbb {H} }$

${\displaystyle \lVert q\rVert ={\sqrt {\,qq^{*}~}}={\sqrt {\,q^{*}q~}}={\sqrt {\,a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}~}}}$

для каждого кватерниона в This совпадает с евклидовой нормой на рассматриваемом как векторное пространство. Точно так же каноническая норма на октонионах является точной евклидовой нормой на${\displaystyle q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} }$${\displaystyle \mathbb {H} .}$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}.}$

Конечномерные комплексные нормированные пространства

На n- мерном комплексном пространстве наиболее распространенной нормой является${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$

${\displaystyle \left\|{\boldsymbol {z}}\right\|:={\sqrt {\left|z_{1}\right|^{2}+\cdots +\left|z_{n}\right|^{2}}}={\sqrt {z_{1}{\bar {z}}_{1}+\cdots +z_{n}{\bar {z}}_{n}}}.}$

В этом случае норма может быть выражена как квадратный корень из внутреннего произведения вектора и самого себя:

${\displaystyle \left\|{\boldsymbol {x}}\right\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}^{H}~{\boldsymbol {x}}}},}$

где представлен как вектор-столбец ([ x ₁ ; x ₂ ; ...; x _n ]) и обозначает его сопряженное транспонирование .${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{H}}$

Эта формула действительна для любого внутреннего пространства продукта , включая евклидовы и сложные пространства. Для сложных пространств внутренний продукт эквивалентен сложному скалярному произведению . Следовательно, формулу в этом случае также можно записать в следующих обозначениях:

${\displaystyle \left\|{\boldsymbol {x}}\right\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}$

Нормы такси или нормы Манхэттена [ править ]

${\displaystyle \left\|{\boldsymbol {x}}\right\|_{1}:=\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|.}$

Название относится к расстоянию, которое такси должно проехать по прямоугольной сетке улиц, чтобы добраться от начала координат до точки x .

Множество векторов, 1-норма которых является заданной константой, образует поверхность кросс-многогранника размерности, эквивалентной размерности нормы минус 1. Норма такси также называется нормой ₁ . Расстояние, полученное из этой нормы, называется манхэттенским расстоянием или ₁ расстоянием .${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell }$

1-норма - это просто сумма абсолютных значений столбцов.

В отличие,

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}}$

не является нормой, поскольку может дать отрицательный результат.

p -norm [ править ]

Пусть p ≥ 1 действительное число. Р -норм (также называемый -норме) вектор является${\displaystyle \ell _{p}}$${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle \left\|\mathbf {x} \right\|_{p}:={\bigg (}\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|^{p}{\bigg )}^{1/p}.}$^[7]

Для р = 1 , мы получим норму таксомотора , ^[6] для р = 2 , мы получаем евклидову норму , а также р стремится к ∞ р -норма приближается к бесконечности нормы или максимальную норму :

${\displaystyle \left\|\mathbf {x} \right\|_{\infty }:=\max _{i}\left|x_{i}\right|.}$

Р -норма относится к обобщенной средней или средней мощности.

Это определение все еще представляет интерес для 0 < p <1 , но полученная функция не определяет норму ^[10], потому что она нарушает неравенство треугольника . Что верно для этого случая 0 < p <1 , даже в измеримом аналоге, так это то, что соответствующий класс L ^p является векторным пространством, и также верно, что функция

${\displaystyle \int _{X}\left|f(x)-g(x)\right|^{p}~\mathrm {d} \mu }$

(без корня p- й степени) определяет расстояние, которое превращает L ^p ( X ) в полное метрическое топологическое векторное пространство . Эти пространства представляют большой интерес для функционального анализа , теории вероятностей и гармонического анализа . Однако, за исключением тривиальных случаев, это топологическое векторное пространство не является локально выпуклым и не имеет непрерывных ненулевых линейных форм. Таким образом, топологическое двойственное пространство содержит только нулевой функционал.

Частная производная p -нормы дается формулой

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left\|\mathbf {x} \right\|_{p}={\frac {x_{k}\left|x_{k}\right|^{p-2}}{\left\|\mathbf {x} \right\|_{p}^{p-1}}}.}$

Следовательно, производная по x равна

${\displaystyle {\frac {\partial \|\mathbf {x} \|_{p}}{\partial \mathbf {x} }}={\frac {\mathbf {x} \circ |\mathbf {x} |^{p-2}}{\|\mathbf {x} \|_{p}^{p-1}}}.}$

где ∘ обозначает произведение Адамара и используется для абсолютного значения каждого компонента вектора.${\displaystyle |\cdot |}$

Для частного случая p = 2 это становится

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left\|\mathbf {x} \right\|_{2}={\frac {x_{k}}{\left\|\mathbf {x} \right\|_{2}}},}$

или же

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}\left\|\mathbf {x} \right\|_{2}={\frac {\mathbf {x} }{\left\|\mathbf {x} \right\|_{2}}}.}$

Максимальная норма (частный случай: бесконечная норма, равномерная норма или супремум) [ править ]

${\displaystyle \left\|x\right\|_{\infty }=1}$

Если вектор такой, что , то:${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle \left\|\mathbf {x} \right\|_{\infty }:=\max \left(\left|x_{1}\right|,\ldots ,\left|x_{n}\right|\right).}$

Набор векторов, бесконечная норма которых является заданной константой c , образует поверхность гиперкуба с длиной ребра 2 c .

Нулевая норма [ править ]

В вероятностном и функциональном анализе нулевая норма индуцирует полную метрическую топологию для пространства измеримых функций и для F-пространства последовательностей с F-нормой . ^[11] Здесь мы подразумеваем под F-нормой некоторую вещественнозначную функцию в F-пространстве с расстоянием d , такую ​​что . F -норма , описанный выше, не является нормой в обычном смысле этого слова , потому что ему не хватает требуемого свойством однородности.${\displaystyle (x_{n})\mapsto \sum _{n}{2^{-n}x_{n}/(1+x_{n})}}$${\displaystyle \lVert \ \cdot \ \rVert }$${\displaystyle \lVert x\rVert =d(x,0)}$

Расстояние Хэмминга вектора от нуля [ править ]

В метрической геометрии , то дискретная метрика принимает значение один для различных точек и ноль в противном случае. При координатном применении к элементам векторного пространства дискретное расстояние определяет расстояние Хэмминга , которое важно в теории кодирования и информации.. В области действительных или комплексных чисел расстояние дискретной метрики от нуля неоднородно в ненулевой точке; действительно, расстояние от нуля остается единичным, поскольку ненулевой аргумент приближается к нулю. Однако дискретное расстояние числа от нуля действительно удовлетворяет другим свойствам нормы, а именно неравенству треугольника и положительной определенности. При покомпонентном применении к векторам дискретное расстояние от нуля ведет себя как неоднородная «норма», которая подсчитывает количество ненулевых компонентов в своем векторном аргументе; опять же, эта неоднородная «норма» является разрывной.

В обработке сигналов и статистики , Дэвид Donoho сослался на ноль « норма » с кавычками. Согласно обозначениям Донохо, нулевая «норма» x - это просто количество ненулевых координат x или расстояние Хэмминга вектора от нуля. Когда эта «норма» локализована в ограниченном множестве, это предел p -норм, когда p стремится к 0. Конечно, нулевая «норма» не является истинной нормой, потому что она не является положительно однородной.. В самом деле, это даже не F-норма в описанном выше смысле, поскольку она разрывна, совместно и по отдельности, по отношению к скалярному аргументу при умножении скаляр-вектор и по отношению к его векторному аргументу. Злоупотребляя терминологией , некоторые инженеры ^{[ кто? ]} Кавычки опускают Donoho в и ненадо называют число-ненулевые функционируют L ⁰ нормы, вторя обозначение для пространства Лебега от измеримых функций .

Бесконечные измерения [ править ]

Обобщение вышеуказанных норм на бесконечное число компонентов приводит к пространствам ℓ  p и L  p с нормами

${\displaystyle \left\|x\right\|_{p}={\bigg (}\sum _{i\in \mathbb {N} }\left|x_{i}\right|^{p}{\bigg )}^{1/p}{\text{ and }}\ \left\|f\right\|_{p,X}={\bigg (}\int _{X}\left|f(x)\right|^{p}~\mathrm {d} x{\bigg )}^{1/p}}$

для комплекснозначных последовательностей и функций на соответственно, которые могут быть дополнительно обобщены (см. меру Хаара ).${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

Любой внутренний продукт естественным образом индуцирует норму${\displaystyle \left\|x\right\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$

Другие примеры бесконечномерных нормированных векторных пространств можно найти в статье о банаховых пространствах .

Составные нормы [ править ]

Другие нормы могут быть построены путем объединения вышеперечисленного; Например${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \left\|x\right\|:=2\left|x_{1}\right|+{\sqrt {3\left|x_{2}\right|^{2}+\max(\left|x_{3}\right|,2\left|x_{4}\right|)^{2}}}}$

это норма на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

Для любой нормы и любого инъективного линейного преобразования A мы можем определить новую норму x , равную

${\displaystyle \left\|Ax\right\|.}$

В 2D, с поворотом A на 45 ° и подходящим масштабированием, это изменяет норму такси на максимальную норму. Каждый A, примененный к норме такси, вплоть до инверсии и перестановки осей, дает другой единичный шар: параллелограмм определенной формы, размера и ориентации.

В 3D это похоже, но отличается для 1-нормы ( октаэдры ) и максимальной нормы ( призмы с основанием параллелограмма).

Есть примеры норм, которые не определяются «пошаговыми» формулами. Например, функционал Минковского центрально-симметричного выпуклого тела в (с центром в нуле) определяет норму на (см. § Классификация полунорм: абсолютно выпуклые поглощающие множества ниже).${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Все приведенные выше формулы также дают нормы без изменений.${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Существуют также нормы на пространствах матриц (с действительными или комплексными элементами), так называемые матричные нормы .

В абстрактной алгебре [ править ]

Пусть Е является конечным расширением из поля к в неразрывной степени р ^ц , и пусть к есть алгебраическое замыкание K . Если отдельные вложения из Й являются {σ _J } _J , то Галуа теоретико-норма элемента α∈ Е представляет собой значение . Поскольку эта функция однородна степени [ E : k ] , норма теории Галуа не является нормой в смысле этой статьи. Однако [ E :${\displaystyle \left(\prod _{j}{\sigma _{k}(\alpha )}\right)^{p^{\mu }}}$k ] ^-й корень нормы (при условии, что эта концепция имеет смысл) является нормой. ^[12]

Композиционные алгебры [ править ]

Понятие нормы в композиционных алгебрах вовсе не разделяет обычные свойства норм , как это может быть отрицательной или равно нулю для г ≠ 0. Композиция алгебры ( , *, Н ) состоит из алгебры над полем А , в инволюции * , и квадратичная форма, называемая «нормой».${\displaystyle N(z)}$ ${\displaystyle N(z)=zz^{*},}$

Характерная особенность композиционных алгебр является гомоморфизм свойства N : для продукта WZ двух элементов ш и г из состава алгебры, его норма удовлетворяет Для , , и вывода нормы композиции алгебры есть квадрат нормы обсуждалась выше. В этих случаях норма - это определенная квадратичная форма . В других композиционных алгебрах норма - изотропная квадратичная форма .${\displaystyle N(wz)=N(w)N(z).}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$

Свойства [ править ]

Для любой нормы р на векторном пространстве V , то обратное неравенство треугольника имеет место для всех ¯u и об ∈ V ,

p ( u ± v ) ≥ | p ( u ) - p ( v ) |

Если у  : X → Y является непрерывным линейным отображение между нормированным пространством, то норма ц и норма транспонированным из U равна. ^[13]

Для норм L p справедливо неравенство Гёльдера ^[14]

${\displaystyle \left|\langle x,y\rangle \right|\leq \left\|x\right\|_{p}\left\|y\right\|_{q}\qquad {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.}$

Частным случаем этого является неравенство Коши – Шварца : ^[14]

${\displaystyle \left|\langle x,y\rangle \right|\leq \left\|x\right\|_{2}\left\|y\right\|_{2}.}$

Эквивалентность [ править ]

Понятие единичной окружности (совокупность всех векторов нормы 1) различается в разных нормах: для 1-нормы единичная окружность - это квадрат , для 2-нормы (евклидова норма) - это хорошо известная единичный круг , в то время как для нормы бесконечности это другой квадрат. Для любой p -нормы это суперэллипс с конгруэнтными осями (см. Прилагаемую иллюстрацию). Согласно определению нормы, единичный круг должен быть выпуклым и центрально-симметричным (поэтому, например, единичный шар может быть прямоугольником, но не может быть треугольником, а для p -нормы).${\displaystyle p\geq 1}$

В терминах векторного пространства полунорма определяет топологию на пространстве, и это топология Хаусдорфа именно тогда, когда полунорма может различать различные векторы, что снова эквивалентно тому, что полунорма является нормой. Определенная таким образом топология (либо нормой, либо полунормой) может быть понята либо в терминах последовательностей, либо в терминах открытых множеств. Последовательность векторов называется сходятся в норме к , если в качестве . Эквивалентно топология состоит из всех множеств, которые можно представить как объединение открытых шаров . Если ( X , || ⋅ ||) - нормированное пространство, то || Икс${\displaystyle \{v_{n}\}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \left\|v_{n}-v\right\|\rightarrow 0}$${\displaystyle n\to \infty }$- у || = || х - г || + || z - y || для всех х , у , г ∈ X . ^[15]

Две нормы ‖ • ‖ _α и ‖ • ‖ _β в векторном пространстве V называются эквивалентными, если они индуцируют одну и ту же топологию ^[4], что происходит тогда и только тогда, когда существуют положительные действительные числа C и D такие, что для всех x в V

${\displaystyle C\left\|x\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{\beta }\leq D\left\|x\right\|_{\alpha }.}$

Например, если p > r ≥ 1 on , то${\displaystyle \mathbf {C} ^{n}}$

${\displaystyle \left\|x\right\|_{p}\leq \left\|x\right\|_{r}\leq n^{(1/r-1/p)}\left\|x\right\|_{p}}$^[16]

В частности,

${\displaystyle \left\|x\right\|_{2}\leq \left\|x\right\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\left\|x\right\|_{2}}$

${\displaystyle \left\|x\right\|_{\infty }\leq \left\|x\right\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\left\|x\right\|_{\infty }}$

${\displaystyle \left\|x\right\|_{\infty }\leq \left\|x\right\|_{1}\leq n\left\|x\right\|_{\infty },}$

Это,

${\displaystyle \left\|x\right\|_{\infty }\leq \left\|x\right\|_{2}\leq \left\|x\right\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\left\|x\right\|_{2}\leq n\left\|x\right\|_{\infty }.}$

Если векторное пространство является конечномерным вещественным или комплексным, все нормы эквивалентны. С другой стороны, в случае бесконечномерных векторных пространств не все нормы эквивалентны.

Эквивалентные нормы определяют одни и те же понятия преемственности и конвергенции, и для многих целей нет необходимости различать их. Точнее, равномерная структура, определяемая эквивалентными нормами на векторном пространстве, равномерно изоморфна .

Классификация полунорм: абсолютно выпуклые поглощающие множества [ править ]

Все полувормно на векторном пространстве V можно классифицировать в терминах абсолютно выпуклые поглощающие подмножества А из V . Для того, чтобы каждое такое подмножество соответствует полунорму р _А называется калибровочной из A , определяются как

p _A ( x ): = inf { α  : α > 0, x ∈ αA }

со свойством, что

{ x  : p _A ( x ) <1} ⊆ A ⊆ { x  : p _A ( x ) ≤ 1}.

Наоборот:

Любое локально выпуклое топологическое векторное пространство имеет локальный базис, состоящий из абсолютно выпуклых множеств. Распространенным методом построения такого базиса является использование семейства ( p ) полунорм p, которое разделяет точки : совокупность всех конечных пересечений множеств { p <1 / n } превращает пространство в локально выпуклое топологическое векторное пространство, так что каждый p непрерывен .

Такой метод используется для разработки слабых и слабых * топологий .

нормальный случай:

Предположим теперь, что ( p ) содержит единственный p : поскольку ( p ) разделяет , p - норма, а A = { p <1} - его открытый единичный шар . Тогда A - абсолютно выпуклая ограниченная окрестность точки 0 и p = p _A непрерывна.

Обратное принадлежит Андрею Колмогорову : любое локально выпуклое и локально ограниченное топологическое векторное пространство нормируемо . Точно:

Если V - абсолютно выпуклая ограниченная окрестность 0, калибровка g _V (так что V = { g _V <1} ) является нормой.

См. Также [ править ]

• Асимметричная норма  - Обобщение понятия нормы
• F-полунорм
• Норма Гауэрса
• Расстояние Махаланобиса
• Величина (математика)
• Матричная норма  - Норма в векторном пространстве матриц
• Функционал Минковского
• Норма оператора
• Паранорм
• Связь норм и показателей
• Семинорм
• Сублинейная функция

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Бурбаки, Николас (1987) [1981]. Sur some espaces vectoriels topologiques [ Топологические векторные пространства: главы 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de mathématique . 2 . Перевод Eggleston, HG; Мадан, С. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC  17499190 .
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . 936 . Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370 .
• Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• Виланский, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .