Гармонический ряд (математика)

Дифференциальный

Определения
Производная ( обобщения ) Дифференциальный бесконечно малый функции общий
Концепции
Обозначение дифференциации Вторая производная Неявное дифференцирование Логарифмическое дифференцирование Связанные ставки Теорема Тейлора
Правила и личности
Сумма Товар Цепь Мощность Частное Правило L'Hôpital Обратный Генерал Лейбниц Формула Фаа ди Бруно

интеграл

Определения
Списки интегралов Интегральное преобразование
Первообразный Интегральный ( неправильный ) Интеграл Римана Интеграция Лебега Контурная интеграция Интеграл от обратных функций
Интеграция
Запчасти Диски Цилиндрические оболочки Подстановка ( тригонометрическая , Вейерштрасса , Эйлера ) Формула Эйлера Неполные фракции Изменение порядка Формулы приведения Дифференцируя знаком интеграла Алгоритм риша

Серии

Тесты сходимости
Геометрический ( арифметико-геометрический ) Гармонический Чередование Мощность Биномиальный Тейлор
Предел слагаемого (тест на срок) Соотношение Корень интеграл Прямое сравнение Сравнение пределов Чередование серий Конденсация Коши Дирихле Авель

Вектор

Теоремы
Градиент Расхождение Завиток Лапласиан Производная по направлению Идентичности
Градиент Зелень Стокса Расхождение обобщенный Стокса

Многовариантный

Формализмы
Матрица Тензор Внешний вид Геометрический
Определения
Частная производная Кратный интеграл Линейный интеграл Поверхностный интеграл Объемный интеграл Якобиан Гессен

В математике , то гармонический ряд является расходящимся бесконечной серии

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots .

Его название происходит от концепции обертонов , или гармоник в музыке : длины волн обертонов вибрирующей струны равны1/2, 1/3, 1/4и т. д. основной длины волны струны . Каждый член ряда после первого представляет собой гармоническое среднее значение соседних членов; фраза « гармоническое среднее» также происходит от музыки.

История [ править ]

Расхождение гармонических рядов была впервые доказана в 14 - м веке Николай Орем , ^[1] , но это достижение упал в безвестности. Доказательств было дано в 17 - м веке Пьетро Менголи ^[2] и Иоганна Бернулли , ^[3] последнее доказательство опубликованы и популяризировал его брат Якоб Бернулли . ^[4]^[5]

Исторически гармонические последовательности пользовались определенной популярностью у архитекторов. Это было так особенно в барочном период, когда архитекторы использовали их , чтобы установить пропорции из поэтажных планов , из возвышенностей , и установить гармоничные отношения между внутренним и наружными архитектурными деталями храмов и дворцами. ^[6]

Дивергенция [ править ]

Есть несколько хорошо известных доказательств расходимости гармонического ряда. Некоторые из них приведены ниже.

Сравнительный тест [ править ]

Один из способов доказать расхождение - сравнить гармонический ряд с другим расходящимся рядом, где каждый знаменатель заменен следующей по величине степенью двойки :

{\begin{alignedat}{8}1&+{\frac {1}{2}}&&+{\frac {1}{3}}&&+{\frac {1}{4}}&&+{\frac {1}{5}}&&+{\frac {1}{6}}&&+{\frac {1}{7}}&&+{\frac {1}{8}}&&+{\frac {1}{9}}&&+\cdots \\[5pt]{}\geq 1&+{\frac {1}{2}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {4} }}}&&+{\frac {1}{4}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}&&+{\frac {1}{8}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {16} }}}&&+\cdots \end{alignedat}}

Каждый член гармонического ряда больше или равен соответствующему члену второго ряда, и поэтому сумма гармонического ряда должна быть больше или равна сумме второго ряда. Однако сумма второй серии бесконечна:

{\begin{aligned}&1+\left({\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{16}}\right)+\cdots \\[5pt]{}={}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+\cdots =\infty .\end{aligned}}

Отсюда следует (из сравнительного теста ), что сумма гармонического ряда также должна быть бесконечной. Точнее, приведенное выше сравнение доказывает, что

\sum _{n=1}^{2^{k}}{\frac {1}{n}}\geq 1+{\frac {k}{2}}

для любого положительного целого числа $к$ .

Это доказательство, предложенное Николь Орем примерно в 1350 году, рассматривается многими в математическом сообществе ^{[ кем? ]} быть высшей точкой средневековой математики . Сегодня это стандартное доказательство, которому преподают на уроках математики. Тест конденсации Коши является обобщением этого аргумента.

Интегральный тест [ править ]

Иллюстрация интегрального теста.

Расхождение гармонического ряда можно доказать, сравнив его сумму с несобственным интегралом . В частности, рассмотрите расположение прямоугольников, показанных на рисунке справа. Каждый прямоугольник имеет ширину 1 единицу и $1 / п$ единиц высотой, поэтому общая площадь бесконечного числа прямоугольников является суммой гармонического ряда:

{\begin{array}{c}{\text{area of}}\\{\text{rectangles}}\end{array}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots

Кроме того, общая площадь под кривой $y = 1 / Икс$ от 1 до бесконечности дается расходящимся несобственным интегралом :

{\begin{array}{c}{\text{area under}}\\{\text{curve}}\end{array}}=\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\,dx=\infty .

Поскольку эта область полностью заключена в прямоугольники, общая площадь прямоугольников также должна быть бесконечной. Точнее, первые прямоугольники полностью покрывают область под кривой для и поэтому $k$ $1\leq x\leq k+1$

\sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n}}>\int _{1}^{k+1}{\frac {1}{x}}\,dx=\ln(k+1).

Обобщение этого аргумента известно как интегральный тест .

Скорость расхождения [ править ]

Гармонический ряд расходится очень медленно. Например, сумма первых 10 ⁴³ членов меньше 100. ^[7] Это связано с тем, что частичные суммы ряда имеют логарифмический рост . Особенно,

\sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n}}=\ln k+\gamma +\varepsilon _{k}\leq (\ln k)+1

где $γ$ - постоянная Эйлера – Маскерони, а $ε k ~ 1 / 2 к$ который стремится к 0, когда $k$ стремится к бесконечности. Леонард Эйлер доказал и это, и еще более поразительный факт: сумма, включающая только обратные числам простых чисел, также расходится, т. Е.

\sum _{p{\text{ prime }}}{\frac {1}{p}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+\cdots =\infty .

Частичные суммы [ править ]

Первые тридцать гармонических чисел
$п$	Частичная сумма гармонического ряда, $H n$
$п$	выражается в виде дроби		десятичный	относительный размер
1	1		~ 1	1
2	3	/ 2	~ 1,5	1.5
3	11	/ 6	~ 1,83333	1.83333
4	25	/ 12	~ 2,08333	2.08333
5	137	/ 60	~ 2,28333	2.28333
6	49	/ 20	~ 2,45	2.45
7	363	/ 140	~ 2,59286	2.59286
8	761	/ 280	~ 2,71786	2.71786
9	7 129	/2 520	~ 2,82897	2.82897
10	7 381	/2 520	~ 2,92897	2.92897
11	83 711	/27 720	~ 3,01988	3.01988
12	86 021	/27 720	~ 3,10321	3.10321
13	1 145 993	/360 360	~ 3,18013	3.18013
14	1 171 733	/360 360	~ 3,25156	3.25156
15	1 195 757	/360 360	~ 3,31823	3.31823
16	2 436 559	/720 720	~ 3,38073	3.38073
17	42 142 223	/12 252 240	~ 3,43955	3.43955
18	14 274 301	/4 084 080	~ 3,49511	3.49511
19	275 295 799	/77 597 520	~ 3,54774	3.54774
20	55 835 135	/15 519 504	~ 3,59774	3.59774
21 год	18 858 053	/5 173 168	~ 3,64536	3.64536
22	19 093 197	/5 173 168	~ 3,69081	3.69081
23	444 316 699	/118 982 864	~ 3,73429	3.73429
24	1 347 822 955	/356 948 592	~ 3,77596	3.77596
25	34 052 522 467	/8 923 714 800	~ 3,81596	3.81596
26	34 395 742 267	/8 923 714 800	~ 3,85442	3.85442
27	312 536 252 003	/80 313 433 200	~ 3,89146	3.89146
28	315 404 588 903	/80 313 433 200	~ 3,92717	3.92717
29	9 227 046 511 387	/2 329 089 562 800	~ 3.96165	3.96165
30	9 304 682 830 147	/2 329 089 562 800	~ 3.99499	3.99499

Конечные частные суммы расходящихся гармонических рядов,

H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},

называются гармоническими числами .

Разница между $H n$ и $ln n$ сходится к постоянной Эйлера – Маскерони . Разница между любыми двумя номерами гармоник никогда не бывает целой. Никакие гармонические числа не являются целыми числами, за исключением $H 1 = 1$ . ^[8]^{: с. 24}^[9]^{: Thm. 1}

Связанные серии [ править ]

Переменный гармонический ряд [ править ]

Первые четырнадцать частичных сумм переменного гармонического ряда (черные отрезки) показаны сходящимися к натуральному логарифму 2 (красная линия).

Сериал

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots

известен как чередующийся гармонический ряд . Этот ряд сходится с помощью теста чередующихся рядов . В частности, сумма равна натуральному логарифму 2 :

1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots =\ln 2.

Чередующийся гармонический ряд, хотя и условно сходится , не является абсолютно сходящимся : если члены в ряду систематически переупорядочиваются, в общем случае сумма становится другой и, в зависимости от перестановки, возможно, даже бесконечной.

Переменная гармонический ряд формула является частным случаем серии Меркатора , в ряде Тейлора для натурального логарифма.

Родственный ряд может быть получен из ряда Тейлора для арктангенса :

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}.

Это известно как серия Лейбница .

Общий гармонический ряд [ править ]

Вообще гармонический ряд имеет вид

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{an+b}},

где $a \neq 0$ и $b$ - действительные числа, а $б / а$ не равно нулю или отрицательному целому числу.

При проверке предельного сравнения с гармоническим рядом все общие гармонические ряды также расходятся.

$p$ -series [ править ]

Обобщение гармонических рядов является $р$ -ряды (или гипергармонич серии ), определяемые как

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}

для любого действительного числа $p$ . Когда $р = 1$ , то $р$ -ряды является гармонический ряд, который расходится. Либо интегральный тест, либо тест конденсации Коши показывают, что $p-$ ряд сходится для всех $p > 1$ (в этом случае он называется надгармоническим рядом ) и расходится для всех $p \leq 1$ . Если $p > 1,$ то сумма $p-$ ряда равна $ζ (p)$ , то есть дзета-функция Римана, вычисленная в $p$ .

Проблема нахождения суммы для $p = 2$ называется проблемой Базеля ; Леонард Эйлер показал, что это $π$ ²/6. Значение суммы для $p = 3$ называется постоянной Апери , поскольку Роджер Апери доказал, что это иррациональное число .

ln-series [ править ]

Относящиеся к $р$ -рядов является ЛН-серии , определяемые как

\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n(\ln n)^{p}}}

для любого положительного действительного числа $p$ . Это можно показать с помощью интегрального теста, что он расходится при $p \leq 1,$ но сходится при всех $p > 1$ .

$φ-$ серия [ править ]

Для любой выпуклой вещественнозначной функции $φ$ такой, что

\limsup _{u\to 0^{+}}{\frac {\varphi \left({\frac {u}{2}}\right)}{\varphi (u)}}<{\frac {1}{2}},

сериал

\sum _{n=1}^{\infty }\varphi \left({\frac {1}{n}}\right)

сходится. ^{[ необходима цитата ]}

Случайный гармонический ряд [ править ]

Случайный гармонический ряд

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s_{n}}{n}},

где $s n$ - независимые , одинаково распределенные случайные величины, принимающие значения +1 и −1 с равной вероятностью1/2, является хорошо известным примером в теории вероятностей для серии случайных величин, сходящейся с вероятностью 1 . Факт этой сходимости является простым следствием либо теоремы Колмогорова о трех рядах, либо тесно связанного с ней максимального неравенства Колмогорова . Байрон Шмуланд из Университета Альберты дополнительно исследовал ^[10] свойства случайного гармонического ряда и показал, что сходящийся ряд является случайной величиной с некоторыми интересными свойствами. В частности, функция плотности вероятности этой случайной величины, оцененная как +2 или −2, принимает значение0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 764 ..., отличных от1/8менее чем на 10 ⁻⁴² . В статье Шмуланда объясняется, почему эта вероятность так близка, но не совсем точна,1/8. Точное значение этой вероятности дается бесконечным интегралом произведения косинусов $C 2$ ^[11], деленным на $π$ .

Истощенный гармонический ряд [ править ]

Истощены гармонический ряд , где все условия , в которых цифра 9 появляется где - нибудь в знаменателе удаляются может быть показано сходиться к значению 22,92067 66192 64150 34816 ... . ^[12] Фактически, когда все термины, содержащие любую конкретную строку цифр (в любом основании ), удаляются, ряд сходится. ^[13]

Приложения [ править ]

Гармонический ряд может показаться нелогичным для студентов, впервые столкнувшихся с ним, потому что это расходящийся ряд, даже если предел $n-$ го члена при $стремлении n$ к бесконечности равен нулю. Дивергенция гармонического ряда также является источником некоторых очевидных парадоксов . Один из примеров - « червяк на резинке ». ^[14] Предположим, что червь ползет по бесконечно эластичной резиновой ленте длиной один метр, в то время как резинка растягивается равномерно. Если червь движется со скоростью 1 сантиметр в минуту, а лента растягивается на 1 метр в минуту, дойдет ли червь до конца резинки? Ответ, как ни странно, «да», поскольку после $n$ минут отношение расстояния, пройденного червяком, к общей длине резинки равно

{\frac {1}{100}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.

(На самом деле фактическое соотношение немного меньше этой суммы, поскольку полоса непрерывно расширяется.)

Поскольку ряд становится произвольно большим по мере увеличения $n$ , в конечном итоге это соотношение должно превышать 1, что означает, что червяк достигает конца резиновой ленты. Однако значение $n,$ при котором это происходит, должно быть чрезвычайно большим: приблизительно $e 100$ , число, превышающее 10 ⁴³ минут (10 ³⁷ лет). Хотя гармонический ряд действительно расходится, это происходит очень медленно.

Другая проблема, связанная с гармоническим рядом, - это проблема джипа , которая (в одной форме) спрашивает, сколько всего топлива требуется джипу с ограниченной топливной вместимостью, чтобы пересечь пустыню, возможно, оставляя капли топлива на маршруте. Расстояние, которое можно преодолеть с заданным количеством топлива, связано с частичными суммами гармонического ряда, которые растут логарифмически. Таким образом, требуемое количество топлива увеличивается экспоненциально с желаемой дистанцией.

Проблема укладки блоков: блоки выровнены по гармоническим последовательностям мостиков сколов любой ширины.

Другой пример - проблема укладки блоков : учитывая набор одинаковых доминошек, очевидно, что их можно сложить на краю стола, чтобы они свешивались с края стола, не падая. Противоречивый результат состоит в том, что их можно сложить таким образом, чтобы свес был произвольно большим, если домино достаточно. ^[14]^[15]

С другой стороны, более простой пример - пловец, который продолжает прибавлять скорость, касаясь стенок бассейна. Пловец начинает пересекать 10-метровый бассейн со скоростью 2 м / с, и с каждым переходом к скорости прибавляется еще 2 м / с. Теоретически скорость пловца неограничена, но количество переходов через бассейн, необходимое для достижения этой скорости, становится очень большим; например, чтобы достичь скорости света (без учета специальной теории относительности ), пловцу нужно пересечь бассейн 150 миллионов раз. В отличие от этого большого числа, время, необходимое для достижения заданной скорости, зависит от суммы ряда при любом заданном количестве переходов (итераций) пула:

{\frac {10}{2}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.

Подсчет суммы (итеративно) показывает, что для достижения скорости света требуется всего 97 секунд. Продолжая движение дальше этой точки (превышая скорость света, опять же игнорируя специальную теорию относительности ), время, необходимое для пересечения бассейна, фактически будет приближаться к нулю, поскольку количество итераций становится очень большим, и хотя время, необходимое для пересечения бассейна, кажется, стремятся к нулю (при бесконечном количестве итераций), сумма итераций (время, затрачиваемое на полное пересечение пула) все равно будет расходиться с очень низкой скоростью.

См. Также [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с гармоническими рядами (математика) .

Эта функция Дирихле
Гармоническая прогрессия
Список сумм обратных величин

Ссылки [ править ]

^ Орем, Николь (ок. 1360). Quaestiones super Geometriam Euclidis [ Вопросы, касающиеся геометрии Евклида ].
^ Менголи, Пьетро (1650). "Praefatio [Предисловие]" . Novae quadraturae arithmeticae, seu De additione Fractionum [ Новая арифметическая квадратура (т.е. интегрирование), или О сложении дробей ]. Болонья: Джакомо Монти.
Доказательство Менголи от противоречия:
Обозначим через $S$ сумму ряда. Сгруппируйте члены ряда в тройки: $S = 1 + (1 / 2 + 1 / 3 + 1 / 4) + (1 / 5 + 1 / 6 + 1 / 7) + (1 / 8 + 1 / 9 + 1 / 10) + ...$ Так как при $х > 1$ , $1 / х - 1 + 1 / Икс + 1 / х + 1 > 3 / Икс$ , то $S > 1 + 3 / 3 + 3 / 6 + 3 / 9 +\dots = 1 + 1 + 1 / 2 + 1 / 3 + ... = 1 + S$ , который является ложным для любого конечного $S$ . Следовательно, ряд расходится.
^ Бернулли, Иоганн (1742). "Следствие III из De seriebus varia " . Опера Омния . Лозанна и Базель: Marc-Michel Bousquet & Co., т. 4, стр. 8.
Доказательство Иоганна Бернулли также противоречит. Он использует телескопическую сумму для представления каждого члена.1/п в качестве
${\frac {1}{n}}={\Big (}{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}{\Big )}+{\Big (}{\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+2}}{\Big )}+{\Big (}{\frac {1}{n+2}}-{\frac {1}{n+3}}{\Big )},\&c.$ $={\frac {1}{n(n+1)}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}+{\frac {1}{(n+2)(n+3)}},\&c.$
Изменение порядка суммирования в соответствующем двойном ряду дает в современных обозначениях
$S=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {1}{k(k+1)}}=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{k(k+1)}}$ $=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k}{k(k+1)}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k+1}}=S-1$ .
^ Бернулли, Джейкоб (1689). Propositiones arithmeticae de seriebus infinitis earumque summa finita [ Арифметические предложения о бесконечных рядах и их конечных суммах ]. Базель: Дж. Конрад.
^ Бернулли, Джейкоб (1713). Ars conjectandi, opus posthumum. Accedit Tractatus de seriebus infinitis [ Теория вывода, посмертная работа. С Трактатом о бесконечных сериях… ]. Базель: Турнисен. С. 250–251.
С п. 250, проп. 16:
" XVI. Summa serei infinitaharmonicè progressionalium,1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5& c. есть инфинита. Id primus deprehendit Frater:… "
[16. Сумма бесконечного ряда гармонической прогрессии,1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5+…, Бесконечно. Мой брат первым обнаружил это…]
^ Херси, Джордж Л. Архитектура и геометрия в эпоху барокко . С. 11–12, 37–51.
^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A082912 (сумма a ( n ) членов гармонического ряда> 10 n )» . Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
^ Джулиан Хэвил, Гамма: Изучение постоянной Эйлера , Princeton University Press, 2009.
^ Томас Дж. Ослер, «Частичные суммы рядов, которые не могут быть целыми», The Mathematical Gazette 96, ноябрь 2012 г., 515–519. https://www.jstor.org/stable/24496876?seq=1#page_scan_tab_contents
^ Шмуланд, Байрон (май 2003 г.). «Случайные гармонические ряды» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 110 (5): 407–416. DOI : 10.2307 / 3647827 . JSTOR 3647827 .
^ Вайсштейн, Эрик В. "Бесконечный интеграл произведения косинусов" . MathWorld . Проверено 9 ноября 2020 года .
↑ Роберт Бэйли (май 1979 г.). «Суммы взаимных значений целых чисел, пропускающих заданную цифру». Американский математический ежемесячник . 86 (5): 372–374. DOI : 10.1080 / 00029890.1979.11994810 . JSTOR 2321096 .
↑ Томас Шмельцер и Роберт Бэйли (июнь 2008 г.). «Суммирование любопытного, медленно сходящегося ряда». Американский математический ежемесячник . 115 (6): 545–540. JSTOR 27642532 .
^ a b Грэм, Рональд ; Кнут, Дональд Э .; Паташник, Орен (1989), Конкретная математика (2-е изд.), Addison-Wesley , стр. 258–264, ISBN 978-0-201-55802-9
Перейти ↑ Sharp, RT (1954). «Задача 52: нависающие домино» (PDF) . Пи Му Эпсилон Журнал . 1 (10): 411–412.

Внешние ссылки [ править ]

"Гармонический ряд" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
«Гармонический ряд снова и снова расходится» (PDF) . Обзор AMATYC . 27 : 31–43. 2006 г.
Вайсштейн, Эрик В. «Гармонический ряд» . MathWorld .
Вайсштейн, Эрик В. "Проблема укладки книг" . MathWorld .
Худельсон, Мэтт (1 октября 2010 г.). «Доказательство без слов: сумма переменного гармонического ряда равна ln 2» (PDF) . Математический журнал . 83 (4): 294. DOI : 10,4169 / 002557010X521831 . S2CID 119484945 .

[1] Орем, Николь (ок. 1360). Quaestiones super Geometriam Euclidis [ Вопросы, касающиеся геометрии Евклида ].

[2] Менголи, Пьетро (1650). "Praefatio [Предисловие]" . Novae quadraturae arithmeticae, seu De additione Fractionum [ Новая арифметическая квадратура (т.е. интегрирование), или О сложении дробей ]. Болонья: Джакомо Монти.
Доказательство Менголи от противоречия:
Обозначим через $S$ сумму ряда. Сгруппируйте члены ряда в тройки: $S = 1 + (1 / 2 + 1 / 3 + 1 / 4) + (1 / 5 + 1 / 6 + 1 / 7) + (1 / 8 + 1 / 9 + 1 / 10) + ...$ Так как при $х > 1$ , $1 / х - 1 + 1 / Икс + 1 / х + 1 > 3 / Икс$ , то $S > 1 + 3 / 3 + 3 / 6 + 3 / 9 +\dots = 1 + 1 + 1 / 2 + 1 / 3 + ... = 1 + S$ , который является ложным для любого конечного $S$ . Следовательно, ряд расходится.

[3] Бернулли, Иоганн (1742). "Следствие III из De seriebus varia " . Опера Омния . Лозанна и Базель: Marc-Michel Bousquet & Co., т. 4, стр. 8.
Доказательство Иоганна Бернулли также противоречит. Он использует телескопическую сумму для представления каждого члена.1/п в качестве
${\frac {1}{n}}={\Big (}{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}{\Big )}+{\Big (}{\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+2}}{\Big )}+{\Big (}{\frac {1}{n+2}}-{\frac {1}{n+3}}{\Big )},\&c.$ $={\frac {1}{n(n+1)}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}+{\frac {1}{(n+2)(n+3)}},\&c.$
Изменение порядка суммирования в соответствующем двойном ряду дает в современных обозначениях
$S=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {1}{k(k+1)}}=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{k(k+1)}}$ $=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k}{k(k+1)}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k+1}}=S-1$ .

[4] Бернулли, Джейкоб (1689). Propositiones arithmeticae de seriebus infinitis earumque summa finita [ Арифметические предложения о бесконечных рядах и их конечных суммах ]. Базель: Дж. Конрад.

[5] Бернулли, Джейкоб (1713). Ars conjectandi, opus posthumum. Accedit Tractatus de seriebus infinitis [ Теория вывода, посмертная работа. С Трактатом о бесконечных сериях… ]. Базель: Турнисен. С. 250–251.
С п. 250, проп. 16:
" XVI. Summa serei infinitaharmonicè progressionalium,1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5& c. есть инфинита. Id primus deprehendit Frater:… "
[16. Сумма бесконечного ряда гармонической прогрессии,1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5+…, Бесконечно. Мой брат первым обнаружил это…]

[6] Херси, Джордж Л. Архитектура и геометрия в эпоху барокко . С. 11–12, 37–51.

[7] Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A082912 (сумма a ( n ) членов гармонического ряда> 10 n )» . Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.

[8] Джулиан Хэвил, Гамма: Изучение постоянной Эйлера , Princeton University Press, 2009.

[9] Томас Дж. Ослер, «Частичные суммы рядов, которые не могут быть целыми», The Mathematical Gazette 96, ноябрь 2012 г., 515–519. https://www.jstor.org/stable/24496876?seq=1#page_scan_tab_contents

[10] Шмуланд, Байрон (май 2003 г.). «Случайные гармонические ряды» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 110 (5): 407–416. DOI : 10.2307 / 3647827 . JSTOR 3647827 .

[11] Вайсштейн, Эрик В. "Бесконечный интеграл произведения косинусов" . MathWorld . Проверено 9 ноября 2020 года .

[12] Роберт Бэйли (май 1979 г.). «Суммы взаимных значений целых чисел, пропускающих заданную цифру». Американский математический ежемесячник . 86 (5): 372–374. DOI : 10.1080 / 00029890.1979.11994810 . JSTOR 2321096 .

[13] Томас Шмельцер и Роберт Бэйли (июнь 2008 г.). «Суммирование любопытного, медленно сходящегося ряда». Американский математический ежемесячник . 115 (6): 545–540. JSTOR 27642532 .

[autogenerated258-14] Грэм, Рональд ; Кнут, Дональд Э .; Паташник, Орен (1989), Конкретная математика (2-е изд.), Addison-Wesley , стр. 258–264, ISBN 978-0-201-55802-9

[15] Перейти ↑ Sharp, RT (1954). «Задача 52: нависающие домино» (PDF) . Пи Му Эпсилон Журнал . 1 (10): 411–412.