В математике , последовательность является нумерованный набор объектов , в которых повторы разрешено и порядок вопросов. Как и набор , он содержит элементы (также называемые элементами или терминами ). Количество элементов (возможно, бесконечное) называется длиной последовательности. В отличие от набора одни и те же элементы могут появляться несколько раз в разных позициях в последовательности, и, в отличие от набора, порядок имеет значение. Формально последовательность может быть определена как функция , область определения которой является либо набором натуральных чисел (для бесконечных последовательностей), либо набором первых nнатуральные числа (для последовательности конечной длины n ).
Например, (M, A, R, Y) - это последовательность букв, в которой буква «M» первая, а буква «Y» - последняя. Эта последовательность отличается от (A, R, M, Y). Кроме того, последовательность (1, 1, 2, 3, 5, 8), которая содержит число 1 в двух разных позициях, является допустимой последовательностью. Последовательности могут быть конечными , как в этих примерах, или бесконечными , например, последовательность всех четных положительных целых чисел (2, 4, 6, ...).
Положение элемента в последовательности - это его ранг или индекс ; это натуральное число, для которого элемент является изображением. Первый элемент имеет индекс 0 или 1, в зависимости от контекста или конкретного соглашения. В математическом анализе последовательность часто обозначается буквами в виде, а также , где индекс n относится к n- му элементу последовательности; [1] например, n- й элемент последовательности Фибоначчи. обычно обозначается как .
В вычислительной технике и информатике конечные последовательности иногда называют строками , словами или списками , причем разные имена обычно соответствуют различным способам их представления в памяти компьютера ; бесконечные последовательности называются потоками . Пустая последовательность () включена в большинство понятий последовательности, но может быть исключена в зависимости от контекста.
Примеры и обозначения
Последовательность можно рассматривать как список элементов в определенном порядке. [2] [3] Последовательности полезны в ряде математических дисциплин для изучения функций , пространств и других математических структур, использующих свойства сходимости последовательностей. В частности, последовательности являются основой рядов , которые важны для дифференциальных уравнений и анализа . Последовательности также представляют интерес сами по себе, и их можно изучать как шаблоны или головоломки, например, при изучении простых чисел .
Существует несколько способов обозначения последовательности, некоторые из которых более полезны для определенных типов последовательностей. Один из способов указать последовательность - перечислить все ее элементы. Например, первые четыре нечетных числа образуют последовательность (1, 3, 5, 7). Это обозначение используется и для бесконечных последовательностей. Например, бесконечная последовательность положительных нечетных целых чисел записывается как (1, 3, 5, 7, ...). Поскольку запись последовательностей с помощью многоточия приводит к неоднозначности, перечисление наиболее полезно для обычных бесконечных последовательностей, которые можно легко распознать по их первым нескольким элементам. Другие способы обозначения последовательности обсуждаются после примеров.
Примеры
В простых числах являются натуральными числами , большими , чем 1, у которых нет делителей кроме 1 и себя. Если взять их в их естественном порядке, получится последовательность (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...). Простые числа широко используются в математике , особенно в теории чисел, где существует множество связанных с ними результатов.
Эти числа Фибоначчи содержат целую последовательность, элементы которого представляют собой сумму двух предыдущих элементов. Первые два элемента - это либо 0 и 1, либо 1 и 1, так что последовательность будет (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...). [2]
Другие примеры последовательностей включают последовательности, состоящие из рациональных чисел , действительных чисел и комплексных чисел . Последовательность (.9, .99, .999, .9999, ...), например, приближается к числу 1. Фактически, каждое действительное число может быть записано как предел последовательности рациональных чисел (например, через его десятичное разложение ). Другой пример: π - это предел возрастающей последовательности (3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ...). Связанная последовательность - это последовательность десятичных цифр числа π , то есть (3, 1, 4, 1, 5, 9, ...). В отличие от предыдущей последовательности, эта последовательность не имеет никакого рисунка, который легко различить при осмотре.
Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей содержит большой список примеров целочисленных последовательностей. [4]
Индексирование
Другие обозначения могут быть полезны для последовательностей, шаблон которых нелегко угадать, или для последовательностей, которые не имеют шаблона, такого как цифры π . Одно из таких обозначений состоит в том, чтобы записать общую формулу для вычисления n- го члена как функции от n , заключить его в круглые скобки и включить нижний индекс, указывающий набор значений, которые может принимать n . Например, в этих обозначениях последовательность четных чисел может быть записана как. Последовательность квадратов можно записать как. Переменная n называется индексом , а набор значений, которые она может принимать, называется набором индексов .
Часто бывает полезно комбинировать эту нотацию с техникой обработки элементов последовательности как отдельных переменных. Это дает выражения вроде, который обозначает последовательность, n- й элемент которой задается переменной. Например:
Можно рассматривать несколько последовательностей одновременно, используя разные переменные; например может быть другая последовательность, чем . Можно даже рассмотреть последовательность последовательностей:обозначает последовательность, m- й член которой является последовательностью.
Альтернативой записи домена последовательности в нижнем индексе является указание диапазона значений, которые может принимать индекс, путем перечисления его самого высокого и самого низкого допустимых значений. Например, обозначение обозначает десятичленную последовательность квадратов . Пределы а также разрешены, но они не представляют допустимые значения для индекса, а только верхнюю или нижнюю границу таких значений соответственно. Например, последовательность совпадает с последовательностью , и не содержит дополнительного члена «на бесконечности». Последовательностьявляется би-бесконечной последовательностью , и ее также можно записать как.
В случаях, когда понятен набор индексов, нижние и верхние индексы часто опускаются. То есть просто пишутдля произвольной последовательности. Часто считается , что индекс k проходит от 1 до ∞. Однако последовательности часто индексируются, начиная с нуля, как в
В некоторых случаях элементы последовательности естественным образом связаны с последовательностью целых чисел, образец которой можно легко вывести. В этих случаях индексный набор может подразумеваться перечислением первых нескольких абстрактных элементов. Например, последовательность квадратов нечетных чисел может быть обозначена любым из следующих способов.
Более того, нижние и верхние индексы можно было бы опустить в третьей, четвертой и пятой нотации, если бы набор индексации понимался как натуральные числа . Во втором и третьем маркерах есть четко определенная последовательность, но это не то же самое, что последовательность, обозначенная выражением.
Определение последовательности рекурсией
Последовательности, элементы которых напрямую связаны с предыдущими элементами, часто определяются с помощью рекурсии . Это контрастирует с определением последовательностей элементов как функций их позиций.
Чтобы определить последовательность посредством рекурсии, необходимо правило, называемое отношением рекурсии, для построения каждого элемента в терминах тех, что были перед ним. Кроме того, должно быть предусмотрено достаточное количество начальных элементов, чтобы все последующие элементы последовательности могли быть вычислены путем последовательного применения рекуррентного отношения.
Последовательность Фибоначчи - простой классический пример, определяемый рекуррентным соотношением
с начальными условиями а также . Отсюда простое вычисление показывает, что первые десять членов этой последовательности равны 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 и 34.
Сложный пример последовательности , определенной с помощью рекуррентного соотношения является последовательностью Recamán в , [5] определяется рекуррентным соотношением
с начальным сроком
Линейные рекуррентный с постоянными коэффициентами является рекуррентным соотношением вида
где являются константами . Существует общий метод выражения общего терминатакой последовательности как функции n ; см. Линейное повторение . В случае последовательности Фибоначчи мы имееми результирующая функция n определяется формулой Бине .
Голономная последовательность представляет собой последовательность определяется рекуррентным соотношением вида
где являются многочлены в п . Для большинства голономных последовательностей нет явной формулы для явного выражениякак функция от n . Тем не менее голономные последовательности играют важную роль в различных областях математики. Например, многие специальные функции имеют ряд Тейлора , последовательность коэффициентов которого голономна. Использование рекуррентного отношения позволяет быстро вычислять значения таких специальных функций.
Не все последовательности могут быть заданы рекуррентным соотношением. Примером может служить последовательность простых чисел в их естественном порядке (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...).
Формальное определение и основные свойства
В математике существует множество различных понятий последовательностей, некоторые из которых ( например , точная последовательность ) не охватываются определениями и обозначениями, введенными ниже.
Определение
В этой статье последовательность формально определяется как функция , чей домен является интервал из целых чисел . Это определение охватывает несколько различных вариантов использования слова «последовательность», включая односторонние бесконечные последовательности, бибесконечные последовательности и конечные последовательности (определения этих видов последовательностей см. Ниже). Однако многие авторы используют более узкое определение, требуя, чтобы домен последовательности был набором натуральных чисел . Недостатком этого более узкого определения является то, что оно исключает конечные последовательности и бибесконечные последовательности, которые в стандартной математической практике обычно называются последовательностями. Другой недостаток состоит в том, что при удалении первых членов последовательности необходимо переиндексировать остальные термины для соответствия этому определению. В некоторых контекстах, чтобы сократить изложение, кодобласть последовательности фиксируется контекстом, например, требуя, чтобы она была набором R действительных чисел [6] набором C комплексных чисел [7] или топологическим пространством . [8]
Хотя последовательности представляют собой тип функции, они, как правило , отличаются от notationally функций в том , что вход записываются в качестве индекса , а не в скобках, то есть п , а не ( п ) . Существуют также терминологические различия: значение последовательности на самом нижнем входе (часто 1) называется «первым элементом» последовательности, значение на втором наименьшем входе (часто 2) называется «вторым элементом», и т. д. Кроме того, хотя функция, выделенная из ее ввода, обычно обозначается одной буквой, например f , последовательность, выделенная из ее ввода, обычно записывается с помощью таких обозначений, как, или просто как Здесь A - домен или набор индексов последовательности.
Последовательности и их пределы (см. Ниже) являются важными понятиями для изучения топологических пространств. Важным обобщением последовательностей является концепция сетей . Сетка является функцией от (возможно , несчетное ) направленного множества в топологическом пространстве. Условные обозначения для последовательностей обычно применимы и к сетям.
Конечное и бесконечное
Длина последовательности определяется как число слагаемых в последовательности.
Последовательность конечной длины n также называется n -набором . Конечные последовательности включают пустую последовательность (), не имеющую элементов.
Обычно термин бесконечная последовательность относится к последовательности, которая бесконечна в одном направлении и конечна в другом - последовательность имеет первый элемент, но не конечный элемент. Такая последовательность называется однократно бесконечной последовательностью или односторонней бесконечной последовательностью, когда необходимо разрешение неоднозначности. Напротив, последовательность, которая бесконечна в обоих направлениях, т. Е. Не имеет ни первого, ни последнего элемента, называется би-бесконечной последовательностью , двусторонней бесконечной последовательностью или дважды бесконечной последовательностью . Функция из множества Z из всех целых чисел в набор, такие как, например , последовательность всех четных целых чисел (..., -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, ...), является би-бесконечность. Эту последовательность можно было бы обозначить.
Увеличение и уменьшение
Последовательность называется монотонно возрастающей, если каждый член больше или равен предыдущему. Например, последовательностьмонотонно возрастает тогда и только тогда, когда a n +1 п для всех п ∈ N . Если каждый последующий член строго больше (>) предыдущего члена, то последовательность называется строго монотонно возрастающей . Последовательность монотонно убывает , если каждый последующий член меньше или равен предыдущему, и строго монотонно убывает , если каждый из них строго меньше предыдущего. Если последовательность увеличивается или уменьшается, она называется монотонной последовательностью. Это частный случай более общего понятия монотонной функции .
Термины неубывание и невозрастание часто используются вместо увеличения и уменьшения , чтобы избежать любой возможной путаницы со строгим увеличением и строго уменьшением , соответственно.
Ограниченный
Если последовательность действительных чисел ( a n ) такова, что все члены меньше некоторого действительного числа M , то говорят, что последовательность ограничена сверху . Другими словами, это означает , что существует М такое , что для всех п , п ≤ М . Любое такое M называется верхней границей . Аналогичным образом, если по какой - либо реальной м , п ≥ м для всех п больше некоторого N , то эта последовательность ограничена снизу и любой такой м называется нижней гранью . Если последовательность ограничена сверху и снизу, то последовательность называется ограниченной .
Подпоследовательности
Подпоследовательности из данной последовательности представляет собой последовательность формируется из заданной последовательности путем удаления некоторых из элементов , не нарушая относительные положения остальных элементов. Например, последовательность положительных целых чисел (2, 4, 6, ...) является подпоследовательностью положительных целых чисел (1, 2, 3, ...). Положение некоторых элементов изменяется при удалении других элементов. Однако взаимное расположение сохраняется.
Формально подпоследовательность последовательности любая последовательность вида , где представляет собой строго возрастающую последовательность натуральных чисел.
Другие типы последовательностей
Некоторые другие типы последовательностей, которые легко определить, включают:
- Целое последовательность представляет собой последовательность, члены которого являются целыми числами.
- Полином последовательность представляет собой последовательность, члены которого являются многочленами.
- Положительное целое число последовательности иногда называют мультипликативной , если нм = п а м для всех пар п , т , такие , что п и т являются взаимно простыми . [9] В других случаях, последовательности часто называют мультипликативной , если п = па 1 для всех п . Более того, мультипликативная последовательность Фибоначчи [10] удовлетворяет соотношению рекурсии a n = a n −1 a n −2 .
- Двоичная последовательность представляет собой последовательность , чьи термины имеют одно из двух дискретных значений, например , основание 2 значения (0,1,1,0, ...), серия бросков монеты (главы / Хвосты) Н, Т, Н, Н , T, ..., ответы на набор вопросов True или False (T, F, T, T, ...) и так далее.
Пределы и конвергенция
Важное свойство последовательности - сходимость . Если последовательность сходится, она сходится к определенному значению, известному как предел . Если последовательность сходится к некоторому пределу, то она сходится . Несходящаяся последовательность - расходящаяся .
Неформально последовательность имеет предел, если элементы последовательности становятся все ближе и ближе к некоторому значению. (называемые пределом последовательности), и они становятся и остаются сколь угодно близкими к, что означает, что с учетом действительного числа больше нуля, все элементы последовательности, кроме конечного, находятся на расстоянии от меньше, чем .
Например, последовательность показанная справа, сходится к значению 0. С другой стороны, последовательности (который начинается 1, 8, 27,…) и (который начинается с −1, 1, −1, 1,…) расходятся.
Если последовательность сходится, то значение, к которому она сходится, уникально. Это значение называется пределом последовательности. Предел сходящейся последовательности обычно обозначается . Если расходящаяся последовательность, то выражение бессмысленно.
Формальное определение сходимости
Последовательность действительных чисел сходится к действительному числу если для всех , существует натуральное число такое, что для всех у нас есть [6]
Если представляет собой последовательность комплексных чисел, а не последовательность действительных чисел, эта последняя формула все еще может использоваться для определения сходимости при условии, что обозначает комплексный модуль, т.е. . Еслипредставляет собой последовательность точек в метрическом пространстве , то формулу можно использовать для определения сходимости, если выражение заменяется выражением , обозначающее расстояние между а также .
Приложения и важные результаты
Если а также являются сходящимися последовательностями, то существуют следующие пределы, которые можно вычислить следующим образом: [6] [11]
- для всех действительных чисел
- , при условии, что
- для всех а также
Более того:
- Если для всех больше, чем некоторые , тогда . [а]
- ( Теорема сжатия )
Если последовательность такая, что для всех а также ,
то сходится, и . - Если последовательность ограничена и монотонна, то она сходится.
- Последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходятся все ее подпоследовательности.
Последовательности Коши
Последовательность Коши - это последовательность, члены которой становятся сколь угодно близкими по мере того, как n становится очень большим. Понятие последовательности Коши важно при изучении последовательностей в метрических пространствах и, в частности, в реальном анализе . Одним из особенно важных результатов реального анализа является характеризация Коши сходимости последовательностей :
- Последовательность действительных чисел сходится (в действительных числах) тогда и только тогда, когда она является Коши.
Напротив, есть последовательности Коши рациональных чисел , которые не сходятся в рациональных числах , например, последовательность, определенная как x 1 = 1 и x n +1 =х п + 2/х п/2является Коши, но не имеет рационального предела, ср. здесь . В более общем смысле, любая последовательность рациональных чисел, которая сходится к иррациональному числу, является Коши, но не сходящейся, когда интерпретируется как последовательность в наборе рациональных чисел.
Метрические пространства, удовлетворяющие описанию Коши сходимости последовательностей, называются полными метрическими пространствами и особенно удобны для анализа.
Бесконечные пределы
В исчислении принято определять обозначения для последовательностей, которые не сходятся в рассмотренном выше смысле, но вместо этого становятся и остаются произвольно большими или становятся и остаются произвольно отрицательными. Если становится произвольно большим, поскольку , мы пишем
В этом случае мы говорим, что последовательность расходится или сходится к бесконечности . Примером такой последовательности является п = п .
Если становится произвольно отрицательным (т.е. отрицательным и большим по величине), поскольку , мы пишем
и говорят, что последовательность расходится или сходится к отрицательной бесконечности .
Ряд
Серии есть, говоря неформально, сумму членов последовательности. То есть это выражение формы или же , где представляет собой последовательность действительных или комплексных чисел. В частичных суммах из серии являются выражением , возникающим в результате замены символа бесконечности с конечным числом, то есть N - й частичной суммы ряда это номер
Сами частичные суммы образуют последовательность , которая называется последовательностью частичных сумм ряда. Если последовательность частичных сумм сходится, то говорят, что рядявляется сходящимся , а пределназывается стоимостью ряда. Такие же обозначения используются для обозначения ряда и его значения, т. Е. Пишем.
Использование в других областях математики
Топология
Последовательности играют важную роль в топологии, особенно при изучении метрических пространств . Например:
- Метрическое пространство является компактным , когда именно он последовательно компактен .
- Функция из метрического пространства в другое метрическое пространство является непрерывной именно тогда, когда она переводит сходящиеся последовательности в сходящиеся последовательности.
- Метрическое пространство является связным пространством тогда и только тогда, когда всякий раз, когда пространство делится на два набора, один из двух наборов содержит последовательность, сходящуюся к точке в другом наборе.
- Топологическое пространство является разъемным именно тогда , когда существует плотная последовательность точек.
Последовательности можно обобщить на сети или фильтры . Эти обобщения позволяют распространить некоторые из приведенных выше теорем на пространства без метрики.
Топология продукта
Топологическое произведение последовательности топологических пространств является декартовым произведением этих пространств, оснащен естественной топологией , называемой топологией произведения .
Более формально, учитывая последовательность пробелов , пространство продукта
определяется как множество всех последовательностей такой, что для каждого i , является элементом . В канонические проекции являются отображает р я : Х → Х я определяется уравнением. Тогда топология произведения на X определяется как на грубую топологию (т.е. топология с наименьшим количеством открытых множеств) , для которого все проекции р я являются непрерывными . Топологию произведения иногда называют топологией Тихонова .
Анализ
В анализе , говоря о последовательностях, обычно будут рассматривать последовательности вида
то есть бесконечные последовательности элементов, пронумерованные натуральными числами .
Может быть удобно, чтобы последовательность начиналась с индекса, отличного от 1 или 0. Например, последовательность, определенная как x n = 1 / log ( n ), будет определена только для n ≥ 2. Говоря о таких бесконечных последовательностях, обычно бывает достаточно (и не изменится для большинства соображений) предположить , что члены последовательности определяются по крайней мере , для всех индексов достаточно большой , то есть больше , чем какой - то заданной N .
Самый элементарный тип последовательностей - числовые, то есть последовательности действительных или комплексных чисел. Этот тип можно обобщить на последовательности элементов некоторого векторного пространства . При анализе рассматриваемые векторные пространства часто являются функциональными пространствами . В более общем плане можно изучать последовательности с элементами в некотором топологическом пространстве .
Пространства последовательности
Пространство последовательностей является векторным пространством , элементами которого являются бесконечные последовательности действительных или комплексных чисел. Эквивалентно, это функциональное пространство , элементами которого являются функции от натуральных чисел до поля K , где K - либо поле действительных чисел, либо поле комплексных чисел. Множество всех таких функций естественным образом отождествляется с множеством всевозможных бесконечных последовательностей с элементами из K и может быть превращено в векторное пространство с помощью операций поточечного сложения функций и поточечного скалярного умножения. Все пространства последовательностей являются линейными подпространствами этого пространства. Пространства последовательностей обычно снабжены нормой или, по крайней мере, структурой топологического векторного пространства .
Наиболее важные последовательности пространств в анализе являются л р пространством, состоящим из р -Power суммируемых последовательностей, с р -нормом. Это частные случаи L p пространств для считающей меры на множестве натуральных чисел. Другие важные классы последовательностей, такие как сходящиеся последовательности или нулевые последовательности, образуют пространства последовательностей, соответственно обозначаемые c и c 0 , с нормой sup. Любая последовательность пространство также может быть оснащено топологией из поточечной сходимости , при котором она становится особым видом пространства Фреша , называемым FK-пространством .
Линейная алгебра
Последовательности над полем также можно рассматривать как векторы в векторном пространстве . В частности, набор F- значных последовательностей (где F - поле) является функциональным пространством (фактически, пространством произведения ) F- значных функций над множеством натуральных чисел.
Абстрактная алгебра
Абстрактная алгебра использует несколько типов последовательностей, включая последовательности математических объектов, таких как группы или кольца.
Бесплатный моноид
Если представляет собой набор, то свободный моноид над А (обозначается * , называемые также клиниевская звездой из A ) представляет собой моноид , содержащий все конечные последовательности (или строку) из нуля или более элементов А , с бинарной операцией конкатенации. Свободная полугруппа + является подполугруппой А * , содержащей все элементы , кроме пустой последовательности.
Точные последовательности
В контексте теории групп последовательность
из групп и групп гомоморфизмов называются точным , если изображение (или диапазон ) каждый гомоморфизм равно ядром из следующих:
Последовательность групп и гомоморфизмов может быть конечной или бесконечной.
Аналогичное определение может быть сделано для некоторых других алгебраических структур . Например, можно иметь точную последовательность векторных пространств и линейных отображений или модулей и гомоморфизмов модулей .
Спектральные последовательности
В гомологической алгебре и алгебраической топологии , А спектральная последовательность является средством вычисления групп гомологии, принимая последовательные приближения. Спектральные последовательности являются обобщением точных последовательностей , и с момента их введения Жаном Лере ( 1946 ) они стали важным инструментом исследования, особенно в теории гомотопий .
Теория множеств
Последовательность с порядковым индексом - это обобщение последовательности. Если α является предельным порядковым и Х представляет собой набор, α-индексированной последовательность элементов X является функцией от а до Х . В этой терминологии ω-индексированная последовательность - это обычная последовательность.
Вычисление
В информатике конечные последовательности называются списками . Потенциально бесконечные последовательности называются потоками . Конечные последовательности символов или цифр называются строками .
Потоки
Бесконечные последовательности цифр (или символов ), взятые из конечного алфавита, представляют особый интерес в теоретической информатике . Их часто называют просто последовательностями или потоками , в отличие от конечных строк . Бесконечные двоичные последовательности, например, представляют собой бесконечные последовательности битов (символы, взятые из алфавита {0, 1}). Множество C = {0, 1} ∞ всех бесконечных двоичных последовательностей иногда называют канторовым пространством .
Бесконечная двоичная последовательность может представлять формальный язык (набор строк) путем установки n- го бита последовательности в 1 тогда и только тогда, когда n- я строка (в порядке коротких строк ) находится на языке. Это представление полезно в методе диагонализации для доказательств. [12]
Смотрите также
- Перечисление
- Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей
- Отношение повторения
- Пространство последовательности
- Операции
- Продукт Коши
- Примеры
- Дискретный сигнал времени
- Последовательность Фари
- Последовательность Фибоначчи
- Посмотри и скажи последовательность
- Последовательность Туэ – Морса
- Список целочисленных последовательностей
- Типы
- ± 1-последовательность
- Арифметическая прогрессия
- Автоматическая последовательность
- Последовательность Коши
- Постоянно-рекурсивная последовательность
- Геометрическая прогрессия
- Гармоническая прогрессия
- Голономная последовательность
- Обычная последовательность
- Псевдослучайная двоичная последовательность
- Случайная последовательность
- Связанные понятия
- Список (вычисление)
- Сеть (топология) (обобщение последовательностей)
- Последовательность с порядковым индексом
- Рекурсия (информатика)
- Набор (математика)
- Кортеж
Заметки
- ^ Обратите внимание, что если неравенства заменены строгими неравенствами, то это неверно: существуют такие последовательности, что для всех , но .
Рекомендации
- ^ «Сборник математических символов» . Математическое хранилище . 2020-03-01 . Проверено 17 августа 2020 .
- ^ а б «Последовательности» . www.mathsisfun.com . Проверено 17 августа 2020 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Последовательность» . mathworld.wolfram.com . Проверено 17 августа 2020 .
- ^ Указатель к OEIS , Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей, 2020-12-03
- ^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A005132 (последовательность Рекамана)» . Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Проверено 26 января 2018 .
- ^ а б в Гоган, Эдвард (2009). «1.1 Последовательности и конвергенция». Введение в анализ . AMS (2009). ISBN 978-0-8218-4787-9.
- ^ Эдвард Б. Сафф и Артур Дэвид Снайдер (2003). «Глава 2.1» . Основы комплексного анализа . ISBN 978-01-390-7874-3.
- ^ Джеймс Р. Мункрес (2000). «Главы 1 и 2» . Топология . ISBN 978-01-318-1629-9.
- ^ Ландо, Сергей К. (21.10.2003). «7.4 Мультипликативные последовательности». Лекции по производящим функциям . AMS. ISBN 978-0-8218-3481-7.
- ^ Сокол, Серджио (2003). «Мультипликативная последовательность Фибоначчи». Международный журнал математического образования в науке и технологиях . 34 (2): 310–315. DOI : 10.1080 / 0020739031000158362 . S2CID 121280842 .
- ^ Давикинс, Пол. «Серии и последовательности» . Онлайн-математические заметки Павла / Calc II (примечания) . Проверено 18 декабря 2012 года .
- ^ Офлазер, Кемаль. «ФОРМАЛЬНЫЕ ЯЗЫКИ, АВТОМАТЫ И ВЫЧИСЛЕНИЯ: РАЗРЕШИМОСТЬ» (PDF) . cmu.edu . Университет Карнеги-Меллона . Проверено 24 апреля 2015 года .
Внешние ссылки
- "Последовательность" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей
- Журнал целочисленных последовательностей (бесплатно)