0,999 ...

Повторяющаяся десятичная дробь продолжается бесконечно.

В математике , 0,999 ... (также записывается как 0. 9 , в повторяющихся десятичную нотацию ) обозначает повторяющееся десятичной , состоящий из последовательности из бесконечной 9s после десятичной точки . Это повторяющееся десятичное число представляет собой наименьшее число, не меньшее, чем каждое десятичное число в последовательности (0,9, 0,99, 0,999, ...). ^[1] Это число равно 1. Другими словами, «0,999 ...» и «1» представляют одно и то же число. Есть много способов показать это равенство, от интуитивных аргументов до математически строгих доказательств.. Используемый метод зависит от целевой аудитории, исходных предположений, исторического контекста и предпочтительного развития реальных чисел , системы, в которой обычно определяется 0,999 ... (В других системах 0,999 ... может иметь то же значение, другое определение или быть неопределенным.)

В более общем смысле, каждое ненулевое завершающее десятичное число имеет два равных представления (например, 8.32 и 8.31999 ...), что является свойством всех базовых представлений. Утилитарное предпочтение завершающего десятичного представления способствует неправильному представлению о том, что это единственное представление. По этой и другим причинам - например, строгим доказательствам, основанным на неэлементарных методах, свойствах или дисциплинах - некоторые люди могут найти равенство достаточно противоречивым, чтобы подвергнуть его сомнению или отвергнуть. Это было предметом нескольких исследований в области математического образования .

Элементарное доказательство [ править ]

Архимедовости : любая точка х до финиша лежит между двумя точками (включительно).${\displaystyle P_{n}}$

Существует элементарное доказательство уравнения 0,999 ... = 1 , в котором используются только математические инструменты сравнения и сложения (конечных) десятичных чисел , без каких-либо ссылок на более сложные темы, такие как ряды , пределы , формальное построение действительных чисел. и т. д. Доказательство, упражнение, данное Стиллвеллом (1994 , стр. 42), является прямой формализацией интуитивного факта, что если нарисовать 0,9, 0,99, 0,999 и т. д. на числовой прямойнет места для размещения числа между ними и 1. Значение обозначения 0,999 ... это наименьшая точка на числовой прямой, лежащая справа от всех чисел 0,9, 0,99, 0,999 и т. д. в конечном итоге между 1 и этими числами нет места, точка 1 должна быть этой наименьшей точкой, и поэтому 0,999 ... = 1 .

Интуитивное объяснение [ править ]

Если поставить 0,9, 0,99, 0,999 и т. Д. На числовой прямой , то сразу видно, что все эти точки находятся слева от 1 и все ближе и ближе к 1.

Точнее, расстояние от 0,9 до 1 составляет 0,1 = 1/10 , расстояние от 0,99 до 1 составляет 0,01 = 1/10 ² и так далее. Расстояние до 1 от n- й точки (то есть с n 9s после десятичной точки) составляет 1/10 ⁿ .

Следовательно, если бы 1 не было наименьшим числом, большим, чем 0,9, 0,99, 0,999 и т. Д., Тогда на числовой прямой была бы точка, которая находится между 1 и всеми этими точками. Эта точка будет на положительном расстоянии от 1, которое меньше 1/10 ⁿ для каждого целого n . В стандартных системах счисления ( рациональные числа и действительные числа ) нет положительного числа, которое меньше 1/10 ⁿ для всех n . Это (одна из версий) свойства Архимеда, которое можно доказать в системе рациональных чисел. Таким образом, 1 является наименьшим числом, которое больше всего 0,9, 0,99, 0,999 и т.д., и так 1 = 0,999 ... .

Обсуждение полноты [ править ]

Частично этот аргумент показывает, что существует наименьшая верхняя граница последовательности 0,9, 0,99, 0,999 и т. Д.: Наименьшее число, которое больше всех членов последовательности. Одна из аксиом в системе действительных чисел является полнота аксиома , которая гласит , что каждая ограниченная последовательность имеет точную верхнюю грань. Эта наименьшая верхняя граница - один из способов определения бесконечных десятичных разложений: действительное число, представленное бесконечным десятичным числом, является наименьшей верхней границей его конечных усечений. Аргумент здесь не требует допущения полноты, поскольку он показывает, что эта конкретная последовательность рациональных чисел на самом деле имеет наименьшую верхнюю границу и что эта наименьшая верхняя граница равна единице.

Формальное доказательство [ править ]

Предыдущее объяснение не является доказательством, поскольку невозможно правильно определить отношения между числом и его представлением в виде точки на числовой прямой. Для точности доказательства число 0,999 ... 9 с n девятками после десятичной точки обозначается 0. (9) _n . Таким образом, 0. (9) ₁ = 0,9 , 0. (9) ₂ = 0,99 , 0. (9) ₃ = 0,999 и т. Д. Поскольку 1/10 ⁿ = 0,0 ... 01 , с n цифрами после десятичной точки, правило сложения десятичных чисел подразумевает

${\displaystyle 0.(9)_{n}+1/10^{n}=1,}$

и

${\displaystyle 0.(9)_{n}<1,}$

для каждого натурального числа n .

Нужно показать, что 1 - это наименьшее число, которое не меньше всех 0. (9) _n . Для этого достаточно доказать, что если число x не больше 1 и не меньше всех 0. (9) _n , то x = 1 . Итак, пусть x такой, что

${\displaystyle 0.(9)_{n}\leq x\leq 1,}$

для каждого натурального числа n . Следовательно,

${\displaystyle 0\leq 1-x\leq 1-0.(9)_{n}=1/10^{n}.}$

Это означает, что разница между 1 и x меньше значения, обратного любому положительному целому числу. Таким образом, эта разница должна быть равна нулю, и, следовательно, x = 1 ; то есть

${\displaystyle 0.999\ldots =1.}$

Это доказательство основывается на том факте, что ноль - единственное неотрицательное число , которое меньше всех обратных целых чисел, или, что то же самое, нет числа, которое больше любого целого числа. Это свойство Архимеда , которое проверяется для рациональных и действительных чисел . Действительные числа могут быть расширены до систем счисления , таких как гиперреальные числа , с бесконечно малыми числами ( бесконечно малыми ) и бесконечно большими числами ( бесконечными числами ). При использовании таких систем обозначение 0,999 ... обычно не используется, поскольку не существует наименьшего числа, которое было бы не меньше всех 0. (9) _n. (Это подразумевается тем фактом, что 0. (9) _n ≤ x <1 влечет 0. (9) _{n –1} ≤ 2 x - 1 < x <1 ).

Алгебраические аргументы[ редактировать ]

Вопрос чрезмерно упрощенных иллюстраций равенства является предметом педагогической дискуссии и критики. Байерс (2007 , стр. 39) обсуждает аргумент , что в начальной школе, один преподается , что ¹ / ₊₃ = 0,333 ... , поэтому, игнорируя все существенные тонкости, «умножения» это тождество по 3 дает 1 = 0,999. .. . Далее он говорит, что этот аргумент неубедителен из-за нерешенной двусмысленности в значении знака равенства ; ученик может подумать: «Это, конечно, не означает, что число 1 идентично тому, что обозначено обозначением 0,999 .... »Большинство студентов математических специальностей, с которыми сталкивался Байерс, считают, что, хотя 0,999 ... « очень близко »к 1 в силу этого аргумента, некоторые даже говорят, что это« бесконечно близко », они не готовы сказать, что это равно 1. Ричман (1999) обсуждает, как «этот аргумент черпает силу из того факта, что большинству людей внушают принять первое уравнение, не задумываясь», но также предполагает, что этот аргумент может заставить скептиков усомниться в этом предположении.

Байерс также приводит следующий аргумент. Позволять

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0.999\ldots \\10x&=9.999\ldots &&{\text{by “multiplying” by }}10\\10x&=9+0.999\ldots &&{\text{by “splitting” off integer part}}\\10x&=9+x&&{\text{by definition of }}x\\9x&=9&&{\text{by subtracting }}x\\x&=1&&{\text{by dividing by }}9\end{aligned}}}$

Студенты, которые не приняли первый аргумент, иногда принимают второй аргумент, но, по мнению Байерса, все еще не разрешили двусмысленность и, следовательно, не понимают представления для бесконечных десятичных знаков. Peressini & Peressini (2007) , представляя тот же аргумент, также заявляют, что он не объясняет равенства, указывая на то, что такое объяснение, вероятно, будет включать концепции бесконечности и полноты . Болдуин и Нортон (2012) , цитируя Каца и Каца (2010a) , также приходят к выводу, что трактовка идентичности, основанная на таких аргументах, без формальной концепции ограничения, является преждевременной.

Тот же аргумент приводится Ричманом (1999) , который отмечает, что скептики могут сомневаться в том, может ли x быть сокращаемым,  то есть имеет ли смысл вычитать x из обеих сторон.

Аналитические доказательства[ редактировать ]

Поскольку вопрос о 0,999 ... не влияет на формальное развитие математики, его можно отложить до тех пор, пока не будут доказаны стандартные теоремы реального анализа . Одно из требований состоит в том, чтобы характеризовать действительные числа, которые могут быть записаны в десятичной системе счисления, состоящей из необязательного знака, конечной последовательности из одной или нескольких цифр, образующих целую часть, десятичного разделителя и последовательности цифр, образующих дробную часть. В целях обсуждения 0,999 ... целую часть можно суммировать как b _0, а отрицательными можно пренебречь, поэтому десятичное разложение имеет вид

${\displaystyle b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}b_{5}\dots .}$

Дробная часть, в отличие от целой, не ограничивается конечным числом цифр. Это позиционное обозначение , например, цифра 5 из 500 дает в десять раз больше, чем 5 из 50, а 5 из 0,05 дает одну десятую часть от 5 из 0,5.

Бесконечные серии и последовательности [ править ]

Возможно, наиболее распространенное развитие десятичных разложений - определение их как сумм бесконечных рядов . В целом:

${\displaystyle b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}\ldots =b_{0}+b_{1}\left({\tfrac {1}{10}}\right)+b_{2}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{2}+b_{3}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{3}+b_{4}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{4}+\cdots .}$

Для 0.999 ... можно применить теорему сходимости относительно геометрических рядов : ^[2]

Если тогда${\displaystyle |r|<1}$${\displaystyle ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ={\frac {ar}{1-r}}.}$

Так как 0,999 ... такая сумма с в = 9 и общем отношении г = ¹ / ₁₀ , теорема делает короткую работу вопроса:

${\displaystyle 0.999\ldots =9\left({\tfrac {1}{10}}\right)+9\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{2}+9\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{3}+\cdots ={\frac {9\left({\tfrac {1}{10}}\right)}{1-{\tfrac {1}{10}}}}=1.}$

Это доказательство появляется уже в 1770 году в « Элементах алгебры» Леонарда Эйлера . ^[3]

Сумма геометрического ряда сама по себе является результатом даже старше Эйлера. В типичном выводе 18-го века использовалась пословная манипуляция, аналогичная приведенному выше алгебраическому доказательству , и еще в 1811 году учебник Бонникасла « Введение в алгебру» использует такой аргумент для геометрических рядов, чтобы оправдать тот же маневр на 0,999. . ^[4] реакция 19-го века против таких либеральных методов суммирования приведенных в определении , что до сих пор доминирует сегодня: сумму ряда будет определена как предел последовательности его частичных сумм. Соответствующее доказательство теоремы явно вычисляет эту последовательность; его можно найти в любом введении в исчисление или анализ, основанном на доказательствах. ^[5]

Последовательность ( х ₀ , х ₁ , х ₂ , ...) имеет предел х , если расстояние | х  -  х _п | становится сколь угодно малым с увеличением n . Утверждение, что 0,999 ... = 1 само по себе может быть истолковано и доказано как предел: ^[6]

${\displaystyle 0.999\ldots \ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \lim _{n\to \infty }0.\underbrace {99\ldots 9} _{n}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {9}{10^{k}}}\ =\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{10^{n}}}\right)=1-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=1\,-\,0=1.}$

Первые два равенства можно интерпретировать как сокращенные определения символов. Остальные равенства доказываются. Последний шаг, что ¹ / _{10 ^л} → 0 при п → ∞, часто оправдано архимедовой свойством действительных чисел. Это основанное на ограничении отношение к 0,999 ... часто выражается в более выразительных, но менее точных терминах. Например, в учебнике 1846 года «Университетская арифметика» объясняется, что «0,999 + продолжается до бесконечности = 1, потому что каждое присоединение 9 приближает значение к 1»; арифметика для школ 1895 года гласит: «Когда берется большое количество девяток, разница между 1 и 0,99999 ... становится невероятно малой». ^[7] ТакиеСтуденты часто неправильно интерпретируют эвристику как подразумевающую, что 0,999 ... само по себе меньше 1.

Вложенные интервалы и наименьшие верхние границы [ править ]

Приведенное выше определение ряда - это простой способ определить действительное число, названное десятичной дробью. Дополнительный подход адаптирован к противоположному процессу: для данного действительного числа определите десятичное расширение (я), чтобы назвать его.

Если известно, что действительное число x лежит в закрытом интервале [0, 10] (т.е. оно больше или равно 0 и меньше или равно 10), можно представить себе разделение этого интервала на десять частей, которые перекрываются только в их конечных точках: [0, 1], [1, 2], [2, 3] и так далее до [9, 10]. Число x должно принадлежать к одному из них; если он принадлежит [2, 3], то записывается цифра «2» и этот интервал делится на [2, 2.1], [2.1, 2.2], ..., [2.8, 2.9], [2.9, 3]. Продолжение этого процесса дает бесконечную последовательность вложенных интервалов , помеченных бесконечной последовательностью цифр b ₀ , b ₁ , b ₂ , b ₃, ..., и один пишет

${\displaystyle x=b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}\ldots }$

В этом формализме тождества 1 = 0.999 ... и 1 = 1.000 ... отражают, соответственно, тот факт, что 1 лежит как в [0, 1], так и в [1, 2], поэтому при нахождении можно выбрать любой подинтервал его цифры. Чтобы гарантировать, что это обозначение не злоупотребляет знаком «=», нужен способ восстановить уникальное действительное число для каждого десятичного разделителя. Это можно сделать с ограничениями, но другие конструкции продолжают тему упорядочивания. ^[8]

Одним из простых вариантов является теорема о вложенных интервалах , которая гарантирует, что для данной последовательности вложенных, закрытых интервалов, длина которых становится сколь угодно малой, интервалы содержат ровно одно действительное число на их пересечении . Итак, b ₀ . b ₁ b ₂ b ₃ ... определяется как уникальный номер, содержащийся во всех интервалах [ b ₀ , b ₀ + 1], [ b ₀ . б ₁ , б ₀ . б ₁+ 0,1] и так далее. 0,999 ... тогда единственное действительное число, которое лежит во всех интервалах [0, 1], [0,9, 1], [0,99, 1] и [0,99 ... 9, 1] для каждой конечной строки 9с. Поскольку 1 является элементом каждого из этих интервалов, 0,999 ... = 1. ^[9]

Теорема о вложенных интервалах обычно основана на более фундаментальной характеристике действительных чисел: существовании наименьших верхних границ или супремумов . Чтобы напрямую использовать эти объекты, можно определить b ₀ . b ₁ b ₂ b ₃ ... быть точной верхней границей набора аппроксимаций { b ₀ , b ₀ . б ₁ , б ₀ . б ₁ б ₂ , ...}. ^[10]Затем можно показать, что это определение (или определение вложенных интервалов) согласуется с процедурой подразделения, подразумевая снова 0,999 ... = 1. Том Апостол заключает:

Тот факт, что действительное число может иметь два разных десятичных представления, является просто отражением того факта, что два разных набора действительных чисел могут иметь одну и ту же верхнюю грань. ^[11]

Доказательства построения действительных чисел[ редактировать ]

Некоторые подходы явно определяют действительные числа как определенные структуры, построенные на рациональных числах , используя аксиоматическую теорию множеств . В натуральных чисел  - 0, 1, 2, 3, и так далее - начинаются с 0 и продолжают вверх, так что каждое число имеет преемника. Можно расширить натуральные числа с их отрицательными числами , чтобы получить все целые числа , и расширить до соотношений, дав рациональные числа . Эти системы счисления сопровождаются арифметикой сложения, вычитания, умножения и деления. Более тонко, они включают упорядочивание , так что одно число может быть сравнено с другим и обнаружено, что оно меньше, больше или равно другому числу.

Шаг от рационального к реальному - серьезное расширение. Есть по крайней мере два популярных способа достижения этого шага, оба опубликованные в 1872 году: разрезы Дедекинда и последовательности Коши . Доказательства того, что 0,999 ... = 1, которые напрямую используют эти конструкции, не встречаются в учебниках по реальному анализу, где современной тенденцией последних нескольких десятилетий является использование аксиоматического анализа. Даже когда предлагается конструкция, она обычно применяется для доказательства аксиом действительных чисел, которые затем подтверждают приведенные выше доказательства. Тем не менее, некоторые авторы высказывают мысль, что логически целесообразнее начинать с конструкции, а полученные в результате доказательства являются более самодостаточными. ^[12]

Дедекинда сокращает [ править ]

В подходе сечения Дедекинда каждое действительное число x определяется как бесконечное множество всех рациональных чисел, меньших x . ^[13] В частности, действительное число 1 - это набор всех рациональных чисел, которые меньше 1. ^[14] Каждое положительное десятичное разложение легко определяет разрез Дедекинда: набор рациональных чисел, которые меньше некоторой стадии разложения. . Итак, действительное число 0,999 ... - это набор рациональных чисел r таких, что r <0, или r <0,9, или r <0,99, или r меньше, чем какое-либо другое число в форме ^[15]

${\displaystyle 1-{\frac {1}{10^{n}}}=0.(9)_{n}=0.\underbrace {99\ldots 9} _{n{\text{ nines}}}.}$

Каждый элемент 0,999 ... меньше 1, поэтому он является элементом действительного числа 1. И наоборот, все элементы 1 являются рациональными числами, которые можно записать как

${\displaystyle {\frac {a}{b}}<1,}$

с b > 0 и b > a . Из этого следует

${\displaystyle 1-{\frac {a}{b}}={\frac {b-a}{b}}\geq {\frac {1}{b}}>{\frac {1}{10^{b}}},}$

и поэтому

${\displaystyle {\frac {a}{b}}<1-{\frac {1}{10^{b}}}.}$

и с тех пор

${\displaystyle 1-{\frac {1}{10^{b}}}=0.(9)_{b}<0.999\ldots }$

по определению, приведенному выше, каждый элемент 1 также является элементом 0,999 ..., и в сочетании с приведенным выше доказательством того, что каждый элемент 0,999 ... также является элементом 1, наборы 0,999 ... и 1 содержат одинаковые рациональные числа и, следовательно, один и тот же набор, то есть 0,999 ... = 1.

Определение действительных чисел как сокращений Дедекинда было впервые опубликовано Ричардом Дедекиндом в 1872 году. ^[16] Вышеупомянутый подход к присвоению действительного числа каждому десятичному разложению основан на пояснительной статье под названием «Is 0.999 ... = 1?» Фред Richman в математическом журнале , ^[17] , который ориентирован на учителей коллегиальных математики, особенно в младшем / высоком уровне, и их учеников. ^[18] Ричман отмечает, что выполнение дедекиндовских сокращений в любом плотном подмножестве рациональных чисел дает те же результаты; в частности, он использует десятичные дроби, для которого доказательство более непосредственное. Он также отмечает, что обычно определения позволяют {x: x <1} быть сокращением, но не {x: x ≤ 1} (или наоборот) «Почему это делается? Именно для того, чтобы исключить существование различных чисел 0,9 * и 1. [...] Итак, мы видим, что в традиционном определении действительных чисел уравнение 0,9 * = 1 встроено в начало ". ^[19] Дальнейшая модификация процедуры приводит к другой структуре, в которой они не равны. Несмотря на то, что это соответствует, многие из общих правил десятичной арифметики больше держать, например фракция ¹ / ₃ не имеет представления; см. « Альтернативные системы счисления » ниже.

Последовательности Коши [ править ]

Другой подход - определить действительное число как предел последовательности рациональных чисел Коши . Эта конструкция действительных чисел использует упорядочение рациональных чисел менее прямо. Во-первых, расстояние между x и y определяется как абсолютное значение | x  -  y |, где модуль | z | определяется как максимум z и - z , поэтому никогда не бывает отрицательным. Затем действительные числа определяются как последовательности рациональных чисел, которые обладают свойством последовательности Коши, использующим это расстояние. То есть в последовательности ( x ₀ , x ₁ , x ₂, ...), отображение натуральных чисел в рациональные числа, для любого положительного рационального δ существует такое N , что | х _м  -  х _п | & Le  ; & delta ; для всех т , п  >  Н . (Расстояние между терминами становится меньше любого положительного рационального числа.) ^[20]

Если ( x _n ) и ( y _n ) - две последовательности Коши, то они определяются как действительные числа, если последовательность ( x _n  -  y _n ) имеет предел 0. Усечения десятичного числа b ₀ . b ₁ b ₂ b ₃ ... сгенерируйте последовательность рациональных чисел, которая является Коши; это используется для определения действительного значения числа. ^[21] Таким образом, в этом формализме задача состоит в том, чтобы показать, что последовательность рациональных чисел

${\displaystyle \left(1-0,1-{9 \over 10},1-{99 \over 100},\dots \right)=\left(1,{1 \over 10},{1 \over 100},\dots \right)}$

имеет предел 0. Поэтому , рассматривая n- й член последовательности для n ∈ ℕ , необходимо показать, что

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=0.}$

Этот предел очевиден ^[22], если понять определение предела . Итак, снова 0,999 ... = 1.

Определение действительных чисел как последовательностей Коши было впервые опубликовано отдельно Эдуардом Гейне и Георгом Кантором , также в 1872 году. ^[16] Вышеупомянутый подход к десятичному разложению, включая доказательство того, что 0,999 ... = 1, во многом повторяет работу Гриффитса и Хилтона 1970 года. работа Комплексный учебник классической математики: современная интерпретация . Книга написана специально, чтобы предложить второй взгляд на знакомые концепции в современном свете. ^[23]

Бесконечное десятичное представление [ править ]

Обычно в математическом образовании в средних школах действительные числа строятся путем определения числа с использованием целого числа, за которым следует точка счисления и бесконечная последовательность, записанная в виде строки для представления дробной части любого заданного действительного числа. В этой конструкции набор любой комбинации целого числа и цифр после десятичной точки (или точки счисления в системах с основанием не 10) является набором действительных чисел. Можно строго показать, что эта конструкция удовлетворяет всем действительным аксиомам после определения отношения эквивалентности на множестве, которое определяет 1 = _eq0,999 ... а также для любых других ненулевых десятичных знаков только с конечным числом ненулевых членов в десятичной строке с ее завершающей 9-й версией. ^[24] При таком построении вещественных чисел все доказательства утверждения «1 = 0,999 ...» можно рассматривать как неявно предполагающие равенство при выполнении любых операций над действительными числами.

Обобщения [ править ]

Результат 0,999 ... = 1 легко обобщается двумя способами. Во-первых, каждое ненулевое число с конечной десятичной записью (эквивалентно бесконечным конечным нулям) имеет аналог с конечными девятками. Например, 0,24999 ... равно 0,25, как и в рассматриваемом частном случае. Это числа в точности десятичные дроби, и они плотные . ^[25]

Во-вторых, сопоставимая теорема применима к каждому основанию или основанию . Например, по основанию 2 ( двоичная система счисления ) 0,111 ... равно 1, а по основанию 3 ( троичная система счисления ) 0,222 ... равно 1. Как правило, любое завершающее выражение с основанием b имеет аналог с повторяющимся завершением. цифры, равные b - 1. Учебники реального анализа, вероятно, пропустят пример 0,999 ... и с самого начала представят одно или оба этих обобщения. ^[26]

Альтернативные представления 1 также встречаются в нецелочисленных основаниях. Например, в основе золотого сечения двумя стандартными представлениями являются 1.000 ... и 0.101010 ..., и существует бесконечно много других представлений, которые включают смежные единицы. Как правило, почти для всех q между 1 и 2 существует несчетное количество разложений по основанию q для 1. С другой стороны, все еще существует несчетное количество q (включая все натуральные числа больше 1), для которых существует только одно основание- q расширение 1, кроме тривиальных 1.000 .... Этот результат был впервые получен Полом Эрдёшем , Миклошом Хорватом и Иштваном Йо примерно в 1990 году. В 1998 году Вилмос Коморник и Паола Лоретиопределена наименьшая такая база - постоянная Коморника – Лорети q = 1,787231650 .... В этой базе 1 = 0,11010011001011010010110011010011 ...; цифры даны последовательностью Туэ – Морса , которая не повторяется. ^[27]

Более широкое обобщение касается самых общих позиционных систем счисления . У них тоже есть несколько представлений, и в некотором смысле трудности еще хуже. Например: ^[28]

• В уравновешенной троичной системе, ¹ / ₂ = 0,111 ... = 1. 111 ....
• В обратной факториальной системе счисления (с использованием оснований 2!, 3!, 4!, ... для позиций после десятичной точки) 1 = 1.000 ... = 0.1234 ....

Невозможность однозначного представления [ править ]

То, что все эти различные системы счисления страдают от множественных представлений некоторых действительных чисел, можно объяснить фундаментальным различием между действительными числами как упорядоченным набором и наборами бесконечных строк символов, упорядоченных лексикографически . Действительно, следующие два свойства объясняют сложность:

• Если интервал из действительных чисел является разбивается на два непустых частей L , R , таким образом, что каждый элемент из L (строго) меньше , чем каждый элемент R , то либо L содержит наибольший элемент или R содержит наименьший элемент, но не то и другое одновременно.
• Набор бесконечных строк символов, взятых из любого конечного «алфавита», лексикографически упорядоченный, может быть разбит на две непустые части L , R , так что каждый элемент L меньше, чем каждый элемент R , в то время как L содержит наибольшую element, а R содержит наименьший элемент. Действительно, достаточно взять два конечных префикса (начальных подстрок) p ₁ , p ₂ элементов из коллекции, которые отличаются только своим конечным символом, для которого они имеют последовательные значения, и принять за Lнабор всех строк в коллекции, чей соответствующий префикс не превышает p ₁ , а для R остаток - строки в коллекции, соответствующий префикс которых не меньше p ₂ . Тогда L имеет самый большой элемент, начиная с p ₁ и выбирая самый большой доступный символ во всех следующих позициях, в то время как R имеет самый маленький элемент, полученный следующим за p ₂ наименьшим символом во всех позициях.

Первый пункт следует из основных свойств действительных чисел: L имеет верхнюю грань, а R имеет нижнюю грань , которые, как легко видеть, равны; будучи действительным числом, оно либо лежит в R, либо в L , но не в обоих, поскольку предполагается, что L и R не пересекаются . Второй пункт обобщает пару 0,999 ... / 1.000 ..., полученную при p ₁  = "0", p ₂  = "1". На самом деле нет необходимости использовать один и тот же алфавит для всех позиций (так, например, смешанная система счислениясистемы могут быть включены) или рассмотреть полный набор возможных строк; единственные важные моменты заключаются в том, что в каждой позиции может быть выбран конечный набор символов (который может даже зависеть от предыдущих символов) (это необходимо для обеспечения максимального и минимального выбора), и что правильный выбор для любой позиции должен приводит к правильной бесконечной строке (поэтому нельзя допускать "9" в каждой позиции, запрещая бесконечную последовательность "9" с). При этих предположениях приведенный выше аргумент показывает, что сохраняющая порядок карта из набора строк в интервал действительных чисел не может быть биекцией : либо некоторые числа не соответствуют какой-либо строке, либо некоторые из них соответствуют более чем одной строке .

Марко Петковшек доказал, что для любой позиционной системы, которая называет все действительные числа, множество действительных чисел с множественными представлениями всегда плотно. Он называет это доказательство «поучительным упражнением в элементарной точечно-множественной топологии »; он включает в себя просмотр наборов позиционных значений как пространств камня и наблюдение за тем, что их реальные представления задаются непрерывными функциями . ^[29]

Приложения [ править ]

Одно применение 0,999 ... как представление 1 встречается в элементарной теории чисел . В 1802 году Х. Гудвин опубликовал наблюдение о появлении девяток в повторяющемся десятичном представлении дробей, знаменателями которых являются некоторые простые числа . Примеры включают:

• ¹ / ₇ = 0. 142857 и 142 + 857 = 999.
• ¹ / ₇₃ = 0. 01369863 и 0136 + 9863 = 9999.

Э. Миди доказал общий результат о таких дробях, который теперь называется теоремой Миди , в 1836 году. Публикация была неясной, и неясно, было ли в его доказательстве непосредственное отношение к 0,999 ..., но, по крайней мере, одно современное доказательство У.Г. Ливитта касается. Если можно доказать, что если десятичное число вида 0. b ₁ b ₂ b ₃ ... является положительным целым числом, то оно должно быть 0,999 ..., что в таком случае является источником девяток в теореме. ^[30] Исследование в этом направлении может мотивировать такие понятия , как наибольшие общие делители , модульная арифметика , Ферма простые числа , порядка из группы элементов, иквадратичная взаимность . ^[31]

Возвращаясь к реальному анализу, аналог по основанию 3 0,222 ... = 1 играет ключевую роль в характеристике одного из простейших фракталов , канторовского множества в средней трети :

• Точка в единичном интервале лежит в наборе Кантора тогда и только тогда, когда она может быть представлена ​​троично, используя только цифры 0 и 2.

П я цифра представления отражает положение точки в п - й этап строительства. Так , например, точка ² / ₃ дается обычное представление 0,2 или 0.2000 ..., поскольку она лежит правее первого удаления и влево каждого удаления после этого. Точка ¹ / ₊₃ представлена не как 0.1 , но , как 0.0222 ..., так как он лежит слева от первого удаления и справа от каждого удаления после этого. ^[32]

Повторяющиеся девятки встречаются и в еще одном произведении Георга Кантора. Их необходимо принять во внимание, чтобы построить действительное доказательство несчетности единичного интервала , применяя его диагональный аргумент 1891 года к десятичным разложениям . Такое доказательство должно иметь возможность объявить определенные пары действительных чисел разными на основе их десятичных разложений, поэтому нужно избегать пар, таких как 0,2 и 0,1999 ... Простой метод представляет все числа с неограничивающими расширениями; противоположный метод исключает повторение девяток. ^[33] Вариант, который может быть ближе к исходному аргументу Кантора, на самом деле использует основание 2, и, превратив разложения по основанию 3 в расширения с основанием 2, можно также доказать несчетность множества Кантора. ^[34]

Скептицизм в образовании [ править ]

Студенты-математики часто отвергают равенство 0,999 ... и 1 по причинам, варьирующимся от их разрозненного внешнего вида до глубоких опасений по поводу концепции предела и разногласий по поводу природы бесконечно малых . Есть много общих факторов, способствующих путанице:

• Студенты часто «мысленно привержены идее, что число может быть представлено одним и только одним способом с помощью десятичной дроби». Увидеть два явно разных десятичных знака, представляющих одно и то же число, кажется парадоксом , который усиливается появлением, казалось бы, хорошо понятого числа 1. ^[35]
• Некоторые студенты интерпретируют «0,999 ...» (или аналогичное обозначение) как большую, но конечную строку из девяток, возможно, переменной, неопределенной длины. Если они принимают бесконечную строку девяток, они все равно могут ожидать последних 9 «на бесконечности». ^[36]
• Интуиция и неоднозначное обучение заставляют студентов думать о пределе последовательности как о некоем бесконечном процессе, а не о фиксированном значении, поскольку последовательность не обязательно должна достигать своего предела. Если учащиеся принимают разницу между последовательностью чисел и ее пределом, они могут читать «0,999 ...» как значение последовательности, а не ее предела. ^[37]

Эти идеи ошибочны в контексте стандартных действительных чисел, хотя некоторые из них могут быть действительными и в других системах счисления, изобретенных либо для их общей математической полезности, либо в качестве поучительных контрпримеров для лучшего понимания 0,999 ...

Многие из этих объяснений были найдены Дэвидом Толлом , который изучал особенности обучения и познания, которые привели к некоторым недопониманиям, с которыми он столкнулся у студентов своего колледжа. Опрашивая своих студентов, чтобы определить, почему подавляющее большинство изначально отвергало равенство, он обнаружил, что «студенты продолжали воспринимать 0,999 ... как последовательность чисел, приближающихся к единице, а не фиксированное значение, потому что« у вас нет » указано количество знаков 'или' это ближайшее возможное десятичное число ниже 1 ' ". ^[38]

Элементарный аргумент умножения 0,333 ... = ¹ / ₃ от 3 может убедить студентов , что неохотно 0,999 ... = 1. Тем не менее, когда они сталкиваются с конфликтом между их верой первого уравнения и их неверия второй, некоторые студенты либо начинают не верить первому уравнению, либо просто разочаровываются. ^[39] Не являются надежными и более сложные методы: студенты, которые полностью способны применять строгие определения, могут все же прибегать к интуитивным изображениям, когда их удивляет результат по продвинутой математике, включая 0,999 .... Например, один реальный студент-аналитик. был в состоянии доказать , что 0,333 ... = ¹ / ₊₃ , используя супремумуопределение, но затем настаивал на том, что 0,999 ... <1, основываясь на ее более раннем понимании деления в столбик. ^[40] Другие все еще находятся в состоянии доказать , что ¹ / ₃ = 0,333 ..., но после того сталкивается с дробным доказательством , настаивают на том, что «логику» заменяет математические расчеты.

Джозеф Мазур рассказывает историю о своем блестящем студенте-математике, который «подвергал сомнению почти все, что я говорил в классе, но никогда не подвергал сомнению свой калькулятор», и который пришел к выводу, что девять цифр - это все, что нужно для математических занятий, в том числе для вычисления квадрата. корень из 23. Ученику не понравился ограничивающий аргумент, что 9,99 ... = 10, назвав это «дико воображаемый бесконечный процесс роста». ^[41]

В рамках теории математического обучения Эда Дубинского APOS , он и его сотрудники (2005) предполагают, что студенты, которые представляют 0,999 ... как конечную неопределенную строку с бесконечно малым расстоянием от 1, «еще не построили полную концепцию процесса. бесконечной десятичной дроби ». Другие студенты, которые имеют полную концепцию процесса 0,999 ... могут еще не быть в состоянии «инкапсулировать» этот процесс в «концепцию объекта», как у них есть концепция объекта 1, и поэтому они рассматривают процесс 0,999 ... и объект 1 как несовместимый. Дубинский и др. также связывает эту умственную способность инкапсулирования к просмотру ¹ / ₃ в качестве числа в своем собственном праве и иметь дело с множеством натуральных чисел в целом.^[42]

Культурный феномен [ править ]

С появлением Интернета дебаты о 0,999 ... стали обычным явлением в группах новостей и досках объявлений , в том числе многие, которые номинально не имеют ничего общего с математикой. В группе новостей sci.math споры по поводу 0.999 ... описываются как «популярный вид спорта», и это один из вопросов, на которые дан ответ в ее FAQ . ^[43] часто задаваемые вопросы кратко охватывает ¹ / ₃ , умножение на 10, и пределы, и он ссылаются на последовательности Кошей , а также.

В 2003 году выпуск колонки общего интерес газеты Прямой Наркотик обсуждает 0,999 ... через ¹ / ₃ и пределы, говоря о заблуждениях,

Низшие приматы в нас все еще сопротивляются, говоря: .999 ~ на самом деле не число , а процесс . Чтобы найти число, мы должны остановить процесс, и тогда 0,999 ~ = 1 развалится. Ерунда. ^[44]

В статье Slate сообщается, что концепция 0.999 ... "горячо оспаривается на различных веб-сайтах, от досок объявлений World of Warcraft до форумов Айн Рэнд ". ^[45] В том же ключе, вопрос о 0.999 ... оказалось такой популярной темой в первые семь лет Blizzard Entertainment 's Battle.net форумах о том , что компания выпустила „пресс - релиз“ на первоапрельский день 2004 года , что это 1:

Мы очень рады закрыть книгу по этой теме раз и навсегда. Мы были свидетелями душевной боли и беспокойства по поводу того, равно ли .999 ~ 1 или нет, и мы гордимся тем, что следующее доказательство окончательно и окончательно решает проблему для наших клиентов. ^[46]

Затем предлагаются два доказательства, основанные на пределах и умножении на 10.

0,999 ... также присутствует в математических анекдотах , например: ^[47]

В: Сколько математиков нужно, чтобы вкрутить лампочку ?

А: 0,999999 ....

В альтернативных системах счисления[ редактировать ]

Хотя действительные числа образуют чрезвычайно полезную систему счисления , решение интерпретировать обозначение «0,999 ...» как наименование действительного числа в конечном итоге является условностью, и Тимоти Гауэрс утверждает в « Математике: очень краткое введение», что в результате тождество 0,999. .. = 1 - это тоже соглашение:

Однако это ни в коем случае не является произвольным соглашением, потому что его непринятие вынуждает либо изобретать новые странные объекты, либо отказываться от некоторых знакомых правил арифметики. ^[48]

Можно определить другие системы счисления, используя другие правила или новые объекты; в некоторых таких системах счисления приведенные выше доказательства нужно будет переосмыслить, и можно будет обнаружить, что в данной системе счисления 0,999 ... и 1 могут не совпадать. Однако многие системы счисления являются расширениями, а не независимыми альтернативами действительной системе счисления, поэтому 0,999 ... = 1 остается в силе. Однако даже в таких системах счисления стоит изучить альтернативные системы счисления не только на предмет того, как ведет себя 0,999 ... (если, действительно, число, выраженное как «0,999 ...», является значимым и однозначным), но и для поведения связанных явлений. Если такие явления отличаются от явлений в действительной системе счисления, то по крайней мере одно из допущений, встроенных в систему, должно быть нарушено.

Бесконечно малые [ править ]

Некоторые доказательства того, что 0,999 ... = 1, основаны на архимедовости действительных чисел: не существует ненулевых бесконечно малых чисел . В частности, разность 1 - 0,999 ... должна быть меньше любого положительного рационального числа, поэтому она должна быть бесконечно малой; но поскольку действительные числа не содержат ненулевых бесконечно малых чисел, разница, следовательно, равна нулю, и, следовательно, эти два значения совпадают.

Однако существуют математически согласованные упорядоченные алгебраические структуры , включая различные альтернативы действительным числам, которые не являются архимедовыми. Нестандартный анализ предоставляет систему счисления с полным набором бесконечно малых (и их обратных). ^[49] А.Х. Лайтстон разработал десятичное разложение для гиперреальных чисел в (0, 1) ^∗ . ^[50] Лайтстоун показывает, как связать с каждым числом последовательность цифр,

${\displaystyle 0.d_{1}d_{2}d_{3}\dots ;\dots d_{\infty -1}d_{\infty }d_{\infty +1}\dots ,}$

индексируется сверхъестественными числами. Несмотря на то , что он непосредственно не обсуждать 0,999 ..., он показывает реальное число ¹ / ₃ представлена 0,333 ...; ... 333 ... , которая является следствием принципа переноса . Как следствие, число 0,999 ...; ... 999 ... = 1. В этом типе десятичного представления не каждое раскрытие представляет собой число. В частности, «0,333 ...; ... 000 ...» и «0,999 ...; ... 000 ...» не соответствуют никаким числам.

Стандартное определение числа 0,999 ... это предел последовательности 0,9, 0,99, 0,999, ... Другое определение включает в себя то, что Терри Тао называет сверхпределом , т. Е. Класс эквивалентности [(0,9, 0,99, 0,999, ...)] этой последовательности в конструкции сверхвысокой мощности , которая представляет собой число, которое на бесконечно малую величину меньше 1. В более общем смысле, гиперреалистическое число u _H = 0,999 ...; ... 999000 ... с последней цифрой 9 в бесконечном сверхъестественном ранге H удовлетворяет строгому неравенству u _H <1. Соответственно, альтернативная интерпретация «ноль, за которым следует бесконечное количество девяток» могла бы быть

${\displaystyle {\underset {H}{0.\underbrace {999\ldots } }}\;=1\;-\;{\frac {1}{10^{H}}}.}$^[51]

Все такие интерпретации «0,999 ...» бесконечно близки к 1. Ян Стюарт характеризует эту интерпретацию как «полностью разумный» способ строго оправдать интуицию о том, что «немного не хватает» от 1 из 0,999 .... ^{[ 52]} Наряду с Кацем и Кацем Роберт Эли также подвергает сомнению предположение, что представления студентов о 0,999 ... <1 являются ошибочными интуитивными представлениями о действительных числах, интерпретируя их скорее как нестандартные интуиции, которые могут быть полезны при изучении математического анализа. ^{[53] [54]} Хосе Бенардете в своей книге « Бесконечность: очерк метафизики» утверждает, что некоторые естественные предматематические интуиции не могут быть выражены, если кто-то ограничен чрезмерно строгой системой счисления:

Было обнаружено, что разборчивость континуума - много раз - требует, чтобы область действительных чисел была расширена, чтобы включать бесконечно малые. Эту увеличенную область можно назвать областью континуальных чисел. Теперь будет очевидно, что .9999 ... не равно 1, но бесконечно меньше его. Я думаю, что .9999 ... действительно следует принимать как число ... но не как действительное число. ^[55]

Хакенбуш [ править ]

Комбинаторная теория игр также предлагает альтернативные действительные числа, одним из особенно подходящих примеров является бесконечный сине-красный куст Хакенбуша . В 1974 году Элвин Берлекамп описал соответствие между строками Хакенбуша и двоичными разложениями действительных чисел, руководствуясь идеей сжатия данных . Например, значение строки LRRLRLRL Hackenbush ... это 0.010101 ₂ ... = ¹ / ₃ . Тем не менее, значение LRLLL ... ( что соответствует 0,111 ... ₂ ) имеет бесконечно меньше 1. Различие между ними состоит в ирреально число ¹ / _ω , где ω является первымбесконечный порядковый номер ; соответствующая игра - LRRRR ... или 0,000 ... ₂ . ^[56]

Фактически это верно для двоичных разложений многих рациональных чисел, где значения чисел равны, но соответствующие пути двоичного дерева различны. Например, 0,10111 ... ₂  = 0,11000 ... ₂ , которые оба равны 3/4, но первое представление соответствует пути двоичного дерева LRLRLLL ... а второе соответствует другому пути LRLLRRR ... .

Возвращаясь к вычитанию [ править ]

Другой способ подорвать доказательства: если 1 - 0,999 ... просто не существует, потому что вычитание не всегда возможно. Математические структуры с операцией сложения, но не операцией вычитания, включают коммутативные полугруппы , коммутативные моноиды и полукольца . Ричман рассматривает две такие системы, сконструированные так, что 0,999 ... <1.

Во-первых, Ричман определяет неотрицательное десятичное число как буквальное десятичное расширение. Он определяет лексикографический порядок и операцию сложения, отмечая, что 0,999 ... <1 просто потому, что 0 <1 в разрядах единиц, но для любого незавершенного x 0,999 ... +  x  = 1 +  x . Итак, одна особенность десятичных чисел состоит в том, что сложение не всегда можно отменить; другой является то , что в настоящее время нет десятичное число соответствует ¹ / ₃ . После определения умножения десятичные числа образуют положительное, полностью упорядоченное коммутативное полукольцо. ^[57]

В процессе определения умножения Ричман также определяет другую систему, которую он называет «разрез D », которая представляет собой набор дедекиндовских сокращений десятичных дробей. Обычно это определение приводит к действительным числам, но для десятичной дроби d он допускает как сокращение (−∞,  d ), так и «основное сокращение» (−∞,  d ]. В результате действительные числа «живут нелегко. вместе с «десятичными дробями. Опять 0,999 ... <1. В разрезе D нет положительных бесконечно малых величин , но есть« своего рода отрицательное бесконечно малое », 0 ^- , которое не имеет десятичного разложения. Он приходит к выводу, что 0,999 .. . = 1 + 0 ^- , а уравнение «0,999 ...+ х= 1 "не имеет решения. ^[58]

p -адические числа [ править ]

Отвечая на вопрос о 0,999 ..., новички часто считают, что должна быть «последняя 9», полагая, что 1 - 0,999 ... является положительным числом, которое они записывают как «0,000 ... 1». Независимо от того, имеет ли это смысл, интуитивная цель ясна: добавление 1 к последним 9 в 0,999 ... переведет все 9 в 0 и оставит 1 на месте единиц. Среди других причин эта идея не срабатывает, потому что в 0.999 нет "последней девятки" .... ^[59] Однако есть система, которая содержит бесконечную цепочку девяток, включая последнюю девятку.

В р -адические числа являются альтернативой системы счисления интереса к теории чисел . Подобно действительным числам, p -адические числа могут быть построены из рациональных чисел с помощью последовательностей Коши ; конструкция использует другую метрику, в которой 0 ближе к p и намного ближе к p ⁿ , чем к 1. p -адические числа образуют поле для простого p и кольцо для других p , включая 10. Итак, арифметика может выполняться в p- адиках, и бесконечно малых нет.

В 10-адических числах аналоги десятичных разложений идут влево. 10-адическое расширение ... 999 имеет последние 9 и не имеет первых 9. Можно добавить 1 к разряду единиц, и после переноса остаются только 0: 1 + ... 999 = ... 000 = 0, и поэтому ... 999 = −1. ^[60] Другой вывод использует геометрический ряд. Бесконечный ряд, подразумеваемый «... 999», не сходится в действительных числах, но он сходится в 10-адиках, поэтому можно повторно использовать знакомую формулу:

${\displaystyle \ldots 999=9+9(10)+9(10)^{2}+9(10)^{3}+\cdots ={\frac {9}{1-10}}=-1.}$^[61]

(Сравните с серией выше .) Третий вывод был изобретен семиклассницей, которая сомневалась в ограничивающем аргументе своего учителя о том, что 0,999 ... = 1, но была вдохновлена ​​использовать приведенное выше доказательство умножения на 10 в противоположном направлении. : если x  = ... 999, то 10 x  = ... 990, поэтому 10 x  =  x  - 9, следовательно,  снова x = −1. ^[60]

В качестве окончательного расширения, поскольку 0,999 ... = 1 (в действительных числах) и ... 999 = −1 (в 10-адиках), то «слепой верой и беззастенчивым жонглированием символами» ^[62] можно добавить два уравнения и приходят к ... 999.999 ... = 0. Это уравнение не имеет смысла ни как 10-адическое разложение, ни как обычное десятичное разложение, но оказывается значимым и истинным в дважды бесконечном десятичном разложении. от 10-адического соленоида , в конечном счете , с повторяющимися левыми концами , чтобы представить действительные числа ^[63] и в конечном итоге повторяя правый концы для представления 10-адических чисел.

Ультрафинитизм [ править ]

Философия ультрафинитизма отвергает как бессмысленные концепции, имеющие дело с бесконечными множествами, такие как идея о том, что обозначение может означать десятичное число с бесконечной последовательностью девяток , а также суммирование бесконечного числа чисел, соответствующих позиционным значениям десятичных цифр. в этой бесконечной струне. В этом подходе к математике имеет смысл только определенное (фиксированное) количество конечных десятичных цифр. Вместо «равенства» используется «приблизительное равенство», то есть равенство до количества десятичных цифр, которое разрешено вычислять. ^[64]${\displaystyle 0.999\ldots }$${\displaystyle 9/10+9/100+\cdots }$ Хотя Кац и Кац утверждают, что ультрафинитизм может уловить интуицию студента о том, что 0,999 ... должно быть меньше единицы, идеи ультрафинитизма не получили широкого признания в математическом сообществе, а философия не имеет общепринятого формального математического основания. . ^[65]

Связанные вопросы [ править ]

• Парадоксы Зенона , особенно парадокс бегуна, напоминают очевидный парадокс, что 0,999 ... и 1 равны. Парадокс бегуна можно смоделировать математически, а затем, например, 0,999 ..., разрешить с помощью геометрического ряда. Однако неясно, решает ли этот математический подход основные метафизические проблемы, которые исследовал Зенон. ^[66]
• Деление на ноль встречается в некоторых популярных дискуссиях о 0,999 ..., и это также вызывает споры. В то время как большинство авторов предпочитают определять 0,999 ..., почти все современные методы оставляют деление на ноль неопределенным, поскольку оно не может иметь никакого значения в стандартных действительных числах. Однако деление на ноль определено в некоторых других системах, таких как комплексный анализ , где расширенная комплексная плоскость , то есть сфера Римана , имеет « бесконечно удаленную точку ». Здесь имеет смысл определить ¹ / ₀ равным бесконечности; ^[67]и, по сути, результаты глубоки и применимы ко многим задачам техники и физики. Некоторые выдающиеся математики выступали за такое определение задолго до того, как была разработана какая-либо система счисления. ^[68]
• Отрицательный ноль - еще одна избыточная особенность многих способов записи чисел. В системах счисления, таких как действительные числа, где «0» обозначает аддитивное тождество и не является ни положительным, ни отрицательным, обычная интерпретация «-0» заключается в том, что он должен обозначать аддитивный инверсный к 0, что вынуждает -0 = 0 . ^[69] Тем не менее, некоторые научные приложения используют отдельные положительные и отрицательные нули, как и некоторые вычислительные двоичные системы счисления (например, целые числа, хранящиеся в знаках и величинах, или форматах дополнения до единиц , или числа с плавающей запятой, как указано в стандарте IEEE с плавающей запятой). точка стандартная ). ^{[70] [71]}

См. Также [ править ]

• Предел (математика)
• Серии (математика)
• Наивная математика
• Финитизм

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Послушайте эту статью ( 50 минут )

Этот аудиофайл был создан на основе редакции этой статьи от 19 октября 2006 г. и не отражает последующих правок. (2006-10-19)

( Аудио справка  · Больше устных статей )

Викискладе есть медиафайлы по теме 0.999… .

• .999999 ... = 1? из неразрезанного
• Почему 0,9999 ... = 1?
• Доказательство равенства на основе арифметики
• Исследование Дэвида Талла о познании математики
• Что плохого в том, чтобы считать действительные числа бесконечными десятичными знаками?
• Теорема 0.999 ... о метамате