Идеал (теория множеств)

В математической области теории множеств , идеал является частично упорядоченной совокупностью множеств , которые считаются «малыми» или «незначительным». Каждое подмножество элемента идеала также должно быть в идеале (это кодифицирует идею о том, что идеал является понятием малости), и объединение любых двух элементов идеала также должно быть в идеале.

Более формально, если задано множество X , идеал I на X является непустым подмножеством мощного множества X , так что:

${\ displaystyle \ emptyset \ in I}$ ,
если и , то , и ${\ displaystyle A \ in I}$ ${\ Displaystyle B \ substeq A}$ ${\ displaystyle B \ in I}$
если , то . ${\ displaystyle A, B \ in I}$ ${\ displaystyle A \ cup B \ in I}$

Некоторые авторы добавляют четвертое условие, что сам X не находится в I ; идеалы с этим дополнительным свойством называются собственными идеалами .

Идеалы в теоретико-множественном смысле - это в точности идеалы в теоретико-упорядоченном смысле , где релевантным порядком является включение множества. Кроме того, они являются идеалами в теоретико-кольцевом смысле на булевом кольце, образованном множеством степеней основного множества.

Терминология [ править ]

Элемент идеала I называется I-нулевым или I-незначительным , или просто нулевым или незначительным, если идеал I понимается из контекста. Если я являюсь идеальным на X , то подмножество X называется I-положительным (или просто положительным ) , если это не является элемент I . Совокупность всех I -положительных подмножеств X обозначается I ⁺ .

Если является подходящим идеалом для каждого из « или» и для каждого из них , то «I» является первичным идеалом . ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle A \ substeq X}$ ${\ displaystyle A \ in I}$ ${\ displaystyle X \ setminus A \ in I}$

Примеры идеалов [ править ]

Общие примеры [ править ]

Для любого множества X и любого произвольно выбранного подмножества B ⊆ X , подмножества B образуют идеал на X . Для конечного X все идеалы имеют этот вид.
Эти конечные подмножества из любого множества X формируют идеал на X .
Для любого пространства меры , множества с нулевой мерой.
Для любого пространства меры , множества конечной меры. Сюда входят конечные подмножества (с использованием счетной меры ) и небольшие множества ниже.

Идеалы натуральных чисел [ править ]

Идеал всех конечных множеств натуральных чисел обозначается Fin.
Суммирует идеал на натуральных числах, обозначаемый , это совокупность всех множеств A натуральных чисел , такие , что сумма конечна. См. Небольшой набор . ${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {1 / n}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n \ in A} {\ frac {1} {n + 1}}}$
Обозначенный идеал множеств с асимптотически нулевой плотностью натуральных чисел - это совокупность всех множеств A натуральных чисел, таких, что доля натуральных чисел меньше n , принадлежащих A , стремится к нулю, когда n стремится к бесконечности. (То есть, асимптотическая плотность от А равен нулю.) ${\mathcal {Z}}_{0}$

Идеалы на реальных числах [ править ]

Мера идеал есть совокупность всех множеств А из действительных чисел таких , что мера Лебега от А равна нуль.
Скудный идеал есть совокупность всех тощих множеств действительных чисел.

Идеалы на других наборах [ править ]

Если λ - порядковое число несчетной конфинальности , нестационарный идеал на λ - это совокупность всех подмножеств λ, которые не являются стационарными множествами . Этот идеал широко изучался У. Хью Вудином .

Операции над идеалами [ править ]

Для заданных идеалов I и J на базовых множествах X и Y соответственно формируется произведение I × J на декартовом произведении X × Y следующим образом: для любого подмножества A ⊆ X × Y ,

A\in I\times J\iff \{x\in X|\{y|\langle x,y\rangle \in A\}\notin J\}\in I

То есть набор незначителен в идеале продукта, если только незначительный набор координат x соответствует неотъемлемому срезу A в направлении y . (Возможно, более ясно: множество положительно в идеале продукта, если положительно много координат x соответствуют положительным срезам.)

Идеал я на множестве X индуцирует отношение эквивалентности на P ( X ), в Powerset из X , рассматривая A и B эквивалентными (для A , B подмножества X ) , если и только если симметрическая разность из A и B является элемент I . Фактор из P ( X ) по этому отношению эквивалентности является Булева алгебра , обозначается Р ( Х ) / Я (прочтите «P of X mod I »).

Каждому идеалу соответствует свой фильтр , называемый двойным фильтром . Если я идеально на X , то двойной фильтр I является совокупность всех множеств X \ A , где элемент I . (Здесь Х \ обозначает относительное дополнение из А в X , то есть совокупность всех элементов X , которые не в A ) .

Отношения между идеалами [ править ]

Если я и J являются идеалы на X и Y , соответственно, я и J являются Рудина-Кейслера изоморфными , если они одни и те же идеально подходит для переименования элементов лежащих в их основе наборов (игнорируя незначительные наборы) , за исключением. Более формально требование состоит в том, чтобы существовали множества A и B , элементы I и J соответственно, и биекция φ: X \ A → Y \ B , такая, что для любого подмножества C из X , Cв I тогда и только тогда , когда изображение из C под ф в J .

Если I и J изоморфны Рудину – Кейслера, то P ( X ) / I и P ( Y ) / J изоморфны как булевы алгебры. Изоморфизмы фактор-булевых алгебр, индуцированные изоморфизмами Рудина – Кейслера идеалов, называются тривиальными изоморфизмами .

См. Также [ править ]

Фильтр (математика) - в математике специальное подмножество частично упорядоченного множества.
π -система - непустое семейство множеств, в котором пересечение любых двух элементов снова является членом.
σ-идеал

Ссылки [ править ]

Фарах, Илияс (ноябрь 2000 г.). Аналитические факторы: теория подъемов частных над аналитическими идеалами на целых числах . Воспоминания об АПП. Американское математическое общество. ISBN 9780821821176.