В комбинаторной математике, с большим набором из положительных целых чисел
такое, что бесконечная сумма обратных
расходится . Небольшой набор является любое подмножество из положительных целых чисел , которые не велика; то есть тот, сумма обратных величин которого сходится.
Большие множества появляются в теореме Мюнца – Саса и в гипотезе Эрдеша об арифметических прогрессиях .
Примеры
- Каждое конечное подмножество натуральных чисел мало.
- Набор из всех положительных целых чисел, как известно, большой набор; это утверждение эквивалентно расходимости гармонического ряда . В более общем смысле, любая арифметическая прогрессия (то есть набор всех целых чисел формы an + b с a ≥ 1, b ≥ 1 и n = 0, 1, 2, 3, ...) является большим набором.
- Набор квадратных чисел невелик (см. Базельскую задачу ). То же самое с набором чисел в кубе , набором четвертых степеней и так далее. В более общем смысле, набор положительных целочисленных значений любого полинома степени 2 или выше образует небольшой набор.
- Множество {1, 2, 4, 8, ...} полномочий 2 , как известно, небольшой набор, и поэтому любая геометрическая прогрессия (то есть, набор чисел вида формы абы п с а ≥ 1, b ≥ 2 и n = 0, 1, 2, 3, ...).
- Доказано, что набор простых чисел велик. Было доказано, что набор простых чисел-близнецов невелик (см . Постоянную Бруна ).
- Множество степеней простых чисел, которые не являются простыми (т. Е. Все числа вида p n с n ≥ 2 и p простые), является небольшим набором, хотя простые числа являются большим набором. Это свойство часто используется в аналитической теории чисел . В более общем смысле набор совершенных степеней невелик, даже набор сильных чисел невелик.
- Набор чисел, разложения которых по основанию исключают данную цифру, невелик. Например, набор
- целых чисел, десятичное расширение которых не включает цифру 7, является маленьким. Такие серии называются сериями Кемпнера .
- Набор простых чисел-близнецов невелик, но все еще высказывается предположение, что существует бесконечное число простых чисел-близнецов .
- Любое множество, верхняя асимптотическая плотность которого отлична от нуля, велико.
Характеристики
- Каждое подмножество небольшого набора невелико.
- Объединение конечного числа малых множеств мало, так как сумма два сходящихся рядов является сходящимся рядом. (В терминологии теории множеств малые множества образуют идеал .)
- Дополнение каждого маленького набора велико.
- Теорема Мюнца – Саса утверждает, что множество велик тогда и только тогда, когда множество многочленов натянуто на
- является плотным в равномерной норме топологии непрерывных функций на отрезке. Это обобщение теоремы Стоуна – Вейерштрасса .
Открытые задачи с большими наборами
Пол Эрдёш задал свой знаменитый вопрос о том, должно ли любое множество, не содержащее произвольно длинных арифметических прогрессий, быть маленьким. Он предложил приз в размере 3000 долларов за решение этой проблемы, больше, чем за любые другие его догадки , и пошутил, что этот приз нарушает закон о минимальной заработной плате. [1] Этот вопрос все еще открыт.
Неизвестно, как определить, является ли данный набор большим или маленьким в целом. В результате существует множество наборов, которые не известны ни большими, ни маленькими.
Смотрите также
Заметки
- ^ Карл Померанс , Пол Эрдёш, экстраординарный теоретик чисел . (Часть статьи The Mathematics of Paul Erdős ), in Notices of the AMS , January, 1998 .
Рекомендации
- А. Д. Вадхва (1975). Интересная подсерия гармонического ряда. Американский математический ежемесячник 82 (9) 931–933. JSTOR 2318503