Логическое кольцо

В математике , А булево кольцо R является кольцом , для которого х ² = х для всех х в R , ^[1]^[2]^[3] , то есть кольцо , которое состоит только из идемпотентных элементов . ^[4]^[5] Примером может служить кольцо целых чисел по модулю 2 .

Каждое булево кольцо порождает булеву алгебру с кольцевым умножением, соответствующим конъюнкции или встрече ∧, и кольцевым сложением к исключительной дизъюнкции или симметрической разности (не дизъюнкции ∨, ^[6], которая составляла бы полукольцо ). Булевы кольца названы в честь основателя булевой алгебры Джорджа Буля .

Обозначения [ править ]

Существует как минимум четыре различных несовместимых системы обозначений булевых колец и алгебр:

В коммутативной алгебре стандартное обозначение - использовать x + y = ( x ∧ ¬ y ) ∨ (¬ x ∧ y ) для кольцевой суммы x и y и использовать xy = x ∧ y для их произведения.
В логике , общее обозначение для использования х ∧ у для встречаешься (такой же , как кольца продукт) и использование х ∨ у для объединения, в терминах кольца обозначений (чуть выше заданных) по й + у + х .
В теории множеств и логики также часто используют х · у для встречаются, и х + у для объединения х ∨ у . Это использование + отличается от использования в теории колец.
Редкое соглашение - использовать xy для произведения и x ⊕ y для кольцевой суммы, чтобы избежать двусмысленности +.

Исторически термин «Булево кольцо» использовался для обозначения «Булево кольцо, возможно, без идентичности», а «Булева алгебра» использовалась для обозначения булевого кольца с идентичностью. Существование тождества необходимо, чтобы рассматривать кольцо как алгебру над полем двух элементов : иначе не может быть (унитального) кольцевого гомоморфизма поля двух элементов в булево кольцо. (Это то же самое, что и прежнее использование терминов «кольцо» и «алгебра» в теории меры . ^[A] )

Примеры [ править ]

Одним из примеров булевого кольца является набор мощности любого множества X , где сложение в кольце - это симметричная разность , а умножение - это пересечение . В качестве другого примера мы также можем рассмотреть множество всех конечных или кофинитных подмножеств X , снова с симметричной разностью и пересечением в качестве операций. В более общем смысле с этими операциями любое поле множеств является булевым кольцом. По теореме Стоуна о представлении каждое булево кольцо изоморфно полю множеств (рассматриваемому как кольцо с этими операциями).

Связь с булевыми алгебрами [ править ]

Диаграммы Венна для булевых операций конъюнкции, дизъюнкции и дополнения

Поскольку операция соединения ∨ в булевой алгебре часто записывается аддитивно, в этом контексте имеет смысл обозначать сложение кольца символом, который часто используется для обозначения исключающего или .

Учитывая булево кольцо R , для x и y в R мы можем определить

х ∧ у = ху ,

х ∨ у = х ⊕ у ⊕ ху ,

¬ х = 1 ⊕ х .

Затем эти операции удовлетворяют всем аксиомам для встреч, объединений и дополнений в булевой алгебре . Таким образом, каждое булево кольцо становится булевой алгеброй. Точно так же каждая булева алгебра становится булевым кольцом таким образом:

ху = х ∧ у ,

х ⊕ у = ( х ∨ у ) ∧ ¬ ( х ∧ у ).

Если таким образом булево кольцо переводится в булеву алгебру, а затем булева алгебра преобразуется в кольцо, результатом является исходное кольцо. Аналогичный результат верен, начиная с булевой алгебры.

Отображение между двумя булевыми кольцами является гомоморфизмом колец тогда и только тогда, когда оно является гомоморфизмом соответствующих булевых алгебр. Кроме того, подмножество булевого кольца является идеалом кольца ( идеалом первичного кольца, максимальным идеалом кольца) тогда и только тогда, когда оно является порядковым идеалом ( идеалом простого порядка, идеалом максимального порядка) булевой алгебры. Фактор - кольцо булевой кольца по модулю кольцо , идеально соответствует коэффициенту алгебры соответствующая Булева алгебра по модулю соответствующего порядка идеала.

Свойства булевых колец [ править ]

Каждое булево кольцо R удовлетворяет x ⊕ x = 0 для всех x в R , поскольку мы знаем

х ⊕ х = ( х ⊕ х ) ² = х ² ⊕ х ² ⊕ х ² ⊕ х ² = х ⊕ х ⊕ х ⊕ х

и поскольку ( R , ⊕) - абелева группа, мы можем вычесть x ⊕ x из обеих частей этого уравнения, что дает x ⊕ x = 0. Аналогичное доказательство показывает, что каждое булево кольцо коммутативно :

x ⊕ y = ( x ⊕ y ) ² = x ² ⊕ xy ⊕ yx ⊕ y ² = x ⊕ xy ⊕ yx ⊕ y

и это дает xy ⊕ yx = 0, что означает xy = yx (используя первое свойство выше).

Свойство x ⊕ x = 0 показывает, что любое булево кольцо является ассоциативной алгеброй над полем F ₂ с двумя элементами ровно одним способом. В частности, любое конечное булево кольцо имеет в качестве мощности на мощность два . Не всякая ассоциативная алгебра с единицей над F ₂ является булевым кольцом: рассмотрим, например, кольцо многочленов F ₂ [ X ].

Фактор-кольцо R / I любого булевого кольца R по модулю любого идеала I снова является булевым кольцом. Точно так же любое подкольцо булевого кольца является булевым кольцом.

Любая локализация булевого кольца R с помощью набора является булевым кольцом, поскольку каждый элемент в локализации идемпотентен. ${\ displaystyle RS ^ {- 1}}$ ${\ Displaystyle S \ substeq R}$

Максимальное кольцо частных (в смысле Утого и Ламбек ) булево кольцо R является булевым кольцом, так как каждый частичный эндоморфизм идемпотентен. ^[7] ${\ Displaystyle Q (R)}$

Каждый простой идеал P в булево кольцо R является максимальным : фактор - кольцо R / P является областью целостности , а также логическое кольцо, так изоморфно полю F ₂ , которая показывает максимальности Р . Поскольку максимальные идеалы всегда первичны, простые идеалы и максимальные идеалы в булевых кольцах совпадают.

Булевы кольца - это регулярные кольца фон Неймана .

Булевы кольца абсолютно плоские: это означает, что каждый модуль над ними плоский .

Каждый конечно порожденный идеал булевого кольца является главным (действительно, ( x , y ) = ( x + y + xy )).

Объединение [ править ]

Унификация в булевых кольцах разрешима , ^[8] , то есть алгоритмы существуют для решения произвольных уравнений над булевыми кольцами. И объединение, и согласование в конечно порожденных свободных булевых кольцах NP-полны , и оба NP-трудны в конечно определенных булевых кольцах. ^[9] (Фактически, поскольку любую задачу объединения f ( X ) = g ( X ) в булевом кольце можно переписать как задачу согласования f ( X ) + g ( X ) = 0, проблемы эквивалентны.)

Объединение в булевых кольцах является унитарным, если все неинтерпретированные функциональные символы являются нулевыми и финитными в противном случае (то есть, если все функциональные символы, не встречающиеся в сигнатуре булевых колец, являются константами, то существует наиболее общий объединитель , а в противном случае - минимальный полный набор объединителей. конечно). ^[10]

См. Также [ править ]

Нормальная форма кольцевой суммы

Заметки [ править ]

^ Когда булево кольцо имеет тождество, тогда на нем становится определяемой операция дополнения, и ключевой характеристикой современных определений как булевой алгебры, так и сигма-алгебры является то, что они имеют операции дополнения.

Ссылки [ править ]

^ Fraleigh (1976 , стр. 200)
^ Херстейн (1975 , стр. 130)
↑ Маккой (1968 , стр. 46)
^ Fraleigh (1976 , стр. 25)
^ Херстейн (1975 , стр. 268)
^ https://math.stackexchange.com/q/1621618
^ Б. Брейнерд, Дж. Ламбек (1959). «О кольце частных булевого кольца». Канадский математический бюллетень . 2 : 25–29. DOI : 10,4153 / CMB-1959-006-х . Следствие 2.
^ Мартин, U .; Нипков, Т. (1986). «Объединение в булевых кольцах». В Jörg H. Siekmann (ed.). Proc. 8-й CADE . LNCS. 230 . Springer. С. 506–513. DOI : 10.1007 / 3-540-16780-3_115 . ISBN 978-3-540-16780-8.
^ Kandri-Rody, Abdelilah; Капур, Дипак; Нарендран, Палиат (1985). «Теоретико-идеальный подход к проблемам слов и проблемам объединения над конечно заданными коммутативными алгебрами». Методы и приложения перезаписи . Конспект лекций по информатике. 202 . С. 345–364. DOI : 10.1007 / 3-540-15976-2_17 . ISBN 978-3-540-15976-6.
↑ А. Буде; Ж.-П. Жуанно ; М. Шмидт-Шаус (1989). «Объединение булевых колец и абелевых групп». Журнал символических вычислений . 8 (5): 449–477. DOI : 10.1016 / s0747-7171 (89) 80054-9 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Атия, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
Фрали, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Аддисон-Уэсли , ISBN 978-0-201-01984-1
Herstein, IN (1975), Topics In Algebra (2-е изд.), John Wiley & Sons
Маккой, Нил Х. (1968), Введение в современную алгебру (пересмотренное издание), Аллин и Бэкон , LCCN 68015225
Рябухин, Ю. М. (2001) [1994], "Булево кольцо" , Энциклопедия математики , EMS Press

Внешние ссылки [ править ]

Джон Армстронг, логические кольца

[7] Когда булево кольцо имеет тождество, тогда на нем становится определяемой операция дополнения, и ключевой характеристикой современных определений как булевой алгебры, так и сигма-алгебры является то, что они имеют операции дополнения.

[1] Fraleigh (1976 , стр. 200)

[2] Херстейн (1975 , стр. 130)

[3] Маккой (1968 , стр. 46)

[4] Fraleigh (1976 , стр. 25)

[5] Херстейн (1975 , стр. 268)

[6] ttps://math.stackexchange.com/q/1621618

[8] Б. Брейнерд, Дж. Ламбек (1959). «О кольце частных булевого кольца». Канадский математический бюллетень . 2 : 25–29. DOI : 10,4153 / CMB-1959-006-х . Следствие 2.

[9] Мартин, U .; Нипков, Т. (1986). «Объединение в булевых кольцах». В Jörg H. Siekmann (ed.). Proc. 8-й CADE . LNCS. 230 . Springer. С. 506–513. DOI : 10.1007 / 3-540-16780-3_115 . ISBN 978-3-540-16780-8.

[10] Kandri-Rody, Abdelilah; Капур, Дипак; Нарендран, Палиат (1985). «Теоретико-идеальный подход к проблемам слов и проблемам объединения над конечно заданными коммутативными алгебрами». Методы и приложения перезаписи . Конспект лекций по информатике. 202 . С. 345–364. DOI : 10.1007 / 3-540-15976-2_17 . ISBN 978-3-540-15976-6.

[11] А. Буде; Ж.-П. Жуанно ; М. Шмидт-Шаус (1989). «Объединение булевых колец и абелевых групп». Журнал символических вычислений . 8 (5): 449–477. DOI : 10.1016 / s0747-7171 (89) 80054-9 .

[1]