Десятичное представление

Десятичное представление о неотрицательном действительном числе $г$ является выражением в виде последовательности из десятичных цифр , традиционно написанных с одним сепаратором

{\ displaystyle r = b_ {k} b_ {k-1} \ ldots b_ {0} .a_ {1} a_ {2} \ ldots \ ,,}

где $k$ - неотрицательное целое число и целые числа в диапазоне 0, ..., 9, которые называются цифрами представления. ${\ displaystyle b_ {0}, \ ldots, b_ {k}, a_ {1}, a_ {2}, \ ldots}$

Это выражение представляет собой бесконечную сумму

{\ displaystyle r = \ sum _ {i = 0} ^ {k} b_ {i} 10 ^ {i} + \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {i}} { 10 ^ {i}}}.}

Последовательность цифр после точки может быть конечной, и в этом случае предполагается, что недостающие цифры равны 0. ${\ displaystyle a_ {i}}$

Каждое неотрицательное действительное число имеет хотя бы одно такое представление; он имеет два таких представления тогда и только тогда, когда одно имеет конечную бесконечную последовательность нулей, а другое - конечную бесконечную последовательность девяток. Некоторые авторы запрещают десятичные представления с конечной бесконечной последовательностью девяток, потому что это допускает взаимно-однозначное соответствие между неотрицательными действительными числами и десятичными представлениями. ^[1]

Целое число , обозначаемое $в$ $0$ в оставшейся части этой статьи, называется целая часть из $г$ , а последовательность из представляет собой число ${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 0} ^ {k} b_ {i} 10 ^ {я}}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$

{\ displaystyle 0.a_ {1} a_ {2} \ ldots = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {i}} {10 ^ {i}}},}

который называется дробная часть из $г$ .

Конечные десятичные приближения [ править ]

Любое действительное число может быть аппроксимировано с любой желаемой степенью точности рациональными числами с конечными десятичными представлениями.

Допустим . Тогда для каждого целого числа существует конечное десятичное число такое, что ${\ Displaystyle х \ geq 0}$ ${\ Displaystyle п \ geq 1}$ ${\ displaystyle r_ {n} = a_ {0} .a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n}}$

{\ displaystyle r_ {n} \ leq x <r_ {n} + {\ frac {1} {10 ^ {n}}}.}

Доказательство :

Пусть , где . Тогда , и результат следует из деления всех сторон на . (Тот факт, что имеет конечное десятичное представление, легко устанавливается.) $r_{n}=\textstyle {\frac {p}{10^{n}}}$ $p=\lfloor 10^{n}x\rfloor$ $p\leq 10^{n}x<p+1$ $10^{n}$ $r_{n}$

Неединственность десятичного представления и условные обозначения [ править ]

Некоторые действительные числа имеют два бесконечных десятичных представления. Например, число 1 может быть равно 1.000 ... и 0,999 ... (где бесконечные последовательности завершающих нулей или девяток, соответственно, представлены знаком "..."). Обычно предпочтительным является десятичное представление без завершающих девяток. Кроме того, в стандартном десятичном представлении о , бесконечная последовательность завершающих 0 ' , появляющихся после десятичной точки опущена, наряду с самой десятичной точкой , если является целым числом. $x$ $x$ $x$

Определенные процедуры построения десятичного разложения позволяют избежать проблемы с завершающей девяткой. Например, следующая алгоритмическая процедура будет давать стандартное десятичное представление: Учитывая , мы сначала определим (на целую часть из ) , чтобы наибольшие целого числа таких , что (то есть ). Если процедура прекращается. В противном случае, для уже найденного, мы определяем индуктивно как наибольшее целое число такое, что $x$ $x\geq 0$ $a_{0}$ $x$ $a_{0}\leq x$ $a_{0}=\lfloor x\rfloor$ $x=a_{0}$ ${\textstyle (a_{i})_{i=0}^{k-1}}$ $a_{k}$

$a_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}+{\frac {a_{2}}{10^{2}}}+\cdots +{\frac {a_{k}}{10^{k}}}\leq x.\quad \quad (*)$

Процедура завершается всякий раз, когда обнаруживается, что равенство выполняется ; в противном случае он продолжается до бесконечности, давая бесконечную последовательность десятичных цифр. Можно показать, что ^[2] (условно записывается как ), где и неотрицательное целое число представлено в десятичной системе счисления . Эта конструкция расширяется путем применения описанной выше процедуры и обозначения результирующего десятичного разложения с помощью . $a_{k}$ $(*)$ ${\textstyle x=\sup _{k}\{\sum _{i=0}^{k}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}\}}$ $x=a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots$ $a_{1},a_{2},a_{3}\ldots \in \{0,1,2,\ldots ,9\},$ $a_{0}$ $x<0$ $-x>0$ $-a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots$

Конечные десятичные представления [ править ]

Десятичное разложение неотрицательного действительного числа x закончится нулями (или девятками) тогда и только тогда, когда x является рациональным числом, знаменатель которого имеет вид 2 ⁿ 5 ^m , где m и n - неотрицательные целые числа. .

Доказательство :

Если десятичное разложение x заканчивается нулями или некоторым n , знаменатель x имеет вид 10 ⁿ = 2 ⁿ 5 ⁿ . $x=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}=\sum _{i=0}^{n}10^{n-i}a_{i}/10^{n}$

И наоборот, если знаменатель x имеет вид 2 ⁿ 5 ^m , для некоторого p . Хотя x имеет форму , для некоторого n . By , x оканчивается нулями. $x={\frac {p}{2^{n}5^{m}}}={\frac {2^{m}5^{n}p}{2^{n+m}5^{n+m}}}={\frac {2^{m}5^{n}p}{10^{n+m}}}$ $\textstyle {\frac {p}{10^{k}}}$ $p=\sum _{i=0}^{n}10^{i}a_{i}$ $x=\sum _{i=0}^{n}10^{n-i}a_{i}/10^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}$

Повторяющиеся десятичные представления [ править ]

Некоторые действительные числа имеют десятичные разложения, которые в конечном итоге превращаются в циклы, бесконечно повторяя последовательность из одной или нескольких цифр:

¹ / ₃ = 0,33333 ...

⁺¹ / ₊₇ = +0,142857142857 ...

¹³¹⁸ / ₊₁₈₅ = 7,1243243243 ...

Каждый раз, когда это происходит, число по-прежнему является рациональным числом (т. Е. Альтернативно может быть представлено как отношение целого числа к положительному целому числу). Верно и обратное: десятичное представление рационального числа либо конечно, либо бесконечно повторяется.

Преобразование в дробь [ править ]

Каждое десятичное представление рационального числа можно преобразовать в дробь, суммируя целые, неповторяющиеся и повторяющиеся части, как в приведенном ниже примере ^{[ требуется пояснение ]}

\pm 8.123{\overline {4567}}=\pm \left(8+{\frac {123}{10^{3}}}+{\frac {4567}{(10^{4}-1)\cdot 10^{3}}}\right)=\pm {\frac {8123\,(10000-1)+4567}{9999000}}=\pm {\frac {20306611}{2499750}}

где показатели в знаменателях равны 3 (количество неповторяющихся цифр после десятичной точки) и 4 (количество повторяющихся цифр). Если нет повторяющихся цифр, предположим, что существует постоянно повторяющийся 0, то есть . $1.9=1.9{\overline {0}}$

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Кнут, Дональд Эрвин (1973). Искусство программирования . Том 1: Основные алгоритмы. Эддисон-Уэсли . п. 21. |volume= has extra text (help)
^ Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл . п. 11. ISBN 0-07-054235-X.

Дальнейшее чтение [ править ]

Апостол, Том (1974). Математический анализ (Второе изд.). Эддисон-Уэсли .
Савард, Джон Дж. Г. (2018) [2006]. «Десятичные представления» . квадиблок . Архивировано 16 июля 2018 года . Проверено 16 июля 2018 .

[Knuth_1973-1] Кнут, Дональд Эрвин (1973). Искусство программирования . Том 1: Основные алгоритмы. Эддисон-Уэсли . п. 21. |volume= has extra text (help)

[Walter_1976-2] Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл . п. 11. ISBN 0-07-054235-X.

[1]