Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Иерархия математических пространств. Нормированные векторные пространства - это надмножество пространств внутреннего продукта и подмножество метрических пространств , которое, в свою очередь, является подмножеством топологического векторного пространства .

В математике , нормированное векторное пространство или нормированное пространство является векторным пространством над вещественными или комплексными числами, на которых норма определяется. [1] Норма - это формализация и обобщение на реальные векторные пространства интуитивного понятия «длина» в реальном мире. Норма - это функция с действительными значениями, определенная в векторном пространстве, которая обычно обозначается и имеет следующие свойства: [2]

  1. Это неотрицательно, то есть для любого вектора х , один имеет
  2. Он положителен на ненулевых векторах, т. Е.
  3. Для любого вектора х , и каждый скаляр один имеет
  4. Неравенство треугольника имеет место; то есть для любых векторов x и y один имеет

Норма индуцирует расстояние по формуле

которые превращают любое нормированное векторное пространство в метрическое и топологическое векторное пространство . Если эта метрика является полным , то нормированное пространство является банахово пространство . Каждое нормированное векторное пространство может быть «однозначно расширено» до банахова пространства, что делает нормированные пространства тесно связанными с банаховыми пространствами. Каждое банахово пространство является нормированным пространством, но обратное неверно. Например, набор конечных последовательностей действительных чисел может быть нормирован евклидовой нормой , но он не является полным для этой нормы.

Внутреннее пространство продукта является нормированным векторным пространством, норма которого является квадратным корнем из скалярного произведения вектора и сам по себе. Евклидова норма о евклидове векторного пространства представляет собой особый случай , который позволяет определять евклидово расстояния по формуле

Изучение нормированных пространств и банаховых пространств является фундаментальной частью функционального анализа , который является одним из основных разделов математики.

Определение [ править ]

Нормированное векторное пространство является векторным пространством оснащен нормой . Полунормированное векторное пространство является векторным пространством оснащен полунорме .

Полезный вариант неравенства треугольника :

для любых векторов x и y .

Это также показывает, что векторная норма является непрерывной функцией .

Свойство 2 зависит от выбора нормы на поле скаляров. Когда скалярное поле является (или, в более общем смысле, его подмножеством ), это обычно считается обычным абсолютным значением , но возможны другие варианты. Например, для векторного пространства над единицей может быть p -адическая норма .

Топологическая структура [ править ]

Если ( V , ‖ · ‖) представляет собой нормированное векторное пространство, норма ‖ · ‖ индуцирует метрические (понятие расстояния ) и , следовательно, топология на V . Эта метрика определяется естественным образом: расстояние между двумя векторами u и v задается как ‖ u  -  v ‖. Эта топология в точности является самой слабой топологией, делающей ‖ · непрерывной и совместимой с линейной структурой V в следующем смысле:

  1. Сложение векторов +: V × VV совместно непрерывно относительно этой топологии. Это непосредственно следует из неравенства треугольника .
  2. Скалярное умножение ·: K  ×  V  →  V , где K - основное скалярное поле V , является совместно непрерывным. Это следует из неравенства треугольника и однородности нормы.

Точно так же для любого полунормированного векторного пространства мы можем определить расстояние между двумя векторами u и v как ‖ u  -  v ‖. Это превращает полунормированное пространство в псевдометрическое пространство (обратите внимание, что оно слабее, чем метрика) и позволяет определять такие понятия, как непрерывность и сходимость . Говоря более абстрактно, каждое полунормированное векторное пространство является топологическим векторным пространством и, таким образом, несет топологическую структуру, индуцированную полунормой.

Особый интерес представляют полные нормированные пространства, называемые банаховыми пространствами . Каждое нормированное векторное пространство V является плотным подпространством внутри банахова пространства; это банахово пространство, по существу , однозначно определяется V и называется завершение из V .

Две нормы в одном векторном пространстве называются эквивалентными, если они определяют одну и ту же топологию . В конечномерном векторном пространстве все нормы эквивалентны, но это неверно для бесконечномерных векторных пространств.

Все нормы в конечномерном векторном пространстве эквивалентны с топологической точки зрения, поскольку они индуцируют одну и ту же топологию (хотя результирующие метрические пространства не обязательно должны быть одинаковыми). [3] А поскольку любое евклидово пространство полно, мы можем заключить, что все конечномерные нормированные векторные пространства являются банаховыми пространствами. Нормированное векторное пространство V является локально компактным , если и только если единичный шар В  = { х  : | | х | | ≤ 1} компактно , что имеет место тогда и только тогда , когда V конечномерно; это следствие леммы Рисса. (На самом деле верен более общий результат: топологическое векторное пространство локально компактно тогда и только тогда, когда оно конечномерно. Дело в том, что мы не предполагаем, что топология исходит из нормы.)

Топология полунормированного векторного пространства имеет много хороших свойств. Учитывая систему соседства около 0, мы можем построить все другие системы соседства как

с

.

Более того, существует базис окрестностей для 0, состоящий из поглощающего и выпуклого множеств . Поскольку это свойство очень полезно в функциональном анализе , обобщения нормированных векторных пространств с этим свойством изучаются под названием локально выпуклые пространства .

Нормируемые пространства [ править ]

Топологическое векторное пространство называется нормируемым , если существует норму на X таких , что каноническая метрика индуцирует топологию на X . Следующая теорема принадлежит Колмагорову: [4]

Теорема Хаусдорфово векторное топологическое пространство нормируемо тогда и только тогда, когда существует выпуклая ограниченная окрестность фон Неймана .

Произведение семейства нормируемых пространств нормируемо тогда и только тогда, когда только конечное число пространств нетривиально (т.е. ). [4] Кроме того, фактор нормируемого пространства X по замкнутому векторному подпространству C нормируем, и если, кроме того , топология X задается нормой, то отображение, заданное формулой, является правильно определенной нормой на X / C, которая индуцирует фактор топология на X / C . [5]

Если X - хаусдорфово локально выпуклое топологическое векторное пространство, то следующие утверждения эквивалентны:

  1. X нормируем.
  2. X имеет ограниченную окрестность начала координат.
  3. сильное сопряженное из X является нормируемым. [6]
  4. сильное сопряженное из X является метризуемым . [6]

Более того, X конечномерно тогда и только тогда, когда оно нормируемо (здесь обозначает наделенный слабой * топологией ).

Линейные карты и двойные пробелы [ править ]

Наиболее важные отображения между двумя нормированными векторными пространствами - это непрерывные линейные отображения . Вместе с этими отображениями нормированные векторные пространства образуют категорию .

Норма - это непрерывная функция на своем векторном пространстве. Все линейные отображения между конечномерными векторными пространствами также непрерывны.

Изометрия между двумя нормированными векторными пространствами является линейным отображением F , которое сохраняет норму (значение | | ф ( V ) | | = | | V | | для всех векторов v ). Изометрии всегда непрерывны и инъективны . Сюръективна изометрия между нормированным пространством V и W называется изометрическим изоморфизмом , а V и W называются изометрический изоморфны . Изометрически изоморфные нормированные векторные пространства идентичны для всех практических целей.

Говоря о нормированных векторных пространствах, мы дополняем понятие двойственного пространства, чтобы учесть норму. Двойственное V  'нормированного векторного пространства V - это пространство всех непрерывных линейных отображений из V в базовое поле (комплексы или вещественные числа) - такие линейные отображения называются «функционалами». Норма функционала φ определяется как верхняя грань | φ ( v ) | где V пробегает все единичные векторы (то есть векторы нормы 1) в V . Это превращает V  'в нормированное векторное пространство. Важной теоремой о непрерывных линейных функционалах на нормированных векторных пространствах является теорема Хана – Банаха.

Нормированные пространства как факторпространства полунормированных пространств [ править ]

Определение многих нормированных пространств (в частности, банаховых пространств ) включает в себя полунорму, определенную на векторном пространстве, а затем нормированное пространство определяется как фактор-пространство по подпространству элементов нулевой полунормы. Например, с пространствами L p функция, определенная как

является полунормой на векторном пространстве всех функций, на которых определен интеграл Лебега в правой части, и конечна. Однако полунорма равна нулю для любой функции с носителем на множестве с нулевой мерой Лебега . Эти функции образуют подпространство, которое мы "выделяем", делая их эквивалентными нулевой функции.

Конечное пространство продукта [ править ]

Для n полунормированных пространств X i с полунормами q i мы можем определить пространство произведения как

с векторным сложением, определяемым как

и скалярное умножение, определяемое как

.

Определим новую функцию q

например как

.

который является полунормой на X . Функция q является нормой тогда и только тогда, когда все q i являются нормами.

В более общем смысле, для каждого действительного p ≥1 мы имеем полунорму:

Для каждого p это определяет одно и то же топологическое пространство.

Прямое рассуждение с использованием элементарной линейной алгебры показывает, что единственными конечномерными полунормированными пространствами являются те, которые возникают как пространство произведения нормированного пространства и пространства с тривиальной полунормой. Следовательно, многие из наиболее интересных примеров и приложений полунормированных пространств встречаются для бесконечномерных векторных пространств.

См. Также [ править ]

  • Банахово пространство , нормированные векторные пространства, полные относительно метрики, индуцированной нормой
  • Финслерово многообразие , где длина каждого касательного вектора определяется нормой
  • Внутреннее пространство продукта , нормированные векторные пространства, где норма задается внутренним продуктом
  • Критерий нормируемости Колмогорова
  • Локально выпуклое топологическое векторное пространство - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами
  • Пространство (математика) - математический набор с некоторой дополнительной структурой
  • Топологическое векторное пространство - векторное пространство с понятием близости.

Ссылки [ править ]

  1. ^ Каллиер, Фрэнк М. (1991). Теория линейных систем . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97573-X.
  2. Рудин, 1991 , стр. 3-4.
  3. ^ Кедлая, Киран С. (2010),p -адические дифференциальные уравнения , Кембриджские исследования в области высшей математики, 125 , Cambridge University Press , CiteSeerX  10.1.1.165.270 , ISBN 978-0-521-76879-5, Теорема 1.3.6
  4. ^ а б Шефер 1999 , стр. 41.
  5. Перейти ↑ Schaefer 1999 , p. 42.
  6. ^ a b Trèves 2006 , стр. 136–149, 195–201, 240–252, 335–390, 420–433.

Библиография [ править ]

  • Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
  • Ролевич, Стефан (1987), Функциональный анализ и теория управления: линейные системы , математика и ее приложения (Восточноевропейская серия), 29 (Перевод с польского под ред. Эвы Беднарчук), Дордрехт; Варшава: D. Reidel Publishing Co .; PWN - Польские научные издательства, стр. Xvi + 524, doi : 10.1007 / 978-94-015-7758-8 , ISBN 90-277-2186-6, Руководство по ремонту  0920371 , OCLC  13064804
  • Шефер, HH (1999). Топологические векторные пространства . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
  • Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .

Внешние ссылки [ править ]

  • СМИ, связанные с нормированными пространствами на Викискладе?