Последовательность Коши

(б) Последовательность, не являющаяся Коши. В элементах последовательности не могут получить сколь угодно близко друг к другу , как продвижения последовательности.

В математике , А последовательность Коши ( французское произношение: [koʃi] ; английский: / к oʊ ʃ я / КОН -shee ), названный в честь Коши , является последовательность которого элементы становятся сколь угодно близко друг к другу , как последовательность прогрессирует. ^[1] Точнее, при любом небольшом положительном расстоянии все элементы последовательности, кроме конечного, меньше указанного расстояния друг от друга.

Недостаточно, чтобы каждый член произвольно приближался к предыдущему члену. Например, в последовательности квадратных корней натуральных чисел:

${\ displaystyle a_ {n} = {\ sqrt {n}},}$

следующие друг за другом члены становятся произвольно близкими друг к другу:

${\ displaystyle a_ {n + 1} -a_ {n} = {\ sqrt {n + 1}} - {\ sqrt {n}} = {\ frac {1} {{\ sqrt {n + 1}} + {\ sqrt {n}}}} <{\ frac {1} {2 {\ sqrt {n}}}}.}$

Однако с ростом значения индекса n члены a _n становятся сколь угодно большими. Итак, для любого индекса n и расстояния d существует достаточно большой индекс m , такой что a _m - a _n > d . ( На самом деле, любой м > ( √ п + d ) ² хватает.) В результате, несмотря на, как далеко идет, остальные члены последовательности никогда не приблизиться к друг другу , поэтому последовательность не Коши.

Полезность последовательностей Коши заключается в том, что в полном метрическом пространстве (таком, где известно, что все такие последовательности сходятся к пределу ), критерий сходимости зависит только от членов самой последовательности, в отличие от определения сходимость, в которой используется предельное значение, а также условия. Это часто используется в алгоритмах , как теоретических, так и прикладных, где итерационный процесс можно относительно легко показать для создания последовательности Коши, состоящей из итераций, таким образом выполняя логическое условие, такое как завершение.

Обобщения последовательностей Коши в более абстрактных однородных пространств существуют в виде фильтров Коши и сеток Коши .

В реальных числах [ править ]

Последовательность

${\ Displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, \ ldots}$

действительных чисел называется последовательностью Коши, если для каждого положительного действительного числа ε существует такое натуральное число N , что для всех натуральных чисел m , n > N

${\ displaystyle | x_ {m} -x_ {n} | <\ varepsilon,}$

где вертикальные полосы обозначают абсолютное значение . Аналогичным образом можно определить последовательности Коши рациональных или комплексных чисел. Коши сформулировал такое условие, требуя быть бесконечно малым для каждой пары бесконечных m , n .${\ displaystyle x_ {m} -x_ {n}}$

Для любого действительного числа r последовательность усеченных десятичных разложений r образует последовательность Коши. Например, когда r = π , эта последовательность равна (3, 3.1, 3.14, 3.141, ...). М е и п - й терминов отличаются не более чем на 10 ^{1- м} при т < п , и , как м растет это становится меньше любым фиксированным положительным числом е.

Модуль сходимости Коши [ править ]

Если - последовательность в наборе , то модуль сходимости по Коши для последовательности - это функция от набора натуральных чисел к самому себе, такая, что .${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, ...)}$${\ displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \forall k\forall m,n>\alpha (k),|x_{m}-x_{n}|<1/k}$

Любая последовательность с модулем сходимости Коши является последовательностью Коши. Существование модуля для последовательности Коши следует из хорошо упорядочения собственности натуральных чисел (пусть будет наименьшим возможным в определении последовательности Коши, принимая быть ). Существование модуля также следует из принципа зависимого выбора , который является слабой формой аксиомы выбора, а также следует из еще более слабого условия, называемого AC ₀₀ . Регулярные последовательности Коши - это последовательности с заданным модулем сходимости Коши (обычно или${\displaystyle \alpha (k)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle r}$${\displaystyle 1/k}$${\displaystyle \alpha (k)=k}$${\displaystyle \alpha (k)=2^{k}}$). Любая последовательность Коши с модулем сходимости Коши эквивалентна регулярной последовательности Коши; это можно доказать без использования какой-либо аксиомы выбора.

Модули сходимости Коши используются конструктивными математиками, которые не хотят использовать какую-либо форму выбора. Использование модуля сходимости Коши может упростить как определения, так и теоремы конструктивного анализа. Регулярные последовательности Коши были использованы Эрреттом Бишопом в его « Основах конструктивного анализа» и Дугласом Бриджесом в неконструктивном учебнике ( ISBN  978-0-387-98239-7 ).

В метрическом пространстве [ править ]

Поскольку определение последовательности Коши включает в себя только метрические понятия, это просто обобщить его на любую метрическое пространстве X . Для этого абсолютное значение | х _м - х _п | заменяется расстоянием d ( x _m , x _n ) (где d обозначает метрику ) между x _m и x _n .

Формально, учитывая метрическое пространство ( X , d ) , последовательность

х ₁ , х ₂ , х ₃ , ...

является Коши, если для любого положительного действительного числа ε > 0 существует натуральное число N такое, что для всех натуральных чисел m , n > N , расстояние

d ( x _m , x _n ) < ε .

Грубо говоря, члены последовательности становятся все ближе и ближе друг к другу таким образом , который наводит на мысль , что последовательность должна иметь предел в X . Тем не менее, такой предел не всегда существует внутри X : свойство пространства, состоящее в том, что каждая последовательность Коши сходится в пространстве, называется полнотой и подробно описывается ниже.

Полнота [ править ]

Метрическое пространство ( X , d ), в котором каждая последовательность Коши сходится к элементу X , называется полным .

Примеры [ править ]

Эти действительные числа являются полными под метрикой , индуцированную обычной абсолютной величиной, и один из стандартных конструкций действительных чисел включают в себя последовательность Коши рациональных чисел . В этой конструкции каждый класс эквивалентности последовательностей Коши рациональных чисел с определенным поведением хвоста, то есть каждый класс последовательностей, которые сколь угодно близки друг к другу, является действительным числом.

Довольно другой тип примера предоставляется метрическим пространством X, которое имеет дискретную метрику (где любые две различные точки находятся на расстоянии 1 друг от друга). Любая последовательность Коши элементов X должна быть постоянной за пределами некоторой фиксированной точки и сходиться к повторяющемуся члену.

Не пример: рациональные числа [ править ]

Эти рациональные числа Q не являются полными (для обычного расстояния):
Есть последовательности рациональных чисел , которые сходятся (в R ) для иррациональных чисел ; эти последовательности Коши , не имеющие предела в Q . Фактически, если действительное число x иррационально, то последовательность ( x _n ), n -й член которой является усечением до n десятичных знаков десятичного разложения x , дает последовательность Коши рациональных чисел с иррациональным пределом x . Безусловно, в R существуют иррациональные числа , например:

• Последовательность, определяемая с помощью, состоит из рациональных чисел (1, 3/2, 17/12, ...), что ясно из определения; однако он сходится к иррациональному квадратному корню из двух, см. вавилонский метод вычисления квадратного корня .${\displaystyle x_{0}=1,x_{n+1}={\frac {x_{n}+{\frac {2}{x_{n}}}}{2}}}$
• Последовательность соотношений последовательных чисел Фибоначчи, которая, если она вообще сходится, сходится к пределу, удовлетворяющему , и ни одно рациональное число не обладает этим свойством. Однако, если рассматривать это как последовательность действительных чисел, она сходится к действительному числу , золотому сечению , что является иррациональным.${\displaystyle x_{n}=F_{n}/F_{n-1}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi ^{2}=\phi +1}$${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2}$
• Значения экспоненты, синуса и косинуса функций, exp ( x ), sin ( x ), cos ( x ), известны как иррациональные для любого рационального значения x ≠ 0, но каждое из них может быть определено как предел рациональная последовательность Коши, используя, например, ряд Маклорена .

Не пример: открытый интервал [ править ]

Открытый интервал в множестве действительных чисел с обычным расстоянием в R не является полным пространство: есть последовательность в нем, что Коши (при сколь угодно малом расстояния связаны все условия о приступе в интервале), однако не сходится in - его "предел", число , не принадлежит пробелу .${\displaystyle X=(0,2)}$${\displaystyle x_{n}=1/n}$${\displaystyle d>0}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle n>1/d}$${\displaystyle (0,d)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X}$

Другие свойства [ править ]

• Каждая сходящаяся последовательность (например, с пределом s ) является последовательностью Коши, поскольку для любого действительного числа ε > 0 за пределами некоторой фиксированной точки каждый член последовательности находится на расстоянии ε / 2 от s , поэтому любые два члена последовательности последовательности находятся на расстоянии ε друг от друга.
• В любом метрическом пространстве, последовательность Коши х _п будет ограничена (так как в течение некоторого N , всех членов последовательности из N -го года находятся в пределах расстояния 1 друг с другом, и , если М представляет собой наибольшее расстояние между х _N и любых условиях до N -го, то ни один член последовательности не находится на расстоянии более M + 1 от x _N ).
• В любом метрическом пространстве последовательность Коши, имеющая сходящуюся подпоследовательность с пределом s , сама сходится (с тем же пределом), поскольку для любого действительного числа r > 0 за пределами некоторой фиксированной точки в исходной последовательности каждый член подпоследовательности находится на расстоянии r / 2 от s , а любые два члена исходной последовательности находятся на расстоянии r / 2 друг от друга, поэтому каждый член исходной последовательности находится на расстоянии r от s .

Эти последние два свойства вместе с теоремой Больцано – Вейерштрасса дают одно стандартное доказательство полноты действительных чисел, тесно связанное как с теоремой Больцано – Вейерштрасса, так и с теоремой Гейне – Бореля . Каждая последовательность действительных чисел Коши ограничена, следовательно, согласно Больцано – Вейерштрассу имеет сходящуюся подпоследовательность, а значит, сама сходится. Это доказательство полноты действительных чисел неявно использует аксиому наименьшей верхней границы . Упомянутый выше альтернативный подход построения действительных чисел как дополнения рациональных чисел делает полноту действительных чисел тавтологической.

Одна из стандартных иллюстраций преимущества работы с последовательностями Коши и использования полноты обеспечивается рассмотрением суммирования бесконечного ряда действительных чисел (или, в более общем смысле, элементов любого полного нормированного линейного пространства , или банахово пространство ). Такой ряд считается сходящимся тогда и только тогда, когда сходится последовательность частичных сумм , где . Определение того, является ли последовательность частичных сумм последовательностью Коши или нет, является обычным делом, поскольку для целых положительных чисел p > q , ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}$ ${\displaystyle (s_{m})}$${\displaystyle s_{m}=\sum _{n=1}^{m}x_{n}}$

${\displaystyle s_{p}-s_{q}=\sum _{n=q+1}^{p}x_{n}.}$

Если это равномерно непрерывное отображение между метрическими пространствами М и N , и ( х _п ) является последовательностью Коши в М , то есть последовательность Коши в N . Если и - две последовательности Коши в рациональных, действительных или комплексных числах, то сумма и произведение также являются последовательностями Коши.${\displaystyle f\colon M\rightarrow N}$${\displaystyle (f(x_{n}))}$${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle (y_{n})}$${\displaystyle (x_{n}+y_{n})}$${\displaystyle (x_{n}y_{n})}$

Обобщения [ править ]

В топологических векторных пространствах [ править ]

Существует также концепция последовательности Коши для топологического векторного пространства : выберите локальную базу примерно для 0; then ( ) является последовательностью Коши, если для каждого члена существует такое число , что всякий раз, когда он является элементом . Если топология совместима с трансляционно-инвариантной метрикой , два определения согласуются.${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle V\in B}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n,m>N,x_{n}-x_{m}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$

В топологических группах [ править ]

Поскольку определение последовательности Коши в топологическом векторном пространстве требует только непрерывной операции «вычитания», ее также можно сформулировать в контексте топологической группы : последовательность в топологической группе является последовательностью Коши, если для каждого открытого окрестности в идентичности в существует некоторое число такое , что всякий раз , когда это следует , что . Как и выше, достаточно проверить это для окрестностей в любой локальной базе тождества в .${\displaystyle (x_{k})}$${\displaystyle G}$${\displaystyle U}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle m,n>N}$${\displaystyle x_{n}x_{m}^{-1}\in U}$${\displaystyle G}$

Как и при построении пополнения метрического пространства , можно, кроме того, определить бинарное отношение на последовательностях Коши в этом и эквивалентно, если для каждой открытой окрестности тождества в существует некоторое число такое, что всякий раз, когда оно следует за ним . Это отношение является отношением эквивалентности : оно рефлексивно, поскольку последовательности являются последовательностями Коши. Он симметричен, поскольку по непрерывности обратного есть еще одна открытая окрестность тождества. Он транзитивен, поскольку где и - открытые окрестности единицы такие, что${\displaystyle G}$${\displaystyle (x_{k})}$${\displaystyle (y_{k})}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle m,n>N}$${\displaystyle x_{n}y_{m}^{-1}\in U}$${\displaystyle y_{n}x_{m}^{-1}=(x_{m}y_{n}^{-1})^{-1}\in U^{-1}}$${\displaystyle x_{n}z_{l}^{-1}=x_{n}y_{m}^{-1}y_{m}z_{l}^{-1}\in U'U''}$${\displaystyle U'}$${\displaystyle U''}$${\displaystyle U'U''\subseteq U}$; такие пары существуют в силу непрерывности групповой операции.

В группах [ править ]

Существует также понятие последовательности Коши в группе : Пусть убывающая последовательность нормальных подгрупп из конечного индекса . Тогда последовательность в называется Коши (относительно ) тогда и только тогда, когда для любого существует такая, что .${\displaystyle G}$${\displaystyle H=(H_{r})}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle r}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \forall m,n>N,x_{n}x_{m}^{-1}\in H_{r}}$

Технически это то же самое, что последовательность топологической группы Коши для определенного выбора топологии на , а именно той, для которой является локальной базой.${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$

Набор таких последовательностей Коши образует группу (для покомпонентного произведения), а набор нулевых последовательностей (s.th. ) является нормальной подгруппой . Фактор - группа называется завершение относительно .${\displaystyle C}$${\displaystyle C_{0}}$${\displaystyle \forall r,\exists N,\forall n>N,x_{n}\in H_{r}}$${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C/C_{0}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$

Затем можно показать, что это пополнение изоморфно обратному пределу последовательности .${\displaystyle (G/H_{r})}$

Примером этой конструкции, известной в теории чисел и алгебраической геометрии, является конструкция p -адического пополнения целых чисел относительно простого числа p . В этом случае G - это добавляемые целые числа, а H _r - аддитивная подгруппа, состоящая из целых кратных p ^r .

Если является конфинальной последовательностью (т. Е. Любая нормальная подгруппа конечного индекса содержит некоторую ), то это пополнение канонично в том смысле, что оно изоморфно обратному пределу , где изменяется по всем нормальным подгруппам конечного индекса . Подробнее см. Гл. I.10 в «Алгебре» Лэнга .${\displaystyle H}$${\displaystyle H_{r}}$${\displaystyle (G/H)_{H}}$${\displaystyle H}$

В гиперреальном континууме [ править ]

Реальная последовательность имеет естественное гиперреальное расширение, определенное для сверхъестественных значений H индекса n в дополнение к обычному натуральному n . Последовательность является Коши тогда и только тогда, когда для любых бесконечных H и K значения и бесконечно близки или адекватны , т. Е.${\displaystyle \langle u_{n}:n\in \mathbb {N} \rangle }$${\displaystyle u_{H}}$${\displaystyle u_{K}}$

${\displaystyle \,\mathrm {st} (u_{H}-u_{K})=0}$

где "st" - стандартная функция детали .

Завершение категорий по Коши [ править ]

Краузе (2018) ввел понятие пополнения категории по Коши . Применительно к Q (категории, объекты которой являются рациональными числами, и существует морфизм от x к y тогда и только тогда, когда x ≤ y ), это пополнение Коши дает R (снова интерпретируемое как категория, использующая ее естественный порядок).

См. Также [ править ]

• Способы сходимости (аннотированный указатель)
• Дедекинда вырезать

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Бурбаки, Николас (1972). Коммутативная алгебра (английский перевод ред.). Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-00644-8.
• Краузе, Хеннинг (2018), Завершение идеальных комплексов: с приложениями Тобиаса Бартеля и Бернхарда Келлера , arXiv : 1805.10751 , Bibcode : 2018arXiv180510751B
• Лэнг, Серж (1993), Алгебра (Третье изд.), Чтение, Массачусетс: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl  0848,13001
• Спивак, Майкл (1994). Исчисление (3-е изд.). Беркли, Калифорния: Опубликовать или погибнуть. ISBN 0-914098-89-6. Архивировано из оригинала на 2007-05-17 . Проверено 26 мая 2007 .
• Troelstra, AS ; Д. ван Дален . Конструктивизм в математике: Введение . (для использования в конструктивной математике)

Внешние ссылки [ править ]

• "Фундаментальная последовательность" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]