В математике , серия является суммой из слагаемых в бесконечной последовательности чисел. Точнее, бесконечная последовательность определяет серию S, которая обозначается
П - й частичной суммой S п является суммой первых п членов последовательности; то есть,
Ряд сходится (или сходится ), если последовательность его частичных сумм стремится к пределу ; это означает, что при сложении одной за другой в порядке, заданном индексами , получаются частичные суммы, которые становятся все ближе и ближе к заданному числу. Точнее, ряд сходится, если существует такое число , что для любого сколь угодно малого положительного числа , существует (достаточно большое) число такое , что для всех ,
Если ряд сходится, число (обязательно уникальное) называется суммой ряда .
То же обозначение
используется для ряда и, если он сходится, для его суммы. Это соглашение аналогична той , которая используется для добавления: + Ь обозначает операцию добавления и Ь , а также в результате этого добавления , которое называется суммой из и б .
Любой несходящийся ряд называется расходящимся или расходящимся.
Примеры сходящихся и расходящихся рядов [ править ]
- Обратные положительные целые числа образуют расходящийся ряд ( гармонический ряд ):
- Чередование знаков обратных положительных целых чисел дает сходящийся ряд ( чередующийся гармонический ряд ):
- Обратные к простым числам производят расходящийся ряд (так что набор простых чисел " большой "; см. Расхождение суммы обратных чисел простых чисел ):
- Обратные треугольные числа образуют сходящийся ряд:
- Обратные факториалам производят сходящийся ряд (см. E ):
- Обратные квадратные числа производят сходящийся ряд ( проблема Базеля ):
- Величина, обратная степеням 2, дает сходящийся ряд (так что набор степеней 2 " мал "):
- Обратные степени любого n> 1 дают сходящийся ряд:
- Чередование знаков, обратных степеням двойки, также дает сходящийся ряд:
- Чередование знаков, обратных степеням любого n> 1, дает сходящийся ряд:
- Обратными чисел Фибоначчи производят сходящийся ряд (см ψ ):
Тесты сходимости [ править ]
Существует несколько методов определения того, сходится ли ряд или расходится .
Сравнительный тест . Члены последовательностисравниваются счленамидругой последовательности. Если,
для всех п , и сходится, то и
Однако если,
для всех п , и расходится, то и
Соотношение тест . Предположимчто для всех п ,не равна нулю. Предположим, что существуеттакое, что
Если r <1, то ряд абсолютно сходится. Если r > 1, то ряд расходится. Если r = 1, тест отношения неубедителен, и ряды могут сходиться или расходиться.
Корневой тест или n- й корневой тест . Предположим, что члены рассматриваемой последовательности неотрицательны . Определите r следующим образом:
- где «lim sup» обозначает верхний предел (возможно, ∞; если предел существует, то это то же значение).
Если r <1, то ряд сходится. Если r > 1, то ряд расходится. Если r = 1, проверка корня неубедительна, и ряды могут сходиться или расходиться.
И тест соотношения, и тест корня основаны на сравнении с геометрическим рядом, и поэтому они работают в аналогичных ситуациях. Фактически, если тест соотношения работает (это означает, что предел существует и не равен 1), то также и корневой тест; обратное, однако, неверно. Таким образом, корневой тест применим более широко, но на практике предел часто бывает трудно вычислить для часто встречающихся типов рядов.
Интегральный тест . Ряд можно сравнить с интегралом, чтобы установить сходимость или расхождение. Пусть- положительная и монотонно убывающая функция . Если
тогда ряд сходится. Но если интеграл расходится, то расходится и ряд.
Предел сравнительного теста . Если, и пределсуществует и не равен нулю, тосходится тогда и только тогда, когда сходится.
Испытание чередующейся серии . Также известный как критерий Лейбница , тест чередующегося ряда утверждает, что для чередующегося ряда формы, еслионо монотонно убывает и имеет предел 0 на бесконечности, то ряд сходится.
Тест конденсации Коши . Если- положительная монотонно убывающая последовательность, то
сходится тогда и только тогда, когдасходится.
Тест Дирихле
Тест Авеля
Условная и абсолютная сходимость [ править ]
Иллюстрация абсолютной сходимости степенных рядов ехр [
г ] около 0 оценивали при
г = ехр [ я / 3 ] . Длина линии конечна.
Иллюстрация условной сходимости степенных рядов бревна (
г + 1) вокруг 0 оцененных при
г = ехр ((π- 1 / 3 ) я ). Длина линии бесконечна.
Для любой последовательности , для всех n. Следовательно,
Это означает, что если сходится, то также сходится (но не наоборот).
Если ряд сходится, то он сходится абсолютно . Абсолютно сходящаяся последовательность - это последовательность, в которой длина линии, созданной путем объединения всех приращений в частичную сумму, конечна. Степенный ряд экспоненциальной функции абсолютно сходится везде.
Если ряд сходится но ряд расходится, то ряд является условно сходящимся . Путь, образованный соединением частичных сумм условно сходящегося ряда, бесконечно велик. Степенный ряд логарифма условно сходится.
Теорема Римана о рядах утверждает, что если ряд сходится условно, можно переставить члены ряда таким образом, чтобы ряд сходился к любому значению или даже расходился.
Равномерная конвергенция [ править ]
Основная статья: равномерное схождение
Позвольте быть последовательность функций. Серии называются равномерно сходится к F ,
если последовательность частичных сумм определяются
сходится равномерно к f .
Существует аналог теста сравнения для бесконечного ряда функций, называемый М-тестом Вейерштрасса .
Критерий сходимости Коши [ править ]
Критерий сходимости Коши утверждает , что ряд
сходится тогда и только тогда, когда последовательность частичных сумм является последовательностью Коши . Это означает, что для каждого существует положительное целое число такое, что для всех у нас есть
что эквивалентно
См. Также [ править ]
- Нормальная конвергенция
- Список математических рядов
Внешние ссылки [ править ]
- "Серии" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Вайсштейн, Эрик (2005). Теорема Римана о рядах . Проверено 16 мая 2005 года.
|
- Арифметическая прогрессия
- Геометрическая прогрессия
- Гармоническая прогрессия
- Квадратный номер
- Кубическое число
- Факториал
- Полномочия двух
- Полномочия трех
- Степени 10
| - Полная последовательность
- Числа Фибоначчи
- Фигурное число
- Семиугольное число
- Шестиугольное число
- Число Лукаса
- Число Пелла
- Пятиугольное число
- Многоугольный номер
- Треугольное число
|
| |
- Последовательность Коши
- Монотонная последовательность
- Периодическая последовательность
|
- Сходящийся ряд
- Расходящаяся серия
- Условная сходимость
- Абсолютная конвергенция
- Равномерная сходимость
- Чередующиеся серии
- Телескопическая серия
|
- 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + ⋯
- 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
- 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
- 1 + 1/2 с + 1/3 с + ... (дзета-функция Римана)
| - 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
- 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
- 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
- 1 - 1 + 1 - 1 + ⋯ (серия Гранди)
- Бесконечный арифметический ряд
- 1–2 + 3–4 + ⋯
- 1-2 + 4-8 + ⋯
- 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (гармонический ряд)
- 1 - 1 + 2 - 6 + 24 - 120 + altern (переменные факториалы)
- 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (обратные числа)
|
|
- Серия Тейлор
- Силовая серия
- Формальный степенной ряд
- Серия Laurent
- Серия Puiseux
- Серия Дирихле
- Тригонометрический ряд
- Ряд Фурье
- Генерация серии
|
- Обобщенный гипергеометрический ряд
- Гипергеометрическая функция матричного аргумента
- Лауричелла гипергеометрический ряд
- Модульный гипергеометрический ряд
- Дифференциальное уравнение Римана
- Тета-гипергеометрический ряд
|
- Книга
- Категория
|