Предел последовательности

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Предел последовательности»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( май 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Последовательность определяется периметров регулярных п односторонняя полигонов , что окружать единичная окружность имеет предел , равный по периметру круга, то есть . Соответствующая последовательность для вписанных многоугольников имеет такой же предел.${\displaystyle 2\pi r}$

В математике , то предел последовательности является значение , что условия в последовательности «как правило,» и часто обозначается с помощью символа (например, ). ^{[1] [2]} Если такой предел существует, последовательность называется сходящейся . ^[3] Несходящаяся последовательность называется расходящейся . ^[4] Предел последовательности называется фундаментальным понятием, на котором в конечном итоге основан весь математический анализ . ^[2]${\displaystyle \lim }$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$

Пределы могут быть определены в любом метрическом или топологическом пространстве , но обычно сначала встречаются в вещественных числах .

История [ править ]

Греческий философ Зенон Элейский известен формулированием парадоксов, связанных с ограничивающими процессами .

Левкипп , Демокрит , Антифон , Евдокс и Архимед разработали метод исчерпания , который использует бесконечную последовательность приближений для определения площади или объема. Архимеду удалось суммировать то, что сейчас называется геометрическим рядом .

Ньютон имел дело с сериями в своих работах по анализу с бесконечными сериями (написано в 1669 году, распространено в рукописи, опубликовано в 1711 году), методе флюксий и бесконечных серий (написано в 1671 году, опубликовано в английском переводе в 1736 году, латинский оригинал опубликован намного позже) и Tractatus de Quadratura Curvarum (написанный в 1693 году, опубликованный в 1704 году как приложение к его Optiks ). В последней работе Ньютон рассматривает биномиальное разложение ( x  +  o ) ⁿ , которое он затем линеаризует, принимая предел, когда o  стремится к 0.

В XVIII веке математикам, таким как Эйлер, удалось суммировать некоторые расходящиеся ряды, остановившись в нужный момент; их не очень волновало, существует ли предел, если его можно рассчитать. В конце века Лагранж в своей « Теории аналитических функций» (1797) высказал мнение, что отсутствие строгости препятствует дальнейшему развитию математического анализа . Гаусс в своем этюде гипергеометрических рядов (1813 г.) впервые строго исследовал, при каких условиях ряд сходится к пределу.

Современное определение предела (для любого ε существует индекс N, так что ...) было дано Бернхардом Больцано ( Der binomische Lehrsatz , Прага, 1816 г., в то время мало что было замечено) и Карлом Вейерштрассом в 1870-х годах.

Реальные числа [ править ]

В действительных числах , число является пределом в последовательности , если числа в последовательности становятся все ближе и ближе к й не на любой другой номер.${\displaystyle L}$ ${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle L}$

Примеры [ править ]

• Если для постоянного c , то . ^{[доказательство 1] [5]}${\displaystyle x_{n}=c}$${\displaystyle x_{n}\to c}$
• Если , то . ^{[доказательство 2] [5]}${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n}}}$${\displaystyle x_{n}\to 0}$
• Если когда - четное, а когда - нечетное, то . (Тот факт, что когда-либо нечетное, не имеет значения.)${\displaystyle x_{n}=1/n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n^{2}}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{n}\to 0}$${\displaystyle x_{n+1}>x_{n}}$${\displaystyle n}$
• Для любого действительного числа можно легко построить последовательность, сходящуюся к этому числу, с помощью десятичных приближений. Например, последовательность сходится к . Обратите внимание, что десятичное представление является пределом предыдущей последовательности, определяемой${\displaystyle 0.3,0.33,0.333,0.3333,...}$${\displaystyle 1/3}$ ${\displaystyle 0.3333...}$

${\displaystyle 0.3333...:=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {3}{10^{i}}}}$.

• Нахождение предела последовательности не всегда очевидно. Двумя примерами являются (предел которого - число e ) и среднее арифметико-геометрическое . Теорема сжатия часто бывает полезна при установлении таких пределов.${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

Формальное определение [ править ]

Мы называем по пределу в последовательности , если выполняется следующее условие:${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x_{n})}$

• Для каждого действительного числа существует такое натуральное число , что для каждого натурального числа мы имеем . ^[6]${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle |x_{n}-x|<\epsilon }$

Другими словами, для каждой меры близости члены последовательности в конечном итоге настолько близки к пределу. Говорят, что последовательность сходится или стремится к пределу , записывается или .${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{n}\to x}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x}$

Символически это:

• ${\displaystyle \forall \varepsilon >0(\exists N\in \mathbb {N} (\forall n\in \mathbb {N} (n\geq N\implies |x_{n}-x|<\varepsilon ))).}$

Если последовательность сходится к некоторому пределу, то она сходится ; в противном случае он расходится . Последовательность, у которой есть ноль в качестве предела, иногда называют нулевой последовательностью .

Иллюстрация [ править ]

• Пример предельно сходящейся последовательности .${\displaystyle a}$

• Независимо от того, какой у нас есть, есть индекс , так что последовательность впоследствии полностью лежит в эпсилон-трубке .${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle N_{0}}$${\displaystyle (a-\varepsilon ,a+\varepsilon )}$

• Есть также меньший индекс , чтобы последовательность потом находилась внутри эпсилон-трубки .${\displaystyle \epsilon _{1}>0}$${\displaystyle N_{1}}$${\displaystyle (a-\varepsilon _{1},a+\varepsilon _{1})}$

• Для каждого есть только конечное количество членов последовательности вне эпсилон-трубки.${\displaystyle \varepsilon >0}$

Свойства [ править ]

Пределы последовательностей хорошо себя ведут по отношению к обычным арифметическим операциям . Если и , то , и, если ни Ь , ни какой - либо равен нулю, . ^[5]${\displaystyle a_{n}\to a}$${\displaystyle b_{n}\to b}$${\displaystyle a_{n}+b_{n}\to a+b}$${\displaystyle a_{n}\cdot b_{n}\to ab}$${\displaystyle b_{n}}$${\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}\to {\frac {a}{b}}}$

Для любой непрерывной функции f , если тогда . Фактически, любая вещественнозначная функция f является непрерывной тогда и только тогда, когда она сохраняет пределы последовательностей (хотя это не обязательно верно при использовании более общих понятий непрерывности).${\displaystyle x_{n}\to x}$${\displaystyle f(x_{n})\to f(x)}$

Некоторые другие важные свойства пределов реальных последовательностей включают следующее (при условии, что в каждом уравнении ниже, что пределы справа существуют).

• Предел последовательности уникален. ^[5]
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}}$^[5]
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\cdot \lim _{n\to \infty }a_{n}}$^[5]
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=(\lim _{n\to \infty }a_{n})\cdot (\lim _{n\to \infty }b_{n})}$^[5]
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}}$при условии ^[5]${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}=\left[\lim _{n\to \infty }a_{n}\right]^{p}}$
• Если для всех больше некоторых , то .${\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}}$
• ( Теорема сжатия ) Если для всех , а , то .${\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}}$${\displaystyle n>N}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=L}$
• Если последовательность ограничена и монотонна , то она сходится.
• Последовательность сходится тогда и только тогда, когда каждая подпоследовательность сходится.
• Если каждая подпоследовательность последовательности имеет свою собственную подпоследовательность, которая сходится к одной и той же точке, то исходная последовательность сходится к этой точке.

Эти свойства широко используются для доказательства пределов без необходимости прямого использования громоздкого формального определения. Например. как только это доказано , становится легко показать - используя указанные выше свойства - это (при условии, что это так ).${\displaystyle 1/n\to 0}$${\displaystyle {\frac {a}{b+{\frac {c}{n}}}}\to {\frac {a}{b}}}$${\displaystyle b\neq 0}$

Бесконечные ограничения [ править ]

Последовательность называется стремится к бесконечности , написанного или , если для каждого K , существует N такое , что для каждого , ; то есть, термины последовательности в конечном счете , больше любого фиксированного K . ${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle x_{n}\to \infty }$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty }$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle x_{n}>K}$

Аналогичным образом , если для каждого K , существует N такое , что для каждого , . Если последовательность стремится к бесконечности или минус бесконечности, то она расходится. Однако расходящаяся последовательность не обязательно должна стремиться к плюс-минус бесконечности, и последовательность представляет собой один из таких примеров.${\displaystyle x_{n}\to -\infty }$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle x_{n}<K}$${\displaystyle x_{n}=(-1)^{n}}$

Метрические пространства [ править ]

Определение [ править ]

Точка в метрическом пространстве является пределом в последовательности , если для всех , существует такое , что для каждого , . Это совпадает с определением, данным для действительных чисел, когда и .${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle d(x_{n},x)<\epsilon }$${\displaystyle X=\mathbb {R} }$${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$

Свойства [ править ]

Для любой непрерывной функции f , если тогда . Фактически функция f непрерывна тогда и только тогда, когда она сохраняет пределы последовательностей.${\displaystyle x_{n}\to x}$${\displaystyle f(x_{n})\to f(x)}$

Пределы последовательностей уникальны, если они существуют, поскольку отдельные точки разделены некоторым положительным расстоянием, поэтому менее половины этого расстояния члены последовательности не могут находиться на расстоянии от обеих точек.${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$

Топологические пространства [ править ]

Определение [ править ]

Точка х топологического пространства ( X , τ) является пределом в последовательности ( х _п ) , если для каждой окрестности U от х , существует N такое , что для каждого , . ^[7] Это совпадает с определением, данным для метрических пространств, если ( X , d ) - метрическое пространство и топология, порожденная d .${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle x_{n}\in U}$${\displaystyle \tau }$

Предел последовательности точек в топологическом пространстве Т представляет собой частный случай предела функции : при регистрации домена находится в пространстве , с индуцированной топологией в аффинно расширенной системе действительного числа , то диапазон является Т , а функция аргумент п стремится к + ∞, что в этом пространстве является предельной точкой из .${\displaystyle \left(x_{n}:n\in \mathbb {N} \right)\;}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} \cup \lbrace +\infty \rbrace }$${\displaystyle \mathbb {N} }$

Свойства [ править ]

Если X - хаусдорфово пространство , то пределы последовательностей уникальны там, где они существуют. Обратите внимание, что в общем случае это не обязательно; в частности, если две точки х и у являются топологически неразличимы , то любая последовательность , которая сходится к х сходится к у , и наоборот.

Последовательности Коши [ править ]

Последовательность Коши - это последовательность, члены которой в конечном итоге становятся произвольно близкими друг к другу после того, как было отброшено достаточно много начальных членов. Понятие последовательности Коши важно при изучении последовательностей в метрических пространствах и, в частности, в реальном анализе . Одним из особенно важных результатов реального анализа является критерий Коши сходимости последовательностей : последовательность действительных чисел сходится тогда и только тогда, когда она является последовательностью Коши. Это остается верным и в других полных метрических пространствах .

Определение в гиперреальных числах [ править ]

Определение предела с использованием гиперреальных чисел формализует интуицию, что для «очень большого» значения индекса соответствующий термин «очень близок» к пределу. Точнее, реальная последовательность стремится к L , если для каждого бесконечного hypernatural Н термин х _Н бесконечно близко к L (то есть разность х _H  -  L является бесконечно малой ). Эквивалентно, L является стандартной частью из й _H${\displaystyle (x_{n})}$

${\displaystyle L={\rm {st}}(x_{H}).\,}$

Таким образом, предел можно определить по формуле

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}={\rm {st}}(x_{H}),}$

где предел существует тогда и только тогда , когда правая часть не зависит от выбора бесконечного Н .

См. Также [ править ]

• Предел функции  - точка, к которой сходятся функции в топологии.
• Предельная точка  - точка x в топологическом пространстве, все окрестности которой содержат некоторую точку в данном подмножестве, отличную от x .
• Ограничьте высшее и ограничьте низшее
• Режимы схождения
• Предел сети . Сеть - это топологическое обобщение последовательности.
• Теоретико-множественный предел
• Правило смены
• Последующий лимит

Примечания [ править ]

Доказательства [ править ]

Ссылки [ править ]

• Курант, Ричард (1961). "Дифференциальное и интегральное исчисление, том I", Blackie & Son, Ltd., Глазго.
• Фрэнк Морли и Джеймс Харкнесс Трактат по теории функций (Нью-Йорк: Макмиллан, 1893)

Внешние ссылки [ править ]

• "Предел" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• История исчисления , включая пределы