Рациональное число

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Найти источники: «Рациональное число» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( сентябрь 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Рациональные числа (ℚ) включены в действительные числа (), а сами включают целые числа (ℤ), которые, в свою очередь, включают натуральные числа ().

В математике , А рациональное число является число такого , как $-3/7$ , который может быть выражен как фактор или дробей $р / д$ из двух целых чисел , в числителе $р$ и ненулевой знаменатель $д$ . ^[1] Каждое целое число является рациональным числом: например, $5$ = $5/1$ . Множество всех рациональных чисел, также упоминаются как « рациональные числа », ^[2] поле рациональных чисел ^[3] илиполе рациональных чисел обычно обозначается полужирным шрифтом $Q$ (или полужирным шрифтом , Unicode 𝐐 / ℚ); ^[4]^[5] это было обозначено в 1895 году Джузеппе Пеано после quoziente , что по-итальянски означает « частное ». ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Расширение десятичного рационального числа либо завершается после конечного числа цифр (пример: $3/4$ = $0,75$ ), или в конце концов , начинает повторять ту же самую конечную последовательность цифр снова и снова (пример: $9/44$ = $0,20454545$ ... ). ^[6] И наоборот, любое повторяющееся или завершающееся десятичное число представляет собой рациональное число. Эти утверждения верны в базе 10 и во всех других целочисленных базах (например, двоичных или шестнадцатеричных ).

Нерациональное действительное число называется иррациональным . ^[7] Иррациональные числа включают $\sqrt 2$ , π , $e$ и $φ$ . Расширение десятичного иррационального числа продолжается без повторения. Поскольку множество рациональных чисел счетно , а множество действительных чисел несчетно , почти все действительные числа иррациональны. ^[1]

Рациональные числа можно формально определить как классы эквивалентности пар целых чисел $(p, q)$ с $q \neq 0$ , используя отношение эквивалентности, определенное следующим образом:

{\ displaystyle \ left (p_ {1}, q_ {1} \ right) \ sim \ left (p_ {2}, q_ {2} \ right) \ iff p_ {1} q_ {2} = p_ {2} q_ {1}.}

Тогда дробь $p / q$ обозначает класс эквивалентности $(p, q)$ .

Рациональные числа вместе с сложением и умножением образуют поле, которое содержит целые числа , и содержится в любом поле, содержащем целые числа. Другими словами, поле рациональных чисел является простым полем , и поле имеет нулевую характеристику тогда и только тогда, когда оно содержит рациональные числа в качестве подполя. Конечные расширения из $Q$ называются полями алгебраических чисел , и алгебраическое замыкание в $Q$ является полем алгебраических чисел . ^[8]

В математическом анализе рациональные числа образуют плотное подмножество действительных чисел. Действительные числа могут быть построены из рациональных чисел путем завершения , используя последовательности Коши , сокращения Дедекинда или бесконечные десятичные дроби (подробнее см. Построение действительных чисел ).

Терминология [ править ]

Термин « рациональное» применительно к множеству Q относится к тому факту, что рациональное число представляет собой отношение двух целых чисел. В математике «рациональное» часто используется как существительное, сокращающее «рациональное число». Прилагательное рациональное иногда означает, что коэффициенты являются рациональными числами. Например, рациональная точка - это точка с рациональными координатами (т. Е. Точка, координаты которой являются рациональными числами); рациональная матрица является матрицей рациональных чисел; рациональный многочленможет быть многочленом с рациональными коэффициентами, хотя термин «многочлен над рациональными числами» обычно предпочтительнее, чтобы избежать путаницы между « рациональным выражением » и « рациональной функцией » (многочлен является рациональным выражением и определяет рациональную функцию, даже если ее коэффициенты не рациональные числа). Однако рациональная кривая - это не кривая, определяемая рациональными числами, а кривая, которая может быть параметризована рациональными функциями.

Этимология [ править ]

Хотя в настоящее время рациональные числа определяются в терминах отношений , термин « рациональное» не является производным от отношения . Напротив, это ratio происходит от рационального : первое использование ratio в его современном значении было засвидетельствовано в английском языке около 1660 года ^{[9], в} то время как использование рационального числа для уточнения чисел появилось почти столетием раньше, в 1570 году ^{[] 10].} Это значение рационального произошло из математического значения иррационального, который впервые был использован в 1551 году, и он использовался в «переводах Евклида (после его специфического использования ἄλογος)». ^[11]^[12]

Эта необычная история возникла из-за того, что древние греки «избегали ереси, запрещая себе думать об этих [иррациональных] длинах как о числах». ^[13] Таким образом, такие длины были иррациональными , в смысле нелогичности , то есть «не о чем говорить» (ἄλογος по-гречески). ^[14]

Эта этимология аналогична мнимых чисел и действительных чисел .

Арифметика [ править ]

Несократимая дробь [ править ]

Каждое рациональное число может быть выражено в уникальный способ как несократимая дробь $в / б$ , где и $Ь$ являются взаимно простые целые числа и $Ь$ $> 0$ . Это часто называют канонической формой рационального числа.

Исходя из рационального числа $a / b$ , его каноническая форма может быть получена делением $a$ и $b$ на их наибольший общий делитель и, если $b <0$ , изменением знака полученного числителя и знаменателя.

Встраивание целых чисел [ править ]

Любое целое число $n$ может быть выражено как рациональное число $n / 1$ , которое является его канонической формой как рациональное число.

Равенство [ править ]

{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {c} {d}}}

если и только если

{\ displaystyle ad = bc}

Если обе дроби в канонической форме, то:

{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {c} {d}}}

тогда и только тогда, когда и

{\ displaystyle a = c}

{\ displaystyle b = d}

Заказ [ править ]

Если оба знаменателя положительны (особенно если обе дроби имеют каноническую форму):

{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} <{\ frac {c} {d}}}

если и только если

{\ displaystyle ad <bc.}

С другой стороны, если любой из знаменателей отрицательный, то каждая дробь с отрицательным знаменателем должна сначала быть преобразована в эквивалентную форму с положительным знаменателем - путем изменения знаков числителя и знаменателя.

Дополнение [ править ]

Две фракции складываются следующим образом:

{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} + {\ frac {c} {d}} = {\ frac {ad + bc} {bd}}.}

Если обе дроби находятся в канонической форме, результат будет в канонической форме тогда и только тогда, когда $b$ и $d$ являются взаимно простыми целыми числами .

Вычитание [ править ]

{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} - {\ frac {c} {d}} = {\ frac {ad-bc} {bd}}.}

Если обе дроби находятся в канонической форме, результат будет в канонической форме тогда и только тогда, когда $b$ и $d$ являются взаимно простыми целыми числами .

Умножение [ править ]

Правило умножения:

{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} \ cdot {\ frac {c} {d}} = {\ frac {ac} {bd}}.}

где результатом может быть сокращаемая дробь - даже если обе исходные дроби имеют каноническую форму,.

Обратный [ править ]

Каждое рациональное число $a / b$ имеет аддитивное обратное , часто называемое противоположным ,

-\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}.

Если $a / b$ находится в канонической форме, то же самое верно и для его противоположности.

Ненулевое рациональное число $a / b$ имеет мультипликативное обратное , также называемое обратным ,

\left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}.

Если $a / b$ находится в канонической форме, то канонической формой его обратного значения является либо или , в зависимости от знака $a$ . $b/a$ $-b/-\!a$

Подразделение [ править ]

Если $b$ , $c$ и $d$ отличны от нуля, правило деления

{\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}}={\frac {ad}{bc}}.

Таким образом, разделив $на / б$ с $с / д$ эквивалентно умножению $на / б$ на обратной от $гр / г$ :

{\frac {ad}{bc}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}.

Возведение в степень в целую степень [ править ]

Если $n$ - неотрицательное целое число, то

\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}.

Результат будет в канонической форме, если то же самое верно для $a / b$ . В частности,

\left({\frac {a}{b}}\right)^{0}=1.

Если $a \neq 0$ , то

\left({\frac {a}{b}}\right)^{-n}={\frac {b^{n}}{a^{n}}}.

Если $a / b$ находится в канонической форме, каноническая форма результата - если либо $a$ $> 0,$ либо $n$ четно. В противном случае каноническая форма результата будет ${\frac {b^{n}}{a^{n}}}$ ${\frac {-b^{n}}{-a^{n}}}.$

Представление непрерывной дроби [ править ]

Конечная цепная дробь является выражением таких , как

a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}},

где a _n - целые числа. Каждое рациональное число a / b может быть представлено в виде конечной цепной дроби, коэффициенты которой a _n могут быть определены путем применения алгоритма Евклида к ( a , b ).

Другие представления [ править ]

обыкновенная дробь : ${\frac {8}{3}}$
смешанная цифра : $2{\tfrac {2}{3}}$
повторение десятичной дроби с использованием винкулума : $2.{\overline {6}}$
повторение десятичной дроби с использованием круглых скобок : $2.(6)$
непрерывная дробь с использованием традиционной типографии: $2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2}}}}$
непрерывная дробь в сокращенном виде: [2; 1, 2]
египетская фракция : $2+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}$
разложение на простую степень : $2^{3}\times 3^{-1}$
обозначение цитаты : 3'6

- это разные способы представления одной и той же рациональной ценности.

Формальная конструкция [ править ]

Диаграмма, показывающая представление эквивалентных классов пар целых чисел

Рациональные числа могут быть построены как классы эквивалентности из упорядоченных пар из целых чисел .

Точнее, пусть $( Z × ( Z \ {0}))$ будет множеством пар $(m, n)$ целых чисел, таких как $n 0$ . На этом множестве отношение эквивалентности определяется формулой

\left(m_{1},n_{1}\right)\sim \left(m_{2},n_{2}\right)\iff m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.

Сложение и умножение можно определить по следующим правилам:

\left(m_{1},n_{1}\right)+\left(m_{2},n_{2}\right)\equiv \left(m_{1}n_{2}+n_{1}m_{2},n_{1}n_{2}\right),

\left(m_{1},n_{1}\right)\times \left(m_{2},n_{2}\right)\equiv \left(m_{1}m_{2},n_{1}n_{2}\right).

Это отношение эквивалентности является отношением конгруэнтности , что означает, что оно совместимо со сложением и умножением, определенными выше; множество рациональных чисел $Q$ определяется как фактор-множество по этому отношению эквивалентности $( Z × ( Z \ {0})) / ~$ , снабженное сложением и умножением, индуцированным указанными выше операциями. (Это построение может быть выполнено с любой областью целостности и дает ее поле дробей .)

Класс эквивалентности пары $(m, n)$ обозначается. Две пары $($ $m$ $1$ $,$ $n$ $1$ $)$ и $($ $m$ $2$ $,$ $n$ $2$ $)$ принадлежат одному и тому же классу эквивалентности (то есть эквивалентны) тогда и только тогда, когда это означает, что если и только ${\frac {m}{n}}.$ $m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.$ ${\frac {m_{1}}{n_{1}}}={\frac {m_{2}}{n_{2}}}$ $m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.$

Каждый класс эквивалентности может быть представлен бесконечным числом пар, так как ${\frac {m}{n}}$

\cdots ={\frac {-2m}{-2n}}={\frac {-m}{-n}}={\frac {m}{n}}={\frac {2m}{2n}}=\cdots .

Каждый класс эквивалентности содержит уникальный канонический репрезентативный элемент . Канонический представитель является уникальной парой $(м, п)$ в классе эквивалентности таким образом, что $т$ и $п$ являются взаимно простыми , а $п > 0$ . Это называется представлением в низших терминах рационального числа.

Целые числа можно рассматривать как рациональные числа, отождествляющие целое число $n$ с рациональным числом. ${\frac {n}{1}}.$

Общий порядок может быть определен на рациональных числах, который расширяет естественный порядок чисел. Если есть ${\frac {m_{1}}{n_{1}}}\leq {\frac {m_{2}}{n_{2}}}$

(m_{1}n_{2}\leq n_{1}m_{2}\quad {\text{if}}\quad n_{1}n_{2}>0)\quad {\text{or}}\quad (m_{1}n_{2}\geq n_{1}m_{2}\quad {\text{if}}\quad n_{1}n_{2}<0).

Свойства [ править ]

Диаграмма, иллюстрирующая счетность положительных рациональных чисел

Набор Q всех рациональных чисел вместе с показанными выше операциями сложения и умножения образует поле .

Q не имеет полевого автоморфизма, кроме тождественного.

С порядком , определенным выше, Q представляет собой упорядоченное поле , которое не имеет подпола, кроме себя, и является самым маленьким упорядоченным полем, в том смысле , что каждое упорядоченное поле содержит уникальный подпол изоморфного к Q .

Q - простое поле , то есть поле, у которого нет другого подполя, кроме самого себя. ^[15] Рациональные числа - это наименьшее поле с нулевой характеристикой . Каждое поле характеристики нуль содержит уникальный подполе , изоморфную Q .

Q представляет собой поле частных в целых числах Z . ^[16] алгебраическое замыкание из Q , то есть области корней рациональных полиномов, является полем алгебраических чисел .

Множество всех рациональных чисел счетно , а множество всех действительных чисел (а также множество иррациональных чисел) несчетно. Будучи счетным, множество рациональных чисел является нулевым множеством , то есть почти все действительные числа иррациональны в смысле меры Лебега .

Рациональные числа представляют собой плотно упорядоченное множество: между любыми двумя рациональными числами находится еще один, а значит, и бесконечно много других. Например, для любых двух дробей таких, что

{\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}

(где положительны), имеем $b,d$

{\frac {a}{b}}<{\frac {a+c}{b+d}}<{\frac {c}{d}}.

Любое полностью упорядоченное множество, которое счетно, плотно (в указанном выше смысле) и не имеет наименьшего или наибольшего элемента, по порядку изоморфно рациональным числам.

Действительные числа и топологические свойства [ править ]

Рациональные числа представляют собой плотное подмножество действительных чисел: каждое действительное число имеет произвольно близкие рациональные числа. Связанное с этим свойство состоит в том, что рациональные числа - единственные числа с конечным разложением в виде правильных цепных дробей .

В силу своего порядка рациональные числа несут топологию порядка . Рациональные числа, как подпространство действительных чисел, также несут топологию подпространства . Рациональные числа образуют метрическое пространство с помощью метрики абсолютной разности d ( x , y ) = | х - у |, и это дает третью топологию Q . Все три топологии совпадают и превращают рациональные числа в топологическое поле . Рациональные числа - важный пример пространства, которое не является локально компактным . Рациональные элементы топологически характеризуются как уникальныесчетное метризуемое пространство без изолированных точек . Пространство также полностью отключено . Рациональные числа не образуют полного метрического пространства ; что действительные числа являются завершение Q в соответствии с метрикой г ( х , у ) = | x - y |, см. выше.

p -адические числа [ править ]

В дополнение к метрике абсолютного значения, упомянутой выше, существуют другие метрики, которые превращают Q в топологическое поле:

Пусть p - простое число и для любого ненулевого целого числа a пусть | а | _p = p ^{- n} , где p ⁿ - наибольшая степень p, делящего a .

Дополнительно установить | 0 | _p = 0. Для любого рационального числа a / b положим | а / б | _p = | а | _p / | б | _стр .

Тогда d _p ( x , y ) = | х - у | _р определяет метрику на Q .

Метрическое пространство ( Q , d _p ) не является полным, и его пополнение - это поле p -адических чисел Q _p . Теорема Островского утверждает, что любое нетривиальное абсолютное значение рациональных чисел Q эквивалентно либо обычному действительному абсолютному значению, либо p -адическому абсолютному значению.

См. Также [ править ]

Диадический рациональный
Плавающая запятая
Круги Форда
Гауссовский рациональный
Наивная высота - высота рационального числа в младшем члене.
Теорема Нивена
Рациональный тип данных

Ссылки [ править ]

^ а б Розен, Кеннет. Дискретная математика и ее приложения (6-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3.
^ Девушка, Гарри (2009). Элементы чистой и прикладной математики (иллюстрированное изд.). Курьерская корпорация. п. 382. ISBN. 978-0-486-47186-0. Выписка со страницы 382
↑ Робинсон, Джулия (1996). Собрание сочинений Джулии Робинсон . American Mathematical Soc. п. 104. ISBN 978-0-8218-0575-6. Отрывок страницы 104
^ «Сборник математических символов» . Математическое хранилище . 2020-03-01 . Проверено 11 августа 2020 .
^ Роуз, Маргарет. «Математические символы» . Проверено 1 апреля 2015 года .
^ "Рациональное число" . Британская энциклопедия . Проверено 11 августа 2020 .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Рациональное число» . mathworld.wolfram.com . Проверено 11 августа 2020 .
^ Гилберт, Джимми; Линда, Гилберт (2005). Элементы современной алгебры (6-е изд.). Бельмонт, Калифорния: Томсон Брукс / Коул. С. 243–244. ISBN 0-534-40264-X.
^ Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. 1989 г.Коэффициент входа , n. , смысл 2.a.
^ Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. 1989 г.Вход рациональный , а. (нареч.) и сущ. ¹ , смысл 5.a.
^ Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. 1989 г.Вступление иррациональное , а. и п. , смысл 3.
^ Шор, Питер (2017-05-09). «Разве рациональное происходит от соотношения или соотношение происходит от рационального» . Обмен стеками . Проверено 19 марта 2021 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
^ Coolman, Роберт (2016-01-29). «Как математическое суеверие одурачило алгебру более тысячи лет» . Проверено 20 марта 2021 .
^ Крамер, Эдна (1983). Природа и развитие современной математики . Издательство Принстонского университета. п. 28.
^ Sūgakkai, Нихон (1993). Математический энциклопедический словарь, том 1 . Лондон, Англия: MIT Press. п. 578. ISBN 0-2625-9020-4.
↑ Бурбаки, Н. (2003). Алгебра II: главы 4-7 . Springer Science & Business Media. п. А.VII.5.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с рациональными числами .

"Рациональное число" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
"Рациональное число" из MathWorld - веб-ресурса Wolfram

[Rosen-1] а б Розен, Кеннет. Дискретная математика и ее приложения (6-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3.

[2] Девушка, Гарри (2009). Элементы чистой и прикладной математики (иллюстрированное изд.). Курьерская корпорация. п. 382. ISBN. 978-0-486-47186-0. Выписка со страницы 382

[3] Робинсон, Джулия (1996). Собрание сочинений Джулии Робинсон . American Mathematical Soc. п. 104. ISBN 978-0-8218-0575-6. Отрывок страницы 104

[4] «Сборник математических символов» . Математическое хранилище . 2020-03-01 . Проверено 11 августа 2020 .

[5] Роуз, Маргарет. «Математические символы» . Проверено 1 апреля 2015 года .

[6] "Рациональное число" . Британская энциклопедия . Проверено 11 августа 2020 .

[7] Вайсштейн, Эрик В. «Рациональное число» . mathworld.wolfram.com . Проверено 11 августа 2020 .

[Gilbert-8] Гилберт, Джимми; Линда, Гилберт (2005). Элементы современной алгебры (6-е изд.). Бельмонт, Калифорния: Томсон Брукс / Коул. С. 243–244. ISBN 0-534-40264-X.

[9] Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. 1989 г.Коэффициент входа , n. , смысл 2.a.

[10] Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. 1989 г.Вход рациональный , а. (нареч.) и сущ. ¹ , смысл 5.a.

[11] Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. 1989 г.Вступление иррациональное , а. и п. , смысл 3.

[12] Шор, Питер (2017-05-09). «Разве рациональное происходит от соотношения или соотношение происходит от рационального» . Обмен стеками . Проверено 19 марта 2021 . CS1 maint: discouraged parameter (link)

[13] Coolman, Роберт (2016-01-29). «Как математическое суеверие одурачило алгебру более тысячи лет» . Проверено 20 марта 2021 .

[14] Крамер, Эдна (1983). Природа и развитие современной математики . Издательство Принстонского университета. п. 28.

[15] Sūgakkai, Нихон (1993). Математический энциклопедический словарь, том 1 . Лондон, Англия: MIT Press. п. 578. ISBN 0-2625-9020-4.

[16] Бурбаки, Н. (2003). Алгебра II: главы 4-7 . Springer Science & Business Media. п. А.VII.5.

[1]

vтеКоличество систем
Счетные множества	Натуральные числа ( ) $\mathbb {N}$ Целые числа ( ) $\mathbb {Z}$ Рациональные числа ( ) $\mathbb {Q}$ Конструируемые числа Алгебраические числа ( ) $\mathbb {A}$ Периоды Вычислимые числа Определимые действительные числа Арифметические числа Гауссовские целые числа
Композиционные алгебры	Алгебры с делением : действительные числа ( ) $\mathbb {R}$ Комплексные числа ( ) $\mathbb {C}$ Кватернионы ( ) $\mathbb {H}$ Октонионы ( ) $\mathbb {O}$
Сплит- типы	более : $\mathbb {R}$ Сплит-комплексные числа Сплит-кватернионы Сплит-октонионы над : $\mathbb {C}$ Бикомплексные числа Бикватернионы Биоктонионы
Другой гиперкомплекс	Двойные числа Двойные кватернионы Двойные комплексные числа Гиперболические кватернионы Седенионы ( ) $\mathbb {S}$ Сплит-бикватернионы Мультикомплексные номера Геометрическая алгебра Алгебра физического пространства Алгебра пространства-времени
Другие типы	Количественные числительные Расширенные натуральные числа Иррациональные числа Нечеткие числа Гиперреальные числа Поле Леви-Чивита Сюрреалистические числа Трансцендентные числа Порядковые номера p -адические числа( p -адические соленоиды) Сверхъестественные числа Сверхреальные числа
Классификация Список